计算机图形学报告_仿射变换最小二乘法
最小二乘影像相关的基本原理(一)
最小二乘影像相关的基本原理(一)最小二乘影像相关的基本1. 什么是最小二乘法？•最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据或解决参数估计问题。
它通过使数据拟合值与真实值之间的残差平方和最小化，得到最优解。
2. 为什么要使用最小二乘法？•最小二乘法可以用于解决多种问题，包括曲线拟合、回归分析、图像处理等。
它具有简单易用的特点，能够快速、准确地得到结果。
3. 最小二乘法在图像相关中的应用•在图像处理中，最小二乘法常被应用于影像相关分析。
影像相关是一种基于图像相似性的分析方法，通过比较两幅图像之间的相似度来实现目标识别、图像匹配等任务。
3.1 什么是影像相关？•影像相关是一种计算两幅图像之间相似度的方法。
它通过计算图像的互相关函数来得到两幅图像之间的相关性。
3.2 为什么要使用影像相关？•影像相关可以用于实现图像匹配、目标跟踪等任务。
通过计算图像之间的相关性，可以找到最相似的图像区域或目标对象。
3.3 如何使用最小二乘法进行影像相关分析？1.首先，选择一对待比较的图像A和图像B。
2.对图像A进行预处理，如平滑、边缘检测等，以提取感兴趣的特征。
3.对图像B进行预处理，并将其分成一系列大小相同的块。
4.选择一个块，在图像A中寻找与之最相似的块。
5.使用最小二乘法计算块之间的相关系数。
6.重复步骤4和步骤5，直到所有块都被处理完毕。
7.根据相关系数的大小，确定图像A中与图像B最相似的区域或目标。
3.4 最小二乘法在影像相关中的优势•最小二乘法在影像相关中具有以下优势：–精确度高：最小二乘法能够准确地计算图像之间的相关系数。
–鲁棒性强：最小二乘法对噪声和变形具有较好的鲁棒性，能够处理复杂的图像情况。
–计算速度快：最小二乘法是一种高效的计算方法，能够快速地得到结果。
4. 结论•最小二乘法是一种常用的数学方法，通过使数据拟合值与真实值之间的残差平方和最小化，得到最优解。
在影像相关中，最小二乘法能够快速、准确地计算图像之间的相关系数，实现图像匹配、目标跟踪等任务。
最小二乘法 计算机视觉
最小二乘法计算机视觉
最小二乘法（Least Squares）在计算机视觉中经常被用来拟合
数据和解决估计问题。
在计算机视觉中，最小二乘法可以用于以下方面：
1. 直线拟合：最小二乘法可以用于拟合一组二维点数据到一条直线上。
通过最小化点到直线的距离的平方和，可以得到最优的拟合直线。
2. 曲线拟合：最小二乘法也可以应用于多项式曲线的拟合。
通过最小化点到曲线的距离的平方和，可以找到最佳的曲线拟合。
3. 图像配准：最小二乘法可用于图像配准中，通过最小化两幅图像中对应点之间的平方距离来估计图像之间的刚性变换参数（如平移、旋转、缩放等）。
4. 参数估计：最小二乘法可以用于估计模型中的参数。
例如，在机器学习中，可以使用最小二乘法来计算线性回归模型中的回归系数。
总之，最小二乘法是一种常用的数学方法，在计算机视觉中被广泛应用于数据拟合、参数估计和图像配准等问题。
最小二乘法求仿射变换系数c++matlab代码
q[i][j]-=q[k][j];
}
}
for(h=k=n-1;k>0;k--,h--) //消去对角线以上的数据
for(i=k-1;i>=0;i--)
{
if(q[i][h]==0)
continue;
p=q[k][h]/q[i][h];
for(j=0;j<12;j++)
{
q[i][j]*=p;
q[i][j]-=q[k][j];
}
}
for(i=0;i<n;i++)//将对角线上数据化为1
{
p=1.0/q[i][i];
for(j=0;j<12;j++)
q[i][j]*=p;
}
for(i=0;i<n;i++) //提取逆矩阵
for(j=0;j<n;j++)
c[i][j]=q[i][j+6];
}
getchar();
return 0;
}
void inverse(double c[n][n])
{ int i,j,h,k;
double p;
double q[n][12];
for(i=0;i<n;i++)//构造高斯矩阵
for(j=0;j<n;j++)
q[i][j]=c[i][j];
for(i=0;i<n;i++)
result[i][j]=mat1[i][j]-mat2[i][j];
}
template<typename T1>void Cout(T1*mat,int a,int b)
数字图像处理算法及原理（七）：最小二乘法拟合圆
数字图像处理算法及原理（七）：最小二乘法拟合圆最小二乘法拟合圆最小二乘法(least squares analysis)是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。
最小二乘法是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小。
最小二乘法通常用于曲线拟合(least squares fitting)。
这里有拟合圆曲线的公式推导过程和 matlab实现。
下面是matlab代码：比如用其他算法（如霍夫、链码、形态学等）得到了某个圆或者近似圆的轮廓，想要将其标准化。
%%此程序用于对二值图像获得的圆形边缘进行圆拟合，计算出圆心坐标及半径%最小二乘法进行曲线拟合function [xc,yc,R] = cirfit(x,y)%x、y为坐标点，都是一组向量。
如x=[x1,x2,x3,...,xn]n=length(x);xx=x.*x;yy=y.*y;xy=x.*y;A=[sum(x) sum(y) n;sum(xy) sum(yy)...sum(y);sum(xx) sum(xy) sum(x)];B=[-sum(xx+yy) ; -sum(xx.*y+yy.*y) ; -sum(xx.*x+xy.*y)];a=A\B;xc = -0.5*a(1);yc = -0.5*a(2);R = sqrt((a(1)^2+a(2)^2)/4-a(3));end%结束后返回的值便是圆心坐标及半径总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。
在自然界中最常见的是黄酮和黄酮醇，其它包括双氢黄（醇）、异黄酮、双黄酮、黄烷醇、查尔酮、橙酮、花色苷及新黄酮类等。
简介近年来，由于自由基生命科学的进展，使具有很强的抗氧化和消除自由基作用的类黄酮受到空前的重视。
类黄酮参与了磷酸与花生四烯酸的代谢、蛋白质的磷酸化、钙离子的转移、自由基的清除、抗氧化活力的增强、氧化还原作用、螯合作用和基因的表达。
最小二乘 四对点映射关系 matlab-概述说明以及解释
最小二乘四对点映射关系matlab-概述说明以及解释1.引言1.1 概述最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，可以用来估计回归模型中的参数。
在实际应用中，我们常常面临着一些数据点之间的映射关系，通过最小二乘法可以找到一个最优的拟合模型来描述这种关系。
本文将介绍最小二乘法的基本原理和在四对点映射关系中的应用。
在四对点映射关系中，我们需要找到一个变换矩阵，使得给定的四对点在新的坐标系下能够有最小的误差。
Matlab是一种功能强大的数学软件，我们将会介绍如何在Matlab中实现最小二乘法来求解这个问题。
通过本文的学习，读者将能够了解最小二乘法的基本原理，掌握在四对点映射关系中的应用，以及如何利用Matlab来实现这一过程。
希望本文能够对读者对最小二乘法以及映射关系有更深入的了解和应用。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分中，将介绍最小二乘法和四对点映射关系的概念，以及文章的目的和意义。
在正文部分，将详细讨论最小二乘法的原理和应用，以及四对点映射关系的说明。
同时，还将介绍在Matlab中如何实现最小二乘法。
在结论部分，将总结文章的主要内容，展望最小二乘法在实际应用中的潜力，并得出结论。
通过这样的结构安排，读者能够清晰地了解本文的内容和结构，有助于更好地理解和掌握最小二乘法和四对点映射关系的知识。
1.3 目的本文的目的是介绍最小二乘法在处理四对点映射关系中的应用。
通过对最小二乘法的介绍和四对点映射关系的说明，读者可以深入了解如何利用Matlab实现最小二乘法，从而实现多个点之间的精确映射关系。
同时，通过本文的阐述，可以为读者提供对于最小二乘法在实际工程应用中的指导和启发，为他们解决类似问题提供帮助和参考。
希望通过本文的阐述，读者可以更加深入地了解最小二乘法的原理和应用，为他们在工程领域的实践提供有益的借鉴和指导。
2.正文2.1 最小二乘法介绍最小二乘法是一种经典的数学优化方法，用于求解线性回归分析和解决问题中的最佳拟合问题。
最小二乘影像相关的基本原理
最小二乘影像相关的基本原理最小二乘法（Least Square Method）是一种常用的数学优化方法，用于拟合数据并找到与给定数据最接近的函数或曲线。
在图像相关中，最小二乘法也可以应用于影像相关（Image Correlation）问题。
影像相关是一种用于测量两个影像之间的相似性的方法。
它通过计算两个影像之间像素值的相关性来确定它们之间的相似性。
最小二乘影像相关则是将最小二乘法应用于影像相关问题。
1.数据获得：首先需要获得要进行相关的两个影像。
这两个影像可以分别是不同时间拍摄的同一物体或不同角度拍摄的同一个场景的影像，或者可以是其他类型的影像。
2.影像预处理：在进行影像相关之前，需要对影像进行一些预处理操作，以使其适合最小二乘法的应用。
预处理操作可能包括去噪、平滑、灰度化、边缘检测等。
3.图像配准：在进行影像相关之前，需要进行图像配准，以确保两个影像的像素点对齐。
图像配准可以通过使用特征点匹配、仿射变换或透视变换等方法来实现。
4.相关计算：最小二乘影像相关使用相关系数作为衡量两个影像之间的相似性的指标。
相关系数的计算可以使用最小二乘法。
首先，从两个影像中选择一个作为模板图像，记为T(某,y)。
然后，将另一个影像记为I(某,y)。
对于T中的每一个像素点(某,y)，计算与I中对应像素点的相关系数。
假设I(某,y)的相对坐标为(u,v)，相关系数的计算公式为：R(u,v)=Σ[T(某,y)I(某+u,y+v)]其中Σ表示求和，u和v表示相对偏移量。
通过在整个图像上滑动模板图像，可以获得相关系数矩阵R(u,v)，表示两个影像在不同偏移量下的相似度。
5.相关结果分析：根据相关系数矩阵R(u,v)，可以确定影像的最佳匹配位置。
最小二乘影像相关通常会找到相关系数矩阵中的最大值或最小值，以确定影像的最佳匹配点。
最小二乘影像相关可以应用于多个领域，如图像配准、运动估计、目标跟踪等。
它的优点是计算简单，不对图像内容做任何假设，适用于多种类型的影像。
仿射变换关系
仿射变换关系啥是仿射变换关系？这玩意儿听起来是不是有点让人摸不着头脑？其实啊，它就像是一个神奇的魔法，能把图形变得奇奇怪怪又妙趣横生。
比如说，你画了一个正方形，通过仿射变换，它可能就变成了一个斜着的菱形，或者一个拉长的长方形。
这是不是很神奇？就好像你原本好好站着，突然被一阵风吹得歪七扭八，但还是你这个人，只是姿势变了。
那仿射变换到底是咋回事呢？它其实就是对图形进行一系列的操作，比如平移、旋转、缩放、倾斜等等。
这就好比你给一个玩具车，一会儿推着它往前走，一会儿又转个弯，一会儿把它拉长，一会儿又给它歪着放。
咱们来具体说说这些操作。
平移，不就是把整个图形在平面上挪来挪去嘛，就像你把桌子从这个房间搬到那个房间。
旋转呢，就是让图形围着一个中心点转圈圈，好比你拿着风车迎风转动。
缩放呢，就是把图形放大或者缩小，这就像你用放大镜看东西，或者把照片缩小了保存。
倾斜呢，就像是把一块木板斜着放，图形也跟着斜了。
再想想，如果把这些操作组合起来，那能变出多少花样啊！这就像你做菜，单独的调料可能不咋样，但是把盐、糖、醋、酱油啥的巧妙组合，就能做出各种美味佳肴。
仿射变换在很多地方都有用呢！比如在计算机图形学里，能让画面变得更酷炫；在数学解题的时候，能帮咱们找到一些隐藏的规律；在设计领域，能创造出独特的图案和造型。
你说，要是没有仿射变换，那得多无聊啊！世界都变得一成不变，哪还有那么多新奇好玩的东西。
所以啊，仿射变换关系可不是什么遥不可及的神秘魔法，它就在咱们身边，给咱们的生活和学习带来了好多惊喜和便利。
咱们可得好好琢磨琢磨它，说不定哪天就能用它搞出大发明呢！。
计算机图形学中仿射变换的教学
第2期
教育与教学研究
137
序。对教材中略过的 2D 变换，做出辅助图示详 细讲解；而对教材中详细展开的 3D 变换，则只 讲概要，讲解 3D 与 2D 变换的不同之处。
（3）扩展仿射变换，进行综合应用。从空间 一个点的变换，扩展到空间的一条线段，再扩展 到用线段表达的 3D 物体，最后进入 3D 级综合 变换。 1.1 相关数学原理
本科生在实验中能绘制出 3D 图形是有成就 感的，但对具体操作过程中遇到 3D 立体级联变 换、消隐及相应的矩阵变换，觉得难理解，影响 后续综合应用。有些学校在本科生的计算机图形
学课程中，只简单介绍 3D 知识点 [1]。本科生对 仿射变换的迷茫主要体现在：①能理解 3 个基本 的仿射变换对应 3 个矩阵，但难理解 3D 综合变 换到底由几个基本仿射变换组成、顺序是什么； ②能调用 OpenGL 函数完成单一的基本变换，但 没掌握好原理，无法应用在具体的综合变换中。
1.2 2D 仿射变换 教师演示一个 2D 的点在笛卡尔坐标系中的
变换，向学生提问：如何计算变换前后的坐标 位置？引出计算一个点仿射变换的坐标位置计 算方法，并用矩阵表示；接着，展示较复杂变 换是上述 3 种仿射变换的综合；然后，指出“由 多个像素点所表达的物体，其中一个点是怎么 变换的，该物体上的其他点做相同变换，和同 一个变换矩阵做相乘”。 1.2.1 基本 2D 仿射变换
第2期 136 2017 年 2 月 10 日
计算机教育
Computer Education
文章编号：1中图分类号：G642
计算机图形学中仿射变换的教学
章夏芬，朱昌明
（上海海事大学 信息工程学院，上海 201306）
摘 要：针对计算机图形学中三维立体绘制和变换涉及的数学理论太多、内容抽象、难以理解、难以 综合应用的问题，分析三维仿射变换的数学基础、难理解的理论点、综合应用难点，提出浅入深出的 理论讲解法，用实践综合和拓展法相结合的方式启发学生对综合变换应用的设计兴趣，为计算机图形 学讲授仿射变换的教学者提供教学思路和参考。 关键词：计算机图形学；三维仿射变换；浅入深出；综合拓展
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
计算机图形学报告仿射变换最小二乘法
姓名：
班级：
学号：
仿射变换的定义
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map），是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。
一个对向量平移一般可用如下公式表示：
等价于：
仿射变换可以由以下基本变换复合而成：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和错切（Shear），这些基本的变换如下图1表示：
图1
下图2中变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x', y')
图2
最小二乘法
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
这是一个示例：某次实验得到了四个数据点：、、、
（图3红色的点）。
我们希望找出一条和这四个点最匹配的直线
，即找出在某种“最佳情况”下能够大致符合如下超定线性方程组
的和：
图3
最小二乘法采用的手段是尽量使得等号两边的方差最小，也就是找出这个函数的最小值：
最小值可以通过对分别求和的偏导数，然后使它们等于零得
到。
如此就得到了一个只有两个未知数的方程组，很容易就可以解出：
也就是说直线是最佳的。
仿射变换最小二乘法
景物在成像过程中产生的扭曲，会使图像的比例失调，可用仿射变换来校正各种畸变。
而仿射变换的参数可以用最小二乘法进行估算。
设原图像为f(x,y)，畸变后的图像为F(X',Y')，要将F(X',Y')恢复为f(x,y)，就是要找到(X',Y')坐标与(x,y)坐标的转换关系，这个转换关系称为坐标变换，表示为(x,y)=T(X',Y')。
景物在成像过程中产生的扭曲，会使图像的比例失调，可用仿射变换来校正各种畸变。
先计算出坐标变换的系数，仿射变换的表达式为:R(x)=Px+Q, x=(x,y)是像素的平面位置，P是2*2的旋转矩阵，Q是2*1的平移向量，P、Q即为仿射变换参数，即：
x= AX' + BY' + C
y= DX' + EY' + F
因此，几何畸变的校正归根结底为坐标转换系数A,B,C,D,E,F的求解。
为了防止出现空像素，一般采用反向映射，由最小二乘法得(matlab)：
vec1 = inv([X Y I]'*[X Y I])*[X Y I]'*U;
vec2 = inv([X Y I]'*[X Y I])*[X Y I]'*V;
其中vec1＝[A B C]'; vec2 =[D E F]'; X Y U V I分别是x，y，X', Y', 1构成的向量。
最小二乘法估计就是估计原始坐标点与经过变换后的坐标点之间的关系，从通过这种关系进行矫正图像，大体步骤如下：
应用
对于处理图形畸变上，最小二乘仿射变换可以通过处理畸变的图形，还原图像原始形状。
另外，在测绘方面，最小二乘与仿射变换有着巨大的应用价值。
文献7给出了一种不同坐标系统间转换的方法，在不同的地图坐标系中，使用最小二乘与仿射变换求取变换矩阵，完成坐标系间的转换。
文献8则是研究地图数字化扫描的问题，使用最小二乘与仿射变换解决因分辨率、扫描设备带来的地图扫描不精确的问题。
参考资料
[1] 百度百科.仿射变换. /view/954621.htm 2013.09.17
[2] wiki百科.仿射变换./wiki/仿射变换2014.09.13
[3] ChenLee_1.仿射变换./carson2005/article/details/7540936 2012.05.07
[4] wiki百科.最小二乘法. /wiki/最小二乘法2014.11.11
[5] 百度百科.超定线性. /view/5113042.htm 2011.01.20
[6] fengbingchun.在图像变换中用最小二乘法求解仿射变换参. /fengbingchun/article/details/5969193 2010.10.27
[7] 孔建, 姚宜斌, 许双安. 整体最小二乘求取坐标转换参数[J]. 大地测量与地球动力学, 2010, (3).
[8] 岳东杰, 梅红. 地图扫描矢量化误差的最小二乘配置法处理研究[J]. 测绘科学, 2007, (2):51-53.。