2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国1卷)理科数学试题及解答(WORD版)

2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）数学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：（1）设集合则},2|{},0|{2<=<-=x x N x x x M （A ）φ=N M（B ）M N M = （C ）M N M = （D ）R N M =（2）已知函数xe y =的图像与函数)(xf y =的图像关于直线x y =对称,则 （A ）)()2(2R x e x f x∈= （B ）)0(ln 2ln )2(>⋅=x x x f （C ）)(2)2(R x e x f x ∈= （D ）)0(2ln ln )2(>+=x x x f（3）双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍,则=m（A ）41-（B ）4- （C ）4 （D ）41（4）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =（）球的表面积公式S=42R π 其中R 表示球的半径，球的体积公式 V=334R π， 其中R 表示球的半径A ．1B ．-1CD ． （5）函数()tan()4f x x π=+的单调增区间为（）A ．(,),22k k k Z ππππ-+∈ B ．(,(1)),k k k Z ππ+∈ C ．3(,),44k k k Z ππππ-+∈ D ．3(,),44k k k Z ππππ-+∈（6）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（）A ．14 B ．34C ．4D ．3（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π（8）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（） A ．43 B ．75 C ．85D ．3 （9）设平面向量123,,a a a 的和1230a a a ++=，如果平面向量123,,b b b 满足||2||i i b a =，且i a 顺时针旋转30︒后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（） A ．1230b b b -++= B ．1230b b b -+= C ．1230b b b +-= D ．1230b b b ++=（10）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315,a a a ++=12380a a a =，则111213a a a ++=（）A ．120B ．105C ．90D ．75（11）用长度分别为2,3,4,5,6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A ．2B ．2C ．2D ．220cm（12）设集合{1,2,3,4,5}I =，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（）A ．50种B ．49种C ．48种D ．47种第Ⅱ卷二．本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．13．已知正四棱椎的体积为12，地面的对角线为，则侧面与底面所成的二面角为____________14设2z y x =-,式中x,y 满足下列条件2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 的最大值为___________15．安排7位工作人员5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙两人不安排在5月1日和5月2日，不同的安排方法数共有____________16．设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()`()f x f x +是奇函数，则ϕ=__________三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） (17)三角形ABC 的三个内角A 、B 、C ，求当A 满足何值时cos 2cos2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值(18)(本题满分12分)A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。

每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效。

若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组。

设每只小白鼠服用A 有效的概率为32,服用B 有效的概率为21. （Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望。

(19)(本题满分12分)如图，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。

点A 、B 在1l 上，C 在2l 上，AM=MB=MN 。

（Ⅰ）证明AC ⊥NB（Ⅱ）若︒=∠60ACB ,求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.(20)（12分）在平面直角坐标系xoy 中，有一个点1(0,F和2F 为焦点，的椭圆，设椭圆在第一象限的部分曲线为C,动点P 在C 上，C 在P 点处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+，求 （Ⅰ）点M 的轨迹方程； （Ⅱ）OM 的最小值（21）（本小题满分14分） 已知函数1().1axx f x e x-+=- （Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；（Ⅱ）若对任意(0,1)x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围。

（22）（本小题满分12分） 设数列{}n a 的前n 项和14122,1,2,3,.333n n n S a n +=-⨯+=（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2,1,2,3,,nn nT n S ==证明：13.2ni i T =<∑2006年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。

1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.C 8.B 9.C 10.B 11.B 12.D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。

13．155 14.70 15.100 16.①③④ 三．解答题（17）本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。

满分12分。

解：（I ）∵x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴， ∴sin(2×8π+ϕ)=±1，∴4π+ϕ=k π+2π，k ∈Z. ∵-π<ϕ<0,∴ϕ=-43π. （II ）由（I ）知ϕ=-43π，因此 y=sin(2x-43π). 由题意得2k π-2π≤2x-43π≤2k π+2π,k ∈Z. 所以函数y=sin(2x-43π)的单调增区间为 [k π+8π,k π+85π],k ∈Z.(III)由y=sin(2x-3π)知故函数y=f(x)在区间[0，π]上的图像是（18）本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力，满分12分。

方法一：（I ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥PCD.（II ）解：过点B 作BE ∥CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角. 连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2， 所以四边形ACBE 为正方形.由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90°， 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5，cos ∠PBE=,510=PB BE ∴AC 与PB 所成的角为arccos510. (III)解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC ，∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角。

∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM⋅-22)2(. ∴AN=5625223=⨯.∵AB=2，∴cos ∠ANB=.322222-=⨯⨯-+BN AN AB BN AN 故所求的二面角为arccos(-32). 方法二：因为PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,21). (I)证明：因=(0,0,1),=(0,1,0),故·=0,所以AP ⊥DC. 又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD 。

又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD. （II ）解：因=(1,1,0),=(0,2,-1),故||=2，||=5，·=2，所以cos<·PB .510由此得AC 与PB 所成的角为arccos.510 （III ）解：在MC 上取一点N(x,y,z),则存在λ∈R ，使=λ，=(1-x,1-y,-z),=(1,0,-21),∴x=1-λ,y=1,z=21λ. 要使AN ⊥MC 只需·=0,即 x-21z=0,解得λ=54. 可知当λ=54时,N 点坐标为(51,1,52),能使·=0. 此时,AN =(51,1,52),BN =(51,-1,52),有BN ·MC =0. 由·=0,·=0得AN ⊥MC,BN ⊥MC.所以∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵||=530,||=530,·=-54. ∴cos<,.32||||-=⋅BN AN故所求的二面角为arccos(-32). (19)本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分。