任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法之青柳念文创作一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那末它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径.解：∵AB＝13，BC ＝12，AC ＝5∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠C＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：操纵直径构造含已知边AB . 解：作直径BD ，保持AD.则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°∴BD＝D sin AB ＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为︒80sin 5.注：已知双方和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以操纵本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10＝50°求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，保持BD.则∠D＝∠C＝180°－∠CAB－∠BAC＝60°，∠DBA＝90°∴AD＝D sin AB ＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O的半径为3310. ②已知双方夹一角例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：思索求出AB 解：作直径AD ，保持BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE ＝21AC ＝1，AE ＝3，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD＝D sin AB ＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为2131.③已知三边例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：作出直径AD ，构造Rt△ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，操纵相似三角形便可以求出直径AD.解：作直径AD ，保持BD.作AE⊥BC，垂足为E. 则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C∴△ADB∽△ACE ∴ABAEAD AC = 设CE ＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2∴132-x2＝152-(14-x)2x=5,即CE ＝5∴AE＝12 ∴1512AD 13= AD ＝465∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为865.二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例6已知：在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝a ，AB ＝c求△ABC 外接圆⊙O 的半径.解：可证四边形ODCE 为正方形.设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r ， ∴(a -r)+(b-r)=c, ∴r=2c b a -+,即△ABC 外接圆⊙O 的半径为2c b a -+.2、一般三角形①已知三边例7已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝Bb15求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：思索先求出△ABC 的面积，再操纵“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：操纵例5的方法，或操纵海伦公式S△＝)c s )(b s )(a s (s ---(其中s=2cb a ++)可求出S△AB C ＝84，从而21AB •r+21BC •r+21AC •r=84, ∴r=4②已知双方夹一角例8已知：如图，在△ABC 中，cotB ＝34＝6求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：思索先通过解三角形，求出△ABC 的面积及AC 的长，再操纵“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：作△ABC 的高AD.解直角三角形可得AD ＝3，CD ＝2，AC ＝13，因为21AB •r+21BC •r+21AC •r=21BC •AD, 可求得r=61311-③已知两角夹一边例9已知：如图，在△ABC 中，∠B＝60°，＝6求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.(切确到0.1) 分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确定三角形，便可以鉴戒上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例 1 已知：在AABC 中.AB=13, BC = 12, AC=5 求AABC 的外接圆的半径.解:VAB=13, BC = 12, AC=5, .-.AB 2=BC :+AC \A ZC = 90° ,.•.AB 为△ ABC 的外接圆的直径，•••△ABC 的外接圆的半径为.2、一般三角形① 已知一角和它的对边例 2 如图，在ZXABC 中，AB=10, ZC=100° , 求AABC 外接圆00的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD,连结AD.则ZD=180° -ZC=80Q , ZBAD=90°.•沏=竺=旦sinD sin 80° ••.△ABC 外接圆。
的半径为盘注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求岀三 角形的外接圆的半径.例 3 如图，已知，在AABC 中，AB = 10,ZA=70° , ZB=50° 求AABC 外接圆00的半径.分析：可转化为①的情形解题.解：作直径AD ，连结BD.则ZD=ZC=180° -ZCAB-ZBAC=60° , ZDBA=90°•••△ABC 外接圆O0的半径为¥厲・② 已知两边夹一角例 4 如图，已知.在AABC 中，AC=2, BC=3, ZC=60° 求AABC 外接圆00的半径.分析：考虑求岀AB,然后转化为①的情形解题.解：作直径AD ，连结BD •作AE 丄BC,垂足为E.则 ZDBA=90° , ZD=ZC=60° , CE=1AC=1, AE=的，/.AD= AB 10 sinD sin60° BE=BC-CE=2, AB= y/AE 2 + BE 2= 41 rcA AABC 外接圆OO 的半径为.③ 已知三边例 5 如图，已知，在AABC 中，AC = 13, BC = 14, AB=15 求AABC外接圆O0的半径.分析：作出直径AD,构造RtAABD.只要求出AABC 中BC 边设 CE=x, VAC^CE^AE^AB^BE 2 A 13:-x :=15:-(14-x)2 x=5,即 CE = 5 /.AE=12 A —=4 AD= —•••△ABC 外接圆00 的半径为竺.二、求三角形的内切圆的半径 1、 直角三角形例 6 已知：在ZkABC 中，ZC=90° , AC=b, BC=a, AB = c 求AABC 外接圆O0的半径.解：可证四边形ODCE 为正方形.设O0的半径为r, 则 CD=CE=r, BD=a-r, AE=b-r, (a-r) + (b-r) =c,•"二匕导，即AABC 外接圆00的半径为好工.2 22、 一般三角形①已知三边例 7 已知：如图，在ZkABC 中，AC = 13, BC = 14, AB=15求ZXABC 内切圆Q0的半径r.分析：考虑先求出AABC 的面积，再利用“而积桥”，从而~求出内切圆的半径.解：利用例5的方法，或利用海伦公式S A = Vs(s-a)(s-b)(s-c)(其中s 二斗王)可求 出Ssc=84,从而丄 AB ・r+丄 BCr+丄 ACr 二84, Z.r=4例 8 已知：如图，在AABC 中，cotB=i ,AB = 5, BC=6求AABC 内切圆Q0的半径=分析：考虑先通过解三角形，求出AABC 的而积及AC 的长, 再利用“而积桥S 从而求出内切圆的半径.解：作AABC 的高AD.解直角三角形可得AD=3, CD=2, AC= V13 ,••• AADB^AACE ••• AADB^AACEAD AB 上的髙AE,利用相似三角形就可以求出直径AD. 解：作直径AD ，连结BD.作AE 丄BC,垂足为E. 则ZDBA=ZCEA=90° , ZD=ZC2 2 ②已知两边夹一角因为丄AB T+1 BCr+丄AC・r二丄BC・AD,可求得r」卜血③已知两角夹一边例9 已知：如图，在Z\ABC 中，ZB=60° , ZC=45° ,BC=6求AABC内切圆00的半径r.（精确到分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确左三角形，就可以借鉴上而的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。
探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解
探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑探求三角形的外接圆半径我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。
一、特殊三角形 1.直角三角形例1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径r.直径等于斜边。
解：∵AB＝13，BC ＝12，AC ＝5，∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠C＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径r 为6.5. 2.等腰三角形例2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC=10，BC ＝12，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题. 解：作直径AD 交BC 于点E ，交圆于点D ，连接BD.∴∠ABD=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D.∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB, ∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=822=-BE AB .∵△ABE∽△ADB，∴AB AEAD AB =∴1881222===AE AB AD ,∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为9. 二、一般三角形 1.已知一角和它的对边 ⑴锐角三角形例3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝10圆⊙O 的半径r.分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径AD ，连结BD.∴∠D＝∠C＝＝60°，∠DBA＝90°.∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为3310.⑵钝角三角形例4.在△ABC 中，AB ＝10，∠C＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.<用三角函数表示） 分析：方法同例3.解：作直径BD ，连结AD.则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°∴BD＝D sin AB＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为︒80sin 5.注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 2.已知两边夹一角例5．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：考虑求出AB ，然后转化为⑴的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE ＝21AC ＝1，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为2131.3.已知三边例6.已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt△ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相似三角形就可以求出直径解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C ∴△ADB∽△ACE，∴ABAEAD AC =设CE ＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2，∴132-x2＝152-(14-x>2 ∴x=5,即CE ＝5，∴AE＝12 ∴151213=AD ，∴AD＝465∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865.4.已知两边及第三边上的高例7.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，AD⊥BC，且AD=5，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.p1EanqFDPw 分析：作出直径AE ，构造Rt△ABE，利用相似三角形就可以求出直径AE.解：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE＝90°. ∵∠E＝∠C，∠ABE＝∠ADC＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△ADC， ∴AC AEAD AB =，∴657AE =， ∴AE=542.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径.另一种求法：AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证AB·AC＝AE·AD．即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商．例1 如图1，已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆的半径．解由题意知三角形底边上的高为解从A作AM⊥BC于M，则AD2－MD2＝AM2＝AC2－(MD＋CD>2．即 52－MD2＝72－(MD＋3>2．得R＝14，则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．例3如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛物线的顶点坐标；②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；③△ABC的外接圆的面积．解①A(2，－9>；②B(－1，0>； C(5， 0>．③从A作AM⊥x轴交于M点，则BM＝MC＝3．AM ＝9．∴R＝5△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π在锐角△ABC中，BC＝a、CA＝b、AB＝c，外接圆半径为R．因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆半径，如：例4 如果正三角形的外接圆半径为6cm，那么这个正三角形的边长a＝______cm．解∵正三角形每一个内角为60°．例5 已知等腰三角形ABC的底边BC的长为120°，求它的外接圆的直径．(课本题>解由题意知：探求三角形的内切圆半径一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R，<如右图所示）则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(222-=-+=+ab c b a<余弦定理）而R bR b22cos ==α，R b R 4sin 22-=αR aR a22cos ==β，R a R 4sin 22-=β即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 44222222-⋅--⋅即有：222222222)4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+所以：)4)(4()(222222222a Rb R abc b a R ab --=-+-即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+-所以：])(4[222222ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：))()()((a c b b c a c b a c b a abcR -+-+-+++=而三角形面积：))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++=<海伦公式） 所以，有：S abcR 4=※ 另一求法，可用正弦定理，即：RA a2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=所以：22222222222)(4)2(12)(cos 12sin 2a c b c b abcbca cb aA aA a R -+-=-+-=-==二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，<如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c z y b y x a z x ，解得2c b a x -+=显然：αtan x r =，而ααααα2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=+= 而由余弦定理有：ab c b a 22cos 222-+=α所以：))(()()(4)2(1tan 222222222222c b a c b a c b a ab c b a abc b a -+++-+-=-+-+-=α即有:r 即：r =申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形外接圆与内切圆半径求法-CAL-FENGHAL-{YICAI)-Company One 1三角形的外接圆与内切圆半径的求法一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是宜角三角形的斜边. 例 1 已知：在ZkABC 中，AB = 13. BC = 12, AC=5 求△ABC的外接圆的半径.解：7AB = 13. BC = 12. AC=5,.•.AB2=BC2 + AC2,/. ZC=90"..•■AB为△ABC的外接圆的直径，AABC的外接圆的半径为.2、一般三角形①已知一角和它的对边例 2 如图，在△ABC 中，AB = 10, ZC = 100^ , 求△ABC外接圆©O的半径.（用三角函数表示）分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形. 解：作直径BD,连结AD.则 ZD = 180" -ZC=80° , ZBAD=90°「.BD=如=旦sinD sin 80°••• △ABC外接圆OO的半径为二一.sin 80。
注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例 3 如图，已知，在△ABC 中，AB=10r ZA=70° , ZB=50°求△ABC外接圆＜DO的半径.分折：可转化为①的情形解题.解：作直径AD,连结BD.则ZD=ZC=180° -ZCAB-ZBAC=60° ,乙DBA=90°sinD sin 60° 3••• AABC外接圆OO的半径为y75 • ②已知两边夹一角例 4 如图，已知，在△ABC 中，AC=2, BC=3, ZC=60°求△ABC外接圆©O的半径.分析：考虑求出AB,然后转化为①的情形解题.解：作直径AD,连结BD.作AE丄BC,垂足为E,则ZDBA=9O。
三角形内切球的半径公式
三角形内切球的半径公式
三角形内切球的半径公式是一个与三角形面积和边长有关的公式。
设三角形的边长分别为a、b、c，面积为S，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，那么内切圆的半径r = S/s（s为半周长，s=（a+b+c）/2）。
此外，根据海伦公式，可求出三角形的面积S，公式为S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
将海伦公式代入内切圆半径的公式中，可得r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。
这是求解三角
形内切圆半径的一个常用方法。
同时，在具体的应用中，还需要针对三角形的具体类型（如等边三角形、直角三角形等）采取不同的求解方法。
例如，对于等边三角形，其内切圆半径r = a√3 / 6，其中a为三角形的边长。
另外，根据三角形的边角关系，亦可以推导出一种更通用的内切圆半径的公式：r = 4RsinA/2sinB/2sinC/2，其中A、B、C分别为三角形的三个内角，R为三角形的外接圆半径。
值得注意的是，在具体计算时，要确保所有的计算都在合理的范围内进行，以避免出现数学错误。
总的来说，求解三角形内切圆半径的公式既考验了解题者的基础知识水平，也考察了解题者的综合运用能力。
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式(参照分析)
一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示）则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(222-=-+=+abc b a （余弦定理）而R bR b22cos ==α，Rb R 4sin 22-=αRaR a22cos ==β，Ra R 4sin 22-=β 即有：=-+ab c b a 2222Ra R Rb R R a R b 44222222-⋅--⋅ 即有：222222222)4)(4(Ra Rb R ab abc b a ---=-+ 所以：)4)(4()(222222222a Rb R abc b a R ab --=-+- 即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(b a R b a R abc b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])(4[222222abc b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：))()()((a c b b c a c b a c b a abcR -+-+-+++=而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：SabcR 4=※ 另一求法，可用正弦定理，即：R Aa2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=所以：22222222222)(4)2(12)(cos 12sin 2a c b c b abcbca cb aA aA a R -+-=-+-=-==abcRαβ二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，（如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+cz y b y x az x ，解得2c b a x -+= 显然：αtan x r =，而ααααα2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=+= 而由余弦定理有：abc b a 22cos 222-+=α所以：))(()()(421)2(1tan 222222222222c b a c b a c b a ab abc b a ab c b a -+++-+-=-++-+-=α即有:)(2)()(4))(()()(422222222222c b a c b a ab c b a c b a c b a ab c b a r ++-+-=-+++-+-⋅-+=即：cb a Sc b a S c b a a c b b c a c b a c b a r ++=++=++-+-+-+++=2)(24)(2))()()(( x ab c Rαα x y yzzr。
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式.doc
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R,（如右图所示）a2 b2 c2cos cos sin sin 则 cos( ) 2ab (余弦定理) bb 而 cos , sin R2Raa cos , sin R2Rb22R 4 Ra2R 4 R22b2a22R R a2 b2 c2ba44 即有： 2ab2R2RRR2222a2 b2 c2ab (4R b) (4R a)即有： ab2R2)(4R2 b2) (4R2 a2)所以：ab 2R(ab2a2 b2 c22) 16R4 4(a2 b2)R2 a2b2 即有：(ab) 4R(a b c) 4R(ab222224a2 b2 c22)],即：a2b2c2 R2[4a2b2 (a2 b2 c2)2]所以：c R[4 (ab22所以：R abc(a b c) (a b c) (a c b) (b c a)而三角形而积：4S a b c) (a b c) (a c b) (b c a)(海伦公式)所以, 有:R abc 4Sab2 c2 a22R,而cosA 另一求法,可用正弦定理,B|J： sinA2bc所以：R aa 22sinA2 (cosA)ab2 c2 a222 ()2bc abc4b2c2 (b2 c2 a2)2二、任意三角形内切圆的半径设三角形各边边长分别为a, b, c内切圆半径为r,(如右图所示)因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，所以，会有x z aa b c x y bx ,解得 2 y z c (cos2 )2sin2 显然：r xtan ,而 tan 1 cos2 1 cos2a2 b2 c2而由余弦定理有：cos2 2ab21 () 2ab所以：tan (a b c) (a b c)222a b cl 2ab4(ab)2 (a2 b2 c2)2222224 (ab)2 (a2 b2 c2)2a b c4(ab) (a b c)即有：r2 (a b c) (a b c)2(a b c)2 (a b c)2(a b c)a b c即：r (a b c) (a b c) (a c b) (b c a)4S2S。
计算三角形的外接圆半径和内切圆半径之比
计算三角形的外接圆半径和内切圆半径之比在数学中，三角形是一个基础的几何形状，它由三条线段组成，形成了一个闭合的图形。
而围绕三角形的圆也是一个常见的几何概念，它们可以分为外接圆和内切圆。
本文将探讨如何计算三角形的外接圆半径与内切圆半径之间的比例关系。
一、外接圆外接圆是一个与三角形相切于三个顶点的圆。
它的半径可以用以下公式来计算：r = a / (2sinA)其中，r代表外接圆的半径，a代表三角形的边长，A代表三角形的内角。
在这个公式中，我们可以观察到，外接圆的半径与三角形的边长成正比，与三角形的内角的正弦函数成反比。
二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边相切的圆。
它的半径可以用以下公式来计算：r = A / (s-p)其中，r代表内切圆的半径，A代表三角形的面积，s代表三角形的半周长，p代表三角形的周长的一半。
在这个公式中，我们可以观察到，内切圆的半径与三角形的面积成正比，与三角形的半周长与周长之差的比例成反比。
三、比例关系现在我们来计算三角形的外接圆半径与内切圆半径之间的比例关系。
假设三角形的边长为a，内角为A，面积为S，半周长为s，周长为p。
根据上述公式，可以得到以下关系式：r_outer = a / (2sinA)r_inner = S / (s-p)因此，将这两个公式联立，可以得到比例关系：r_outer / r_inner = (a / (2sinA)) / (S / (s-p))简化之后可得：r_outer / r_inner = a(s-p) / (2sinA * S)综上所述，我们可以通过计算三角形的边长、内角、面积、半周长和周长之差，来求解三角形的外接圆半径与内切圆半径之间的比例关系。
这个比例关系提供了有关三角形形状和尺寸的重要信息，有助于我们深入了解三角形的性质和特征。
这篇文章综合运用了数学知识和公式来解释了三角形的外接圆半径与内切圆半径之间的比例关系。
希望通过这篇文章，读者能更好地理解和应用这一数学概念。
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一、任意三角形外接圆半径
设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示）
则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2
22-=-+=
+ab
c b a
（余弦定理）
而R b
R b
22cos ==α，R b R 4sin 22
-
=
α R
a
R a
22cos ==β，R
a R 4sin 2
2
-
=
β 即有：=-+ab c b a 2222R
a R R
b R R a R b 442222
22
-
⋅
--⋅ 即有：2
22222222)
4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=
-+ 所以：)4)(4()(
222222
222
a R
b R ab
c b a R ab --=-+- 即有：2222242
2224
2
2
2
2
2
)(416)(
4)(4)(b a R b a R ab
c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])(
4[2
2222
2
ab
c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：)
)()()((a c b b c a c b a c b a abc
R -+-+-+++=
而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S
abc
R 4=
※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A
a
2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=
所以：
2
222222
2222)(4)
2(12)
(cos 12sin 2a c b c b abc
bc
a c
b a
A a
A a R -+-=
-+-=
-==
二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，（如右图所示）
因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=+=+=+c
z y b y x a
z x ，解得2c b a x -+= 显然：αtan x r =，而α
ααα
α2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=
+= 而由余弦定理有：ab
c b a 22cos 2
22-+=α
所以：)
)(()()(421)
2(1tan 2
22222222
222c b a c b a c b a ab ab
c b a ab c b a -+++-+-=-++
-+-=α
即有:)
(2)()(4))(()
()(422
22222
2222c b a c b a ab c b a c b a c b a ab c b a r ++-+-=
-+++-+-⋅-+=
即：c
b a S
c b a S c b a a c b b c a c b a c b a r ++=
++=++-+-+-+++=
2)(24)(2))()()((。