算法设计与分析之求解递归式
求解递归式的方法
求解递归式的方法递归式是计算机科学中常见的数学表示方法，用于描述一个函数或算法在运行过程中自我调用的特性。
在求解递归式时，我们希望找到一个封闭的表达式，从而得到问题的解析解。
本文将介绍几种常见的求解递归式的方法。
一、递归展开法递归展开法是求解递归式的一种常用方法。
它的基本思想是将递归式进行展开，直到得到一个不再含有递归项的等式。
通过这种方式，我们可以得到递归式的解析解。
例如，考虑递归式T(n) = T(n-1) + n，其中T(1) = 1。
我们可以使用递归展开法来求解这个递归式。
将递归式展开一次，得到T(n) = T(n-2) + (n-1) + n。
接着，再次展开，得到T(n) = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n。
继续展开，我们可以得到T(n) = T(n-k) + (n-k+1) + (n-k+2) + ... + (n-1) + n。
当展开到T(n) = T(1) + 2 + 3 + ... + (n-1) + n时，我们可以发现这个式子等于等差数列的和，即T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n。
利用等差数列求和公式，我们可以得到T(n) = (n+1)*n/2。
因此，递归式T(n) = T(n-1) + n的解析解为T(n) = (n+1)*n/2。
二、主定理主定理是求解递归式的另一种常用方法。
它适用于一类常见的递归式，即形如T(n) = aT(n/b) + f(n)的递归式。
其中，a是递归式中递归调用的次数，b是递归式中问题规模的缩小比例，f(n)是递归式中除了递归调用外的其他操作。
主定理的基本思想是通过比较递归式中不同部分的增长速度，判断递归式的解析解的形式。
主定理的具体表述如下：设递归式T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中a≥1，b>1，f(n)是一个非负函数。
1. 如果存在一个常数ε>0，使得f(n) = O(n^log_b(a-ε))，则T(n) = Θ(n^log_b(a))。
递归算法详解完整版
递归算法详解完整版递归算法是一种重要的算法思想，在问题解决中起到了很大的作用。
它通过将一个大问题划分为相同或类似的小问题，并将小问题的解合并起来从而得到大问题的解。
下面我们将详细介绍递归算法的定义、基本原理以及其应用。
首先，我们来定义递归算法。
递归算法是一种通过调用自身解决问题的算法。
它通常包括两个部分：基础案例和递归步骤。
基础案例是指问题可以被直接解决的边界情况，而递归步骤是指将大问题划分为较小问题并通过递归调用自身解决。
递归算法的基本原理是"自顶向下"的思维方式。
即从大问题出发，不断将问题划分为较小的子问题，并解决子问题，直到达到基础案例。
然后将子问题的解合并起来，得到原始问题的解。
递归算法的最大特点是简洁而优雅。
通过将复杂问题分解为简单问题的解决方式，可以大大减少代码的复杂程度，提高程序的效率和可读性。
但是递归算法也有一些缺点，包括递归深度的限制和复杂度的不确定性。
过深的递归调用可能导致栈溢出，而不合理的递归步骤可能导致复杂度过高。
递归算法有许多应用场景，我们来介绍其中一些典型的应用。
1.阶乘问题：计算一个数的阶乘。
递归算法可以通过将问题划分为更小的子问题来解决。
例如，n的阶乘可以定义为n乘以(n-1)的阶乘。
当n 等于1时，我们可以直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int factorial(int n)if (n == 1)return 1;}return n * factorial(n - 1);```2.斐波那契数列问题：求斐波那契数列中第n个数的值。
斐波那契数列的定义是前两个数为1，然后从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
递归算法可以通过将问题划分为两个子问题来解决。
当n等于1或2时，直接返回1作为基础案例。
代码如下：```int fibonacci(int n)if (n == 1 ， n == 2)return 1;}return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);```3.二叉树问题：对于给定的二叉树，递归算法可以通过递归调用左子树和右子树的解来解决。
递归算法详解完整版
递归算法详解标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]递归冯文科一、递归的基本概念。
一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。
在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。
二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。
在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简a与前面临近几项之间的关单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及n系。
要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。
比如阶乘数列1、2、6、24、120、720……如果用上面的方式来描述它，应该是：a的值，那么可以很容易地写成这样：如果需要写一个函数来求n这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。
递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。
以上面求阶乘数列的函数)f为例。
如在求)3(f时，由于3不是特殊值，因此需(n要计算)2(3f，但)2(f是对它自己的调用，于是再计算)2(f，2也不是特殊值，需要计*算)1(f，返回)1(= 2f，需要知道)1(f的值，再计算)1(f，1是特殊值，于是直接得出1*上一步，得23*)2()3(==f，从而得最终=f)1(32**)2(==f2f，再返回上一步，得6解。
用图解来说明，就是下面再看一个稍复杂点的例子。
【例1】数列}{n a 的前几项为1、111+、11111++、1111111+++、……输入n ，编程求n a 的精确分数解。
递归算法 递推公式求解
递归算法递推公式求解递归算法是一种自我调用的算法，它通过不断将问题分解为更小的子问题来求解问题。
递归算法的核心是递推公式，也称为递归式，它描述了如何将问题分解为子问题，并如何从子问题的解中得到原问题的解。
递推公式通常具有以下形式：T(n) = aT(n/b) + f(n)其中，T(n) 表示问题规模为n 时的时间复杂度，a 表示每次递归调用的次数，b 表示每次递归调用后问题规模缩小的比例，f(n) 表示除了递归调用外的其他操作的时间复杂度。
为了求解递推公式，我们可以使用以下方法：1.迭代法：通过迭代递推公式的方式逐步计算出T(n) 的值。
这种方法比较直观，但对于较大的n 值，迭代次数可能非常多，计算量也会非常大。
2.替换法：通过猜测T(n) 的形式，并将其代入递推公式中进行验证。
如果猜测正确，则可以得到T(n) 的解。
这种方法需要对问题有一定的了解和猜测能力。
3.大师定理：大师定理是一种求解递推公式的通用方法。
它可以根据递推公式的形式，直接给出T(n) 的时间复杂度。
大师定理有多种形式，其中最常用的是以下三种：a. 如果f(n) = O(n^c)，其中c < log_b(a)，则T(n) = O(n^log_b(a))。
b. 如果f(n) = O(n^c)，其中c = log_b(a)，则T(n) = O(n^c * log_n)。
c. 如果f(n) = O(n^c)，其中c > log_b(a)，且对于所有足够大的n，有af(n/b) <= f(n)，则T(n) = O(f(n))。
需要注意的是，大师定理只是一种求解递推公式的工具，它并不能解决所有类型的递推公式。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的求解方法。
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)
算法设计与分析：递归与分治法-实验报告(总8页)实验目的：掌握递归与分治法的基本思想和应用，学会设计和实现递归算法和分治算法，能够分析和评价算法的时间复杂度和空间复杂度。
实验内容：1.递归算法的设计与实现3.算法的时间复杂度和空间复杂度分析实验步骤：1）递归定义：一个函数或过程，在其定义或实现中，直接或间接地调用自身的方法，被成为递归。
递归算法是一种控制结构，它包含了解决问题的基础情境，也包含了递归处理的情境。
2）递归特点：递归算法具有以下特点：①依赖于递归问题的部分解被划分为若干较小的部分。
②问题的规模可以通过递推式递减，最终递归终止。
③当问题的规模足够小时，可以直接求解。
3）递归实现步骤：①确定函数的定义②确定递归终止条件③确定递归调用的过程4）经典实例：斐波那契数列递推式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)int fib(int n) {if (n <= 0)return 0;else}5）优化递归算法：避免重复计算例如，上述斐波那契数列的递归算法会重复计算一些中间结果，影响效率。
可以使用动态规划技术，将算法改为非递归形式。
int f1 = 0, f2 = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {f1 = f2;使用循环避免递归，重复计算可以大大减少，提高效率。
1）分治算法的定义：将原问题分解成若干个规模较小且类似的子问题，递归求解子问题，然后合并各子问题得到原问题的解。
2）分治算法流程：②将问题分解成若干个规模较小的子问题。
③递归地解决各子问题。
④将各子问题的解合并成原问题的解。
3）分治算法实例：归并排序归并排序是一种基于分治思想的经典排序算法。
排序流程：②分别对各子数组递归进行归并排序。
③将已经排序好的各子数组合并成最终的排序结果。
实现源代码：void mergeSort(int* arr, int left, int right) {if (left >= right)while (i <= mid && j <= right)temp[k++] = arr[i] < arr[j] ? arr[i++] : arr[j++];temp[k++] = arr[i++];1) 时间复杂度的概念：指完成算法所需的计算次数或操作次数。
递归树求解递归方程
递归树求解递归方程
递归树求解递归方程，是一种常用的算法分析方法。
递归方程是指一个数列或函数的定义式，通常包含自身的递归定义。
递归树则是用来描述递归算法运行过程的一种树形结构。
通过分析递归树，可以得到递归算法的时间复杂度和空间复杂度。
在进行递归树求解递归方程的过程中，我们需要先将递归方程转化成递归树。
具体来说，我们可以将每次递归调用对应的子问题抽象成一棵子树，并将所有子树合并成一棵递归树。
递归树的根节点对应原问题，叶子节点对应基本情况。
接下来，我们需要对递归树进行分析。
具体来说，我们需要计算递归树中每个节点的代价，即该节点所代表的子问题的规模。
一般来说，代价可以通过递归方程中的递归式来计算。
然后，我们可以将所有节点的代价相加，得到递归算法的总代价。
根据代价和递归树的形状，可以得到递归算法的时间复杂度和空间复杂度。
递归树求解递归方程的方法适用于许多算法问题，例如递归排序、快速排序、二分查找等。
通过这种方法，我们可以更加深入地理解递归算法的本质，同时也可以优化算法的时间复杂度和空间复杂度。
算法设计与分析(霍红卫)-第2章-分治法
第2章 分 治 法
我们可以很容易解决这个问题。利用这样一个事实：渐近 表示法只要求对n≥n0，T(n)≤cn lb n成立，其中n0是一个可以选择 的常数。由于对于n>3，递归方程并不直接依赖T(1)，因此可设 n0=2，选择T(2)和T(3)作为归纳证明中的边界条件。由递归方程 可得T(2)=4和T(3)=5。此时只要选择c≥2，就会使得T(2)≤c·2·lb 2 和 T(3)≤c·3·lb 3 成 立 。 因 此 ， 只 要 选 择 n0=2 和 c≥2 ， 则 有 T(n)≤cn lb n成立。
3ic(n/4i)2=(3/16) icn2 i=0，1，…，log4n-1
深度为log4n的最后一层有3log4 n nlog4 3 个结点，每个结点的
开销为T(1)，该层总开销为 nlog4 3T (1) ，即 Θ(nlog4 3)。
第2章 分 治 法
将所有层的开销相加得到整棵树的开销：
T (n) cn2
T(n)=2T(n/2)+n ≤2(c［n/2］lb［n/2］)+n =cn lb n/2+n =cn lb n-cn lb 2+n =cn lb n-cn+n =cn lb n-(c-1)n
最后一步在c≥1时成立。≤cn lb n
第2章 分 治 法
下面证明猜测对于边界条件成立， 即证明对于选择的常 数c，T(n)≤cn lb n对于边界条件成立。 这个要求有时会产生 一些问题。 假设T(1)=1是递归方程的惟一边界条件，那么对 于n=1，T(1)≤c·1·lb 1=0与T(1)=1发生矛盾。因此，归纳法中 的归纳基础不成立。
3
cn2
3
2
cn2
3
算法设计与分析知识点
第一章算法概述1、算法的五个性质：有穷性、确定性、能行性、输入、输出。
2、算法的复杂性取决于：(1)求解问题的规模(N) , (2)具体的输入数据(I),( 3)算法本身的设计(A)，C=F(N,I,A。
3、算法的时间复杂度的上界，下界，同阶，低阶的表示。
4、常用算法的设计技术：分治法、动态规划法、贪心法、回溯法和分支界限法。
5、常用的几种数据结构：线性表、树、图。
第二章递归与分治1、递归算法的思想：将对较大规模的对象的操作归结为对较小规模的对象实施同样的操作。
递归的时间复杂性可归结为递归方程：1 11= 1T(n) <aT(n—b) + D(n) n> 1其中，a是子问题的个数，b是递减的步长，~表示递减方式，D(n)是合成子问题的开销。
递归元的递减方式~有两种：1、减法，即n -b，的形式。
2、除法，即n / b，的形式。
2、D(n)为常数c：这时，T(n) = 0(n P)。
D(n)为线形函数cn：r O(n) 当a. < b(NT(n) = < Ofnlog^n) "n = blljI O(I1P)二"A bl吋其中.p = log b a oD(n)为幕函数n x：r O(n x) 当a< D(b)II JT{ii) = O(ni1og b n) 'ia = D(b)ll].O(nr)D(b)lHJI：中，p= log b ao考虑下列递归方程：T(1) = 1⑴ T( n) = 4T(n/2) +n⑵ T(n) = 4T(n/2)+n2⑶ T(n) = 4T(n/2)+n3解：方程中均为a = 4，b = 2，其齐次解为n2。
对⑴，T a > b (D(n) = n) /• T(n) = 0(n);对⑵，•/ a = b2 (D(n) = n2) T(n) = O(n2iog n);对⑶，•/ a < b3(D(n) = n3) - T(n) = 0(n3)；证明一个算法的正确性需要证明两点：1、算法的部分正确性。
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递归树方法举例
求解
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算法设计与分析-求解递归式
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递归树方法举例
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递归树方法举例
求解
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递归树方法举例
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更接近的上界？
思想: 加强推导的假设.
• 减一个低阶项
推导假设:对于 k < n , T(k) ≤ c1k2 – c2k.
T(n)= 4T(n/2) + n = 4(c1(n/2)2–c2(n/2))+ n = c1n2–2c2n+ n = c1n2–c2n–(c2n–n)
边界并不紧密 !
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更接近的上界？
我们要证明 T(n) = O(n2). 假设 对于k < n: T(k) ≤ ck2 T(n)= 4T(n/2) + n ≤ 4c(n/2)2 + n = cn2 + n = O (n2) 错误! = cn2 – (- n) [ 期望 – 余项] ≤ cn2 没有任何 c > 0满足. 失败!
比较f (n)和n
3.
logb a
:
),常量 0
logb a
f (n) (n
logb a + ε
f (n)增长比多项式 n
快（快n 倍）
并且f (n)满足规定条件 af (n / b) cf (n),常量c 1。 解：T (n) ( f (n))。
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主方法的思路
情况2： (k=0)在logbn层中 每层的加权基本相同
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
主方法的思路
情况3：权重从根到叶子几何级数 递减。根在整个权重中仅仅是常量 部分
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求解
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主方法
主方法适用于下面的递归形式
a 1, b 1, f为正的渐进函数
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三种情况
比较f (n)和n
1.
logb a
:
- ε logb a
logb a
f (n) O(n
),
0
f (n)比多项式n
余项
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例子（续）
• 我们必须要处理初始条件，也就是说，首先要 保证推导在初始情况成立。 • 初始：当n0为适当的常量时，对于所有n< n0 T(n) = Θ(1)都成立。
• 如果我们选择足够大的c，那么对于 1 ≤ n < n0, “Θ(1)” ≤ cn3.
≤ c1n2–c2n 如果 c2≥1.
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选择足够大的 c1 使初始条件成立。
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递归树方法
• 递归树对算法递归执行的花费（时间）建 模 • 递归树方法可以用作替代法之前的猜想。 • 递归树方法可能不是很可靠 • 然而，递归树方法有启发的作用
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举例
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举例
这时主方法不适用。
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主方法的思路
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主方法的思路
情况1：加权从根到叶子几何级数 增长。叶子在总的权重仅仅占常量 部分
算法设计与分析
讲授内容：求解递归式 教 师：胡学钢、吴共庆
2014年11月13日
求解递归式
• 合并排序的分析需要求解一个递归式 • 求解递归式就像求解积分，微分方程一样。
。学会一些技巧
• 递归式的应用
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替代法
最通用的方法： 1. 猜测解的形式。 2. 通过推导验证。 3. 解出常数。
增长的慢（慢 n 倍） ).
解：T (n) (n
2.
logb a
f ( n) ( n f (n)和n
logb a
lg k n),常量k 0。
logb a
logb a
增长速度相同 lg k 1 n)
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解：T (n) (n
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算法设计与分析-求解递归式
三种情况（续）
例子:
T(n) = 4T(n/2) + n • [假设 T(1) = Θ(1).] • 猜测 O(n3). (分别证明 O 和 Ω.) • 假设 T(k) ≤ ck3 对于 k< n . • 通过推导证明 T(n) ≤cn3 .
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替代法举例
T(n) = 4T(n/2) + n ≤ 4c(n/2)3 + n = (c/2)n3 + n = cn3 –((c/2)n3 – n)← 期望 – 余项 ≤ cn3 ← 期望 (c/2)n3 – n ≥ 0, 例如,如果 c ≥ 2 且 n ≥ 1.
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递归树方法举例
求解
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递归树方法举例
求解
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递归树方法举例
求解
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递归树方法举例
求解
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