三角形的外接圆PPT课件
三角形的外接圆-九年级数学上册教学课件(人教版)
2.三角形的外心：
B
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三边中垂线的交点.
性质：到三角形三个顶点的距离相等.
A
●O C
反证法的定义 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已 知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证 法．
F
有且只有
A
B
●
o
C
G
试一试： 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
A
O C
B
1. 外接圆 ⊙O叫做△ABC的_外__接__圆___， △ABC叫做⊙O的_内__接__三__角__形___.
2.三角形的外心：
B
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三边中垂线的交点.
D
即△ABC的外接圆的半径为13cm.
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
P
l1
l2
A
B
C
如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以
作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在
线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直 平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l， l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一 条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一
接OC，则OA=OB=OC. ∴O是斜边AB 的中点. ∵∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm.
B
O
A
∴AB=13cm，OA=6.5cm.
故Rt△ABC 的外接圆半径为6.5cm.
1. 外接圆 ⊙O叫做△ABC的_外__接__圆___， △ABC叫做⊙O的_内__接__三__角__形___.
等边三角形PPT课件
03
02
特点
04
三个内角均为60°。
任意两边之和大于第三边。
05
06
任意一边都小于另外两边之和。
与其他三角形关系
03
与等腰三角形的关系
与直角三角形的关系
与其他三角形的比较
等边三角形是特殊的等腰三角形，其中两 条等腰边长度相等且等于第三边。
等边三角形不是直角三角形，因为其三个 内角均为60°，不满足直角三角形的定义 （有一个90°的内角）。
相比于其他三角形，等边三角形的三边长 度相等，三个内角也相等，具有独特的对 称性和稳定性。
性质总结
对称性
等边三角形具有轴对称性，即关于其三 条中垂线（同时也是角平分线和高线） 中的任意一条都具有对称性。
稳定性
由于三边长度相等，等边三角形在几何 形状中具有很高的稳定性，不易变形。
内角和
等边三角形的内角和为180°，每个内角 均为60°。
根据三角形面积公式 $S = frac{1}{2} times text{ 底} times text{高}$，代 入底和高，得到 $S = frac{1}{2}a times frac{sqrt{3}}{2}a = frac{sqrt{3}}{4}a^{2}$ 。
周长计算公式推导
01
等边三角形周长公式：$P = 3a$，其中 $a$ 为等边三角
形的边长。
02
推导过程
03
由于等边三角形的三条边长 度相等，因此周长等于边长
乘以3，即 $P = 3a$。
典型例题解析
01
例题1
已知等边三角形的边长为 4 cm，求其面积和周长。
02
解析
根据等边三角形面积公式 $S = frac{sqrt{3}}{4}a^{2}$ 和周长 公式 $P = 3a$，代入 $a = 4$
三角形的外接圆1
§24.2.1 三角形的外接圆
问题情境
问题1：要确定一个圆就必须确定 圆的 半径 和 圆心 和。
问题2：平面内几点可以确定一个 圆？
过一点作圆
探究(1)
.
A
1.过一个已知点A如何作圆?
结论：过一点可以画无 数个圆
过两点作圆
探究(2)
过已知两点A、B如何作圆?
. ..Ｂ.... . Ａ
过Ａ,Ｂ两点有无数个圆,圆心都在线段AB
课堂作业： 1.如果直角三角形的两条直角边分别是6,8,则这 个直角三角形的外接圆半径是多少?
2，如图，已知等边三角形ABC中，边长为6cm，求 它的外接圆半径.
（提示：设外接圆的半径为r,则BD=3，OA=OB=r.在Rt△ABD中，利用勾 股定理求出AD的长，然后在Rt△OBD中利用勾股定理求出r）
点。
操作：由图可知，锐角三角形的外心在三角形 内，那钝角三角形、直角三角形的外心呢？画图 说明。
C
C
AO
AO
O
C
B
B
AB角形的外心在斜边中点；钝角三角形
的外心在三角形外。
典型例题
例1.如图，已知 Rt⊿ABC 中 ，若 AC=12cm， BC=5cm，求的外接圆半径.
的中垂线上.
问题3：要经过不在同一直线上的三点作 一个圆，如何确定这个圆的圆心？
C O A B
不在同一直线上的三个点确定一个圆
C
O A
B
经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这 个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫 做这个三角形的外心，外心是三角形三边垂 直平分线的交点。
C O A
B
外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。 外心的构成：外心是三角形三边垂直平分线的交
第20讲圆与相似三角形的结合复习课件(共38张PPT)
全效优等生
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圆与类似三角形的综合运用 (1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明 直线与这条半径垂直； (2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．
CD＝235.
又∵CF＝FD，∴CF＝12CD＝12×235＝265，
∴EF＝CF－CE＝265－3＝76，
7
∴在 Rt△AFE 中，sin∠EAF＝EAFE＝63＝178.
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2．如图6－20－4，在△ABC中，BA＝ BC，以AB为直径作半圆O，交AC于点D.连 结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
∴AD＝3，BD＝
3.∴B2E＝
33，∴BE＝23
3 .
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(3)如答图②，当 E 与 A 重合时，∵AB 是直径，AD⊥CD， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴C，D，B 共线．
∵AC⊥AB，∴在 Rt△ABC 中，AB＝2 3，AC＝2， ∴tan∠ABC＝AACB＝ 33，∴∠ABC＝30°， ∴α＝∠DAB＝90°－∠ABC＝60°， 当E′在BA的延长线上时，可得∠D′AB>∠DAB＝60°， ∵0°<α<90°，∴α的取值范围是60°<α<90°.
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判定圆中的类似三角形 例1 如图6－20－1，AC是⊙O的直径， 弦BD交AC于点E. (1)求证：△ADE∽△BCE； (2)如果AD2＝AE•AC，求证：CD＝CB.
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多引人注目的性质和特点。
其中，外接圆和内切圆是三角形中常见的两种圆，它们与三角形的关系引起了广泛的研究和应用。
一、外接圆外接圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意给定的三角形，它都存在一个唯一的外接圆。
外接圆有许多特点，其中一些被广泛应用于几何学和其它相关领域。
首先，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三条边分别延长，然后找到它们垂直平分线的交点，这个交点就是外接圆的圆心。
其次，外接圆的半径等于三角形的边长的一半除以正弦值的倒数。
这个性质被称为外接圆定理，可以用来计算外接圆的半径。
再次，外接圆的直径等于三角形的任一边的长度除以正弦值。
这个性质被称为外接圆直径定理，也是计算外接圆直径的一个重要公式。
此外，外接圆对于三角形的角度关系也有一定的影响。
例如，对于直角三角形来说，外接圆的直径等于斜边的长度，这个性质被广泛应用于解决直角三角形相关的问题。
二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
与外接圆类似，任意给定的三角形都存在一个唯一的内切圆。
内切圆同样具有一些重要的性质和应用。
首先，内切圆的圆心是三角形的内角平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三个内角的平分线延长，这三条延长线的交点就是内切圆的圆心。
其次，内切圆的半径可以通过三角形的面积和半周长来计算。
内切圆半径公式为：r = Δ / s，其中Δ 表示三角形的面积，s 表示三角形的半周长。
再次，内切圆与三角形的边长和内角关系也有重要的性质。
例如，内切圆的半径等于三角形任意一条边的长度乘以正切值的倒数。
最后，内切圆还有一个重要的性质，即它与三角形的三条边的交点构成三角形的角平分线。
这个性质有助于解决一些与角平分线相关的问题。
结论三角形的外接圆和内切圆是在几何学中经常遇到的两种圆形。
它们分别与三角形的三个顶点或三个内角相切，具有许多有趣的性质和应用。
三角形的内切圆和外接圆
三角形外接圆半径的求法及应用 方法一：R ＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。
AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ． 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°.∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ，∴ACAE ADAB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。
求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE∴AE ＝AB/SinC∴2R ＝AB/SinC若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。
例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E.设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8ABCODE∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865. 例 2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。
应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。
三角形的特性优秀ppt课件
三角形在平行四边形和梯形中应用
三角形与平行四边形的联系
任意平行四边形可以划分成两个全等的三角形，因此平行四边形的性质可以通 过三角形来推导。例如，平行四边形的对角线互相平分，可以通过三角形全等 来证明。
三角形在梯形中的应用
梯形可以划分成一个平行四边形和两个三角形，或者两个三角形和一个矩形。 因此，三角形的性质在梯形中同样有广泛应用。例如，利用三角形的相似性质 可以证明梯形的中位线定理。
三角高程测量
利用三角形的边长和角度关系，通过测量两点间的水平距离和天 顶距，计算两点间的高差。
三角测距
在无法直接测量两点间距离时，可以通过测量三角形的一边和两角 ，利用三角函数计算得出两点间的距离。
三角定位
通过测量目标点与两个已知点之间的角度，可以确定目标点的位置 。
航海航空中方向定位
航向定位
在航海中，利用三角形原理通过测量两个已知点（如灯塔）的方位 角，可以确定船只的位置和航向。
边的平方。可以通过多种方法进行证明，如面积法、相似三角形法等。
02 03
勾股定理的应用举例
利用勾股定理可以解决直角三角形中的各种问题，如求边长、角度、面 积等。例如，已知直角三角形的两条直角边长度，可以求出斜边长度和 面积。
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长满足勾股定理的条件，则这个三角形一定是直角三 角形。逆定理为我们判断一个三角形是否为直角三角形提供了依据。
三角形的稳定性
当三角形的三边长度确定时，三角形的形状和大小也就唯 一确定了，这种性质称为三角形的稳定性。
与其他多边形的比较
相比于其他多边形，三角形具有更强的稳定性，因为它的 三个顶点在确定之后，整个图形的形状和大小也就确定了 。
应用领域
三角形的外接圆半径和内切圆半径 PPT
三、特殊三角形外接圆、内切圆半径得求法: 直角三角形外接圆、内切圆半径得求法
B
外接圆半径R= c 2
c
O a
内切圆半径r= ab
I
a+b+c A
b
C
等边三角形外接圆、内切圆半
径得求法
基本思路:
A
构造三角形BOD,BO为外接圆
半径,DO为内切圆半径。
RO
A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形得内心不一定在三角形得内部 C、等边三角形得内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆
小结与质疑:
1、会画出已知三角形得外接圆和内切圆。 2、三角形得外心及内心。 3、求特殊三角形得外接圆、内切圆半径。 4、有关证明题。
三角形得外接圆得圆心是各边 垂直平分线得交点;其半径是交点 到顶点得距离。
三角形得内切圆得圆心是各内 角平分线得交点;其半径是交点到 一边得距离。
三角形得外接圆:
A
O
B
C
三角形得内切圆:
A
I
B
C
二、三角形得外心与内心
对照画出得图形,讨论解决下列问题:
1、什么是三角形得外心与内心? 2、试比较三角形得外心与内心得区别,并填写下表:
径为R,则
a sin Aபைடு நூலகம்
b sin B
c sin C
2R
BC 2R a,而sin A=1，
a 2R
sin A
A
O C
A 900
三角形得外接圆
设 ABC 得外接圆得半径为R,则 A
当A 900，过B作直径交于D
由A=D得
D O
sinD= a sin A
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方程的思想，希望同学们能够掌握这种
方法，领会其思想。
.
13
作业
1，基础训练66页，课堂练习， 课后训练1-5
.
14
.
15
.
16
.
17
探究四
（2）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗 ？
P
l1
A
B
如图，假设过同一条直线l上三点A、
B、C可以作一个圆，设这个圆的圆
心为P，那么点P既在线段AB的垂直
平分线l1上，又在线段BC的垂直平
l2
分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而 l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过
一点有且只有一条直线与已知直线
C 垂直”相矛盾，所以过同一条直线上
的三点不能作圆．
.
18
什么叫反证法？
先假设命题的结论不成立，然 后由此经过推理得出矛盾(常与公理、 定理、定义或已知条件相矛盾)，由 矛盾判定假设不正确，从而得到原 命题成立，这种方法叫做反证法．
一个三角形的外接圆有几个？
一个圆的内接三角形有几个？
.
6
跟踪练习
1、判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆
(√ ).
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形
( ×)
(3)经过三点一定可以确定一个圆( ×)
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离
相等( √)
.
7
2.如图，已知等边三角形ABC中， 边长为6cm，求它的外接圆半径。
3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆.
A
A
A
B
B
A
B
B
D
C
D
C
D
C
D
C
.
21
例3：在⊙O中，点M到⊙O的最小距 离为3，最大距离是19，那么⊙O的半 径为（ 11或8）
B
B
O
A M
.
O M A
22
A
A
A
●O
●O
●O
锐B角三角形的C外心B┐位于三角C 形内,B
C
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于. 三角形外.
10
跟踪练习
1、若一个三角形的外心在一边上，则此三
角形的形状为( B )
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等腰三C角形
2.如图,已知
Rt⊿ABC 中 AC=12c
.
1
知识回顾
1、一个多边形的所有顶点都在 同一个圆上，这个多边形叫做 圆内接多边形。 2、圆内接四边形的对角
互补
.
2
探究 问题1.平面上有一点A，经过已知
A点的圆有几个？
●
AO O ●
O O ●
●
●
●
O
无数个
.
3
问题2.平面上有两点A、B，经过 已知点A、B的圆有几个？它们的圆 心分布有什么特点？
归纳结论：
不在同一条直线上的. 三个点确定一个圆。5
经经过过三三角角形形三三个个顶顶点点可可以以画画一一个个圆圆，吗并？且
只能画一个．
经过三角形三个顶点的圆叫做三
A
角形的外接圆。
三角形外接圆的圆心叫做这个
三角形的外心。
B
●O C
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
●O ●O ●O
无数个。它们的圆心都在线段AB的
垂直平分线上。
.
4
问题3.经过不在同一直线上的三点A、B、C， 能不能作圆？如果能，如何确定圆心？
经过A,B,C三点的圆的圆心
是线段AB、BC的垂直平分
线的交点O.
A●
则OA=OB=OC
┏ ●O
问题4.经过在同一直线上的 B●
C●
三点A、B、C能不能作圆？
， m
若，B
BC=5cm，则它 的
A
外接圆半径为__cm。.
11
3、已知：在△ABC中，AB＝13， BC＝12，AC＝5，求△ABC的外 接圆归纳
◆不在同一直线上的三点确定一个圆。
◆求解特殊三角形直角三角形、等边三角形、 等腰三角形的外接圆半径。
◆在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了
正三角形的高 、外接圆半径 、 边心距之比为
多3：少2？：1
B
.
A
O
D
E
C
8
3、已知：在锐角△ABC 中，AB＝ AC=10，BC＝12，求△ABC外接 圆⊙O的半径r。
.
9
动手画一画，找一找
分别画一个锐角三角形、直角三角形和
钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察
并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
.
19
反证法常用于解决用直接证法不易 证明或不能证明的命题，一般步骤 步骤：
(1)假设原命题不成立； (2)推出与已知或定理、公里事实矛盾的结论； (3)假设不正确.
.
20
思考：任意四个点是不是可以作一个圆？ 请举例说明.
不一定
1. 四点在一条直线上不能作圆；
2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上不能作圆；