解三角形复习课件
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北师大版九年级下册1.4解直角三角形课件
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
我们已知三角形的三边， 需要求角.直角三角形三边与 它的角有什么关系呢？它们通 过什么可以联系起来？
A
？
b5
C
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
解：在Rt△ABC中， ∠C=90°， A
∠B=25° ，∴ ∠A=65°.
？
sin B = b ，b = 30，
c
c
=
b sin B
=
sin3205°
71.
b 30 C
c？
25°
a？ B
tan
B
=
b ，b a
=
30， a
=
b tan
Bபைடு நூலகம்
=
tan3025°
64.
讲授新课
思考4：例2中已知元素是一锐角与一直角边，如 果已知的是一锐角与斜边，能解直角三角形吗？
思考5：已知元素是两锐角，能解直角三角形吗？ A
65°
c？ b？
25°
C
a？ B
小结：解直角三角形最少需除直角外的两个元 素，且这两个元素中至少有一条边.
巩固练习
➢ 随堂练习 在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A，∠B，∠C所
对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形 的其他元素（结果精确到1°）:
26.4 解直角三角形的应用 - 第1课时仰角、俯角、方位角问题课件(共23张PPT)
解：如图，α = 30° ， β= 60°，AD＝120． ∵ , ∴BD=AD·tanα=120×tan30︒, =120× =40 . CD=AD·tanβ=120×tan60︒, =120× =120 . ∴BC=BD+CD=40 +120 =160 ≈277(m).答：这栋楼高约为277m.
例1 如图，小明在距旗杆4.5 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆底部B，俯角（∠BOC）为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
例题示范
知识点2 方向角方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
拓展提升
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
分析：如图，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角、方位角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念.2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
回顾复习
例1 如图，小明在距旗杆4.5 m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆底部B，俯角（∠BOC）为18°.求旗杆的高.(结果精确到0.1 m)
例题示范
知识点2 方向角方位角：由正南或正北方向线与目标方向线构成的锐角叫做方位角．如下图中的目标方向OA,OB,OC,OD的方向角分别表示________60°，________45°(或__________)，_________80°及_________30°.
拓展提升
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高(结果取整数)？
分析：如图，α=30°，β=60°.在Rt△ABD中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
第二十六章 解直角三角形
26.4 解直角三角形的应用
第1课时 仰角、俯角、方位角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角、方向角的概念.2.运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角和方位角有关的实际问题.
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
回顾复习
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第三讲两角和与差及二倍角的三角函数公式课件
(5)tan (α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ(T(α－β)). (6)tan (α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ(T(α＋β)).
2.二倍角公式 (1)基本公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
答案：C 【反思感悟】 理解数学文化内容，结合题目条件进行三角变换求值是关键.
【高分训练】
(2021 年泸州市模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图
是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成
一个大的正方形，若图3-3-1中直角三角形两锐角分别
为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为 9∶25，
答案：12
⊙三角变换与数学文化的创新问题 新高考数学考查的学科素养提炼为理性思维，数学应用，数 学探究和数学文化，其中数学文化作为素养考查的四大内涵之一， 以数学文化为背景的试题将是新高考的必考内容.
[例 4]公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边 形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为 0.618，
考向 2 公式的变形
[例
3](1)存在角
θ，已知
(1＋sin θ∈(0，π)，则
θ＋cos θ)sin 2＋2cos θ
2θ－cos
θ 2
＝______.
解析：由 θ∈(0，π)，得 0＜2θ＜π2， ∴cos 2θ＞0，∴ 2＋2cos θ＝ 4cos22θ＝2cos2θ.
又(1＋sin θ＋cos θ)sin
解析：原式＝1－cos22α－π3＋1－cos 22α＋π3－sin2α＝1－ 12cos2α－π3＋cos 2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cos π3－sin2α＝1－ co2s2α－1－c2os 2α＝12.
人教版数学九年级下册《 解直角三角形》PPT课件
∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，
高考数学复习考点知识讲解课件25 解三角形应用举例
— 15 —
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
测量距离问题的求解策略 (1)确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量 放在另外三角形中求解． (2)确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
— 16 —
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
即 DE＝si1n0705s°itna4n51°5°＝sin17050°×sincs4oi5ns°1155°°＝sin17050°s×inss4ii5nn°1755°°＝10s0insi1n54°5°.
又 sin15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2，所以 DE＝10s0insi1n54°5°＝100(
图形表示
— 返回 —
— 5—
(新教材) 高三总复习•数学
术语 名称
术语意义
图形表示 例：(1)北偏东 α：
方向角
正北或正南方向线与目标 方向线所成的__锐__角__，通
常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西 α：
— 返回 —
— 6—
(新教材) 高三总复习•数学
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术语 名称
术语意义
图形表示
术语 名称
术语意义
在目标视线与水平视线(两者在
同一铅垂平面内)所成的角中， 仰角与俯角 目标视线在水平视线__上__方__的
叫做仰角，目标视线在水平视线 _下__方__的叫做俯角
图形表示
— 返回 —
— 4—
(新教材) 高三总复习•数学
术语 名称
方位角
术语意义
从某点的指北方向线起按 _顺__时__针__方向到目标方向线 之间的夹角叫做方位角．方 位角 θ 的范围是0_°_≤__θ_<_3_6_0_°
解三角形中的最值与取值范围问题课件-高三数学一轮复习
A__x001B_2_x001B_ 的取值范围.
【解析】 设∠ADB = θ ，由题意可知0 < θ <
π
.
2
在△ ABD中，由余弦定理得
AB2 = 22 + ( 3)2 −2 × 2 × 3cos θ = 7 − 4
在△ ACD中，∠ADC = θ +
2
2
2
3cos θ .
π
，由余弦定理得
2
AC = 2 + 1 − 2 × 2 × 1 × cos(θ +
2
0<A<
sin A+sin B
.又sin C
sin C
=
3
1
a+b
cos A + sin A,所以
2
2
c
= 3sin A + cos A =
2π
，所以当A
3
=
=
2 3
3
(sin A + cos
3
2
π
2sin(A + )，又
6
π
a+b
时， 取得最大值，为2.
3
c
由余弦定理得16 = a2 + b2 − ab ≥
=
4 3
.
3
16 = a2 + b2 − ab ≥ 2ab − ab = ab，当且仅当a = b = 4时，等
号成立，即ab ≤ 16，所以△ ABC面积的最大值
1
π
Smax = × 16sin = 4 3.
2
3
a+b
由正弦定理得
c
C
√
sin B =
【解析】 设∠ADB = θ ，由题意可知0 < θ <
π
.
2
在△ ABD中，由余弦定理得
AB2 = 22 + ( 3)2 −2 × 2 × 3cos θ = 7 − 4
在△ ACD中，∠ADC = θ +
2
2
2
3cos θ .
π
，由余弦定理得
2
AC = 2 + 1 − 2 × 2 × 1 × cos(θ +
2
0<A<
sin A+sin B
.又sin C
sin C
=
3
1
a+b
cos A + sin A,所以
2
2
c
= 3sin A + cos A =
2π
，所以当A
3
=
=
2 3
3
(sin A + cos
3
2
π
2sin(A + )，又
6
π
a+b
时， 取得最大值，为2.
3
c
由余弦定理得16 = a2 + b2 − ab ≥
=
4 3
.
3
16 = a2 + b2 − ab ≥ 2ab − ab = ab，当且仅当a = b = 4时，等
号成立，即ab ≤ 16，所以△ ABC面积的最大值
1
π
Smax = × 16sin = 4 3.
2
3
a+b
由正弦定理得
c
C
√
sin B =
浙教版九年级数学下册解直角三角形复习课件
565米
A
1000米
C
2、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100
海里以内的区域.如图，设A、B是我们的观察站，
A和B之间的距离为160海里，海岸线是过A、B的
一条直线.一外国船只在P点，在A点测得
∠BAP45°，同时在B点测得∠ABP60°，问
此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国
海域.
P
先构造直 角三角形!
1. 如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面 的高度为20m，求此斜坡的倾斜角.
2.有一建筑物，在地面上A点测得其顶点 C的仰角为30°，向建筑物前进50m至B处，A
又测得C的仰角为45°，求该建筑物的高
A
度(结果精确到0.1m).
B
3. 如图，燕尾槽的横断面是一个等腰梯 形,其中燕尾角∠B55°，外口宽 AD180mm，燕尾槽的尝试是70mm，求它 的里口宽BC(结果精确到1mmm).
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
求证: 2. ABCD的面积SAB ·BC ·sinB (∠B为锐角).
A
⌒
D 60°
A
D
45° 75°
B
C
┓
B
E
C
[达标练习三]
1、 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克 准备通过一座和山顶的水平距离为1000米，山 高为565米，如果这辆坦克能够爬30°的斜坡， 试问：它能不能通过这座小山？
B
B
┌ C D
C
再见
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月9日星期六2022/4/92022/4/92022/4/9 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/92022/4/92022/4/94/9/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/92022/4/9April 9, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
中职数学6.4解三角形课件
容易看出，利用正弦定理可以解决下列两类问题： (1) 已知三角形的两边和其中一边所对的角,求其他两角和另一条边； (2) 已知三角形的两个角和任意一边,求其他两边和另一个角.
6.4.2 正弦定理
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
例3 在ΔABC中, ∠B=45°，∠C=15°，a=5，求b. 解
6.4 解三角形
6.4 解三角形
ΔABC中,常用∠A、∠B、∠C 表示 三个角，用 a、b、c分别表示这三个角的 对边．根据已知条件求三角形的边和角的 过程称为解三角形.
在生产实践和科学研究中,经常会遇到解三角形的 问题．余弦定理和正弦定理反映了任意三角形中边和 角之间的数量关系，是解三角形的重要工具.
6.4.1 三角形面积公式
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
用ΔABC表示所建花圃，其中， b=4, c=6. 以ΔABC的顶点A为坐标原点， 建立如图所示的平面直角坐标系.于是, 点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(c,0).
设点C的坐标为(x0,y0)，过点C作AB边上的高CD，则CD⊥AB， 且 =CD.
6.4.1 三角形面积公式
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
由三角函数的定义，可以得到
同理可得， 因此，
6.4.1 三角形面积公式
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
这就是说，三角形的面积等于它的任意两 边及其夹角的正弦乘积的一半.
6.4.1 三角形面积公式
6.4.3
余弦定理
6.4.3 余弦定理
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
在6.4.1的“情境与问题” 中，园林工人在修建花圃的过 程中,需在墙角的对面建造一道 篱笆墙，问所建篱笆墙的长度 为多少(不考虑其他因素)？
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(1)求BC边的长； (2)求AB边上的中线CD的长． AC 10 5 (2)由正弦定理，得AB＝sinB· sinC＝ × 5 ＝2. 2 2 1 BD＝2AB＝1. 由余弦定理，得CD＝ BD2＋BC2－2BD· BC· cosB ＝ 2 1＋18－2×1×3 2× 2 ＝ 13.
三、正、余弦定理与其他知识的综合 [例4] 65 → → 15 → → 在△ABC中，已知BC· CA＝ 2 ，CA· AB＝－ 2 ，
[例1]
2 5 在△ABC中，B＝45° ，AC＝ 10，cosC＝ 5 .
(1)求BC边的长； (2)求AB边上的中线CD的长．
[例1]
2 5 在△ABC中，B＝45° ，AC＝ 10，cosC＝ . 5
(1)求BC边的长； (2)求AB边上的中线CD的长． [解] 2 5 5 (1)由cosC＝ 5 ，得sinC＝ 5 ，
二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝ b2＋c2－a2 a 等，通过代数恒等变换，求出三条边 2R ，cosA＝ 2bc 之间的关系进行判断．
5.与其他知识的综合运用 在解三角形应用正弦定理、余弦定理时，还要注意 与三角形的其他知识的综合应用． (1)三角形的内角和定理A＋B＋C＝180° . 1 1 1 (2)三角形的面积公式S＝ 2 ah，S＝ 2 absinC＝ 2 acsinB 1 ＝ bcsinA. 2 (3)大边对大角，等边对等角． (4)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (5)解决不在同一平面内的三角形问题要注意正确画出 空间图形．
2.三角形解的个数的确定 已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解 这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时 应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此 时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
3．三角形形状的判定方法 判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理 和余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝ 2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进 行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关 系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A π ＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝2等；
由余弦定理求出角A，B；再利用 A＋B＋C＝180° ，求出角C. 三边(a，b，c) 余弦定理 S△＝ 解． 由正弦定理求出角B；由A＋B＋C ＝180° ，求出角C；再利用正弦定 两边和其中一边的 对角(如a，b，A) 正弦定理 理求出c边． 1 S△＝ absinC，可有两解，一解或 2 无解. 1 absinC，在有解时只有一 2
[例4]
65 → → 15 → → 在△ABC中，已知BC· CA＝ 2 ，CA· AB＝－ 2 ，
33 → → AB· BC＝－ ，求△ABC的最大内角． 2 → → → 方法二：同解法一，求出|BC|＝3，|CA|＝5，|AB|＝7. ∴∠ACB最大，由余弦定理得 32＋52－72 1 cos∠ACB＝ ＝－ . 2 2×3×5 ∴∠ACB＝120° ，即最大角为120° .
【例2】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满 足(2a－b)cos C＝c· cos B，△ABC的面积S＝10 3 ，c＝7. (1)求角C； (2)求a，b的值． 解 (1)∵(2a－b) cos C＝c cos B， ∴(2sin A－sin B) cos C＝sin C cos B， 2sin A cos C－sin B cos C＝cos B sin C， 即2sin A cos C＝sin (B＋C)， ∴2sin A cos C＝sin A.
∵B＝60° ，∴A＋C＝120° . 将A＝120° －C代入上式，得 2sin60° ＝sin(120° －C)＋sinC， 3 1 展开，整理得 2 sinC＋2cosC＝1. ∴sin(C＋30° )＝1，∴C＋30° ＝90° . ∴C＝60° ，故A＝60° .∴△ABC为正三角形．
[例2]
[例4]
65 → → 15 → → 在△ABC中，已知BC· CA＝ 2 ，CA· AB＝－ 2 ，
33 → → AB· BC＝－ ，求△ABC的最大内角． 2
→ → ∴|BC|＝3，同理可求得|CA|＝5. → → 15 又∵BC· CA＝ 2 ， 15 → → ∴ 2 ＝|BC||CA|cos(180° －∠ACB)＝－15cos∠ACB， 1 ∴cos∠ACB＝－2. 又∵0<∠ACB<180° ，∴∠ACB＝120° .
33 → → AB· BC＝－ ，求△ABC的最大内角． 2
[例4]
65 → → 15 → → 在△ABC中，已知BC· CA＝ 2 ，CA· AB＝－ 2 ，
33 → → AB· BC＝－ ，求△ABC的最大内角． 2 → → → → [解] 方法一：∵ BC · CA ＝| BC || CA |· cos(180° －∠ACB)
[例4]
65 → → 15 → → 在△ABC中，已知BC· CA＝ 2 ，CA· AB＝－ 2 ，
33 → → AB· BC＝－ ，求△ABC的最大内角． 2 方法三：设△ABC的三内角A，B，C所对边分别为a， b，c. 15 → → 15 由BC· CA＝ 得abcosC＝－ ， 2 2 由余弦定理得a2＋b2－c2＝－15.① 同理可得b2＋c2－a2＝65，② c2＋a2－b2＝33.③ 由①②③解得a2＝9，b2＝25，c2＝49，
15 ＝ >0， 2 ∴cos∠ACB<0. ∴∠ACB>90° ，即∠ACB是△ABC中的最大内角． 33 → → 15 → → 由已知BC· CA＝ ，AB· BC＝－ ， 2 2 → → → → → → → ∴BC· CA＋AB· BC＝BC(CA＋AB) → → →2 ＝BC· CB＝－|BC| ＝－9.
即a＝3，b＝5，c＝7. a2＋b2－c2 1 ∴cosC＝ 2ab ＝－2.∴C＝120° .
sinA＝sin(180° －45° －C)＝sin(135° －C ) 2 3 10 ＝ 2 (cosC＋sinC)＝ 10 . AC 10 3 10 由正弦定理，得BC＝sinB· sinA＝ × 10 ＝3 2. 2 2
[例1]
2 5 在△ABC中，B＝45° ，AC＝ 10，cos源自＝ . 5π ， 32
1 －2×40×1＋ . 2
∴a＋b＝13.② 由①②得 a＝8，b＝5 或 a＝5，b＝8.
[例2]
在△ABC中，若B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△
ABC的形状．
[例2]
在△ABC中，若B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△
ABC的形状．
[解] 方法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC.
1 π ∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos C＝ ，∴C＝ . 2 3
1 π (2)由 S＝ absin C＝10 3，C＝ ， 2 3 得 ab＝40.① 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C， 即 c ＝(a＋b) ∴7 ＝(a＋b)
2 2 2
－2ab1＋cos
第一章
解三角形
已知条件
应用定理
一般解法 由A＋B＋C＝180° ，求角A； 由正弦定理求出b与c.
一边和二角 (如a，B，C)
正弦定理
1 S△＝ acsinB 2 在有解时只有一解． 由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所
两边和夹角 (如a，b，C)
对的角；再由A＋B＋C＝180° 求出另一角． 余弦定理 1 S△＝ absinC 2 在有解时只有一解．
在△ABC中，若B＝60° ，2b＝a＋c，试判断△
ABC的形状．
方法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB. a＋c a＋c 2 ∵B＝60° ，b＝ 2 ，∴( 2 ) ＝a2＋c2－2accos60° . 整理，得(a－c)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c. ∴△ABC为正三角形．