2020年上海长宁区高三一模数学试卷

2020年上海长宁区高三一模数学试卷

一、填空题（本大题共12题，1-6题每小题4分，7-12题每小题5分，共54分）

1.已知集合，，则 ．

2.方程的解为 ．

3.行列式的值为 ．

4.计算 ．

5.若圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的母线长为 ．

6.已知向量，，则 ．

7.位女生位男生排成一排，则位女生不相邻的排法共有 种．

8.已知点在角终边上，且，则 ．

9.近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工、两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中、两种支付方式都没有使用过的有人；使用了、两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：

支付金额（元）

大于

支付方式

使用人人人

使用人人人

依据以上数据估算：若从该公司随机抽取名员工，则该员工在该月、两种支付方式都使用过的概率为 ．

10.已知非零向量、、两两不平行，且，，设

，，，则 ．

11.已知数列满足：，，记数列的前项和为

，若对所有满足条件的，的最大值为，最小值为，则 ．

12.已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有

解，则实数的取值范围为 ．

二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分）

13.已知，则“”是“”的（ ）．

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

14.下列函数中，值域为的是（ ）．

A.

B.

C.

D.

15.已知正方体，点是棱的中点，设直线为﹐直线为，对于下

列两个命题：①过点有且只有一条直线与、都相交；②过点有且只有一条直线与、都成角，以下判断正确的是（ ）．

A.①为真命题，②为真命题

B.①为真命题，②为假命题

C.①为假命题，②为真命题

D.①为假命题，②为假命题

16.某港口某天时至时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型：

，若该港口在该天时至时内，有且只有个时刻水深为米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）．

A.16时

B.17时

C.18时

D.

19时

三、解答题（本大题共5题，共76分）

（1）

（

2）

17.如图，底面为矩形的直棱柱满足：，

，

．

求直线与平面所成角的大小．

设

、分别为棱、上的动点，求证：三棱锥

的体积为定值，并求出

该值．

（1）

（2）

18.在复平面内复数，所对应的点为

，，为坐标原点，是虚数单位．

，，计算

与．

设，

，求证：

，并指出向量，满足什么条件时该不等式取等号．

19.

【答案】解析:∵集合

，

．

∴（1）（2）如图，某城市有一矩形街心广场，如图，其中

百米，百米，现将在其内部挖掘

一个三角形水池

种植荷花，其中点在

边上，点

在

边上，要求

．

若百米，判断是否符合要求，并说明理由．

设

，写出

面积的关于的表达式，并求的最小值．

（1）（2）（3）20.已知数列各项均为正数，为其前项的和，且、、成等差数列．

写出

、

、

的值，并猜想数列的通项公式

．

证明（）中的猜想．设

，

为数列

的前项和，若对于任意

，都有

，求实数的值．

（1）（2）（3）21.已知函数，其中为常数．

当时，解不等式

．

已知

是以为周期的偶函数，且当

时，有

，若

，且

，求函数

的反函数．

若在

上存在个不同的点

，，使得

，求实数的取值范围．

1.2.

解析:

，，

故方程的解为．

3.

解析:

行列式，

，

．

故行列式的值为．

4.

解析:

，

，

．

5.

解析:

设地面圆半径为，母线长为，则同圆锥的侧面面积为，底面面积为可得：，解得即该圆锥的母线长为．

6.

解析:

，

故．

7.

解析:

先将位男生全排列，有种排法，再将位女生插入位男生形成的个空中，有种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法有种．

8.

解析:

∵点在角终边上，

，

∴，

则，

．

9.

解析:

由题中数据知，、两种支付方式都没有使用过的有人，

使用支付方式的有人，使用支付方式的有人，

作出维恩图如下：

设，都使用的有人，则，

解得人，

故从该公司随机抽取名员工，

则该员工在该月，两种支付方式都使用的概率为．

故答案为：．

10.

解析:

因为非零向量、、两两不平行，且，，

∴，

，