任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法
三角形的外接圆与内切圆的性质与判定
三角形的外接圆与内切圆的性质与判定在数学中，三角形的外接圆与内切圆是两个重要的概念。
它们具有一些独特的性质，并且可以通过一些准确的判定方式来确定。
本文将详细介绍三角形的外接圆和内切圆的性质，并给出它们的判定条件。
一、三角形外接圆的性质外接圆是指能够与三角形的三个顶点都相切的圆。
下面是外接圆的一些重要性质：1. 外接圆的圆心位于三角形的垂直平分线交点处，也就是三角形的三条垂直平分线的交点。
2. 外接圆的半径等于三角形的边长的一半的倒数，即R = (abc)/(4S)，其中a、b、c为三角形的边长，S为三角形的面积。
3. 外接圆的直径等于三角形中最长边的边长。
4. 外接圆的切线与三角形的边相切，且切点在边的中点处。
二、三角形内切圆的性质内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。
下面是内切圆的一些重要性质：1. 内切圆的圆心位于三角形的角平分线交点处，也就是三角形的三条角平分线的交点。
2. 内切圆的半径等于三角形面积除以半周长的值，即r = S/p，其中S为三角形的面积，p为三角形的半周长。
3. 内切圆的切点分别是三角形的三个顶点。
4. 内切圆的切线与三角形的边相切，且切点在边的中点处。
三、三角形外接圆与内切圆的判定条件根据三角形的性质，我们可以通过以下条件来判定三角形是否存在外接圆或内切圆：1. 外接圆存在的条件：当且仅当三角形的三个角的外角和为360度时，三角形存在外接圆。
2. 内切圆存在的条件：当且仅当三角形的三个角的内角和为180度时，三角形存在内切圆。
除了上述判定条件外，我们还可以通过计算三角形的边长、角度、面积等来进一步确定外接圆和内切圆的位置和属性。
总结：三角形的外接圆与内切圆是三角形的重要概念，它们具有一些独特的性质。
外接圆与三角形的垂直平分线、外角和、直径等相关；内切圆与三角形的角平分线、内角和、半径等相关。
我们可以通过计算三角形的边长、角度、面积来判定三角形是否存在外接圆或内切圆。
等腰三角形内切圆外接圆半径公式
等腰三角形是指有两边相等的三角形，而内切圆和外接圆是与三角形相切的圆。
在等腰三角形中，内切圆和外接圆都有特定的半径和关系。
本文将介绍等腰三角形内切圆和外接圆的半径公式，并对其推导过程进行详细解释。
1. 等腰三角形内切圆的半径公式在等腰三角形中，内切圆的半径可以表示为r，三角形的底边长度为a，而等腰边的长度为b。
根据三角形的性质，等腰三角形内切圆的半径公式可以表示为：r = (b/2) * tan(π/4)其中，π是圆周率，tan是正切函数。
该公式表示了内切圆的半径与等腰边长度的关系。
通过该公式，我们可以计算出等腰三角形内切圆的半径。
2. 等腰三角形外接圆的半径公式在等腰三角形中，外接圆的半径可以表示为R，等腰三角形的底边长度为a，而等腰边的长度为b。
根据三角形的性质，等腰三角形外接圆的半径公式可以表示为：R = (b/2) * csc(π/4)其中，π是圆周率，csc是余割函数。
该公式表示了外接圆的半径与等腰边长度的关系。
通过该公式，我们可以计算出等腰三角形外接圆的半径。
3. 推导过程以上述公式为基础，我们来简要介绍等腰三角形内切圆和外接圆半径公式的推导过程。
对于内切圆的半径公式，我们可以利用正切函数的定义，即tan(π/4) = 1。
等腰三角形的顶角为π/2，于是等腰边与底边的夹角为π/4。
根据三角函数的定义，tan(π/4)就是等腰边界的对边与邻边的比值，而等腰边的长度b/2就是对边，底边长度a就是邻边。
内切圆的半径公式可以推出为r = (b/2) * tan(π/4) = b/2。
对于外接圆的半径公式，我们可以利用余割函数的定义，即csc(π/4) = √2。
同样，根据三角形的性质，我们可以推导出外接圆的半径公式为R = (b/2) * csc(π/4) = b/2√2。
我们介绍了等腰三角形内切圆和外接圆的半径公式，并对其推导过程进行了详细解释。
通过这些公式，我们可以在解决相关问题时更方便地计算等腰三角形的内切圆半径和外接圆半径，为数学和几何学习提供了重要的工具。
三角形外接圆与内切圆的关系
三角形外接圆与内切圆的关系三角形是初中数学学习中的重要内容之一，而三角形的外接圆与内切圆是三角形的两个重要特性。
本文将重点介绍三角形外接圆与内切圆的关系，并通过具体的例子和分析来说明这一关系。
一、外接圆与内切圆的定义首先，我们来了解一下外接圆与内切圆的定义。
对于任意一个三角形ABC，我们可以找到一个圆，使得这个圆与三角形的三条边都相切，这个圆就叫做三角形的内切圆。
另外，我们还可以找到一个圆，使得这个圆与三角形的三个顶点都相切，这个圆就叫做三角形的外接圆。
二、外接圆与内切圆的关系外接圆与内切圆之间存在着一定的关系，这一关系可以通过以下几个方面来说明。
1. 位置关系：外接圆的圆心恰好是内切圆的切点之一。
我们可以通过一个具体的例子来说明这一关系。
假设有一个等边三角形ABC，我们可以很容易地发现，三角形的外接圆与内切圆的圆心都在三角形的重心上，而重心也是三条中线的交点。
这个例子表明，外接圆的圆心恰好是内切圆的切点之一。
2. 半径关系：外接圆的半径大于内切圆的半径。
我们可以通过一个等边三角形的例子来说明这一关系。
假设三角形ABC是一个等边三角形，那么三角形的外接圆的半径等于三角形的边长，而内切圆的半径等于三角形的边长的一半。
由于等边三角形的边长是固定的，所以外接圆的半径大于内切圆的半径。
3. 面积关系：三角形面积与外接圆和内切圆的半径之间存在一定的关系。
我们可以通过一个直角三角形的例子来说明这一关系。
假设三角形ABC是一个直角三角形，其中直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b。
根据三角形的性质，我们可以得到三角形的面积为S = (1/2) * a * b。
而三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，即r = (a^2 + b^2)^(1/2) / 2。
内切圆的半径等于直角边的一半，即r' = (a + b - (a^2 + b^2)^(1/2)) / 2。
通过计算可以得到，外接圆的半径r大于内切圆的半径r'，而且它们的比值r/r'等于(1 + (a^2 + b^2)^(1/2)) / (a + b)。
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式.doc
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R,（如右图所示）a2 b2 c2cos cos sin sin 则 cos( ) 2ab (余弦定理) bb 而 cos , sin R2Raa cos , sin R2Rb22R 4 Ra2R 4 R22b2a22R R a2 b2 c2ba44 即有： 2ab2R2RRR2222a2 b2 c2ab (4R b) (4R a)即有： ab2R2)(4R2 b2) (4R2 a2)所以：ab 2R(ab2a2 b2 c22) 16R4 4(a2 b2)R2 a2b2 即有：(ab) 4R(a b c) 4R(ab222224a2 b2 c22)],即：a2b2c2 R2[4a2b2 (a2 b2 c2)2]所以：c R[4 (ab22所以：R abc(a b c) (a b c) (a c b) (b c a)而三角形而积：4S a b c) (a b c) (a c b) (b c a)(海伦公式)所以, 有:R abc 4Sab2 c2 a22R,而cosA 另一求法,可用正弦定理,B|J： sinA2bc所以：R aa 22sinA2 (cosA)ab2 c2 a222 ()2bc abc4b2c2 (b2 c2 a2)2二、任意三角形内切圆的半径设三角形各边边长分别为a, b, c内切圆半径为r,(如右图所示)因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，所以，会有x z aa b c x y bx ,解得 2 y z c (cos2 )2sin2 显然：r xtan ,而 tan 1 cos2 1 cos2a2 b2 c2而由余弦定理有：cos2 2ab21 () 2ab所以：tan (a b c) (a b c)222a b cl 2ab4(ab)2 (a2 b2 c2)2222224 (ab)2 (a2 b2 c2)2a b c4(ab) (a b c)即有：r2 (a b c) (a b c)2(a b c)2 (a b c)2(a b c)a b c即：r (a b c) (a b c) (a c b) (b c a)4S2S。
求三角形外切圆和内接圆半径公式
08-10 00:49
S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]/4；
设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，则：
∵S=(ar/2)+(br/2)+(cr/2)，∴r=2S/(a+b+c)，
即r=√[(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]/[2√(a+b+c)]；
由正弦定理可知：a/sinA=2R和S=bcsinA/2，
已知A（0，2）B（0，0）C（2，0）三角形ABC的内切圆半径是？圆的一般方...
圆中，直角三角形内切圆半径公式：r=(a+b-c)÷2的推导过程是什么？请详...
求直角三角形的内接圆半径有什么公式吗？
求直角三角形内接圆，外接圆半径计算公式
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知道>数学> 问题页已解决求三角形外切圆和内接圆半径公式老师上课时，没记得清，请问求两个的公式王者回归zx 2010-1-28最佳答案大哥，是外接圆和内切圆
两边之积=第三边的高*外接圆直径
r（内切）=2SC
S为三角形面积，C为三角形周长
wj1232944 2010-1-28其他答案哈哈，真是闹不了，这样还不如不听课！！
wuxch21 2010-1-28外接圆半径R=a/(2sinA)=b/(2sinB)=c/(2sinC)
内切圆半径r=三角形面积×2/三角形的周长
=2S/(a+b+c)
xiangshl 2010-1-29已知△ABC的三个顶点A、B、C所对的边长依次为a、b、c，
三角形的外心与内切圆关系性质解析
三角形的外心与内切圆关系性质解析三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有丰富的性质与关系。
其中，外心与内切圆是三角形中重要的概念。
本文将对三角形的外心与内切圆的关系性质进行解析。
一、外心与内切圆的定义1. 外心：三角形的外接圆的圆心被称为外心，它是三条边的垂直平分线的交点。
外接圆的半径等于外心到三角形任意顶点的距离。
2. 内切圆：三角形内切圆的圆心被称为内心，它是三角形三条内切线的交点。
内切圆的半径等于内心到三条边的距离。
二、外心与内切圆的位置关系1. 外心与内心的连线垂直于三角形的一条边：外心与内心之间的连线垂直于三角形的一条边。
根据垂直平分线的性质可知，外心与该边的中点相重合。
2. 外心是三角形三条高的交点：三角形的高是指从三个顶点到对边的垂线段。
外心是三条高的交点，同时也是三条边上的垂直平分线的交点。
3. 内心是三角形内角的平分线的交点：三角形的内心是三个内角的平分线的交点。
内心到三条边的距离相等，等于内切圆的半径。
4. 内切圆切分三角形的面积：三角形被内切圆切分成三个小三角形，每个小三角形的面积等于半周长与边长之差的乘积。
三、外心与内切圆的关系性质1. 外心、内心和重心共线：重心是三角形三条中线的交点，它也是三角形内接圆三条角平分线的交点。
根据欧拉定理可知，外心、内心和重心三点共线，且内心与重心在外心与重心的连线上的一半距离。
2. 内切圆半径与外接圆半径的关系：内切圆半径r和外接圆半径R之间有如下关系：r = R / 2，即内切圆半径是外接圆半径的一半。
3. 外心到顶点的距离等于外接圆半径：外心到三角形任意顶点的距离等于外接圆的半径，即OA = OB = OC = R，其中O为外心，A、B、C为三角形的顶点。
4. 内心到顶点的距离等于内切圆半径：内心到三角形任意顶点的距离等于内切圆的半径，即IA = IB = IC = r，其中I为内心。
四、应用与拓展外心与内切圆的关系性质不仅在几何学中有重要应用，也在其他学科中有广泛的拓展。
三角形外接圆与内切圆的性质解析
三角形外接圆与内切圆的性质解析三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形内接圆和外接圆则是与三角形密切相关的圆形。
本文将对三角形外接圆与内切圆的性质进行解析，以便更好地理解三角形的几何特征。
一、三角形外接圆的性质1. 外接圆的定义在一个三角形中，如果某个圆的圆心与三角形的三个顶点都在一条直线上，且圆的半径与三角形的三条边相等，那么这个圆就是三角形的外接圆。
2. 外接圆的圆心对于任意一个三角形ABC，它的外接圆的圆心O位于三角形的外心上，即外心是三角形三个顶点到外接圆圆心的垂直平分线的交点。
3. 外接圆的直径三角形的外接圆的直径等于三角形的最长边，因此可以通过测量三角形的三条边的长度，选取最长的一条作为外接圆的直径。
4. 外接圆的切线外接圆与三角形的每一条边都有且只有一条切线，且切线与三角形的边相切于切点，这样的切点三个分别位于三角形的三条边上。
二、三角形内切圆的性质1. 内切圆的定义在一个三角形中，如果某个圆的圆心位于三角形的内部，并且这个圆的切点分别位于三角形的三条边上，那么这个圆就是三角形的内切圆。
2. 内切圆的圆心三角形的内切圆的圆心位于三角形的内心上，即内心是三角形三个角的角平分线的交点。
3. 内切圆的半径三角形的内切圆的半径等于三角形的周长除以2倍的三角形的面积，即r = S / p，其中r为内切圆的半径，S为三角形的面积，p为三角形的周长。
4. 内切圆的切点内切圆与三角形的每一条边都有且只有一个切点，这样的切点三个分别位于三角形的三条边的中点。
三、内接圆与外接圆之间的关系1. 欧拉公式对于任意一个三角形ABC，它的三个特殊圆（内切圆、外接圆和垂径圆）的圆心O、I、H分别位于一条直线上，并且满足OI = 2IH，即内接圆的圆心到外接圆的圆心的距离是内接圆的半径的两倍。
2. 欧拉线欧拉线是连接三角形的几何中心的一条直线。
对于任意一个三角形ABC，连接内心I、外心O和垂心H的直线构成的直线就是欧拉线。
三角形的内切圆和外接圆
三角形的内切圆和外接圆---- 三角形外接圆半径的求法及应用方法一:R ＝ab/(2h ）三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD 是△A ＢＣ的高，ＡE 是△ABC 的外接圆直径．求证AB AC=ＡE AD ．证:连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE, 则∠ＡB Ｅ=９0°.∵∠E ＝∠C, ∠ABE ＝∠ＡDC=90°，∴Rt △ＡＢE ∽Rt △ＡＤC ，∴AC AE AD AB ，∴ ＡB AC=AE AD方法二:2R=a/S ｉｎＡ,a 为∠A 的对边在锐角△A ＢC 中,外接圆半径为R 。
求证：2R=AB/Si ｎC证：连接AO 并延长交圆于点Ｅ，连接ＢＥ，则∠ABE=90°.∴AE ＝AB/ＳinE∵∠C ＝∠E,Sin Ｃ=S ｉnE∴ＡE=ＡＢ/Si ｎC∴2R ＝AB/SinC若Ｃ为钝角,则S ｉnC ＝Sin （180ｏ-Ｃ)应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。
例1 已知：如图，在△ABC 中,AC ＝１3,ＢC=１4,AB ＝１5,求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD,构造Rt △A ＢD.只要求出△ＡＢC 中B Ｃ边上的高AE,用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为Ｅ. 设 C Ｅ＝x ，∵A Ｃ２-CE 2=AE 2=ＡB 2－ＢE 2 ,∴13２-x ２=152-(14-x)2∴ｘ=５,即CE ＝５，∴AE=1２R=ab/（2h ）=13x1５/（2x １2)=６５/8 A BC OD E---- ∴△A ＢC 外接圆⊙O 的半径r为865. 例2 已知:在△AB Ｃ中，AB ＝1３，BC ＝12，ＡＣ=5，求△ABC 的外接圆的半径R.分析:通过判定三角形为直角三角形,易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
应用二、已知三角形的二边长及其夹角(特殊角)，求外接圆的半径。
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任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法
圆与三角形有着密不可分的关系，对于任意一个三角形来说，三角形是圆的内接三角形或是外切三角形。
而对于圆来说，三角形必定有它的外接圆和内切圆。
那么三角形的各边数量关系与其对应的圆的半径有着怎样的一种关系呢？下面就上述问题作一探索。
一、特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。
例1、已知R t △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。
解：由题意得；2132==c R ；22
131252=-+=-+=c b a r 。
二、非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。
例2、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝14，BC ＝15，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。
解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝15－x 。
由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2，
即：()2222151413x x --=-，得x=5
33； 再得：AD ＝5
56， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++=
∆21 得：()r 1514132
15561521++=⨯⨯ 得： r ＝4 ；
2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于
E ，连接CE 。
则△ABD ∽△AEC ， 则AC AD AE AB = ，即14
556
213=R ，得R ＝865。
例3、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝25，BC ＝17，求
外接圆半径R 和内切圆半径r 值。
解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝17－x 。
由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()()2222172
513x x --=-，得x=12； 再得：AD ＝5，
1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++=
∆21 得：()r 2517132151721++=⨯⨯ 得： r ＝2
26- ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE 。
则△ABE ∽△ADC ， 则AC AE AD AB = ，即252513R = ，得R ＝2
213。
三、小结
例2和例3中，求三角形内切圆半径是通过()r c b a s ABC ++=
∆21公式，根据三角形的面积和周长来达到目的。
求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。
它们有一共同的特征就是要求出一条边上的高线。
例2和例3中的三角形分别是锐角三角形和钝角三角形，为了避免在计算中分类的问题，可统一为选择最长的一边为底边，再计算这条边上的高线即可,这时就不需考虑这个三角形是锐角还是钝角三角形的问题。
2009-1-6。