随机变量及其概率分布上课用
第四部分随机变量概率和概率分布教学课件
Poisson分布概率的计算
例 若 随 机 变 量 X 服 从 以 3.6 为 均 数 的 泊 松 分 布 ， 即 X ～ P(3.6)， 则 X 的 取 值 概 率
可 按 公 式 P X x x e 计 算 如 下 ：
x! P(X =0)=0.0273 “=POISSON(0,3.6,0)” P(X =1)=0.0984 P(X =2)=0.1771 P(X =3)=0.2125 P( X =4)=0.1912
第五节 Poisson分布的性质（2）
• 三、Poisson分布的正态近似
相当大（≥20）时，近似服从正态分 布：N（， ）
• 四、二项分布的Poisson分布近似
设 X i ～ B ( ni i ) ， 则 当 ni→ ∞ ， i 很 小 ， 且 ni i = 保 持 不 变 时 ， 可 以 证 明 X i 的 极 限 分 布 是 以 为 参 数 的 Poisson 分 布 。
总体方差
2 X
=
3×0
.4×
0.6=0.72(只
)
总体标准差
X = 3 0.4 0.6 = 0 . 8 5 ( 只 )
二、二项分布的正态近似 1. 当 =0.5 时 ， 图 形 对 称 ；
当 ≠ 0.5 时 ， 图 形 呈 偏 态 ， 但 随 n 的 增大，图形逐渐对称。 2 . n 5 ,且n (1 ) 5 ( n 大 ， 不 接 近 0 、 1 ) 时 近似正态分布。
60 240
Sp
300 300 = 0 . 0 2 3 1 = 2 . 3 1 % 300
（二）二样项本分率与布总的体应率用的比较
二项分布的累计概率函数
（1）出现“阳性”的次数 X 至多为 k 次的概率为
《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
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第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布
概率论与数理统计教案-随机变量及其分布一、教学目标1. 了解随机变量的概念及其重要性。
2. 掌握随机变量的分布函数及其性质。
3. 学习离散型随机变量的概率分布及其数学期望。
4. 理解连续型随机变量的概率密度及其数学期望。
5. 能够运用随机变量及其分布解决实际问题。
二、教学内容1. 随机变量的概念及分类。
2. 随机变量的分布函数及其性质。
3. 离散型随机变量的概率分布：二项分布、泊松分布、超几何分布等。
4. 连续型随机变量的概率密度：正态分布、均匀分布、指数分布等。
5. 随机变量的数学期望及其性质。
三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍随机变量及其分布的概念、性质和计算方法。
2. 利用案例分析，让学生了解随机变量在实际问题中的应用。
3. 借助数学软件或图形计算器，直观地展示随机变量的分布情况。
4. 开展小组讨论，培养学生合作学习的能力。
四、教学准备1. 教学PPT课件。
2. 教学案例及实际问题。
3. 数学软件或图形计算器。
4. 教材、辅导资料。
五、教学过程1. 导入：通过生活实例引入随机变量的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解随机变量的定义、分类及其重要性。
3. 讲解随机变量的分布函数及其性质，引导学生理解分布函数的概念。
4. 讲解离散型随机变量的概率分布，结合实例介绍二项分布、泊松分布、超几何分布等。
5. 讲解连续型随机变量的概率密度，介绍正态分布、均匀分布、指数分布等。
6. 讲解随机变量的数学期望及其性质，引导学生掌握数学期望的计算方法。
7. 案例分析：运用随机变量及其分布解决实际问题，提高学生的应用能力。
8. 课堂练习：布置适量练习题，巩固所学知识。
10. 作业布置：布置课后作业，巩固课堂所学。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对随机变量及其分布的理解程度。
2. 课堂练习：检查学生解答练习题的情况，评估学生对知识的掌握程度。
3. 课后作业：布置相关作业，收集学生作业情况，评估学生对知识的运用能力。
高中数学高考二轮复习随机变量及其分布列教案(全国专用)
1．(2014·课标Ⅱ，5，易)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.451．A设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)．由条件概率可知，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.60.75＝45＝0.8，故选A.2．(2015·湖南，18，12分，中)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X .求X 的分布列和数学期望．2．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}， B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}， B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}， C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A －2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2) ＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A －1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2)＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2)＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2) ＝25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫150⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫151⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫152⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫153⎝ ⎛⎭⎪⎫450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.3．(2014·山东，18，12分，中)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．3．解：记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.(1)记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性，得 P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)·P (B 1)＋P (A 0)P (B 3)＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋15×16＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110. 可得随机变量ξ的分布列为所以数学期望Eξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.4．(2013·课标Ⅰ，19，12分，中)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立． (1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望． 4．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝416×116＋116×12＝364.(2)X可能的取值为400，500，800，并且P(X＝400)＝1－416－116＝1116，P(X＝500)＝116，P(X＝800)＝14.所以X的分布列为E(X)＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.相互独立事件的概率是高考的常考考点，是解决复杂问题的基础，一般情况下，一些较为复杂的事件可以拆分为一些相对简单事件的和或积，这样就可以利用概率公式转化为互斥事件和独立事件的组合，通常以解答题出现，与数学期望等知识结合，难度中等．1(2015·北京，16，13分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a.假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)(1)甲的康复时间不少于14天→甲是A组的第5人或第6人或第7人→每人康复时间互斥→互斥事件概率加法公式 (2)甲康复时间比乙长→相互独立事件同时发生→列举每种情况→互斥事件加法求解【解析】 设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”，事件B j 为“乙是B 组的第j 个人”，i ，j ＝1，2， (7)由题意可知P (A i )＝P (B j )＝17，i ，j ＝1，2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6. 因为P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049. (3)a ＝11或a ＝18.(2014·大纲全国，20，12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立． (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．解：设A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0，1，2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．(1)D ＝A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C ， P (B )＝0.6，P (C )＝0.4， P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0，1，2，所以P (D )＝P (A 1BC ＋A 2B ＋A 2B －C )＝P (A 1BC )＋P (A 2B )＋P (A 2B －C )＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B －)P (C ) ＝0.31.(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，则有P (X ＝0)＝P (B －A 0C －)＝P (B －)P (A 0)P (C －)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4) ＝0.06，P (X ＝1)＝P (BA 0C －＋B －A 0C ＋B －A 1C －)＝P (B )P (A 0)P (C －)＋P (B －)P (A 0)P (C )＋P (B －)P (A 1)P (C －)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4) ＝0.25，P (X ＝4)＝P (A 2BC )＝P (A 2)P (B )P (C )＝0.52×0.6×0.4＝0.06， P (X ＝3)＝P (D )－P (X ＝4)＝0.25，P (X ＝2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝3)－P (X ＝4) ＝1－0.06－0.25－0.25－0.06 ＝0.38， X 的分布列为数学期望E (X )＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＋4×P (X ＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.相互独立事件概率的求法(1)首先要搞清事件间的关系(是否彼此互斥、是否相互独立、是否对立)，正确区分“互斥事件”与“对立事件”．当且仅当事件A 和事件B 相互独立时，才有P (AB )＝P (A )·P (B )．(2)A ，B 中至少有一个发生：A ∪B .①若A ，B 互斥：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，否则不成立．②若A ，B 相互独立(不互斥)，则概率的求法：方法一：P (A ∪B )＝P (AB )＋P (AB －)＋P (A －B )；方法二：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝1－P (A －)P (B －)．(3)某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高准确率．要注意“至多”“至少”等题型的转化．条件概率在高考中经常作为解答题的一小问，或以选择题、填空题出现，难度较小，一般以直接考查公式的应用为主，分值约为5分．2(2015·湖北荆门模拟，20，12分)某工厂生产了一批产品共有20件，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件．求： (1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．【解析】 设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到次品”为事件B ，事件A 和事件B 相互独立．依题意得：(1)第一次抽到次品的概率为P (A )＝520＝14. (2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P (AB )＝520×419＝119.(3)方法一：在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝119÷14＝419.方法二：第一次抽到次品后，还剩余产品19件，其中次品4件，故第二次抽到次品的概率为P (B )＝419.(2015·湖北荆州质检，13)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A ＝“至少一次出现反面”，事件B ＝“恰有一次出现正面”，则P (B |A )＝________． 【解析】 由题意知，P (AB )＝323＝38，P (A )＝1－123＝78，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝3878＝37. 【答案】 37,条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）.注意：事件A 与事件B 有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P (AB )的求法．(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.1．(2016·湖北荆门一模，6)把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.181．A 由古典概型知P (A )＝12，P (AB )＝14，则由条件概率知P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1412＝12.2．(2016·河北石家庄质检，9)小明准备参加电工资格考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有两次考试机会，在理论考试环节，若第一次考试通过，则直接进入操作考试；若第一次未通过，则进行第二次考试，若第二次考试通过则进入操作考试环节，第二次未通过则直接被淘汰．在操作考试环节，若第一次考试通过，则直接获得证书；若第一次未通过，则进行第二次考试，若第二次考试通过则获得证书，第二次未通过则被淘汰．若小明每次理论考试通过的概率为34，每次操作考试通过的概率为23，并且每次考试相互独立，则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是( ) A.13 B.38 C.23 D.342．B 设小明本次电工考试中共参加3次考试为事件A ，小明本次电工考试中第一次理论考试没通过，第二次理论考试通过，第一次操作考试通过为事件B ，小明本次电工考试中第一次理论考试通过，第一次操作考试没通过为事件C ，则P (A )＝P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )，又P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×34×23＝18，P (C )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝14，所以P (A )＝18＋14＝38.3．(2015·河南郑州一模，10)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是( ) A.1127 B.1124 C.1627 D.9243．A 方法一：记事件A ：从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P (B )＝42＋4＝23，P (B －)＝1－23＝13；由条件概率公式知P (A |B )＝3＋18＋1＝49，P (A |B －)＝38＋1＝39.从而P (A )＝P (AB )＋P (AB －)＝P (A |B )·P (B )＋P (A |B －)·P (B －)＝1127，选A.方法二：根据题意，分两种情况讨论：①从1号箱中取出白球，其概率为26＝13，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱中取出红球的概率为13，则这种情况下的概率为13×13＝19.②从1号箱中取出红球，其概率为23.此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱中取出红球的概率为49，则这种情况下的概率为23×49＝827.则从2号箱中取出红球的概率是19＋827＝1127.4．(2016·江苏扬州一模，4)在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．4．【解析】 方法一：不妨设甲先抽奖，设甲中奖记为事件A ，乙中奖记为事件B ，两人都中奖的概率为P ，则P ＝P (AB )＝23×12＝13.方法二：甲乙从三张奖券中抽两张的方法有A 23＝6种，两人都中奖的可能有2种，设两人都中奖的概率为P ，则P ＝26＝13. 【答案】 135．(2016·江苏盐城二模，10)如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．5．【解析】 灯泡甲亮满足的条件是a ，c 两个开关都开，b 开关必须断开，否则短路．设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则甲灯亮应为事件AB －C ，且A ，B ，C 之间彼此独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，由独立事件概率公式知P (AB －C )＝P (A )P (B －)P (C )＝12×12×12＝18.【答案】 186．(2016·湖南常德一模，18，12分)某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取(不足一小时按一小时计算)．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为13，12；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为12，13，且两人租车的时间都不超过4小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相等的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望． 6．解：(1)甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元， 甲、乙两人所付费用都是10元的概率为P 1＝13×12＝16. 甲、乙两人所付费用都是20元的概率为P 2＝12×13＝16.甲、乙两人所付费用都是30元的概率为P 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13＝136.故甲、乙两人所付费用相等的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝1336. (2)随机变量ξ的取值可以为20，30，40，50，60. P (ξ＝20)＝12×13＝16. P (ξ＝30)＝13×13＋12×12＝1336.P (ξ＝40)＝12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×12＝1136.P (ξ＝50)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×13＝536. P (ξ＝60)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13＝136.故ξ的分布列为∴ξ的数学期望是Eξ＝20×16＋30×1336＋40×1136＋50×536＋60×136＝35. 7．(2016·山东德州一模，18，12分)某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A ，B ，C ，若A ，B ，C 实验成功的概率分别为45，34，23.(1)对A ，B ，C 实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；(2)该项目要求实验A ，B 各做两次，实验C 做三次，如果A 实验两次都成功则进行实验B 并获奖励10 000元，两次B 实验都成功则进行实验C 并获奖励30 000元，三次实验C 只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60 000元(不重复得奖)．且每次实验相互独立，用X 表示技术人员所获奖励的数值，写出X 的分布列及数学期望．7．解：(1)设A ，B ，C 实验成功分别记为事件A ，B ，C 且相互独立，A ，B ，C 至少有一次实验成功为事件D .则P (D )＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－15×14×13＝5960.(2)X 的取值为0，10 000，30 000，60 000.则P (X ＝0)＝15＋45×15＝925.P (X ＝10 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34×14＝725.P (X ＝30 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫233－C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝775.或P (X ＝30 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×23×13＝775. P (X ＝60 000)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝415.∴X 的分布列为∴X 的数学期望是 E (X )＝0×925＋10 000×725＋30 000×775＋60 000×415＝21 600(元)．1．(2015·湖北，4，易)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是( )A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)1．C由正态分布密度曲线可得，μ1＜μ2，σ1＜σ2.结合正态曲线的概率的几何意义，对于A，∵μ1＜μ2，∴P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)；对于B，∵σ1＜σ2，∴P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)；对于C，D，结合图象可知，C正确．2．(2015·课标Ⅰ，4，中)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3122．A记A i＝{投中i次}，其中i＝1，2，3，B表示该同学通过测试，故P(B)＝P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)＝C23×0.62×0.4＋C33×0.63＝0.648.3．(2015·湖南，7，中)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.A．2 386 B．2 718C．3 413 D．4 7723．C由于曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线，则阴影部分面积为S＝0.682 62＝0.341 3，∴落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31＝3 413.故选C.4．(2016·四川，12，易)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．4．【解析】 由题可知：在一次试验中成功的概率P ＝1－14＝34，而该试验是一个2次的独立重复试验，成功次数X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34，∴E (X )＝2×34＝32.【答案】 325．(2015·广东，13，中)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.5．【解析】 由E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )，得⎩⎨⎧np ＝30，np （1－p ）＝20，解得p ＝13.【答案】 136．(2012·课标全国，15，中)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．6．【解析】 由题意知每个电子元件使用寿命超过1 000小时的概率均为12，元件1或元件2正常工作的概率为1－12×12＝34，所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为12×34＝38.【答案】 387．(2013·山东，19，12分，中)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是23.假设每局比赛结果相互独立． (1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X 的分布列及数学期望．7．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故 P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427.所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝19， 故乙队得分X 的分布列为数学期望E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.二项分布是一种重要的概率模型，在高考中经常出现，选择题、填空题、解答题都可能出现，解答题出现频率更高，一般会综合相互独立、互斥或对立事件等知识进行考查，难度中等．1(2014·辽宁，18，12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，所以X的分布列为因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.(1)读图→计算小矩形面积，得相应概率→利用独立事件的概率公式求解(2)确定X的所有可能值→运用n次独立重复试验计算公式，得相应概率→列出分布列→利用二项分布求出期望和方差(2012·天津，16，13分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望E (ξ)．解：依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4)， 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i. (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4，由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫231＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.所以这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)ξ的所有可能的取值为0，2，4，由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781. 所以ξ的分布列为故E (ξ)＝0×827＋2×4081＋4×1781＝14881.n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次可看作是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k 个A 事件与n －k 个A －事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k (1－p )n －k .因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1－p )n －k.判断某随机变量是否服从二项分布的方法(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．正态分布及其应用在近几年新课标高考中时常出现，主要考查正态曲线的性质(特别是对称性)，常以选择题、填空题的形式出现，难度较小；有时也会与概率与统计结合，在解答题中考查．2(1)(2015·辽宁十校联考，7)设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2(2)(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 【解析】 (1)由正态分布N (μ，σ2)的性质知，x ＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.(2)由正态分布的概率公式知P (－3<ξ<3)＝68.26%，P (－6＜ξ＜6)＝95.44%，故P(3<ξ<6)＝12[] P（－6<ξ<6）－P（－3<ξ<3）＝12(95.44%－68.26%)＝13.59%.【答案】(1)A(2)B1.(2015·广东佛山一模，7)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)＝()A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 51．B由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(X>4)＝1－P（2≤X≤4）2＝0.5－12×0.682 6＝0.158 7，故选B.2．(2016·江西八校联考，6)在某次数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80，120)内的概率为0.8，则ξ在(0，80)内的概率为() A．0.05 B．0.1 C．0.15 D．0.22．B由题意得，P(80<ξ<100)＝P(100<ξ<120)＝0.4，P(0<ξ<100)＝0.5，∴P(0<ξ<80)＝0.1.,利用正态曲线的对称性求概率的方法(1)解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断．(2)对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知：①对任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；②P(X<x0)＝1－P(X≥x0)；③P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．(3)对于特殊区间求概率一定要掌握服从N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率，将所求问题向P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)转化，然后利用特定值求出相应概率．同时，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质．1．(2016·贵州八校联考，3)设随机变量ξ～N(2，4)，若P(ξ>a＋2)＝P(ξ<2a－3)，则实数a的值为()A ．1 B.53 C ．5 D ．91．B 因为P (ξ>a ＋2)＝P (ξ<2a －3)，所以由正态分布的对称性知，（a ＋2）＋（2a －3）2＝2，解得a ＝53.2．(2015·河南郑州二模，9)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( ) A.49 B.29 C.429 D.2272．A 由独立重复试验的概率公式，知所求概率P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49. 3．(2015·福建福州模拟，5)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.9773．C ∵μ＝0，正态曲线关于μ＝0对称， ∴P (ξ＞2)＝P (ξ＜－2)＝0.023，∴P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C.4．(2015·豫北六校联考，10)设ξ是服从二项分布B (n ，p )的随机变量，又E (ξ)＝15，D (ξ)＝454，则n 与p 的值分别为( ) A ．60，34 B ．60，14 C ．50，34 D ．50，144．B 由ξ～B (n ，p )，得E (ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np (1－p )＝454，则p ＝14，n ＝60. 5．(2016·山西四校联考，14)设随机变量X ～N (3，σ2)，若P (X >m )＝0.3，则P (X >6－m )＝________.5．【解析】 因为P (X >m )＝0.3，X ～N (3，σ2)，所以m >3，P (X <6－m )＝P (X <3－(m －3))＝P (X >m )＝0.3，所以P (X >6－m )＝1－P (X <6－m )＝0.7.【答案】 0.76．(2016·河北唐山一模，18，12分)小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个，记乙所得红包的总钱数为X (单位：元)，求X 的分布列和期望．6．解：(1)设“甲恰得1个红包”为事件A ，则P (A )＝C 12×13×23＝49. (2)X 的所有可能取值为0，5，10，15，20. P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (X ＝5)＝C 12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827，P (X ＝10)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝627＝29.P (X ＝15)＝C 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝427， P (X ＝20)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.所以X 的分布列为E (X )＝0×827＋5×827＋10×29＋15×427＋20×127＝203(元)．7．(2016·江西南昌一模，18，12分)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)(满分为100分)，已知P (X <75)＝0.3，P (X ≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，85)，[85，95)，[95，100]各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75，85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.7．解：(1)P(80≤X<85)＝P(75<X≤80)＝0.5－P(X≤75)＝0.2，P(85≤X<95)＝0.5－0.2－0.1＝0.2，所以所求概率P＝A33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X<75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3，0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝C13×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝C23×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以随机变量ξ的分布列是E(ξ)＝3×0.4＝1.2(人)．1．(2013·广东，4，易)已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)＝()A.32B．2 C.52D．31．A由数学期望公式得E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.2．(2014·浙江，9，难)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n 个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放入甲盒中．(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1，2)；(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i(i＝1，2)．则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2) 2．A 随机变量ξ1，ξ2的分布列如下：所以E (ξ1)＝n m ＋n ＋2m m ＋n ＝2m ＋nm ＋n， E (ξ2)＝C 2n C 2m ＋n ＋2C 1m C 1n C 2m ＋n ＋3C 2mC 2m ＋n ＝3m ＋n m ＋n，所以E (ξ1)<E (ξ2)．因为p 1＝m m ＋n ＋n m ＋n ·12＝2m ＋n 2（m ＋n ），p 2＝C 2m C 2m ＋n ＋C 1m C 1n C 2m ＋n ·23＋C 2nC 2m ＋n ·13＝3m ＋n 3（m ＋n ），p 1－p 2＝n 6（m ＋n ）>0，所以p 1>p 2.思路点拨：列出随机变量ξ1，ξ2的分布列，计算期望值并比较大小；利用分步计数原理计算p 1，p 2并比较大小．3．(2014·浙江，12，易)随机变量ξ的取值为0，1，2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.3．【解析】 设ξ＝1时的概率为p ，则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－p －15＝1，解得p ＝35，故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.【答案】 254．(2016·课标Ⅰ，19，12分，中)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需要更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？4．解：由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，EY＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.5．(2016·天津，16，13分，中)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．5．解：(1)由已知，得P(A)＝C13C14＋C23C210＝13.所以，事件A发生的概率为1 3.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝C23＋C23＋C24C210＝415，P(X＝1)＝C13C13＋C13C14C210＝715，P(X＝2)＝C13C14C210＝415.所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望EX＝0×415＋1×715＋2×415＝1.6．(2016·山东，19，12分，中)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮。
计数原理概率随机变量及其分布第七节二项分布正态分布及其应用课件
显著性水平
显著性水平是假设检验中用于确定临界值的概率值。
拒绝域
拒绝域是假设检验中用于决定是否拒绝假设的区域。
THANKS
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相关系数具有对称性、范围性、无量 纲性等性质，它可以用来判断两个随 机变量之间的线性相关关系。
06
大数定律与中心极限定理
大数定律的定义及性质
定义
在试验次数很大时，频率的极限就是概率。
性质
大数定律表明，当试验次数足够多时，频率的分布接近于概率的分布。
中心极限定理的定义及性质
定义
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的随机 变量，且具有相同的分布函数，F(x)为其分 布函数，则对于任意实数a，有P(at≤Xn≤a+t)=1-Φ(t/σn)+O(1/n^2)，其中 Φ(x)是标准正态分布函数，σn是 X1,X2,...,Xn的方差，t是任意实数。
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间的线 性关系，它描述了两个随机变量之间 的联动关系。
协方差的性质
协方差具有可加性、可乘性和可微性 等性质，它还可以表示为相关系数、 皮尔逊相关系数等。
相关系数的定义
相关系数是协方差与两个随机变量各 自方差的比值，它描述了两个随机变 量之间的线性相关程度。
相关系数的性质
二项分布的方差为np(1-p)，方差反 映了成功的次数的波动程度。
当p=0.5时，二项分布的期望值和方 差都达到最大，此时分布曲线最为分 散。
二项分布的应用
01
02
03
应用于组合数学
在组合数学中，二项式系 数和组合数都与二项分布 有关。
应用于保险精算
在保险精算中，二项分布 被用来计算在一定次数的 独立试验中成功的次数所 对应的概率。
第七章随机变量及其分布教学计划
第七章随机变量及其分布教学计划英文回答：Chapter 7: Random Variables and their Distributions Teaching Plan.In this chapter, we will be exploring the concept of random variables and their distributions. Random variables are a fundamental concept in probability theory and are used to model uncertain events or outcomes.To start off the lesson, I would introduce the concept of random variables using relatable examples. For instance, I could ask the students to imagine flipping a coin and define a random variable as the number of heads that occur. This would help them understand that a random variable is simply a numerical value that is determined by a random event.Next, I would explain the different types of randomvariables, such as discrete and continuous random variables.I would use examples to illustrate the differences between the two. For example, I could discuss the random variable representing the number of students in a class (discrete) versus the random variable representing the weight of the students (continuous).After establishing the basics, I would move on to discussing the probability distribution of a random variable. I would explain that the probability distribution describes the likelihood of each possible outcome of the random variable. To make this concept more relatable, I could use the example of rolling a fair six-sided die and discuss the probability distribution of the outcomes.To further reinforce the understanding of probability distributions, I would introduce the concept of expected value and variance. I would explain that the expected value is the average value of a random variable, while the variance measures the spread or variability of the random variable's values. I could use the example of a game of chance to demonstrate how expected value and variance arecalculated.To provide a practical application of random variables and their distributions, I would discuss real-world examples such as the binomial distribution, which is used to model the number of successes in a fixed number of independent Bernoulli trials. I could use the example of flipping a coin multiple times to demonstrate the binomial distribution.In addition to theoretical explanations, I would incorporate interactive activities and exercises throughout the lesson to engage the students and reinforce their understanding. For example, I could provide a worksheet with problems related to random variables and their distributions, allowing the students to apply the concepts they have learned.Overall, my teaching plan for Chapter 7 would involve introducing the concept of random variables, explaining the different types of random variables, discussing probability distributions, expected value, and variance, and providingreal-world examples and interactive activities to reinforce the concepts.中文回答：第七章，随机变量及其分布教学计划。
《概率论与数理统计》第二章 随机变量及其分布教案
第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及其分布教学目的要求：使学生掌握随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的概念及其分布,会应用这些概念、分布求分布列.教材分析：1.概括分析：概率论所要考察的是与各种随机现象有关的问题,并通过随机试验从数量的侧面来研究随机现象的统规律性.为此,就有必要把随机试验的每一个可能的结果与一个实数联系起来.随机变量正是为适应这种需要而引进的。
随机变量实质上是定义在样本空间Ω={e}上的一个实值单值函数X(e).从此,对随机事件的研究转变为对随机变量的研究,通过随机变量将各个事件联系起来,进而去研究随机试验的全部结果.而且,随机变量的引入,使我们有可能借助于微积分等数学工具,把研究引向深入.2.教学重点：随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的概念及其分布函数.3.教学难点：求随机变量分布函数.教学过程：在第一章里,我们研究了随机事件及其概率,可以会注意到,在某些例子中,随机事件和实数之间存在着某种客观的联系.例如,在伯努利概型这一节中,曾经讨论过“在n 重伯努利试验中,事件A 出现k 次”这一事件的概率,如果令ξ＝n 重伯努利试验中事件A 出现的次数则上述“n 重伯努利试验中事件A 出现k 次”这个事件就可以简单地记作(ξ=k),从而有P(ξ=k)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n p k q n-k.并且ξ所有可能取到的数值也就是试验中事件A 可能出现的次数:0,1,…,n.在另一些例子中,随机事件与实数之间虽然没有上述那种“自然的”联系,但是我们常常可以人为地给它们建立起一个对应关系.例如抛掷一枚均匀的硬币,可能出现正面,也可能出现反面,现在约定若试验结果出现正面,令η=1,若试验结果出现反面,令η=0,这时就有:{试验结果出现正面}＝(η=1),{试验结果出现反面}＝(η=0).在上述例子中,对每一个试验结果ω,自然地或人为地对应着一个实数X(ω),这与高等数学中熟知的“函数”概念本质上是一致的.只不过在函数概念中,函数f(x)的自变量是实数x,而在X(ω)的自变量是样本点ω.因为对每一个试验结果ω,都有实数X(ω)与之对应,所以,X(ω)的定义域是样本空间,显然值域是实数域.显然，一般来讲此处的实数X 值将随ω的不同而变换，它的值因ω的随机性而具有随机性，我们称这种取值具有随机性的变量为随机变量。
概率论与数理统计ch2随机变量及其分布课件
数学期望
对于随机变量的函数变换$g(X)$，其数 学期望的计算公式为： E[g(X)]=∫−∞∞g(x)f(x)dxF[G(X)]=int_{infty}^{infty} g(x) f(x) dxF[G(X)]=∫−∞∞g(x)f(x)dxF(x)−∞∫g( x)dxF其中，f(x)f(x)f(x)是随机变量X的概 率密度函数。
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数学期望
方差
03
连续型随机变量
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能取值是某个区间上的所有实数，并且X取这个区间 内任一实数值的概率不为0，则称X为连续型随机变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量的数学工具，其定义域为实数轴上的区间，值域为[0,∞)， 表示随机变量取某个值的概率。
VS
方差
对于随机变量的函数变换g(X)，其方差的 计算公式为： D[g(X)]=∫−∞∞[g(x)−E[g(X)]]2f(x)dxF[ G^2(X)]=int_{-infty}^{infty} [g(x)E[g(X)]]^2 f(x) dxF[G2(X)]=∫−∞∞[g(x)−E[g(X)]]2f(x)d xF其中，f(x)f(x)f(x)是随机变量X的概率 密度函数。
常见的多维随机变量及其分布
二维正态分布
二项分布
二维正态分布是一种常见的多维随机 变量分布，它由两个正态分布的随机 变量组成，具有许多重要的性质和应 用。
二项分布是一种离散型多维随机变量 的分布，它描述了n次独立重复试验 中成功的次数。
多元正态分布
多元正态分布是多维正态分布的推广， 它由多个正态分布的随机变量组成， 可以用来描述多个相互关联的随机变 量的联合概率分布。
概率论与数理统计 第二章随机变量及其分布剖析PPT课件
射手射击击中目标.
这种对应关系在数学上表现为一种实值函数.
w.
X(w) R
对于试验的每一个样本点w,都对应着一个实数 X(w),而X(w)是随着实验结果不同而变化的一个 变量。
机
随机变量的定义
设 随 机 实 验 E的 样 本 空 间 ， 若 对 每 一 个 样 本 点
， 都 有 唯 一 的 实 数 X()与 之 对 应 ,则 称 X()为 随 机 变 量 ， 简 记 为 X.
P (X k ) ( 1 p )k 1 p , (k 1 ,2 , )
则称随机变量X服从以p为参数的几何分布，
记作
X ~G(p) 。
超几何分布
设N个元素分为两类，有M个属于第一类，N-M
个属于第二类。现在从中不重复抽取n个，其 中包含的第一类元素的个数X的分布律为
P(Xk)CM kC C N n N n kM, (k0,1, ,l) 其中l=min{M,n}, 则称随机变量X服从参数为 的超几何分布，记作 X~H(N,M,n)
由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件 出现的次数近似地服从泊松分布.
例5. 某车间有5台车床,由于种种原因(由 于装、卸工作等),时常需要停车.设各 台车床的停车或开车是相互独立的. 若车床在任一时刻处于停车状态的 概率是1/3,求车间中恰有一台车床处 于停车状态的概率。
解：X:处于停车状态的车床数
密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映 X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在 某点密度曲线的高度反映了概率集中在该 点附近的程度.
f (x)
o
x
例1 :某型号电子管的寿命X(小时）的概率密度为
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（ ＝1 、2 、3 、· · · 、10） (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个， 其中所含白球数 ． （ ＝0 、1 、2 、3 ） （3）抛掷两个骰子，所得点数之和 ．
9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2
(1) pi ≥ 0, i 1 ， 2， 3，
(2) p1 p2 p3 1
• 确定X的可能取值 xi(i=1,2,3,……) • 求出相应的概率P(X=Xi)=pi • 列成表格的形式
例２.从装有６只白球和４只红球的口 袋中任取一只球，用X表示“取到的白 球个数”，即 1• (当取到白球) X 0• (当取到红球)
随机变量及其概率分布
按事件结果发生与否来进行分类 :
定义1：在一定条件下必然要发生的事件叫 必然事件。
P=1
定义2：在一定条件下不可能发生的事件叫
不可能事件。
P=0
定义3：在一定条件下可能发生也可能不发生 的事件叫随机事件。 0≤P≤1
事件A的概率： 一般地，在大量重复进行同一 试验时，事件A发生的频率 m/n 总是接近于 某个常数，在它附近摆动。这个常数叫做事件 A 的概率，记作 P(A)。
例1.(1)掷一枚质地均匀的硬币一次, 用 Ｘ表示掷得正面的次数, 则随机变量Ｘ的
可能取值有哪些? (2)一个实验箱中装有标号为1 , 2 , 3 , 3 , 4 的五只白鼠, 从中任取一只, 记取 到的白鼠的标号为Y, 则随机变量Y的可能 取值有哪些?
练习.写出下列随机变量可能取的值, 并说明 随机变量所取的值和所表示的随机试验的结
(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数 ．
, 3, 2 , 1
练习二:
1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( D )
(A)两次出现的点数之和
(B)两次掷出的最大点数 (C)第一次减去第二次的点数差 (D)抛掷的次数
注:随机变量即是随机试验的试验结果和实数之间的一种 对应关系.
的取值有1、2、3、4、5、6 解：
则
1 P( 1) 6 1 P( 4) 6
1 6 1 P( 5) 6
P( 2)
1 6 1 P( 6) 6
P( 3)
列成 表的 形式
1
1 6
2
1 6
3
1 6
4
1 6
5
1 6
6
1 6
P
该表不仅列出了随机变量 的所有取值． 而且列出了 的每一个取值的概率．
“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第 二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号．
思维训练:
一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往 外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜 色，然后放回，直到红球出现10次时停止， 停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则 9 2 10 C11 5 3 P(ξ=12)=___________。（用式子表示） 12 8
(2) P (ξ>4)=?
1 36
答:(1)因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4， 5 ≤ ≤ 5 5，6六种结果之一，由已知得 ，也就是 说“ ＞4”就是 “ ＝5”．所以，“ ＞4”表示第一枚为6点，第 二枚为1点．
思维训练:
1.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、 2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条 件下取出两个小球，设两个小球号码之和 为 ，则 所有可能值的个数是____ 9 个；“ 4 ”表示 ．
情况数
1 2
11 9
3
4 5 6
7
5 3 1
(6,6)
例5：一袋中装有5只球，编号分别为 1,2,3,4,5，在袋中同时取3只球，用ξ表示取 出的3只球中最大号码，写出随机变量ξ的概 率分布。
思维训练:
抛掷一枚骰子两次，记第一次骰子掷出的 点数减去第二次骰子掷出的点数的差为ξ， 试问: (1)“ξ>4”表示的试验结果是什么？
例4.同时抛掷两颗质地均匀的骰子, 观察朝 上一面出现的P(2<Ｘ<5) .
X的值
出现的点
（1，1） （2，2）（2，1）（1，2） （3，3）（3，2）（3，1）（2，3）（1，3）
情况数
1 2 3 4
5 6
（4，4）（4，3）（4，2）（4，1）（3，4））（2，4） （1，4）
果. (1)袋中有大小相同的红球10个, 白球5个, 从袋中每次任取1个球, 直到取出的球是白球 为止, 所需要的取球次数. (2)从标有1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6的6张卡 片中任取2张, 所取卡片上的数字之和.
问题：抛掷一枚骰子，所得的点数 有哪些值？ 取每个值的概率是多少？
求随机变量X的概率分布
Ｘ Ｐ
０ ２/５
１ ３/５
特殊的分布:
本题中，随机变量X只取两个可能值0和1．像这样的 例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命 中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格” 等．我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，
特点:随机变量X的取值只有两种可能
记法:X～0-1分布或X～两点分布 “～”表示服从
5 36
4
7 36
5
9 36
6
11 P 36 5 7 1 从而P(2 X 5) P( X 3) P( X 4) 36 36 3
变式：
上式中求“两颗骰子出现的较小点 数X的概率分布”
X的值
出现的点
（1，1） （1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（3，1） （4，1）（5，1））（6，1） （2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，2）（4，2）（5， 2））（6，2） （3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，3）（5，3）（6，3) （4，4）（4，5）（4，6）（5，4）（6，4） （5，5）（5，6）（6，5）
（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（4，5）（3， 5））（2，5）（1，5） （6，6）（6，5）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）（5，6） （4，6）（3，6））（2，6）（1，6）
1 3 5 7
9 11
解： 由古典概型可知X的概率分布如表所示．
X
1
1 36
2
3 36
3
●
上述现象有哪些共同特点？
随机变量:如果随机实验的结果可以用一个变量来表示. 表示方法：随机变量常用大写字母X,Y,Z或希腊字母 ξ 、η 、 ζ 等表示。 附:随机变量的特点：(1)可以用数表示；(2)试验之前可 以判断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不可能确定取 何值。
练习一:写出下列各随机变量可能的取值:
①求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复试验。 ②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事 件A的概率 ③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。 ④概率反映了随机事件发生的可能性的大小。
⑤随机事件A在n次试验中发生m次，则0≤m ≤n 因此 0≤P（A）≤1 。 ⑥必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0
1、古典概率
m P ( A) n
2、几何概型
d的测度 P( A) D的测度
3、互 斥 事 件
如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
问题情境
1、 在一块地里种下10棵树苗，成活的 棵数X是0,1，2，… ，10中的某个数； 2、抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2， 3，4，5，6中的某个数； 3、新生婴儿的性别，抽查的结果可能是 男，也可能是女。如果将男婴用0表示，将 女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0或1中的 某个数；
定义:概率分布 设离散型随机变量ξ可能取值为 x1 , x2 ,
, xi
pi
ξ取每一个值xi (i 1, 2, )的概率 P( xi ) 简称x的分布列. ξ x1 x 2 … xi … 表
p p1 p2 … pi …
称为随机变量的概率分布表 说明:离散型随机变量的分布列具有下述 两个性质：