高二数学解三角形和不等式PPT优秀课件
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新教材人教B版高中数学必修第四册第九章解三角形 精品教学课件(179页)
A.5 2
B.10 3
C.10 3 3
D.5 6
【解析】选B.由正弦定理得b=asin B
sin A
10 1
3 2
10
3.
2
3.(教材二次开发:例题改编)在△ABC中,a=2 3 ,b=2 2 ,B=45°,则A等于 ( )
A.30°或150°
B.60°
C.60°或120°
D.30°
【解析】选C.根据正弦定理 a ＝可b得， 2 ,3解得s2in2A= ,故
(1)正弦定理常见的变形式:
①sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c;
②
a＝b= c sin A sin B sin C
sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C
=2R;
③a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
④sin A= a ,sin B= b ,sin C= c .
(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由 正弦值可求两个角,要分类讨论.
【跟踪训练】
1.(2020·天津高一检测)在△ABC中,若b= 3 ,c=3,B=30°,则sin C=
A.1
B. 3
C. 2
D.1
2
2
2
【解析】选B.根据正弦定理 b ,解c得sin C= . 3
sin B sin C
2
()
2.(2020·遂宁高一检测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为
a,b,c,b=3
2
,B=
,tan
4
A=
2 ,则a的值是
A.10 2
B.2 6
C. 10
数学必修Ⅴ人教新课标A版1-2解三角形应用举例课件(34张)
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB ＝ AC sin C sin B
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC
AB AC sin ACB 55sin ACB sin ABC sin ABC
55sin 75
55sin 75 65.7(m)
sin(180 51 75 ) sin 54
答：A,B两点间的距离为65.7米。
B
A
D
C
例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到
达),设计一种测量A, B两点间距离的方法.
解：如图，测量者可
A
B
以在河岸边选定两点
C、D，设CD=a，
∠BCA=α，∠ACD=β， ∠CDB=γ， ∠ADB=δ
δ
α
γ
D
a
β C
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的
A
仰角分别是α，β，CD=a,测角仪
器的高是h.那么，在 ACD中，
根据正弦定理可得
D
C
E
AC a
AB AE h AC sin h asin sin h sin( )
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
AB ＝ AC sin C sin B
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC
AB AC sin ACB 55sin ACB sin ABC sin ABC
55sin 75
55sin 75 65.7(m)
sin(180 51 75 ) sin 54
答：A,B两点间的距离为65.7米。
B
A
D
C
例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到
达),设计一种测量A, B两点间距离的方法.
解：如图，测量者可
A
B
以在河岸边选定两点
C、D，设CD=a，
∠BCA=α，∠ACD=β， ∠CDB=γ， ∠ADB=δ
δ
α
γ
D
a
β C
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的
A
仰角分别是α，β，CD=a,测角仪
器的高是h.那么，在 ACD中，
根据正弦定理可得
D
C
E
AC a
AB AE h AC sin h asin sin h sin( )
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
解三角形课件.ppt.ppt
第十讲 解三角形
△ABC中：
（1）A+B+C=
（2）A B C C
2
2 22
（3）A B a b sin A sin B
C
b
a
B
A
c
正弦定理:
a b c 2R sin A sin B sin C
a 2R sin A b 2R sin B
c 2R sin C
cos AcosC sin Asin C cos B 1 2sin2 B cos AcosC sin AsinC cos B 1 2sin AsinC
cos AcosC sin AsinC cos B 1
cos(A C) cos B 1 1
例9、如果△ABC内接于半径为的圆，且 2R(sin 2 A sin 2 C) ( 2a b) sin B, 求△ABC的面积的最大值。
∴
AB ,
2
即 A B0
2
2
∴ sin A sin( B)即 sin A cos B
2
同理 sin B cosC ，sin C cos A
∴ sin A sin B sin C cosA cosB cosC
例２、在△ ABC中，若b 2a sin B
则 A 等于（ ）
．
∴ AC BC
2( 6 2)(sin A sin B) 4( 6 2)sin A B cos A B
2
2
AB
B
4cos 2 4, (AC BC)max 4
C
A
例4、在△ABC中，若 a cos A bcosB c cosC,
则△ABC的形状是什么？
解： acos A bcos B ccosC,sin Acos A sin Bcos B sinC cosC
△ABC中：
（1）A+B+C=
（2）A B C C
2
2 22
（3）A B a b sin A sin B
C
b
a
B
A
c
正弦定理:
a b c 2R sin A sin B sin C
a 2R sin A b 2R sin B
c 2R sin C
cos AcosC sin Asin C cos B 1 2sin2 B cos AcosC sin AsinC cos B 1 2sin AsinC
cos AcosC sin AsinC cos B 1
cos(A C) cos B 1 1
例9、如果△ABC内接于半径为的圆，且 2R(sin 2 A sin 2 C) ( 2a b) sin B, 求△ABC的面积的最大值。
∴
AB ,
2
即 A B0
2
2
∴ sin A sin( B)即 sin A cos B
2
同理 sin B cosC ，sin C cos A
∴ sin A sin B sin C cosA cosB cosC
例２、在△ ABC中，若b 2a sin B
则 A 等于（ ）
．
∴ AC BC
2( 6 2)(sin A sin B) 4( 6 2)sin A B cos A B
2
2
AB
B
4cos 2 4, (AC BC)max 4
C
A
例4、在△ABC中，若 a cos A bcosB c cosC,
则△ABC的形状是什么？
解： acos A bcos B ccosC,sin Acos A sin Bcos B sinC cosC
2020秋新版高中数学人教A版必修5课件：第一章解三角形 1.2.4 .pptx
在三角形中,当涉及两边的和、两边的积或两边的平方和或三角
形的面积时,常用余弦定理解答.
-11-
第4课时 几何计算问题
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且
(1)若△ABC 的面积等于 3, 求������, ������的值;
(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面积. 分析(1)利用余弦定理和面积公式列关于a,b的方程组求解; (2)先利用正弦定理得a与b的关系,再利用余弦定理得a与b的另一 个关系,列方程组求解a,b,进而求面积.
第4课时 几何计算问题 题型一 题型二 题型三 题型四
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典例透析
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反思1.有关长度问题,要有方程意识.设未知数,列方程求解是经常 用到的方法.列方程时,要注意一些隐含关系的应用.
2.要灵活运用正、余弦定理及三角形面积公式.
-18-
第4课时 几何计算问题 题型一 题型二 题型三 题型四
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典例透析
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解(1)由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4.
又因为△ABC 的面积等于 3,
所以
1 2
������������sin
解三角形应用举例优秀课件ppt
28cos 30 sin 60 sin(60 30 )
42(m)
CD=BD-BC=42-28=14(m)
答：山的高度约为14米。
例2
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，
到A处时测得公路北测远处一山顶D在西偏北15º的方向上，
行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25º的方向上，
仰角为8º，求此山的高度CD. sin150 0.26,sin100 0.17,
tan 80 0.14
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
2.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米， 结果他离出发点恰好 13 千米，求x的值。 3.如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测 出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA ＝5，A，B，C，D四点共圆，求AC的长.
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
跟踪训练1 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处， 乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速 度是每小时 3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进， 才能最快与乙船相遇？ 解答
3.某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米， 结果他离出发点恰好 13 千米，那么x的值是__4_. 答案 解析
由余弦定理，得x2＋9－3x＝13， 整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4.
新教材 人教B版高中数学必修第四册 第九章 解三角形 精品教学课件(共225页)
[解]
法一：在△ABC中，根据正弦定理：
a sin
A
＝
b sin
B
＝
c sin
C
＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴2aR2＝2bR2＋2cR2， 即a2＝b2＋c2，
∴A＝90°，∴B＋C＝90°，
由sin A＝2sin Bcos C，
得sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)， ∴sin2B＝21. ∵B是锐角，∴sin B＝ 22， ∴B＝45°，C＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)根据正弦定理，sin A＝asibn B＝sin 1320°＝12. 因为 B＝120°，所以 A＝30°，则 C＝30°，c＝a＝1
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)根据正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是 直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求的这个角是 锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为 锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两 解，分别求解即可．
a (3) sin
A
＝ sinb
B
＝ sinc
C
＝ sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C
＝2R；(证明见类型
4[探究问题])
(4)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(可以实现边到角的转
化)
(5)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.(可以实现角到边的转化)
2＋5
6.
已知三角形的两角和任一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对 边，再由三角形内角和定理求出第三个角． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出 第三个角，再由正弦定理求另外两边．
解三角形PPT精品课件
sin PAB 6 122 16
答：AB方向的方位角的正弦值为 6 122 。 16
本章知识框架图
正弦定理 余弦定理
解三角形 应用举例
课堂小结
1、正弦定理、余弦定理的简单应用； 2、利用正、余弦定理、三角形面积公式解 三角形问题； 3、解三角形的实际应用问题
平衡膳食与膳食指南
一、膳食结构的类型与特点
典型例题
例 在ABC中，a2 （b b c），求A与B满足的关系
解答
例 在ABC中，a2 （b b c），求A与B满足的关系
解：由已知a2 （b b c） a2 b2 bc，移项得：b2 a2 bc
由余弦定理：a2 b2 c2 2bccosA，移项：2bccosA=b2 a2 c2
B A B或B （A B） （舍去）
即A与B满足的关系为A 2B
本题启示
典型例题
例 在ABC中，已知A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c 7 ， 2
且 tan A tan B 3 tan A • tan B 3，又ABC的面积为
SABC
3 3 ，求a 2
b的值
例 在ABC中，已知A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c 7 ， 2
1 2
ab sin C
3 3 ，ab 2
6
由余弦定理得：c2 a2 b2 2ab cos C
c2 （a b）2 2ab 2ab cos C 代入计算得：a b 11
2
本章知识框架图
正弦定理 余弦定理
解三角形 应用举例
求解三角形应用题的一般步骤：
1、分析题意，弄清已知和所求； 2、根据提意，画出示意图； 3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求； 4、正确运用正、余弦定理。
《高二数学解三角形》课件
方向测量
在地理测量中，利用解三角形的方法可以精确地测量方向。例如，使用 罗盘和三角函数可以确定一个物体的方向。
03
卫星轨道确定
在卫星轨道确定中，解三角形也是非常重要的工具。通过解三角形，可
以精确地计算卫星的位置和速度。
几何图形中的应用
三角形面积计算
解三角形的一个重要应用是计算三角 形的面积。通过解三角形，可以找到 三角形的底和高，然后使用公式计算 面积。
代数方法解题主要依赖于三角形的边和角的关系，通过代数 运算来求解三角形。
代数方法解题通常需要利用三角形的边和角的关系，如余弦 定理、正弦定理等，通过代数运算来求解三角形的角度、边 长等参数。这种方法适用于已知条件较为复杂，需要精细计 算的情况。
几何方法解题
几何方法解题主要依赖于几何图形的性质和定理，通过构造辅助线、图形变换等 方式来求解三角形。
正弦定理
总结词
利用正弦定理求解三角形的边长或角度。
详细描述
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形边长和对应角正弦值之间的关 系。通过已知的边长和角度，我们可以使用正弦定理求解其他边长或角度。
余弦定理
总理是另一种求解三角形的方法，它建立了三角形边长的平方和与角度余弦值之间 的关系。通过已知的边长和角度余弦值，我们可以使用余弦定理求解其他边长或角度。
解三角形的重要性
总结词
解三角形在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用价值。
详细描述
解三角形在数学中扮演着重要的角色，它不仅是解决几何问题的基础，也是解决物理、工程等领域问题的重要工 具。例如，在物理学中，解三角形可以用于解决力学、光学、电磁学等方面的问题；在工程学中，解三角形可以 用于解决建筑、机械、航空航天等方面的问题。
在地理测量中，利用解三角形的方法可以精确地测量方向。例如，使用 罗盘和三角函数可以确定一个物体的方向。
03
卫星轨道确定
在卫星轨道确定中，解三角形也是非常重要的工具。通过解三角形，可
以精确地计算卫星的位置和速度。
几何图形中的应用
三角形面积计算
解三角形的一个重要应用是计算三角 形的面积。通过解三角形，可以找到 三角形的底和高，然后使用公式计算 面积。
代数方法解题主要依赖于三角形的边和角的关系，通过代数 运算来求解三角形。
代数方法解题通常需要利用三角形的边和角的关系，如余弦 定理、正弦定理等，通过代数运算来求解三角形的角度、边 长等参数。这种方法适用于已知条件较为复杂，需要精细计 算的情况。
几何方法解题
几何方法解题主要依赖于几何图形的性质和定理，通过构造辅助线、图形变换等 方式来求解三角形。
正弦定理
总结词
利用正弦定理求解三角形的边长或角度。
详细描述
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形边长和对应角正弦值之间的关 系。通过已知的边长和角度，我们可以使用正弦定理求解其他边长或角度。
余弦定理
总理是另一种求解三角形的方法，它建立了三角形边长的平方和与角度余弦值之间 的关系。通过已知的边长和角度余弦值，我们可以使用余弦定理求解其他边长或角度。
解三角形的重要性
总结词
解三角形在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用价值。
详细描述
解三角形在数学中扮演着重要的角色，它不仅是解决几何问题的基础，也是解决物理、工程等领域问题的重要工 具。例如，在物理学中，解三角形可以用于解决力学、光学、电磁学等方面的问题；在工程学中，解三角形可以 用于解决建筑、机械、航空航天等方面的问题。
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C
4x
B 到 A 的 距 离 为 43千 米 x B
3
E
5
A
（2）∵在 ABE 中，由余弦定理得
BE2AB2AE22ABAEcos30
25162543 331
3
3 23
BE 93 3
所以轮船速度是 31 20 93 （千米/小时） 3 60
C
4x
xB
E
5
A
（二）不等式
1、掌握不等式的8个性质； 2、掌握处理线性规划问题的基本思想； 3、掌握基本不等式的形式及其变形； 4、注意利用基本不等式求最值时的三个限制条件；
由余弦定理，得
cosB= a 2 c 2 b2 = 4b2 12 b2 = b2 4 = 3 ，
2ac
26
42
解得 b2=4+2 3 .又 b 为边长，∴b=1+ 3 .
答案：B
1.满足条件 a 4, b 3 2, A 45 的 ABC个数是( B )
A、一个 B、 两个 C、无数个 D、零个
答案：20 －1
例 2、.已知函数 f（x）=log 1 （x2－ax+3a）在
2
［2，+∞）上是减函数，则实数 a 的范围是
A.（－∞，4］
B.（－4，4］
C.（0，12）
解析：
D.（0，4］
∵f（x）=log 1 （x2－ax+3a）在［2，+∞）上是减函数，
2
∴u=x2－ax+3a 在［2，+∞）上为增函数， 且在［2，+∞）上恒大于 0.
A.等腰直角三角形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
解析：由 2cosBsinA=sinC 得 a 2 c 2 b2 ×a=c，∴a=b. ac
答案：C
2、△ABC 中，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边， 如果 a、b、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积
为 3 ，那么 b 等于 2
B. ab＜b2
C. b a ＞2 ab
D. |a|+|b|＞|a+b|
2．原点和点（1，1）在直线 x+y-a=0 两侧，
则 a 的取值范围是（ C ）
A.a<0 或 a>2
B.a=2 或 a=0
C.0<a<2
D.0≤ a ≤2
3.如果方程(x-1)(x 2-2x+m)=0 的三个根可以作为一个 三角形的三条边长，那么 m 的取值范围是_34___m___1_.
∴
a 2
2，
4 2a 3a 0.
∴－4＜a≤4.
答案：B
[例题3]设0 a b ,a b 1 ，下列不等式正确的是（ ）
A. b 2 a b a 2 b 2 a 2 b 2 B. 2 a b a 2 b 2a 2 b 2
C. 2 a a b 2 b 2 b a 2 b 2 D. 2 a a b 2 b 2a 2 b 2 b
*分析* 2 a b b ( 2 b a 1 ) b ( 2 a a b ) b ( a b ) 0
2abb,
a 2 b 2 b a 2 b ( b 1 ) a 2 b ( b a b )
a2b2 ba2ab a(ab)0*是的点最情评基况*作本下差的要比方坚较法持两，这个在个数任方的何法大复。小杂另
B
A. 1 3 2
B.1+ 3
C. 2 3 2
D.2+ 3
解析：∵a、b、c 成等差数列，∴2b=a+c.
平方得 a2+c2=4b2－2ac.又△ABC 的面积为 3 ， 2
且∠B=30°，故由
S△ABC= 1 acsinB= 1 acsin30°= 1 ac= 3 ，
2
2
42
得 ac=6.∴a2+c2=4b2－12.
4、小明在某岛上的 A 处，上午 11 时测得在 A 的北偏东 600 的 C 处有一艘轮船，12 时 20 分时测得该船航行到北偏西 600 的 B 处，12 时 40 分时又测得轮船到达位于 A 正西方 5 千米 的港口 E 处，如果该船始终保持匀速直线运动，求： （1）点 B 到 A 的距离； （2）船的航行速度。
2 a b a 2 b 2,b a 2 b 2
2 a a b 2 b 2 b a 2 b 2
外把1等量代换起到了重要的 作用，这要认真体会。当然特 殊值法也可解之，但作为能力
应选择C.
训练，我们还是强调本题给出 的解法。
例 4．已知 x、 y R 且 x＋2y＝1，求 1 1 的最小值 xy
（一正、二定、三相等）
例
1．已知
1 a b 2 2 a b 4
，求
t
4a
2b
的取值范围[5,10
]
．
b
a+b=4 a-b=1
D
2a-b=0 a+b=2
a-b=2 C
AB
1
2
4a
变式：已知函数 f（x）=ax2－c，满足－4≤f（1）≤－1， －1≤f（2）≤5，求 f（3）的最大值和最小值.
及取得最小值时的 x、y 值．
1 1 x 2 y x 2 y 3 2 y x 3 2 2 xy x y xy
当且仅当 2 y x ．再由 x＋2y＝1 解得 xy
x 2 1， y 1 2 ． 2
1、若 1 ＜ 1 ＜ 0 ，则下列结论不正确的是( D )
ab
A. a2 ＜b2
必修5复习
（一）解三角形
1、掌握正、余弦定理及相应的公式变形； 2、掌握在各种条件下解三角形的方法；
（边长、角度、面积） 3、理解在处理三角形问题时“边角统一”思想； 4、了解在实际问题中解三角形思想的运用；
（距离、高度、角度、面积）
例题：
1.在△ABC 中，若 2cosBsinA=sinC，则△ABC 的形状一定是
2.在△ABC 中， a 4,b 6,C 120 ，则 sinA=（ A ）
A、 57 19
B、 21 7
C、 3 38
D、 57 19
3. 若△ABC 的面积为 a2 b2 c2 ，则内角 C 等于_4_5_°___.
4
4.在锐角△ABC 中，边长 a=1，b=2，
则边长 c 的取值范围是_______. （1， 5 ）
解：（1）由已知得 BC=4BE，设 BE=x，则 BC=4x,
在 △ A C E 中 ， s i n C A E s i n E A C 5 s i n 1 5 0 1
E C 5 x 2 x
在 △ A B C 中 ， A B B C s in C 4 x 2 1 x 43
s in 1 2 0 s in 1 2 0 3