概率统计 复习题
概率统计复习习题
概率统计综合练习1 一个不透明的口袋内装有材质、重量、大小相同的7个小球，且每个小球的球面上要么只写有数字“08”，要么只写有文字“奥运”.假定每个小球每一次被取出的机会都相同，又知从中摸出2个球都写着“奥运”的概率是71。
现甲、乙两个小朋友做游戏，方法是：不放回从口袋中轮流摸取一个球，甲先取、乙后取，然后甲再取，直到两个小朋友中有1人取得写着文字“奥运”的球时游戏终止，每个球在每一次被取出的机会均相同. （1）求该口袋内装有写着数字“08”的球的个数； （2）求当游戏终止时总球次数不多于3的概率.2设每门高射炮命中飞机的概率为0.6，试求：（1）两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机的概率；（2）若今有一飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99％的概率命中它？3 已知8人组成的抢险小分队中有3名医务人员，将这8人分为A 、B 两组，每组4人. （1）求A 、B 两组中有一组恰有一名医务人员的概率； （2）求A 组中至少有两名医务人员的概率； （3）求A 组中医务人员人数 的分布列.4 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m 个球，乙袋中共有2m 个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为2P . （1）若m =10，求甲袋中红球的个数；（2）若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求2P 的值； （3）设2P =15，从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次，求摸出的3个球中恰有2个红球的概率.5 某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试。
甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是45和34.假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.（1）求甲连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过的概率；（2）求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲恰好通过2次且乙恰好通过1次的概率；（3）工厂规定：工人连续2次没通过测试,则被撤销上岗资格.求乙恰好参加4次测试后，被撤销上岗资格的概率.6 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球均为黑球的概率；（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列．，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名7甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．8 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
概率统计复习题201301
概率统计重修复习题型填空题：1. 已知P (A )=0.4，P (B )=0.6，P (AB ) =0.2，则P (A ∪B )= 。
2. 已知P (A )=0.3，P (B )=0.5，P (A ∪B )=0.7，则=)(A B P 。
3. 已知P (A )=0.5，P (B )=0.4，P (A ∪B )=0.7，则=-)(B A P 。
4. 已知P (B )=0.1，则P (B ) = 。
5. 从5双鞋子中选取4只，这4只鞋中恰有两支配成一双的概率为 。
6. 一袋中有20个乒乓球，其中8个是黄球，12个是白球. 今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回。
则第二个人取得黄球的概率是 。
7. 有6支笔，其中2支蓝笔，4支红笔. 今有3人依次随机地从中各取一支笔，取后不放回。
则第三个人取得红笔的概率是 。
8. 已知随机变量X 的密度为，其他⎩⎨⎧<<=,010,)(x x a x f 则a = 。
9. 设X 是连续型随机变量，则P {X = 5} = 。
10. 设随机变量X 的概率密度为)1(1)(2x x f +=π,+∞<<∞-x ,则Y = 2X 的概率密度为 。
11. 设二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ，则X Y +的概率密度函数()X Y f z += 。
12. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的分布函数为F (x ), Y 的分布函数为G (x )，则 Z = max{ X ,Y }的分布函数为 。
13. 设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X 的概率密度函数为f (x ), Y 的概率密度函数为g (y )，则X 与Y 的联合概率密度函数(,)f x y = 。
14. 设随机变量X 服从指数分布，且=)(X D 0.2，则=)(X E 。
15. 设随机变量X 服从泊松分布，且=)(X D 0.3，则=)(X E 。
概率统计D复习题
概率统计D 复习题一、填空题1．已知事件A 与B 相互独立，并且3.0)(,4.0)(==B P A P ，则=)(B A P Y ．2．在书架上任意放上20本不同的书，其中指定的两本书放在首未的概率是 ．3．已知,21)|(,31)|(,41)(===B A P A B P A P 则=)(B A P Y ． 4．已知，A , B 两个事件满足条件)()(B A P AB P Y =，且p A P =)(，则=)(B P ．5．设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，如果已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为 ． 6．同时抛掷3枚硬币，以X 表示出正面的个数，则X 的概率分布为 ．7．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=,,0,10,2)(其他x x x f 用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则{}==2Y P ．8．设随机变X ，Y 服从同一分布，X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=,,020,83)(2，x x x f 其他设{}a X A >=与{}a Y B >=相互独立，且{}43=B A P Y ，则=a ． 9．设随机变量X ～),2(2σN ，且{}3.042=<<X P ，则{}=<0X P ． 10．设随机变量X 的概率分布为则a = ；Y =-2X 的分布律为 ；X Y =的分布律为 ．11．若二维随机变量（X , Y ）的区域{}222|),(R y x y x ≤+上服从均匀分布，则（X ，Y ）的密度函数为 ．12．将一枚硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数．以Y 表示三次中出现正面次数与反面次数之差的绝对值，则X 和Y 的联合分布率为 ．13．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+-其他,0,1,1,),(21y x x e y x f y则=)(x f X ，=)(y f Y ．14．设随机变量X 的分布律为则=)(X E ，=)(X E ，)53(2+X D ．15．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<=其他,01,)(3x x Ax f则A = ，=)(X E ．16．设)4,1(~N X ，则=)(X E ，=)(X D ． 17．已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，X Y 312-=，则=)(Y E ，=)(Y D ．18．设2)(,)(σμ==X D X E ，由切比雪夫不等式知+<<-μσμX P 3{≥}3σ ．19．从一批零件的毛坯中随机抽取8件，测得它们的重量（单位：kg ）为230,243,185,240,228,196,246,200则样本均值=x ，样本方差=2S ，S = ，样本二阶原点矩=2a ，样本二阶中心矩=2b ．20．设总体n X X X N X ,,,),,(~212Λσμ是来自总体X 的样本，则~X ，=)(X E ，=)(X D ．21．设总体n X X X n X ,,,),(~212Λχ是来自总体X 的样本，则=)(X E ，=)(X D ，=)(X E ，=)(X D ．22．设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-0,00,e )(x x x f x λλ n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本，则n X X X ,,,21Λ的联合概率密度=),,,(21n x x x f Λ ．23．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其中0>λ为未知，nX X X ,,,21Λ为来自总体X 的样本，则λ的矩估计量为=λˆ ． 24．设总体n X X X p m B X ,,,);,(~21Λ是来自总体X 的样本，则未知参数p 的极大似然估计量为=Pˆ ． 25．设总体22),,(~σσμN X 为已知，μ为未知，n X X X ,,,21Λ为来自总体的样本，则参数μ的置信度为α-1的置信区间为 ．26．当原假设0H 正确时作出的决定却是拒绝0H ，则称此类错误为犯第 类错误．27．设总体),(~2σμN X ，2σ未知，检验假设00:μμ=H 的检验统计量为 ．二、单选题1．已知====)(,8.0)|(,6.0)(,5.0)(B A P A B P B P A P Y （ ）．（A ）0.5； （B ）0.6； （C ）0.7； （D ）0.8．2．从0,1,2,…,9这十个数字中任取四个，则能排成一个四位偶数的概率是（ ）．（A ）21； （B ）9041； （C ）9043； （D ）43． 3．设有4张卡片分别标以数字1，2，3，4，今任取一张，设事件A 为取到1或2，事件B 为取到1或3，则事件A 与B 是（ ）．（A ）互不相容； （B ）互为对立；（C ）相互独立； （D ）互相包含． 4．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)(则常数k 和b 分别为（ ）．（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 5．设随机变理),1,0(~N X ,12+=X Y 则Y 服从（ ）． （A ）);4,1(N （B ）);1,0(N （C ）);1,1(N （D ）)2,1(N ．6．若),(y x f 是二维随机变量),(Y X 的密度函数，则),(Y X 关于X 的边缘分布密度函数为（ ）．（A ）;),(dx y x f ⎰+∞∞- （B ）⎰+∞∞-;),(dy y x f（C ）;),(dx y x f y ⎰∞-（D ）dx y x f y ),(⎰∞-．7．设随机变量),1(~2σN X ，则)(X D 满足（ ）． （A ）)()(2X E X D =； （B ）)()(2X E X D ≥； （C ）)()(2X E X D <；（D ）)()(2X E X D >．8．设X 的为随机变量，则=-)32(X E （ ）．（A ）)(2X E ； （B ）3)(4-X E ； （C ）3)(2+X E ； （D ）3)(2-X E ． 9．设总体n X X X N X ,,,),,(~212Λσμ是总体X 的样本，下列结论不正确的是（ ）．（A ）)1,0(~/N nX σμ-； （B ）)1(~)(12122--∑=n Xni iχμσ； （C ）)1(~/--n t nS X μ；（D ）)1(~)(12122--∑∞=n X Xi iχσ．10．设X 是来自总体),(211σμN 的容量为m 的样本的样本均值，Y 是来自总体),(222σμN 的容量为n 的样本的样本均值，两个总体相互独立，则下列结论正确的是（ ）．（A ）),(~222121nmN Y X σσμμ---；（B ）),(~222121nmN Y X σσμμ--+； （C ）),(~222121n mN Y X σσμμ+-+；（D ）),(~222121nmN Y X σσμμ+--．11．设总体n X X X N X ,,,),,(~212Λσμ是来自总体X 的样本，则=<-}/{025.0μσμnX P （ ）． （A ）0.975； （B ）0.025； （C ）0.95； （D ）0.05． 12．设总体X 的均值为],0[a 上服从均匀分布，其中0>a 未知，则a 的极大似然估计量为（ ）．（A ）2113121ˆX X +=μ；（B ）3212316121ˆX X X ++=μ； （C ）3213312141ˆX X X ++=μ； （D ）3214313231ˆX X X ++=μ． 13．设总体X 的区间],0[a 上服从均匀分布，其中0>a 未知，则a 的极大似然估计量为（ ）．（A ）),,,m ax (ˆ21n X X X aΛ=； （B ）),,,m in(ˆ21n X X X a Λ= （C ）1ˆX a=；（D ）nX a ˆˆ=． 14．设总体)09.0,(~μN X 的置信度为0.95的置信区间为（ ）． （A ）（12.75,13.33）； （B ）（12.71,13.29）； （C ）（12.65,13.23）；（D ）（12.61,13.17）．15．设总体),(~2σμN X ，2σ未知，假设00:μμ=H 的拒绝域为μαμ-≤，则备择假设1H 为（ ）．（A ）0μμ≠； （B ）0μμ>； （C ）0μμ<； （D ）0μμ≤． 16．设总体),(~2σμN X ，2σ未知，检验假设00:μμ=H 所用的检验统计量为（ ）．（A ）nX /0σμ-； （B ）nS X /0μ-；（C ）22)1(σS n -；（D ）∑=-ni iX122)(1μσ．三、计算题1．将n 只球随机地放入)(N n N ≤盒子，设每个盒子都可以容纳n 只球，求下列事件的概率：（1）每个盒子至多有一个只球；（2）恰有)(n m m ≤只球放入某一个指定的盒子中； （3）n 只球全都放入某一个盒子中．2．某商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，假设各箱中有0，1，2只残次品的概率依次为0.8，0.1，0.1；一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机地取一箱，而顾客随机地察看该箱中的4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，求（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买下的一箱中确实没有残次品的概率．3．三个独立去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为,41,31,51问三个人中至少有一个能将此密码译出的概率是多少？4．在4重伯努力试验中，已知事件A 至少出现一次的概率为0.5，求在一次试验中事件A 出的概率．5．一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取到正品为止，用X 表示取到的次品个数，写出X 的概率分布及分布函数．6．设连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他,0,21,2,10,)(x x x x x f求X 的分布函数)(x F ．7．设连续型随机变量ξ的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=2,0;20,41;0,)(x x x ke x f x求（1）系数k ；（1）ξ的分布函数；（3）{}{}{}21,1,1<<=≤ξξξP P P ．8．设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥><<-+-≤=a x a a x a a xB A a x x F ,1)0(,,arcsin ;,0)(求：（1）常数A ，B ；（2）随机变量X 落在)2,2(aa -内的概率；（3）X 的概率精度函数．9．已知随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧⋅≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求随机变量2X Y =的概率分布．10．一口袋中装有4个球，依次标有1,2,2,3．今从口袋中任取1球，取后不放回，再从口袋中任取1球．以X 和Y 分布记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求（1）),(Y X 的概率分布；（2）概率{}4≥+Y X P ．11．已知二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,0,0,0,),()2(y x e y x f y x λ 求（1）常数λ；（2）),(Y X 的分布函数．12．设),(Y X 的分布函数为)3arctan )(2arctan (),(yC xB A y x F ++=求（1）常数C B A ,,；（2）),(Y X 的密度函数；（3）),(Y X 关于X 、关于Y 的边缘分布函数；（4）问X 与Y 是否相互独立？ 13．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,e )(x x x f x求（1）X Y 2=，（2）X Y 2e -=的数学期望．14．一台设备由三大部件构成，在该设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3．假设各部件的状态相互独立，以X 表示需要调整的部件数，求X 的概率分布，数学期望和方差．15．设二维随机变量),(Y X 的概率分布为验证X 和Y 16．某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取出16只，设它们的寿命相互独立，求这16只元件的寿命的和大于1920小时的概率．17．求总体)3,20(N 的容量分别为10和15的两个独立样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．18．设总体X 的数学期望μ=)(X E ，方差n X X X X D ,,,,)(212Λσ=是来自总体X 的样本，记∑=-=ni i X n Y 12)(1μ，求)(Y E ．19．某工厂生产一批铆钉，现要检验铆钉头部直径，从这批产品中随机抽取12只，测得头部直径（单位：mm ）如下：13.30, 13.38, 13.40, 13.43, 13.32, 13.48, 13.54, 13.31, 13.34, 13.47, 13.44, 13.55．设铆钉头部直径X 服从正态分布),(2σμN ，试求μ与2σ的矩估计值．20．设总体X 服从参数为θ的指数分布，即X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,0,0,e 1)(x x x f xθθ其中0>θ为未知，n X X X ,,,21Λ为X 的一个样本，求θ的矩估计量和最大似然估计量．21．从正态总体),(2σμN 中抽取容量为5的样本值：1.86, 3.22, 1.46, 4.01,2.64,（1）已知3=μ，求2σ的置信水平为0.95的置信区间； （2）若μ未知，求2σ的置信水平为0.95的置信区间．四、证明题1．设A ，B 是两个随机事件；且)|()|(,0)(,1)(0A B P A B P B P A P =><<证明事件A 和B 相互独立．2．设)1(~),,(~22χσμY N X ，且X 与Y 相互独立，X 是来自总体X 的容量为n 的样本均值，Y 是来自总体Y 的容量为n 的样本均值，证明)(~/n t nY X σμ-．3．设321,,X X X 是总体X 的样本，证明：估计量,14914371ˆ,858121ˆ,616132ˆ321332123211X X X X X X X X X ++=++=++=μμμ都是总体X 的均值)(X E 的无偏估计量，并判断哪一个估计量更有效．五、解答题1．某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖的重量X （单位：kg ）是一个随机变量，它服从正态分布),(2σμN ，当机器工作正常时，其均值为0.5kg ．根据经验知标准差为0.015kg （保持不变）．某日开工后，为检验包装机工作是否正常，随机地抽取9袋葡萄糖，称得净重为0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.512．在显著性水平05.0=α下，检验机器工作是否正常．2．某无线电厂生产一种高频管，其中一项数量指标服从正态分布),(2σμN ，从一些产品中抽取8只管子，测得该项数量指标的数据如下：68，43，70，65，55，56，60，72．试在显著性水平05.0=α下，分别对下列两种情形，检验方差2σ是否等于28，（1）均值60=μ；（2）均值μ未知．。
应用概率统计期末复习题及答案
第七章课后习题答案7.2 设总体X ~ N(12,4), X^XzJII’X n 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率.X解：由于 X ~ N(12,4),故 X 一 ~ N(0,1)/V n1 (2 0.8686 1) 0.2628107.3 设总体X 〜N(0,0.09),从中抽取n 10的简单随机样本，求P X ：1.44i 1X i 0 X i 0X i ~N(0,°.09),故亠-X0r~N(0,1)X所以~ N(0,1)，故UnP{ X1} 1 P{ X1}解: 由于X ~ N (0,0.09),所以10所以X i 22是)〜(10)所以10 10X ： 1.44 Pi 1i 1X i 2(倉1.44 P0.09216 0.17.4 设总体X ~ N( , 2), X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本2,X 为样本均值，S 为样本方差，问U n X2服从什么分布?解:(X_)22( n )2X __ /V n,由于 X ~ N( , 2)， 2~ 2(1)。
1 —n7.6 设总体X ~ N( , 2), Y〜N( , 2)且相互独立，从X,Y中分别抽取m 10, n215的简单随机样本，它们的样本方差分别为S2,M，求P(S2 4S； 0)。
解：S2P(S24S2 0) P(S24S；) P 12 4由于X ~ N( , 2), Y~ N( , 2)且相互独立S2所以S12~ F(10 1,15 1)，又由于F°oi(9,14) 4.03 S2 即P F 4 0.01x第八章课后习题答案8.1 设总体X 的密度函数为f (x) C x ( 1) xC ： C 0为已知,1。
X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本，(1) 的矩估计量。
⑵求的极大似然估计量。
解: (1) E(X) C xf(x)dx 1)dx x [1(1)]dx8.4 数,C C X dx (2)似然函数L(X 1,X 2,|”X n ；取对数(0C 1 f i (x)i 1C x i (1)nC n (nX i ) (1)i 1方程两侧对求导得g 皿d令^InL n d即极大似然估计量为设总体X 的密度函数为n Inn In Ci 1f(x)In n In CnnIn C x i 0nInX j nInCi 1In0,0,n1) iIn xnIn x i n In Ci 1其中 0是已知常0是未知参数，X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本：求 的极大似然估计量。
《概率论与数理统计》复习题
《概率论与数理统计》复习题第一章：随机事件及其概率1．某射手向一目标射击两次，Ai表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）A．A1AB．A1A2C．A1A2D．A1A22．设A，B为两个互不相容事件，则下列各式错误的是（）．．A．P(AB)=0C．P(AB)=P(A)P(B)B．P(A∪B)=P(A)+P(B)D．P(B-A)=P(B)13．设事件A，B相互独立，且P(A)=，P(B)>0，则P(A|B)=()3A．1141B．C．D．1551534．已知P(A)=0.4，P(B)=0.5，且AB，则P(A|B)=（）A．0B．0.4C．0.8D．15.一批产品中有5%不合格品，而合格品中一等品占60%，从这批产品中任取一件，则该件产品是一等品的概率为（）A．0.20B．0.30C．0.38D．0.573126.设A，B为两事件，已知P（A）=，P（A|B）=，P(B|A)，则P （B）=（）335A.1234B.C.D.55557.设随机事件A与B互不相容，且P(A)=0.2，P(A∪B)=0.6，则P(B)=________.8．设A，B为两个随机事件，且A与B相互独立，P(A)=0.3，P(B)=0.4，则P(AB)=__________.9.10件同类产品中有1件次品，现从中不放回地接连取2件产品，则在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率是________.10．某工厂一班组共有男工6人、女工4人，从中任选2名代表，则其中恰有1名女工的概率为________11．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为_________.12．一医生对某种疾病能正确确诊的概率为0.3，当诊断正确时，他能治愈的概率为0.8。
若未被确诊，病人能自然痊愈的概率为0.1。
①求病人能够痊愈的概率；②若某病人已经痊愈，问他是被医生确诊的概率是多少？第二章：随机变量及其分布1.下列函数中可作为某随机变量的概率密度的是（）100,某100,A．某2某1000,10,某0,B．某0,某0131，某,D．222其他0,1,0某2,C．0,其他2．设随机变量某在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量某的概率密度f(某)为()1,1某2;A．f(某)30,其他.1,1某2;C．f(某)0,其他.3,1某2;B．f(某)0,其他.1,1某2;D．f(某)30,其他.13．设随机变量某~B3,，则P{某1}=()3A．181926B．C．D．272727274.设随机变量某在区间[2，4]上服从均匀分布，则P{2C．P{2.55．设离散型随机变量某的分布律如右，B．P{1.5某-101则常数C=_________.P2C0.4CA某2,0某1;6．设随机变量某的概率密度f(某)则常数A=_________.其他,0,某1;0,0.2,1某0;7．设离散型随机变量某的分布函数为F(某)=0.3,0某1;0.6,1某2;某2,1,8.设连续型随机变量某的分布函数为则P{某>1}=_________.0，某0，ππF(某)in某，0某,其概率密度为f(某)，则f()=________.62π1,某,29.设随机变量某~N（2，22），则P{某≤0}=___________。
概率统计C(双语)复习题
(3) At least one of A,B and C occurs;
(A) P( A B) P( A) (B) P( A B) P( B) (C) P( A B) P( A) (D) P( A B) P( B) 3. An urn contains 10 balls: 4 red and 6 blue. A second urn contains 16 red balls and an unknown number of blue balls. A single ball is drawn from each urn. The probability that both balls are the same color is 0.44. Calculate the number of blue balls in the second urn. ( ) (A) 4 (B) 20 (C) 24 (D) 44 (E) 64 4. Which random variables X and Y in the following joint pdf are independent? ( ) (A)
) is a statistic.
1
2
( X i )2
i 1
n
(C)
1
2
( X i X )2
i 1
n
(D)
1 n ( X i )2 n i 1
8. Suppose there are two persons A and B in a shot experiment and the probabilities that A and B hit the target are 0.8 and 0.7, respectively. They shoot simultaneously and the two outcomes, hit and miss, are independent, find the probability that (1) the target is hit ; (2) exactly one person hit the target ; (3) B hits the target , but A not .(4) at most one person hit the target 9. Let the rate of carrying a virus bring for people is 0.83, through examination the carrier is unnecessarily positive and the people without the virus may also be negative, let P(positive | taking the virus)=0.99, P(negative | taking the virus )=0.01 , P(positive | without the virus)=0.05, P(negative | without the virus )=0.95. If someone is diagnosed to be positive, find the probability that the man taking the virus. 10. The probability of the closing of each relay in the circuit shown in the following figure is ½. If all relays function independently, the probability that the current flows is
《概率论与数理统计》复习题及答案
《概率论与数理统计》复习题及答案《概率论与数理统计》复习题一、填空题1.未知p(ab)?p(a)，则a与b的关系就是单一制。
2．未知a,b互相矛盾，则a与b的关系就是互相矛盾。
3.a,b为随机事件，则p(ab)?0.3。
p(a)?0.4，p(b)?0.3，p(a?b)?0.6，4.已知p(a)?0.4，p(b)?0.4，p(a?b)?0.5，则p(a?b)?0.7。
25.a,b为随机事件，p(a)?0.3，p(b)?0.4，p(ab)?0.5，则p(ba)?____。
36．已知p(ba)?0.3，p(a?b)?0.2，则p(a)?2/7。
7．将一枚硬币重复投掷3次，则正、反面都至少发生一次的概率为0.75。
8.设立某教研室共计教师11人，其中男教师7人，贝内旺拉拜教研室中要自由选择3名叫优秀教师，则3名优秀教师中至少存有1名女教师的概率为___26____。
339.设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出1___。
611110.3人单一制截获一密码，他们能够单独所译的概率为,,，则此密码被所译的5343概率为______。
5后不送回，则第2次取出的就是次品的概率为___11．每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3235cp(1?p)7次顺利的概率为______。
12.已知3次独立重复试验中事件a至少成功一次的概率为1事件a顺利的概率p?______。
319，则一次试验中27c35813．随机变量x能取?1,0,1，取这些值的概率为,c,c，则常数c?__。
24815k14．随机变量x原产律为p(x?k)?,k?1,2,3,4,5，则p(x?3x?5)?_0.4_。
15x??2,?0?x?15.f(x)??0.4?2?x?0,是x的分布函数，则x分布律为__??pi?1x?0?0??__。
0.40.6??2?0,x?0??16．随机变量x的分布函数为f(x)??sinx,0?x??，则2?1,x2?p(x??3)?__3__。
概率统计第一章复习题
第一章练习题一、选择题1.对事件B A ,，下列命题正确的是:（ ）A. 如果B A ,互不相容，则B A ,也互不相容B. 如果B A ,相容，则B A ,也相容C. 如果B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则B A ,互相独立D. 如果B A ,互相独立，则B A ,也互相独立2.某人射击时,中靶的概率为3/4,如果射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率为 ( ).3)43(. A 41)43(.2⨯B 43)41(.2⨯C 3)41(.D 3.设()8.0=A P ，()7.0=B P ，()8.0|=B A P ，则下列结论正确的是( )A. 事件A 与B 互不相容B. B A ⊂C. 事件A 与B 互相独立D. ()()()B P A P B A P +=Y 4. 事件)(C B A ⋃的含义是（ ）(1)A 出现 (2)A 出现且B ，C 都不出现 (3)A 出现，B 和C 中至少有一个不出现。
5. 设事件A 、B 相互独立，()()0,0>>B P A P , 则（ ）Φ=AB A . ()()()B P A P B A P B =-. ()()A P B P C -=1. ()0|.=A B P D6. 设()0=AB P ，则（ ）.A) B A ,互不相容 B) B A ,相互独立 C) ()()00==B P A P 或 D)()()A P B A P =-7. 设B A ,为两个随机事件，且有()1|=AB C P ，则（ ）正确.A) ()()()1-+≤B P A P C P B) ()()AB P C P =C) ()()()1-+≥B P A P C P D) ()()B A P C P +=二、填空题1. 设B A ,为两个不相容事件，则=-)(B A P _________.2. 设()()()321321,,;31A A A A P A P A P ===相互独立,则 (1) 321,,A A A 至少出现一个的概率为 ,(2)321,,A A A 恰好出现一个的概率为 , (3)321,,A A A 最多出现一个的概率为 .3. 设C B A ,,为三个随机事件，用C B A ,,表示下列事件：(1)C B A ,,中至少有一事件发生_______________, 其对立事件为______________;(2)C B A ,,中至多有一事件发生_______________,C B A ,,中恰好有一事件发生___________________.4. 己知()5.0=A P ,()6.0=B P , ()8.0|=A B P ,则()B A P Y = .5. 设()(),6.0,3.0==B A P A P Y 那么(1)若A 和B 互不相容，则()=B P ,(2)若A 和B 相互独立,则()=B P , (3)若B A ⊂,则()=B P .6. 设事件A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则其对立事件A 表示 .7. 某射手在三次独立射击中至少命中一次的概率为, 则该射手在一次射击中命中的概率为 .8. 如果事件A 和B 满足V AB =，则称事件A 与事件B 为 事件；如果事件A 和B 满足U B A =⋃，V AB =，则称事件A 与事件B 为 事件.三、计算题1. 设试验为从装有三个白球（记号为1，2，3）与两个黑球（记号为4，5）的袋中任取两个球，(1)观察取出的两个球的颜色。
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1．设 A 、B 为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A )=0.8.则P(B )A 0.7 . 2. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是= 1/60 .3. 设随机变量2(,)X μσN ，X Y e =，则Y 的分布密度函数为 .4. 设随机变量2(,)X μσN ，且二次方程240y y X ++=无实根的概率等于0.5， 则μ= .5. 设()16,()25D X D Y ==，0.3X Y ρ=，则()D X Y += 53 .6. 掷硬币n 次，正面出现次数的数学期望为 .7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两. 则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为（答案用标准正态分布函数表示）.8.设1,,X X X 是来自总体(0,1)X N 的简单随机样本，统计量12()/~()C X X t n +，则常数C = ,自由度n = .1.（10分）设袋中有m 只正品硬币，n 只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X 服从指数分布，其概率密度函数为/5(1/5)0()0x e x f x -⎧>=⎨⎩其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求{1}P Y ≥.3.（10分）设二维随机变量(,)X Y 在边长为a 的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：(1) 求随机变量X ,Y 的边缘概率密度； (2) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . .4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从2(160,20)N 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.5.（10分）某车间生产的圆盘其直径在区间(,)a b 服从均匀分布, 试求圆盘面积的数学期望.三. （10分）设12,,n X X X 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为1,(;,)0,x ex f x μθμθμθ--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它其中,0μθ>是未知参数，12,,,n x x x 是一组样本值，求： （1）,μθ的矩法估计； （2）,μθ的极大似然估计.四. （8分）假设ˆθ是θ的无偏估计，且有ˆ()0D θ>试证2ˆθ2ˆ()θ=不是2θ的无偏估计.五. （8分）设112,,,n X X X 是来自总体211~(,)X N μσ的一组样本，212,,,n Y Y Y 是来自总体222~(,)Y N μσ的一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为2212,S S ，且设221212,,,μμσσ均为未知. 欲检验假设22012:H σσ=，22112:H σσ<，显著性水平α事先给定.试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.1．设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P .2. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 .3. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，则该射手的命中率为 .4. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 .5. 设随机变量22~()n χχ，则2()E χ ，2()D χ .6. 设()3D X =，31Y X =+，则,||X Y ρ= .7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两.则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）.8. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++-则当C = 时,C Y ～2(2)χ.1．将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为 。
2． 已知41)(,21)|(,31)(===B P A B P A P ，则=)|(B A P _________________。
3.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为_________ 。
4.设随机变量X 的数学期望EX=4,方差DX=20,则EX 2＝ 。
5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P _________ 。
1.（10分）已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？2.（10分）一篮球运动员的投篮命准率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.3.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从2(160,20)N 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.4.（10分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为2211(,)0x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其它(1) 求随机变量X ,Y 的边缘密度及,X Y 的相关系数,X Y ρ； (2) 判定,X Y 是否相关是否独立.5.（10分） 假定一条生产流水线一天内发生故障的概率为0.1，流水线发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日中无故障这条生产线可产生利润20万元，一周内如果发生一次故障仍可产生利润6万元，发生两次或两次以上故障就要亏损两万元，求一周内这条流水线产生利润的数学期望.三. （10分）设12,,n X X X 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为.1,(;,)0,x ex f x μθμθμθ--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它其中,0μθ>是未知参数， 12,,,n x x x 是一组样本值，求： （1）,μθ的矩法估计； （2）,μθ的极大似然估计.四. （8分）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从参数为0λ>的泊松(Poisson)分布，证明X Y +仍服从泊松分布，参数为2λ.五. （8分）设112,,,n X X X 是来自总体211~(,)X N μσ的一组样本，212,,,n Y Y Y 是来自总体222~(,)Y N μσ的一组样本，两组样本独立. 其样本方差分别为2212,S S ，且设221212,,,μμσσ均为未知. 欲检验假设22012:H σσ=，22112:H σσ>，显著性水平α事先给定. 试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.六、盒子中有4个红球，2个白球。
（1） 从中任取3个，至少一个白球的概率。
（2） 有放回地取3次，每次取一球，以X 表示取出的白球数，求X 的概率分布以及期望EX 和方差DX 。
（10分）1．设P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(A|B)=0.8，则下列结论正确的是( )。
A. 事件A 与B 相互独立B. 事件A 与B 互斥 C ．B A D. P(A+B)=P(A)+P(B)2. 一批产品共50个,其中45个是合格品，5个是次品，从这些产品中任取3个,其中有次品的概率有( )。
A35035C C B35035350C C C - C350345C C D350345350C C C -3．若随机变量X 的概率密度为244221)(-+-=x Xex f π, 则E(X)=( )。
A. 0B. 1C. 2D. 34. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （0，1）和N （1，1），则以下结论成立的是( )。
A. 1{0}2P X Y +≤= ；B. 1{1}2P X Y +≤=C. 1{0}2P X Y -≤=D. 1{1}2P X Y -≤=5. 对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立 B. X 和Y 不独立 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y)1．设A ,B ,C 是三个随机事件，事件：“A,B,C 中至少有两个发生”，可以用A,B,C 表示为 .2. 已知事件A,B 相互独立且互不相容，{}min P(A),P(B)= .3. 设随机变量ξ服从泊松分布，且(1)(2),p p ξξ===则(4)p ξ= .4. 设二维随机变量(,)ξη的联合分布函数为(,)F x y ，概率(,)p a b d ξη≤<<可以用(,)F x y 表示为 .5. 掷硬币n 次，正面出现次数的数学期望为 .6. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两。
则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）.1.（8分）设有甲乙两袋，甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球.今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球.问从乙袋中取到白球的概率是多少？2.（8分）二维随机变量),(ηξ的联合分布律为22(,)(1)2,3,,1,2,1,01j P i j p p j i j p ξη-===-==-<<（1）.求边际分布律i P 和P j ；（2）.求条件分布律ξ|ηP (|)i j3.（8分）设(,)ξη的联合密度函数为1,01,02(,)20,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩求（1）ξ与η中至少有一个小于1/2的概率；（2）ξη+大于1的概率.4.（8分）设随机变量),X N μσ 2（,),Y N μσ 2（,且设X 与Y 相互独立，试求1Z X Y αβ=+与2Z X Y αβ=-的相关系数（其中α、β是不为零的常数）.5.（8分）某商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度为,0()0,x e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩设各周的需要量是相互独立的，试求两周需要量的密度函数.三. （15分）设总体X 的分布密度为1,0(,)0,x f x θθθ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它其中0θ>是未知参数， 12(,,,)n X X X =X 是来自总体X 的样本，求：（1）θ的矩法估计量1ˆθ；（2）验证 1θ、2ˆ[(1)/]n n M θ=+都是θ的无偏估计量(其中1m ax{,}n M X X = )； （3）比较 1θ、2ˆθ两个无偏估计量的有效性.四. （7分）假设总体的分布密度为2222exp(),0(;)00x xx f x x θθθ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩其中0θ>是未知参数，试求参数θ的极大似然估计量.五. （8分）设总体20~(,)X N μσ分布， 12(,,,)n X X X =X 为一组样本。