数学高二导学案解析
人教版高中数学必修二精讲练导学案7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义(解析版)
7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义导学案编写:XXX 初审:XXX 终审:XXX 廖云波【学习目标】1.利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题2.注意多种解题方法的灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法【自主学习】知识点1 复数的三角形式的运算设z 1＝r 1( cos θ1＋isin θ1),z 2＝r 2( cos θ2＋isin θ2),则( 1)乘法:z 1·z 2＝r 1r 2[cos( θ1＋θ2)＋isin( θ1＋θ2)],这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和．( 2)除法:z 1÷z 2＝z 1z 2＝r 1r 2[cos( θ1－θ2)＋isin( θ1－θ2)]( 其中z 2≠0),这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． ( 3)乘方:z n ＝r n ( cos nθ＋isin nθ)．( 4)开方:n z ＝nr ( cos θ＋2k πn ＋isin θ＋2k πn )( k ＝0,1,2,…,n －1)．知识点2 复数三角形式乘、除运算的几何意义两个复数z 1,z 2相乘时,可以像图中所示那样,先分别画出与z 1,z 2对应的向量OZ1→,OZ2→,然后把向量OZ1→绕点O 按逆时针方向旋转一个角θ2( 如果θ2<0,就要把OZ1→按顺时针方向旋转一个角|θ2|),再把它的模变为原来的r 2倍,得到向量OZ →,OZ →表示的复数就是积z 1z 2.这就是复数乘法的几何意义．z 2≠0,z 1z 2的几何意义是把z 的对应向量OZ1→按顺时针方向旋转一个角θ2( 如果θ2<0,就要把OZ1→按逆时针方向旋转一个角|θ2|),再把它的模变为原来的1r 2倍,所得的向量即表示商z 1z 2.【合作探究】探究一 复数的三角形式的乘、除运算 【例1】2( cos π12＋isin π12)·3( cos π6＋isin π6)．[解]2( cos π12＋isin π12)·3( cos π6＋isin π6)＝2·3[cos(π12＋π6)＋isin( π12＋π6)] ＝6( cos π4＋isin π4)＝6( 22＋22i)＝3＋3i.归纳总结:r 1( cos θ1＋isin θ1( ·r 2( cos θ2＋isin θ2( ＝r 1r 2[cos ( θ1＋θ2( ＋isin ( θ1＋θ2( ]计算,简便得多.这就是复数的三角形式乘法运算公式.【练习1】设复数z ＝cos θ＋isin θ,θ∈( π,2π),求复数z 2＋z 的模和辐角． 解:z 2＋z ＝( cos θ＋isin θ)2＋cos θ＋isin θ ＝cos2θ＋isin2θ＋cos θ＋isin θ ＝( cos2θ＋cos θ)＋i( sin2θ＋sin θ) ＝2cos 3θ2cos θ2＋i( 2sin 3θ2cos θ2)＝2cos θ2( cos 32θ＋isin 32θ)＝－2cos θ2⨯⎣⎡⎦⎤cos (－π＋32θ)＋isin (－π＋32θ).∵θ∈( π,2π),∴θ2∈( π2,π),∴－2cos θ2>0,所以复数z 2＋z 的模为－2cos θ2,辐角为( 2k －1)π＋3θ2( k ∈Z )．探究二 复数的乘、除运算的几何意义【例2】向量OZ →与－1＋i 对应,把OZ →按逆时针方向旋转120°,得到OZ ′→,求与向量OZ ′→对应的复数[解] 将向量OZ →逆时针方向旋转120°,得到OZ ′→,由于模未发生变化,应当是OZ →对应复数乘以1·( cos120°＋isin120°),即z ′＝( －1＋i)( cos120°＋isin120°)＝2( cos135°＋isin135°)( cos120°＋isin120°)＝2( cos255°＋isin255°)＝1－32－1＋32i.归纳总结:利用复数乘、除法的几何意义来解决三角形中角的大小问题,十分方便【练习2】如图,已知平面内并列的三个相等的正方形,利用复数证明∠1＋∠2＋∠3＝π2.证明:∈1,∈2,∈3分别等于复数1＋i,2＋i,3＋i 的辐角主值,这样∈1＋∈2＋∈3就是( 1＋i)( 2＋i)( 3＋i)＝10i 的辐角,∈1,∈2,∈3都是锐角,所以∈1＋∈2＋∈3＝π2.课后作业A 组 基础题一、选择题1．复数( sin10°＋icos10°)3的三角形式为( )A ．sin30°＋icos30°B ．cos240°＋isin240°C ．cos30°＋isin30°D ．sin240°＋icos240°【正确答案】B2．若z ＝cos θ－isin θ,则使z 2＝－1的θ值可能是( )A ．0 B.π2 C ．π D ．2π【正确答案】B详细解析:∈z ＝cos θ－isin θ＝cos( －θ)＋isin( －θ), ∈z 2＝z ·z ＝cos( －2θ)＋isin( －2θ)＝cos2θ－isin2θ＝－1,∈⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝－1，－sin2θ＝0∈θ＝π2.3．4( cos60°＋isin60°)×3( cos150°＋isin150°)＝( )A ．63＋6iB ．63－6iC ．－63＋6iD ．－63－6i【正确答案】D详细解析:4( cos60°＋isin60°)×3( cos150°＋isin150°)＝12[cos( 60°＋150°)＋isin( 60°＋150°)]＝12( cos210°＋isin210°)＝12⎝⎛⎭⎫－32－12i ＝－63－6i.故选D. 4．复数z 1＝1,z 2是由z 1绕原点O 逆时针方向旋转π6而得到,则arg( z 2－z 12)的值为( )A.π12 B.π3 C.5π12D.7π12【正确答案】D5．( 多选)设z 1、z 2是复数,arg z 1＝α,arg z 2＝β,则arg( z 1·z 2)有可能是下列情况中的( )A ．α＋βB ．α＋β－2πC ．2π－( α＋β)D ．π＋α＋β【正确答案】ABC详细解析:因为arg z 1＝α,arg z 2＝β,所以α∈[0,2π),β∈[0,2π),而arg( z 1·z 2)∈[0,2π),则当α＋β∈[0,2π)时,arg( z 1·z 2)＝α＋β;当α＋β∈[2π,4π)时,α＋β－2π∈[0,2π),则arg( z 1·z 2)＝α＋β－2π;当α＋β＝π时,2π－( α＋β)＝π＝α＋β,此时arg( z 1·z 2)＝α＋β＝2π－( α＋β),故选ABC. 二、填空题6．复数－i 的一个立方根是i,它的另外两个立方根是 . 【正确答案】－32－12i,32－12i 详细解析:∵－i ＝cos 3π2＋isin 3π2,其立方根是cos 2k π＋3π23＋isin 2k π＋3π23,k ∈0,1,2,即i,－32－12i,32－12i. 三、参考解答题7．计算:4( cos 4π3＋isin 4π3)÷2( cos 5π6＋isin 5π6)．解:原式＝2[cos(4π3－5π6)＋isin( 4π3－5π6)] ＝2( cos π2＋isin π2)＝2i.8．把复数z 1与z 2对应的向量OA →,OB →分别按逆时针方向旋转π4和5π3后,重合于向量OM →且模相等,已知z 2＝－1－3i,求复数z 1的代数形式和它的辐角主值． 解:由复数乘法的几何意义得 z 1( cos π4＋isin π4)＝z 2( cos 5π3＋isin 5π3),又z 2＝－1－3i ＝2( cos 4π3＋isin 4π3),∴z 1＝2(cos 4π3＋isin 4π3)·(cos 5π3＋isin 5π3)cos π4＋isin π4＝2[cos( 3π－π4)＋isin( 3π－π4)]＝－2＋2i,z 1的辐角主值为3π4.9．计算:3( cos π6＋isin π6)·4( cos π12＋isin π12)．解:原式＝43[cos( π6＋π12)＋isin( π6＋π12)]＝43( cos π4＋isin π4)＝26＋26i.10．若z ＝3( cos π6＋isin π6),求z 2与z 3的值．解:z 2＝z ·z ＝( 3)2[cos( π6＋π6)＋isin( π6＋π6)]＝3( cos π3＋isin π3)＝32＋332i.z 3＝z ·z ·z ＝( 3)3[cos( π6×3)＋isin( π6×3)]＝33( cos π2＋isin π2)＝33i.11．在复平面上A ,B 表示复数为α,β( α≠0),且β＝( 1＋i)α,判断△AOB 形状, 并证明S △AOB ＝12|α|2.解:∈AOB 为等腰直角三角形． 证明:∵α≠0,∴β＝( 1＋i)α,∴βα＝1＋i ＝2( cos π4＋isin π4),∴∠AOB ＝π4; ∵OA →,AB →分别表示复数α,β－α,由β－α＝αi,得β－αα＝i ＝cos π2＋isin π2,∴∠OAB ＝90°,∴△AOB 为等腰直角三角形． ∴S △AOB ＝12|OA |2＝12|α|2.12．设复数z 1＝3＋i,复数z 2满足|z 2|＝2,已知z 1·z 22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z 2∈( 0,π),求z 2的代数形式．解:因为z 1＝2( cos π6＋isin π6),设z 2＝2( cos α＋isin α),α∈( 0,π),所以z 1z 22＝8[cos( 2α＋π6)＋isin( 2α＋π6)]．由题设知2α＋π6＝2k π＋3π2( k ∈Z ),所以α＝k π＋2π3( k ∈Z ),又α∈( 0,π),所以α＝2π3,所以z 2＝2( cos 2π3＋isin 2π3)＝－1＋3i.B 组 能力提升一、选择题1．复数z ＝sin π6－icos π6,若z n ＝Z ( n ∈N ),则n 的最小值是( )A ．1B ．3C ．5D ．7【正确答案】C详细解析:因为z ＝sin π6－icos π6＝cos 5π3＋isin 5π3,所以z n ＝cos 5n 3π＋isin 5n 3π,Z ＝cos 5π3－isin 5π3＝cos π3＋isin π3.因为z n ＝Z ,所以5n 3π＝π3＋2k π,n ＝6k ＋15,因为n ∈N ,k ∈Z ,所以当k ＝4时,n ＝5. 2.设复数z 1＝2sin θ＋icos θ( π4<θ<π2)在复平面上对应向量OZ 1→,将OZ 1→按顺时针方向旋转3π4后得到向量OZ 2→,OZ 2→对应复数z 2＝r ( cos φ＋isin φ),则tan φ＝( )A.2tan θ＋12tan θ－1B.2tan θ－12tan θ＋1C.12tan θ＋1D.12tan θ－1 【正确答案】A 二、填空题3．( 1－3i)7详细解析:( 1－3i)7＝⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫cos 5π3＋isin 5π37 ＝27⎝⎛⎭⎫cos 35π3＋isin 35π3 ＝128⎝⎛⎭⎫12－32i ＝64－643i.三、参考解答题4．若z ∈C ,|z －2|≤1,求|z |的最大值,最小值和arg z 范围．解:如图,由|z －2|≤1,知z 的轨迹为复平面上以( 2,0)为圆心,1为半径的圆面( 包括圆周),|z |表示圆面上任一点到原点的距离．显然1≤|z |≤3,∈|z |max ＝3,|z |min ＝1,另设圆的两条切线为OA ,OB ,A ,B 为切点,由|CA |＝1,|OC |＝2知∈AOC ＝∈BOC ＝π6,∈arg z ∈[0,π6]∈[116π,2π)．5．已知复数z 1＝－2＋i 对应的点为P 1,z 2＝－3＋4i 对应的点为P 2,把向量P 1P 2→绕P 1点按顺时针方向旋转π2后,得到向量P 1P →,求向量P 1P →和点P 对应的复数分别是什么? 解:由题意知向量P 1P 2→对应的复数是z 2－z 1＝( －3＋4i)－( －2＋i)＝－1＋3i.再由复数乘法的几何意义得,向量P 1P →对应的复数是( －1＋3i)·⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋isin ⎝⎛⎭⎫－π2＝3＋i,最后由复数加法的几何意义得,向量OP →＝OP 1→＋P 1P →,其对应的复数是( －2＋i)＋( 3＋i)＝1＋2i,故点P 对应的复数为1＋2i.6．已知z ＝－1＋i i －2i,z 1－z ·z 2＝0,arg z 2＝7π12,若z 1,z 2在复平面上分别对应点A ,B ,且|AB |＝2,求z 1的立方根．解:由题设知z ＝1－i,因为|AB |＝2,即|z 1－z 2|＝2,所以|z 1－z 2|＝|z z 2－z 2|＝|( 1＋i)z 2－z 2|＝|i z 2|＝|z 2|＝2,又arg z 2＝7π12, 所以z 2＝2( cos 7π12＋isin 7π12),z 1＝z z 2＝( 1＋i)z 2 ＝2( cos π4＋isin π4)·2( cos 7π12＋isin 7π12) ＝2( cos 5π6＋isin 5π6),所以z 1的立方根为32[cos 5π6＋2k π3＋isin 5π6＋2k π3],k ＝0,1,2, 即32( cos 5π18＋isin 5π18),32( cos 17π18＋isin 17π18), 32( cos 29π18＋isin 29π18)．。
高二数学导学案-等比数列
高二数学导学案 ——等比数列§§2.4等比数列（2）【自研课导学】预习课（预时40分钟）自读自研必修5课本第48到54页的所有内容，并在 31分钟内完成自研任务： 达成目标：1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法. 重点：等比数列的性质难点：灵活应用等比数列的性质【展示课导学】 一、复习引入复习1：等比数列的通项公式n a = = 公比q 满足的条件是复习2：等差数列有何性质？二、预习检测1.已知各项均为正的等比数列｛n a ｝中，()16lg 1383=a a a ，则的值为_______2.已知｛n a ｝是等比数列，且n a >0,252645342=++a a a a a a ,那么53a a +的值等于____________3.在等比数列中，若162,262==a a ，则=10a __________二、新课导学探究任务：1.在等比数列{n a }中，2537a a a =是否成立呢？2.211(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？3.2(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？ 新知：等比数列的性质在等比数列中，若m +n =p +q ，则m n p k a a a a =. 特别地，若q p a a a q p m =+=2,2则试试：在等比数列{}n a ，已知19105,100a a a ==，那么18a = .三、知识应用知识应用一：等比数性质的应用例1（B ）在等比数列{n a }中，已知51274-=a a ，且38124a a +=，公比为整数，求10a .变式练习：1.在等比数列{n a }中，已知5127=a a ，则=111098a a a a .2. 一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）.A. 三边之比为3：4：5B. 三边之比为1 3C.D.3. 在7和56之间插入a 、b ，使7、a 、b 、56成等比数列，若插入c 、d ，使7、c 、d 、56成等差数列，求a ＋b ＋c ＋d 的值..知识应用二：利用等比数列的巧妙设数例2.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
2013-2014学年高二数学1-1导学案：3.1.2导数概念
4、如图，函数 的图象在点Ｐ处的切线方程是 ， ______，
【合作探究】
例题１．已知 = +2.
（1）求 在x=1处的导数。
（2）求 在x=a处的导数。
变式１ 求下列函数在已知点处的导数：
（１） 在 处的导数；（２） 在 处的导数；
3.已知曲线 在点M处的切线与x轴平行，则点ห้องสมุดไป่ตู้的坐标是
4.过点P（－1，2），且与曲线 在点M（1，1）处的切线垂直的直线方程是
5.根据函数 图象，估计 ．
6.已知抛物线 过点（1，1），且在点（2，—1）处与直线 相切，求a、b、c的值。
课题：3.1.2导数的概念
姓名_____________班级日期：
【学习任务】
1．了解导数的概念．
2．掌握用导数的定义求导数的一般方法．
3．在了解导数与几何意义的基础上，加深对导数概念的理解．
【课前预习】
1、函数 在 时的导数为，在 时的导数为
2、导数的物理意义是指如果物体运动的规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度即为v(t)=
3.设 若 =2，则a=.
4.若 =__________
5已知曲线 在点x0处的切线互相平行，则x0=
６过点P（—1，2），且与曲线 在点M（1，1）处的切线平行的直线方程。
3.1.2导数的概念课后巩固姓名________
1.质点运动方程为 （位移单位： ，时间单位： ）则当 时速度分别为，
2求曲线 在点 处的切线的斜率
（３） 在 处的导数．
例题２ 已知曲线 上一点 ．求：（1）点P处的切线的斜率；（2）点P处的切线方程．
人教新课标版数学高二高二数学新人教版选修2-1导学案 椭圆的简单几何性质(一)
椭圆的简单几何性质(一)导学案【学习要求】1．理解椭圆的简单几何性质.2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.【学法指导】通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世界观.【知识要点】1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝，长轴长＝焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：对称中心：离心率e＝ca∈准线2．离心率的作用当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆离心率越，则椭圆越接近于圆.【问题探究】探究点一 椭圆的简单几何性质问题1 观察椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？问题2 如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？问题3 观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？问题4 （1）b a 或c b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ （2）你能运用三角函数的知识解释：为什么e ＝c a 越大，椭圆越扁？e ＝c a越小，椭圆越圆吗？问题5 比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？（1）4x 2＋9y 2＝36与x 225＋y 220＝1； （2）9x 2＋4y 2＝36与x 212＋y 216＝1.例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 跟踪训练1 已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.探究点二 由椭圆的几何性质求方程例2 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程. 跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）长轴在x 轴上，长轴的长等于12，离心率等于23； （2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4).探究点三 求椭圆的离心率例3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率.跟踪训练3 如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为 ( )A ．－1＋52B ．5－1C ．2＋12D ．2＋1【当堂检测】1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )A ．5、3、0.8B ．10、6、0.8C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6 2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是 ( )A ．x 2144＋y 2128＝1 B ．x 236＋y 220＝1 C ．x 232＋y 236＝1 D ．x 236＋y 232＝1 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )A ．45B ．35C ．25D ．154．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为______.【课堂小结】1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a 、b .2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.3．求离心率e 时，注意方程思想的运用.【拓展提高】1．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 24＝1C ．x 216＋y 212＝1D ．x 216＋y 23＝1 2．椭圆1145222=++a y a x 的焦点在x 轴上，则它离心率的取值范围是 3．椭圆M ：2222x y a b+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅ 的最大值的取值范围是[2c 2，3c2]，其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,33 B．[C ．D ．11[,)32 4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为B A 、，右焦点是F ，过F 作直线与长轴垂直，与椭圆交于Q P 、两点（1）若060=∠PBF ，求椭圆的离心率（2）求证：APB ∠一定为钝角5．在平面直角坐标系内，已知点)0,2()0,2(-B A 、，P 是平面内一动点，直线PB PA 、的斜率之积为43- （1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）过点)0,21(作直线l 与轨迹C 交于F E 、两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围。
人教版高中数学必修二精讲练导学案9.2.2 总体百分位数的估计(解析版)
9.2.2总体百分位数的估计导学案编写:XXX 初审:XXX 终审:XXX 廖云波【学习目标】1.理解百分位数的概念2.掌握计算百分位数的方法【自主学习】知识点1 百分位数( 1)如果将一组数据从小到大排序,并计算相应的累计百分位,则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数．一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有( 100－p)%的数据大于或等于这个值．( 2)第25百分位数又称第一四分位数或下四分位数;第75百分位数又称第三四分位数或上四分位数．知识点2 如何计算百分位数下面的步骤来说明如何计算第p百分位数．第1步:以递增顺序排列原始数据( 即从小到大排列)．第2步:计算i＝np%.第3步:①若i不是整数,将i向上取整．大于i的比邻整数即为第p百分位数的位置;①若i是整数,则第p百分位数是第i项与第( i＋1)项数据的平均值．【合作探究】探究一 百分位数的计算【例1】从某珍珠公司生产的产品中,任意抽取12颗珍珠,得到它们的质量( 单位:g) 如下:7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0. ( 1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数． ( 2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．( 3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品,依照这个样本的数据,给出该公司珍珠等级的划分标准．[解] ( 1)将所有数据从小到大排列,得 7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,因为共有12个数据,所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4, 则第25百分位数是8.0＋8.32＝8.15,第75百分位数是8.6＋8.92＝8.75,第95百分位数是第12个数据( 2)因为共有12个数据,所以12×15%＝1.8,则第15百分位数是第2个数据为7.9.即产品质量较小的前15%的产品有2个,它们的质量分别为7.8,7.9.( 3)由( 1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g,第50百分位数为8.5 g, 第95百分位数是9.9 g,所以质量小于或等于8.15 g 的珍珠为次品,质量大于8.15 g 且小于或等于8.5 g 的珍珠为合格品,质量大于8.5 g 且小于等于9.9 g 的珍珠为优等品,质量大于9.9 g 的珍珠为特优品．归纳总结:【练习1】以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩:78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,则这15人成绩的第80百分位数是( ) A．90 B．90.5C．91D．91.5正确答案B[把成绩按从小到大的顺序排列为: 56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,因为15×80%＝12,所以这15人成绩的第80百分位数是90＋912＝90.5.]探究二百分位数的综合应用【例2】某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费,超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费,超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．( 1)求某户居民用电费用y( 单位:元)关于月用电量x( 单位:千瓦时)的函数详细解析式．( 2)为了了解居民的用电情况,通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量,统计详细分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中,今年1月份用电费用不超过260元的占80%,求a,b的值．( 3)根据( 2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．[解]( 1)当0≤x≤200时,y＝0.5x;当200<x≤400时,y＝0.5×200＋0.8×( x－200)＝0.8x－60;当x >400时,y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×( x －400)＝x －140. 所以y 与x 之间的函数详细解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤200，0.8x －60，200<x ≤400，x －140，x >400.( 2)由( 1)可知,当y ＝260时,x ＝400,即用电量不超过400千瓦时的占80%, 结合频率分布直方图可知⎩⎪⎨⎪⎧0.001×100＋2×100b ＋0.003×100＝0.8，100a ＋0.000 5×100＝0.2， 解得a ＝0.001 5,b ＝0.002 0. ( 3)设75%分位数为m ,因为用电量低于300千瓦时的所占比例为( 0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%, 用电量不超过400千瓦时的占80%,所以75%分位数为m 在[300,400)内,所以0.6＋( m －300)×0.002＝0.75, 解得m ＝375千瓦时,即用电量的75%分位数为375千瓦时．归纳总结:【练习2】某市对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分100分( 90分及以上为认知程度高),现从参赛者中抽取了x 人,按年龄分成5组( 第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45]),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有5人．( 1)求x ;( 2)求抽取的x 人的年龄的50%分位数( 结果保留整数); ( 3)以下是参赛的10人的成绩:90,96,97,95,92,92,98,88,96,99,求这10人成绩的20%分位数和平均数,以这两个数据为依据,评价参赛人员对一带一路的认知程度,并谈谈你的感想．【正确答案】( 1)第一组频率为0.01×5＝0.05,所以x ＝50.05＝100. ( 2)由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%,年龄低于35岁的所占比例为70%,所以抽取的x 人的年龄的50%分位数在[30,35)内,由30＋5×0.50－0.400.70－0.40＝953≈32,所以抽取的x 人的年龄的50%分位数为32.( 3)把参赛的10人的成绩按从小到大的顺序排列: 88,90,92,92,95,96,96,97,98,99,计算10×20%＝2,所以这10人成绩的20%分位数为90＋922＝91,这10人成绩的平均数为110( 88＋90＋92＋92＋95＋96＋96＋97＋98＋99)＝94.3.评价:从百分位数和平均数来看,参赛人员的认知程度很高． 感想:结合本题和实际,符合社会主义核心价值观即可．课后作业A 组 基础题一、选择题1．数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是( )A ． 14B ．17C ． 19D ．23【正确答案】D [因为8×70%＝5.6,故70%分位数是第6项数据23.]2．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度( 棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间[5,40]中,其频率分布直方图如图所示．估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是( )A ．32.5 mmB ．33 mmC ．33.5 mmD ．34 mm【正确答案】A [棉花纤维的长度在30 mm 以下的比例为 ( 0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%, 在35 mm 以下的比例为85%＋10%＝95%,因此,90%分位数一定位于[30,35]内,由30＋5×0.90－0.850.95－0.85＝32.5,可以估计棉花纤维的长度的样本数据的90%分位数是32.5 mm.]3．如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温( 单位:℃)的情况绘制的折线统计图,由图可知这10天最低气温的第80百分位数是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2【正确答案】D [由折线图可知,这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为:－3,－2,－1,－1,0,0,1, 2, 2, 2,因为共有10个数据,所以10×80%＝8,是整数,则这10天最低气温的第80百分位数是2＋22＝2.]4．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设该组数据的平均数为a ,第50百分位数为b ,则有( )A ．a ＝13.7, b ＝15.5B ．a ＝14, b ＝15C ．a ＝12, b ＝15.5D ．a ＝14.7, b ＝15【正确答案】D [把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,其平均数a ＝110×( 10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7,第50百分位数为b ＝15＋152＝15.] 5．已知甲、乙两组数据:甲组:27,28,39,40,m,50; 乙组:24,n,34,43,48,52.若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等,则mn等于( )A ．127B ．107C ．43D ．74【正确答案】A [因为30%×6＝1.8,80%×6＝4.8,所以第30百分位数为n ＝28,第80百分位数为m ＝48,所以m n ＝4828＝127.]二、填空题6．某学校组织学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],则60分为成绩的第________百分位数．【正确答案】30 [因为[20,40),[40,60)的频率为( 0.005＋0.01)×20＝0.3,所以60分为成绩的第30百分位数．]7．某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的70%分位数约为________秒．【正确答案】16.5 [设成绩的70%分位数为x ,因为1＋3＋71＋3＋7＋6＋3＝0.55,1＋3＋7＋61＋3＋7＋6＋3＝0.85,所以x ① [16,17),所以0.55＋( x －16)×61＋3＋7＋6＋3＝0.70,解得x ＝16.5秒．]8．已知30个数据的第60百分位数是8.2,这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8,则第19个数据是________．【正确答案】8.6 [由于30×60%＝18,设第19个数据为x ,则7.8＋x2＝8.2,解得x ＝8.6,即第19个数据是8.6.] 三、参考解答题9．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2019年11月11日的网购金额,所得数据如下表:( 1)试确定x ,y ,p ,q 的值,并补全频率分布直方图( 如图)．( 2)估计网购金额的25%分位数( 结果保留3位有效数字)． 【正确答案】( 1)根据题意有:⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50，所以p ＝0.4,q ＝0.25.补全频率分布直方图如图所示:( 2) 由( 1)可知,网购金额不高于2千元的频率为0.08＋0.12＝0.2, 网购金额不高于3千元的频率为0.2＋0.4＝0.6, 所以网购金额的25%分位数在[2,3)内,则网购金额的25%分位数为2＋0.25－0.20.6－0.2×1≈2.13千元．B 组 能力提升一、选择题1．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位数是4.5,则实数x 的取值范围是( )A ．[4.5,＋∞)B ．[4.5,6.6)C ．( 4.5,＋∞)D ．[4.5,6.6]【正确答案】A [因为8×65%＝5.2,所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5,则x ≥4.5,故选A ．]2．( 多选题)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则下列说法正确的是( )甲 乙A ．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数D ．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差【正确答案】AC [由题图可得,x －甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6,x －乙＝3×5＋6＋95＝6,A 项正确;甲的成绩的中位数为6,乙的成绩的中位数为5,B 项错误;甲的成绩的第80百分位数7＋82＝7.5,乙的成绩的第80百分位数6＋92＝7.5,所以二者相等,C 项正确;甲的成绩的极差为4,乙的成绩的极差也为4,D 项不正确．]二、填空题3．( 一题两空)如图是某市2019年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图,这7天的日最高气温的第10百分位数为________,日最低气温的第80百分位数为________．【正确答案】24 ①16 ①[由折线图可知,把日最高气温按照从小到大排序,得24, 24.5, 24.5, 25, 26,26, 27.因为共有7个数据,所以7×10%＝0.7,不是整数,所以这7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据,为24 ①.把日最低气温按照从小到大排序,得12, 12, 13, 14, 15, 16, 17.因为共有7个数据,所以7×80%＝5.6,不是整数,所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据,为16 ①.]三、参考解答题4．下表记录了一个家庭6月份每天在食品上面的消费金额:( 单位:元)【正确答案】该样本共有30个数据,所以30×5%＝1.5,30×25%＝7.5,30×50%＝15,30×75%＝22.5,30×95%＝28.5.将所有数据由小到大排列得:26,26,26,27,28,28,28,28,28,29,29,30,30,31,31,31,32,32,32,34,34,34,34,34,34,34,35,35,35,35.从而得5个百分位数如下表:5．某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:( 1)估计总体400名学生中分数小于70的人数;( 2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;( 3)根据该大学规定,把15%的学生划定为不及格,利用( 2)中的数据,确定本次测试的及格分数线,低于及格分数线的学生需要补考．【正确答案】( 1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为( 0.02＋0.04)×10＝0.6,所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以总体400名学生中分数小于70的人数为400×0.4＝160.( 2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为( 0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9, 分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×5100＝20.( 3) 设分数的第15百分位数为x ,由( 2)可知,分数小于50的频率为5＋5100＝0.1,分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2,所以x ①[50,60),则0.1＋( x －50)×0.01＝0.15,解得x ＝55,则本次考试的及格分数线为55分．。
直线的两点式方程 导学案 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2.2.2 直线的两点式方程——高二数学人教A 版（2019）选择性必修第一册一、新知自学1.直线的两点式方程：经过两点111()P x y ，，222()P x y ，（其中12x x ≠，12y y ≠）的直线l 的方程为 ，这就是直线的两点式方程，简称 .2.直线的截距式方程：直线l 与x 轴的交点 的横坐标a 叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b . 方程1x y a b+=由直线l 在两条坐标轴上的 确定，则方程 叫做直线的截距式方程，简称截距式.二、问题思考1.用截距式表示直线的方程时应注意哪些问题？2.求直线方程的如何进行选择？三、练习检测1.在x 轴、y 轴上截距分别是2，3-的直线的方程为( )A.3260x y ++=B.3210x y ++=C.3260x y --=D.3210x y -+=2.过点，的直线方程是( )A. B. (1,2)(5,3)215131y x --=--213251y x --=--C. D. 3.（多选）下列说法正确的是( )A.点斜式适用于不垂直于x 轴的任何直线B.斜截式y kx b =+适用于不垂直于x 轴的任何直线C.两点式适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线 D.截距式1x y a b+=适用于不过原点的任何直线 4.过点(1,1)-和(3,9)的直线在x 轴上的截距是___________.5.在中，点，，(0,2)C ，则AC 的中线所在直线的方程是___________.235153y x --=--235223x y --=--()11y y k x x -=-112121y y x x y y x x --=--ABC △(6,0)A -(4,2)B -【答案及解析】一、新知自学1.112121y y x x y y x x --=-- 两点式 2.(0)a ， 截距a 与b1x y a b+= 二、问题思考 1.（1）由已知条件确定横、纵截距.（2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可（此种情形极易遗漏）；若两截距不为零，则代入公式1xa yb +=中，可得所求的直线方程.（3）如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时，采用截距式求直线方程一定要注意“零截距”的情况.2.（1）已知直线上一点的坐标，可设直线方程的点斜式；（2）已知直线的斜率，可设直线方程的斜截式；（3）已知直线在x 轴，y 轴上的截距，可设直线方程的截距式或斜截式；（4）已知直线上两点的坐标，可设直线方程的两点式，也可先求出斜率，再用直线方程的点斜式求解. 三、练习检测 1.答案：C解析：由题意得，直线的截距式方程为123x y =-，即3260x y --=.故选C. 2.答案：B解析：因为所求直线过点，，所以所求直线方程为.故选B.3.答案：ABC解析：A ，B ，C 均正确，D 中，与坐标轴平行的直线也不能用截距式表示.4.答案：32- (1,2)(5,3)213251y x --=--解析：直线方程为，即.令，得，所以直线在x 轴上的截距为. 5.答案：3720x y ++=解析：AC 的中点(3,1)D -，所以直线BD 的方程为.119131y x -+=-+23y x =+0y =32x =-32-3720x y ++=。
高二数学导学案 导数公式及四则运算
高二数学导学案 导数的运算学习目标 ：1、掌握基本初等函数的导数公式；2、能应用基本初等函数的导数解决有关问题；3、掌握导数的和、差、积、商的求导法则；4、会运用导数的四则运算法则解决一些函数求导问题.重点：1、基本初等函数的导数公式；2、导数的四则运算法则.难点：导数的四则运算法则的灵活应用.知识要点1、初等函数导数公式表2、导数的四则运算（1）函数和（或差）的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则(()())f x g x '±= ，这个法则可推广到有限个函数，即12()n f f f '±±⋅⋅⋅±=______ ___.（2）函数积的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，则(()())f x g x '⋅= ， 由上述法则可以得出[()]Cf x '= .（3）函数商的求导法则：设()f x ，()g x 是可导的，且0)(≠x g ，则()[]()f xg x '= ，由上述法则可以得出1[]()g x '= . 3、复合函数(())y f g x =，()u g x =，y '= = ，由上述法则可以得出()ax b e +'= ，[ln()]ax b '+= .预习检测1、求下列函数的导数：（1）5x y =； （2）3-=x y ； （3）3.0x y =； （4）x y 2=.2、求下列函数在给定点的导数：（1）14y x =，16x =；（2）sin y x =，2x π=；（3）cos y x =，2x π=.3、求曲线x y 2sin =在点4π=x 处的切线方程.课题内容例1、求多项式函数1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++的导数.练习、求下列函数的导数：（1）3102+=x y ； （2）5673x x x y -+=； （3）2(0)y ax bx c a =++≠.例2、求x x y sin =的导数.练习、求下列函数的导数：（1）)5)(23(2-+=x x y ；（2）x x y ln =.例3、求x y tan =的导数.练习、求下列函数的导数：（1）12+=x xy ；（2）x x y sin =.例4、（1）2(53)y x =+； （2）sin(3)3y x π=-.课堂练习1、求下列函数的导数：（1）x x y sin 3=； （2）)53)(32(2x x x y +-+=；（3）x x y 1+=； （4）3(57)(38)y x x =-+；（5）2)53(+=x y ； （6）x x y +=.2、求下列函数在指定点的导数：（1）x x y cos 2=，4π=x ； （2）22-=x x y ，1=x .3、已知抛物线532-+=x x y ，求此抛物线在3=x 处的切线方程.4、已知曲线x x y 33+=，求这条曲线平行于直线215+=x y 的切线方程.。
选修2-1全套导学案
高二数学选修1-2第一章《统计案例》学案1.1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课标转述：①通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、方法及初步应用 ②通过对现行案例（如“质量控制”“新药是否有效”等）的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用。
③通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用。
④通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。
学习目标：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.学习重、难点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 学习过程： 一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. {⎧⎨⎩确定关系两个变量间的关系相关不确定关系不相关复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤： → → →3.最小二乘法：线性回归模型ˆy bx a=+，其中 ˆb=ˆa=二、学习新知： 1.例题分析：① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：. 解:由于问题中要求根据身高预报体重,因此选取身高为自变量x,体重为因变量y,做散点图: y40150 155 160 165 170 175 180 x由图可知，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，可以用线性回归模型ˆy bx a=+来刻画。
由最小二乘法计算：121()()ˆ()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆa y bx =-其中1111,n ni ii i x x y y n n ====∑∑经计算得：ˆ0.849,85.712ba==- 于是得线性回归方程得：0.84985.712y x =-所以，对于身高为172cm 得女大学生，由回归方程可以预报其体重为ˆ0.84917285.71260.316()ykg =⨯-=0.849b =得意义是什么？②身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解释以下原因么？2.随机误差和残差⑴引入线性回归模型：Y=bx+a+e解释变量x ，预报变量y，随机误差 e产生随机误差的项e的原因是什么？练习反馈研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：水深xm 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.101.70 1.79 1.88 1.952.03 2.10 2.16 2.21流速ym/s（1）求y对x的回归直线方程；（2）预测水深为1.95m 时水的流速是多少？三、课后小结：四、课后作业：p9 习题1.1 第1题高二数学选修1-2第一章《统计案例》学案1.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用课标转述：①通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用。
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