凸分析的基本概念
fundamental of convex analysis
fundamental of convex analysis
【实用版】
目录
1.凸分析的基本概念
2.凸函数的性质
3.凸分析的应用领域
正文
一、凸分析的基本概念
凸分析是数学领域中的一个分支，主要研究凸函数和凸集合的性质。
在凸分析中，凸函数是指在定义域内，对于任意的 x 和 y，都有
f(tx+(1-t)y)<=tf(x)+(1-t)f(y) 成立的函数。
而凸集合则是指对于集合内的任意两个元素，其连线上的任意点都属于该集合。
二、凸函数的性质
凸函数具有许多重要的性质，这些性质在数学分析、优化理论、经济学等领域都有广泛的应用。
以下是凸函数的一些基本性质：
1.凸函数的图像总是位于其切线的上方。
2.凸函数在定义域内是连续可导的。
3.凸函数的导数在定义域内恒大于等于 0。
4.凸函数的二阶导数在定义域内恒大于等于 0。
三、凸分析的应用领域
凸分析在许多领域都有广泛的应用，包括但不限于以下几个领域：
1.数学分析：凸分析为数学分析提供了一种新的视角和工具，可以用来研究各种数学问题。
2.优化理论：凸函数在优化理论中具有重要的地位，可以用来求解各种最优化问题。
3.经济学：经济学中的许多问题都可以用凸函数来描述，如效用函数、生产函数等。
最优化方法第一章最优化问题与凸分析基础
当常数取不同的值 时，重复上面的讨论， 在平面上得到一族曲 线——等高线. 等高线的形状完全由 曲面的形状所决定；反 之，由等高线的形状也 可以推测出曲面的形 状．
2 2 x2 上画出目标函数 f ( x， x ) x x 例 在坐标平面 x1， 1 2 1 2 的等高线． 解:因为当目标函数取常数时，曲线表示是以原点为 圆心，半径为的圆．因此等高线是一族以原点为圆 心的同心圆（如图所示）
1.2最优化问题的数学模型
一般形式
min f ( x1， x2， ， xn )， x2， ， xn ) 0， i 1，， 2 ， l， gi ( x1， s. t. x2， ， xn ) 0， j 1，， 2 ， m (m n)． h j ( x1，
向量形式
x 的二阶偏导
2 f X xnx1 2 f X x n x 2 2 f X 2 x n
例：求目标函数 f ( x) x12 x22 x32 2 x1 x2 2 x2 x3 3x3 的梯度和Hesse矩阵。 f X f X 解：因为 2 x1 2 x2 2 x2 2 x1 2 x3 3 x
定义1：整体（全局）最优解：若x* D，对于一切 x D ， 恒有 f x* f x 则称 x *是最优化问题的整体最优解。
) 定义2：局部最优解：若 x* D，存在某邻域 N ( x* ，使得对于 * 一切 x N ( x* ) D ，恒有 f x f x 则称 x *是最优化问题 的局部最优解。其中 N ( x* ) { x | x x* , 0}
1. 最优化问题
凸分析有关定义的整理
一、定义1. 定义1.1设)(x f 是nR 到[]+∞∞-,的实值函数，x 是使)(x f 为有限的点，如果极限λλλ)()(limx f y x f -+↓存在（可以取∞+或∞-），则称这个极限是)(x f 在x 沿向量y的单边方向导数，记为):('y x f 。
2. 定义 1.2 设)(x f 是n R 上的凸函数，如果向量*x 满足：对于z ∀，有>-<+≥x z x x f z f ,)()(*，则称*x 是)(x f 在x 的次梯度。
)(x f 在x 的次梯度的全体称为)(x f 在x 的次微分，用)(x f ∂表示。
如果)(x f ∂Φ≠，则称)(x f 在x 是次可微的。
3. 定义2.1 设)(x f 是nR 上的正常凸函数，则称dom )(x f ∂={}Φ≠∂)(|x f x 为次微分映射)(x f ∂的有效定义域，而称{}n R x x f f rang ∈∂=∂|)( 为)(x f ∂的值域。
4. 定义3.1 设)(x f 是nR 到[]+∞∞-,的实值函数，x 是)(x f 有限的点。
如果存在唯一的向量*x ，满足)(,)()(*x z o x z x x f z f -+>-<+=，则称)(x f 在x 可微，*x 称为)(x f 在x 的梯度，用)(x f ∇表示。
5. 定义2.1（189P ） 设)(x f 是nR 上的正常凸函数，则称{}Φ≠∂=∂)(|x f x f dom 为次微分映射f ∂的有效定义域，而称{}nR x x f f rang ∈∂⋃=∂|)(为f ∂的值域.6. 定义3.1（197P ） 设)(x f 是nR 到[]+∞∞-,的实值函数，x 是)(x f 有限的点。
如果存在唯一的向量*x ，满足|)(|*,)()(x z o x z x x f z f -+-+=，则称)(x f 在x 可微，*x 称为)(x f 在x 的梯度，用)(x f ∇表示.7. 定理1.1 设)(x f 是nR 上的正常凸函数，domf x ∈0，则对n R y ∈∀，):(0,y x f 存在。
数学中的凸优化与凸分析
数学中的凸优化与凸分析凸优化和凸分析是数学中重要的分支领域，它们在诸多应用领域都有着广泛的应用。
本文将介绍凸优化和凸分析的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、凸集与凸函数在进一步探讨凸优化和凸分析之前，我们先来了解一些基本概念。
首先是凸集和凸函数。
1. 凸集凸集是指集合中任意两点的连线上的点都属于该集合。
具体地，对于任意$x, y$属于集合$C$和$0\leq\lambda\leq 1$，满足$\lambda x+(1-\lambda)y$也属于$C$，则$C$是一个凸集。
2. 凸函数凸函数是定义在凸集上的实值函数，满足对于集合内的任意$x,y$和$0\leq\lambda\leq 1$，有$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambdaf(x)+(1-\lambda)f(y)$。
简单来说，凸函数的任意两点的连线上的函数值都不超过连线两端的函数值。
二、凸优化凸优化是指优化问题的目标函数是凸函数，约束条件是凸集的优化问题。
凸优化问题有着许多重要的性质和算法。
1. 凸优化问题的一般形式凸优化问题的一般形式可以表示为：$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &f(x)\\\text{subject to}\quad &x\in C\end{align*}$$其中，$f(x)$是凸函数，$C$是凸集。
2. 凸优化问题的性质凸优化问题具有以下性质：（1）全局最优解是局部最优解。
这意味着在凸优化问题中，存在一个全局最优解，同时该最优解也是局部最优解。
（2）凸优化问题无局部最优解和全局最优解之间的鞍点。
凸优化问题不存在鞍点，因此可以通过寻找局部最优解来获得全局最优解。
3. 典型凸优化问题凸优化问题在实践中有着广泛的应用，以下是一些典型的凸优化问题：（1）线性规划问题（Linear Programming，简称LP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &c^Tx\\\text{subject to}\quad &Ax\leq b\\&x\geq 0\end{align*}$$（2）二次规划问题（Quadratic Programming，简称QP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\frac{1}{2}x^TPx+q^Tx+r\\\text{subject to}\quad &Gx\leq h\\&Ax=b\end{align*}$$（3）半正定规划问题（Semidefinite Programming，简称SDP）$$\begin{align*}\text{minimize}\quad &\langle C,X\rangle\\\text{subject to}\quad &\langle A_i,X\rangle=b_i,\quad i=1,\ldots,m\\&X\succeq 0\end{align*}$$三、凸分析凸分析是研究凸集和凸函数性质的数学分支，它主要研究凸集的性质以及凸函数的导数和二阶导数。
凸分析与优化范文
凸分析与优化范文凸分析是数学的一个分支，主要研究凸函数和凸集合的性质、性质、性质、性质、性质，以及优化问题的求解方法。
它有广泛的应用，包括经济学、工程学、计算机科学等领域。
凸函数在凸分析中起着核心的作用。
一个函数f(x) 在定义域D上是凸函数，当且仅当对于任意的x1, x2∈D和0≤t≤1，都有 f(tx1+(1-t)x2) ≤ tf(x1)+(1-t)f(x2)。
也就是说，凸函数的曲线上的两点之间的线段始终位于曲线的上方。
对凸函数进行研究，可以得到一系列重要的性质。
其中一些性质如下：凸函数的导函数是递增的，所以凸函数的曲线上的任意两点之间的斜率不减；凸函数的局部极小值也是全局极小值，所以可以通过寻找局部极小值来找到全局极小值；凸函数的极小化问题具有唯一最优解等等。
这些性质对于优化问题的求解和设计有重要意义。
凸集合是凸分析的另一个重要概念。
一个集合S称为凸集合，当且仅当对于任意的x1, x2∈S和0≤t≤1，有tx1+(1-t)x2∈S。
也就是说，凸集合中的任意两点之间的线段始终在集合内部。
凸集合具有许多重要性质，比如凸集合的交、并、凸组合仍然是凸集合；凸集合的闭包是凸集合；凸集合的内部、边界、闭包也都是凸集合等等。
基于凸函数和凸集合的性质，可以引出优化问题的定义。
给定一个凸函数f(x)和一个凸集合S，求解优化问题：min f(x)x∈S这个问题的目标是找到在凸集合S上使得函数f(x)取得最小值的点x*。
优化问题的求解可以通过不同的算法来实现，比如梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法等等。
凸优化是研究凸函数和凸集合相关问题的一个分支。
它主要研究如何高效地求解凸优化问题，从而得到最优解。
凸优化问题具有许多重要的特点，比如凸优化问题的局部最优解也是全局最优解，凸优化问题具有唯一最优解等等。
因此，凸优化问题的求解方法能够保证得到最优解，并且具有较高的效率和可靠性。
凸分析与优化在实际应用中有着广泛的应用。
在经济学中，凸优化被用于求解生产、消费等经济模型中的最优决策问题；在工程学中，凸优化被用于信号处理、图像处理、机器学习等领域中的模型训练和参数优化问题；在计算机科学中，凸优化被用于求解网络流、图像分割等问题。
最优化理论与算法(二)凸分析
• 多面集 {x|Ax0}也是凸锥，称为多面锥。
约定: 非空集合S生成的凸锥,是指可以表示成S中有限 个元素的非负线性组合(称为凸锥组合)的所有点所构成 的集合,记为coneS. 若S凸,则
coneS=K(S) ∪{0}
2013-11-10 9
2. 凸集与凸函数
Df 2.5 非空凸集中的点 x 称为极点,若 x=x1+(1-)x2 , (0,1) , x1 ,x2 S, 则 x=x1=x2.换言之,x不能表示成S中两个 不同点的凸组合. x1 x S x5 x x4
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2. 凸集与凸函数
Df 2.2 给定m个向量, x1 ,..., x m R n ,以及满足 i 1的
i 1 m
非负实数 i R, i 1,.., m, 称向量1 x1 ... m x m 为 {x1 , ..., x m }的凸组合.
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2. 凸集与凸函数
例2. 集合S {(x1 , x 2 ) x 2 | x1 | 4 凡是与向量(0,1)T 夹角 45的向量 都是它的方向。 T， 1,1)T 是其仅 (1,1) ( 有的两个极方向
Th2. 若多面体P的极点(极方向)存在的话,则极点 3 (极方向)的数目一定有限.
(2)函数f在开集intS内是连续的. (3)函数f的水平集L(f,)={x|x ∈ S,f(x) ≤}, ∈ R
凸分析与优化范文
凸分析与优化范文在凸分析与优化中，凸集和凸函数是两个核心概念。
凸集是指对于集合中的任意两个点，它们之间的线段也属于这个集合。
凸函数是指函数在定义域上的任意两个点之间的线段上的函数值都不大于这两个点对应的函数值之和。
凸集和凸函数具有许多重要的性质和特征，这些性质和特征成为凸分析的基础。
凸优化是凸分析与优化中的一个重要研究方向，它主要研究凸集上的凸函数的最小化问题。
凸优化问题是指在给定的凸集上寻找一个凸函数的最小值。
凸优化问题具有良好的性质，往往可以通过有效的算法在有限时间内求解。
凸优化问题的经典例子包括线性规划、二次规划、半正定规划等。
凸分析与优化在实际问题中的应用非常广泛。
在经济学中，凸分析与优化常用于研究消费者行为、生产函数、市场均衡等问题。
在工程学中，凸分析与优化常用于研究最优控制、系统优化、信号处理等问题。
在计算机科学中，凸分析与优化常用于研究机器学习、图像处理、数据挖掘等问题。
在运筹学中，凸分析与优化常用于研究调度问题、网络流问题、组合优化问题等。
凸分析与优化的研究方法主要包括对凸集和凸函数的性质和特征进行研究，以及对凸优化问题的算法和理论进行研究。
在对凸集和凸函数的性质和特征的研究中，常用的方法包括对凸函数的导数、二阶导数进行分析，研究凸集和凸函数的单调性、凸性等性质。
在对凸优化问题的算法和理论的研究中，常用的方法包括利用凸性、对偶性等性质设计求解算法，研究凸优化问题的最优解的存在性、唯一性等理论性质。
总之，凸分析与优化是数学中的一个重要分支，它研究凸集、凸函数、凸优化以及相关的理论和方法。
凸分析与优化在实际问题的建模、分析和求解中有着广泛的应用，涉及到经济学、工程学、计算机科学、运筹学等各个领域。
凸分析与优化的研究方法主要包括对凸集和凸函数的性质和特征进行研究，以及对凸优化问题的算法和理论进行研究。
凸集投影定理
凸集投影定理凸集投影定理是凸分析中的重要定理之一，它描述了凸集在向量空间中的投影性质。
凸集投影定理的形式和内容十分丰富，它在优化理论、经济学、几何学等领域都有广泛的应用。
本文将从基本概念、定理陈述、证明思路和应用等方面来介绍凸集投影定理。
一、基本概念在介绍凸集投影定理之前，我们先来了解一些基本概念。
在向量空间中，凸集是指任意两点之间的连线上的所有点都属于该集合。
简单来说，凸集就是“凸起来”的集合，它没有凹陷的部分。
凸集具有许多重要的性质，其中之一就是凸集的投影。
二、定理陈述凸集投影定理可以用如下的方式陈述：给定一个凸集C和一个点x，那么存在唯一一个C中的点y，使得x和y的距离最小。
换句话说，对于任意一个点x，都存在一个点y属于C，使得x和y之间的距离最小。
这个点y就是x在凸集C上的投影。
三、证明思路凸集投影定理的证明思路可以分为两步：首先证明存在性，即证明对于任意一个点x，都存在一个点y属于C，使得x和y之间的距离最小；然后证明唯一性，即证明这个点y是唯一的，不存在其他的点与x的距离更小。
为了证明存在性，我们可以假设存在两个点y1和y2都是x在凸集C上的投影。
假设y1和y2不相等，那么根据凸集的定义，对于y1和y2之间的任意一点z，z也应该是x的投影之一。
但是根据凸集投影定理的假设，存在唯一的投影点，所以假设不成立，即y1和y2相等。
接下来我们来证明唯一性。
假设存在一个点z是x在C上的投影，且与y不相等。
那么根据凸集的定义，z和y之间的连线上的所有点都应该属于C。
但是根据凸集投影定理的假设，y是唯一的投影点，所以假设不成立，即z和y相等。
我们证明了凸集投影定理的存在性和唯一性。
四、应用凸集投影定理在实际问题中有广泛的应用。
例如，在优化问题中，我们常常需要将一个点投影到一个凸集上，以满足一些约束条件；在经济学中，凸集投影定理可以用来描述市场需求与供给之间的关系，帮助分析市场均衡价格；在几何学中，凸集投影定理可以用来求解点到线段、线段到线段等几何之间的最短距离。
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注意在我们的定义中，定义域 C 为凸集是函数 f : C → 现在我们介绍凸函数的几种拓展定义. 函数 f : C →
先决条件. 因此当称某函数为凸函数时， 通常默认其定义域为凸集. 函数 (strictly convex)， 如果其满足式 (1.1) 且不等式处处被严格满足， 即 式 (1.1) 对所有满足 x = y 的向量 x, y ∈ C 及所有 α ∈ (0, 1) 都取不等号. 函数 f : C → 件是 C 为凸集. 一个凸函数的典型例子是仿射函数 (affine function)，这类函数形如 f (x) = a x + b，其中 a ∈
n n
使得(x, w) ∈ epi(f ) ,
(自变量 x 的空间) 上的投影. 如果把 f 的定义
域限制为其有效定义域，函数的上图不变. 类似地，如果扩展 f 的定义域到 并对任意 x ∈ / X 定义函数值为 f (x) = ∞，新函数的上图和有效定义域 亦不变.
图 1.1.4 扩充实值的凸函数和非凸函数， 及其分别的上图和有效定义域.
1.1
凸集与凸函数
本章将介绍凸集合与凸函数相关的基本概念，这些内容将贯穿本书所 有的后续章节. 附录 A 列举了本书将用到的线性代数和实分析的定义、符 号和性质. 首先我们给出凸集合的定义如下 (见图 1.1.1). 定义 1.1.1
n
的子集 C 被称为凸集， 如果其满足 ∀ x, y ∈ C, ∀ α ∈ [0, 1]
n
0, j = 1 , · · · , r },
中的一组向量. 线性代数中介绍的子空间则是多面体
锥的一种特例， 同时多面体锥则是多面体的一种特例.
1.1.1
凸函数
现在我们给出实值凸函数的定义 (见图 1.1.3). 定义 1.1.2 令 C 为
n
的凸集， 则称函数 f : C →
为凸函数 (convex
n
b}，
其中 a 为非零向量而 b 为标量. 易验证超平面和半空间都是凸闭集. 多面体
其中 a1 , · · · , ar 和 b1 , · · · , br 分别为
中的一组向量和一组标量. 作为有
限个半空间的交集， 多面体也是凸闭集 [见命题 1.1.1(a)]. 称集合 C 为 锥体 (cone) 如果对所有 x ∈ C 和常数 λ > 0 都满足 λx ∈ C . 通常锥体并不一定是凸集，也不一定包含原点，但任何非空锥体的 闭包必然包含原点 (见图 1.1.2). 多面体锥 (polyhedral cone) 是可写作如 下形式的集合 C = {x | aj x 其中 a1 , · · · , ar 为
n
空间上 (而
非仅仅定义在某一凸子集上) 并且处处取有限实值， 因为从数学的角度讲这 类函数更简单. 然而在很多优化问题和对偶问题的实际情况中， 某些操作常 使对象函数取到无限值， 从而失去良好的性质. 例如下列函数 f (x) = sup fi (x),
i∈I
其中 I 为一个无限序数集合，即使 fi 都是实函数，f 仍可能在某些点取 值 ∞；另一例子则为，实函数的共轭函数常常会在某些点取到无限值 (见 1.6 节). 此外，我们还会遇到一些凸函数 f 仅仅定义在某凸子集上，却无法 将其拓展为全空间上的实凸函数 [例如，函数 f : (0, ∞) → 的做法是把定义域拓展到整个 概念，即定义在全空间
2
凸优化理论
图 1.1.1
凸集的定义. 凸集中任意两点的连线线段都包含在集合内部，因此
左图中的集合是凸集， 而右图中的不是.
(b) 任意两个凸集 C1 与 C2 的向量和 C1 + C2 是凸集. (c) 对任意凸集 C 和标量 λ，集合 λC 是凸集. 另外，如 λ1 , λ2 为正标 量， 则以下集合是凸的， (λ1 + λ2 )C = λ1 C + λ2 C. (d) 凸集的闭包 (closure) 与内点集 (interior) 是凸集. (e) 凸集在仿射函数下的象和原象是凸集. 证明 证明的思路是直接利用凸集的定义. 在 (a) 中，我们在交集 ∩i∈I Ci 中任取两点 x， y . 由于每个 Ci 都是凸集， x 和 y 间的线段被每个 Ci 所包含, 因而也属于它们的交集. 类似地在 (b) 中， 任取 C1 + C2 中的两点， 可以用 x1 + x2 和 y1 + y2 表 示， 其中 x1 , y1 ∈ C1 且 x2 , y2 ∈ C2 . 对任意 α ∈ [0, 1] 有如下关系 α(x1 + x2 ) + (1 − α)(y1 + y2 ) = αx1 + (1 − α)y1 + αx2 + (1 − α)y2 . 由于 C1 和 C2 分别是凸集， 上式右侧中两个小括号代表的向量分别属于 C1 和 C2 ， 而它们的向量和属于 C1 + C2 . 因此根据定义 C1 + C2 是凸集. 对 (c) 的证明留给读者作为练习. 对 (e) 可用类似 (b) 的方法来证明. 为证明 (d)，考虑某凸集合 C ，以及 C 的闭包中任取的两点 x 与 y . 根 据闭包的性质可得，在 C 中存在序列 {xk } ⊂ C 和 {yk } ⊂ C 分别收敛
n
被称为凹的 (concave) 如果 (−f ) 为凸函数，注意先决条
而b∈
；其凸性可用凸函数的定义直接验证.
n
另一个典型例子是范数函数 · . 对任意 x, y ∈
及 α ∈ [0, 1]，通过三角
第1 章
凸分析的基本概念
5
形不等式我们可得到 αx + (1 − α)y 因此 · 是凸函数. 为任一函数，而 γ 为标量，则集合 {x ∈ C | f (x) γ} αx + (1 − α)y = α x + (1 − α) y ,
有两种特殊情况我们必须首先排除在外，即当 f 处处为 ∞ 的情况 [当且仅当 epi(f ) 为空]，以及当函数在某些点取值 −∞ 的情况 [当且仅当 epi(f ) 包含竖直直线]. 如果存在 x ∈ X 使得 f (x) < ∞ 且对任意 x ∈ X 满 足 f (x) > −∞， 我们称 f 为真的 (proper)， 反之我们则称函数 f 为非真的 (improper). 简而言之，函数 f 为真当且仅当其上图为非空且不包含任何 竖直直线. 我们试图为扩充实值函数定义凸性， 传统对实凸函数的定义方法会遇到 这样的困难， 若 f 既能取值 −∞ 也能取值 ∞， 则插值项 αf (x) + (1 − α)f (y ) 变成了不可求和的 −∞ + ∞ (该情况仅在 f 非真时发生， 但是这种函数却在 证明和其他分析中常常出现，因此我们并不希望事先排除它们的存在)，引 入上图的概念恰可有效地回避这个难题， 其引申出的凸函数定义如下.
4
凸优化理论
图 1.1.2 凸锥体和非凸锥体. 图 (a) 和 (b) 中的锥体是凸集， 而 (c) 中的锥体 由两条过原点的直线组成，是非凸的. 图 (a) 中的锥体是多面体. 图 (b) 中的 锥体不包含原点.
图 1.1.3
凸函数 f : C →
的定义. 任意两个函数点的线性插值 αf (x) +
(1 − α)f (y ) 大于或等于实际的函数值 f αx + (1 − α)y ，其中 α 可在 [0, 1] 中任意取值.
function) 如果 f αx + (1 − α)y αf (x) + (1 − α)f (y ), ∀ x, y ∈ C, ∀ α ∈ [0, 1] (1.1) 为凸函数的 被称为严格凸
αx + (1 − α)y ∈ C,
依惯例我们认为空集是凸的. 通常根据问题的背景，我们可容易地判 定某特定凸集是否为非空. 然而多数情况下，我们会尽量说明集合是否为非 空， 从而降低模糊性. 命题 1.1.1 给出了一些保持集合凸性不变的集合变换. 命题 1.1.1 (a) 任意多个凸集 {Ci | i ∈ I } 的交集 ∩i∈I Ci 是凸集.
n n
可定义为
f (x) = 1/x 便无法拓展]. 在这种情况下，相对于把 f 局限在 C 上，更方便 空间并允许 f 在某些点取值无限. 基于上述原因，我们将引入扩充实值 (extended real-valued)函数的 上且可在一些点上取值 −∞ 或 ∞ 的函数. 为了 刻画这样的函数， 我们先来介绍上图 (epigraph) 的概念.
第1 章
凸分析的基本概念
3
到 x 与 y ，即 xk → x 且 yk → y . 对任意 α ∈ [0, 1]，我们构造一收敛到 αx + (1 − α)y 的序列 αxk + (1 − α)yk ， 由于 C 是凸集， 则该序列被包含 在 C 内. 我们可得到 αx + (1 − α)y 属于 C 的闭包，因此凸集 C 的闭包也 是凸集. 类似地， 在 C 的内点集中任取两点 x 与 y 并构造分别以 x， y 为中 心且半径 r 足够小的开球， 使得它们都被包含在 C 内. 对任意 α ∈ [0, 1]， 构 造以 αx + (1 − α)y 为中心 r 为半径的开球. 则该球内的任意点都可表示为 C 中向量 x + z 和 y + z 的凸组合 α(x + z ) + (1 − α)(y + z )， 其中 z < r. 因此该开球属于 C ，即凸组合 α(x + z ) + (1 − α)(y + z ) 属于 C 的内点集. 因此集合 C 的内点都可表示为内点的凸组合 αx + (1 − α)y ， 即 C 的内点集 是凸集. 几个特殊的凸集 我们现在来介绍常用的特殊凸集. 超平面 (hyperplane)是由一个线性 等式定义的集合，形式为 {x | a x = b}，其中 a 为非零向量而 b 为标量. 半 空间 (half space) 是由一个线性不等式定义的集合，可写为 {x | a x (polyhedral) 是有限个半空间的非空交集， 可写为如下形式 {x | aj x bj , j = 1, · · · , r},