直线与圆的位置关系(第五课时)三角形的内切圆12

B
练习5.如图：过点A作⊙O的两条割线,分别交⊙O于B、C和 D、E. 已知AD=4,DE=2, CE=5,AB=BC. 求AB、BD. 5 3 AB = 2 3, BD = . 3
E
D
A B C O
A
P B
O
C
练习6.如图：PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线.已知⊙O 的半径为8，PB=4，PC=9.求PA、PO.
D O F
·
B
a＋b－c C 解得 r＝ 2 a＋b－c
2
E
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
内切圆的半径 r＝
或r＝ a＋b＋c
ab
三角形外接圆
C
三角形内切圆
C
． o
A B B
． o
A
外切圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
名称 外心： 三角形 外接圆 的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点
图形
A
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三 角形的内部．
o
C B
内心： 三角形 内切圆 的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
A
O
B
1.到三边的距离 相等； 2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB C 3.内心在三角形内 部．
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切 已知： △ABC（如图）.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
A
NIM
分析
C
B
D
作法：1. 作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I. 2. 过点I作ID⊥BC，垂足为点D. 3. 以I为圆心，ID为半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆.
读句画图：
①以点O为圆心，1cm为半径画⊙O;
2.直角三角形的外接圆半径 为5cm,内切圆半径为1cm, 则此三角形的周长是 _______. 22cm
• O
B C
探讨： 设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC 的各边长 之和为L，△ABC 的面积S,我们会有什么结论? A 解:AD+AF+BD+BE+CE+CF=L
2AD+2BE+2CE=L 2AD=L－2（BE+CE） AD=ＡF＝？ ＢＤ＝ＢＥ？ B ＣＥ＝ＣＦ＝？
（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存 在怎样的数量关系？请说明理由.
1 答： ∠BOC =90 ° + ∠A. 2
理由： ∵点O是△ABC的内心，
1 1 ∴ ∠1= ∠ABC， ∠3= ∠ACB. 2 2 1
2 )1
A O
B
4 3(
C
∴ ∠1＋ ∠3 =
2 1 = （180 ° － ∠A ） 2 1
例2 如图,E是圆内两弦AB和CD的交点，直线 EF//CB,交AD的延长线于点F，FG切圆于点G. 求证：(1) △DFE∽△EFA; (2)EF=FG.
O A
C
E B
证明： (1)∵EF//CB, ∴∠DEF=∠DCB. ∵∠DCB和∠DAB都是 上的圆周角. ∴∠DAB =∠DCB=∠DEF. (2)由(1)知 ∴ △DFE∽△EFA， ∴EF2 =FA•FD. 又∵FG是圆的切线， ∴FG2 =FA•FD.
P B
D
A C
例4 如图，AB是⊙O的直径，过A、B引两条弦AD和BE， 相交于点C．求证：AC· AD+BC· BE=AB2． 证明：连接AC、AD，过C作CF⊥AB,与AB交于F． D ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=900. E C 0, ∴ A、F、C、E四点共圆. 又∵ ∠AFC=90 ∴ BC•BE=BF•BA. „„„(1) A FO 同理可证F、B、D、C四点共圆. ∴ AC•AD=AF•AB. „„„(2) (1)+(2)可得 AC•AD+BC•BE= AB(AF+BF)=AB2.
D O • r E
F
1 三角形面积 S = rL 2
C
（L为三角形周长，r为内切圆半径）
例3 如图，朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三 角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形 象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离 相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计 算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？
A 镇 商 业 区 D
.M
F B
C
E 镇工业区
解：∵雕塑中心M到道路三边的距离相等
A 镇 商 业 区 D C ∴点M是△ABC的内心， 连接AM、BM、CM. 设⊙M的半径为r米， ⊙M分别切AC、BC、AB于点D、E、F， 则MD⊥AC， ME ⊥BC， MF ⊥AB， 则 MD= ME= MF=r， ∵在Rt △ABC 中，AC=40，BC=30， ∴AB=50.
结论：
D b A r O c
C F a B
•
E
填空:
1 1. 三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形 内部 无数 有_____ 个,三角形的内心在圆的_______. 2.如图,O是△ABC的内心,则 （1）OA平分∠______, OB平分∠______, BAC ABC OC平分∠______,. ACB A 140º （2）若∠BAC=100º,则∠BOC=______.
∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC ＋S△AOC ＝ ＝
1 1 1 AB· OD＋ 2 BC· OE＋ 2AC· OF 2 1 l· r 2
A D F O
解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
·
C
B
E
设△ABC的三边为a、b、c，面积为S， 2S 则△ABC的内切圆的半径 r＝ a＋b＋c
（∠ABC+ ∠ACB）
= 90 ° －
在△OBC中， ∠BOC =180 °－（ ∠1＋ ∠3 ）
1 = 180 °－（ 90 ° － ∠A ） 2 1
2
∠A.
= 90 °+
2
∠A.
三角形的内切圆的有关计算 如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S. 连结OA、OB、OC、OD、OE、OF， 则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
.M
F
B E 镇工业区
1 1 ∵ △ABC的面积为 AC· = × 40×30= 600， BC 2 1 2
又∵ △ABC的面积为 （AC· MD+BC · ME+AB · MF） 2 =20 r+15 r+25 r=60 r. ∴60 r= 600， r=10. 答：镇标雕塑中心离道路三边的距离为10米.
n
m A
E C F l
②作直线m与⊙O相切于点D，
作直线n与⊙O相切于点E， 直线m和直线n相交于点A; ③作直线l与圆O相切于点F， B
D
． O
直线l分别与直线m、直线n相交于点B、C.
1. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的 外切三角形.
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。
分析． 试说明圆的 外切四边形的两组 对边的和相等．
看 比 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 谁 一 边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，求 做 比 求其内切圆O的半径长. 得 快
A
例 直角三角形的两直角边 分别是5cm，12cm .则其内 2 切圆的半径为______.
外切圆的半径：交点到三 角形任意一个定点的距离。
分析题目已知：如 图, △ABC的内切圆 ⊙O与BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9 厘米，BC ＝14厘 米,CA ＝13厘米,求 AF、BD、CE的长。
A E
F
B
O D
C
例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
2. 和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆， 这个多边形叫做圆的外切多边形.
A
三形各边的距离相等；
2. 三角形的内心在三角形的角平分线上. D ． O
三角形外心的性质：
E
F
1. 三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等； 2. 三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上.
PA = 6, PO = 2 + 8 = 10.
1. 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 . 2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出 三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的
内切圆、圆的外切多边形的概念.
3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与 “外心”的区别， 4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运 用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题.
CE=9(cm).
例.如图，△ABC 中,∠C =90º,它的 内切圆O分别与边AB、 BC、CA相切 于点D、E、F，且 B BD=12，AD=8， 求⊙O的半径r.
A
D
F O E
C
1.一个三角形有且只有一个内切圆； 2.一个圆有无数个外切三角形； 3.三角形的内心就是三角形三条内角平
分线的交点；
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b, AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆. 求：Rt△ABC的内切圆的半径 r. 解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， 连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。 A ∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切 ∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD 设AD= x , BE= y ,CE＝ r 则有 x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c