解三角形复习课课件1

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北师大版九年级下册1.4解直角三角形课件

c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角形的其他元素.
我们已知三角形的三边，需要求角.直角三角形三边与它的角有什么关系呢？它们通过什么可以联系起来？
A
？
b5
C
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角形的其他元素.
解：在Rt△ABC中， ∠C=90°， A
∠B=25° ，∴ ∠A=65°.
？
sin B = b ，b = 30，
c
c
=
b sin B
=
sin3205°
71.
b 30 C
c？
25°
a？ B
tan
B
=
b ，b a
=
30， a
=
b tan
Bபைடு நூலகம்
=
tan3025°
64.
讲授新课
思考4：例2中已知元素是一锐角与一直角边，如果已知的是一锐角与斜边，能解直角三角形吗？
思考5：已知元素是两锐角，能解直角三角形吗？ A
65°
c？ b？
25°
C
a？ B
小结：解直角三角形最少需除直角外的两个元素，且这两个元素中至少有一条边.
巩固练习
➢ 随堂练习在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A，∠B，∠C所
对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（结果精确到1°）:

三角形复习市公开课一等奖省优质课获奖课件

l l ∵ 是线段AB中垂线，点C在上
∴CA=CB
第16页
以下列图，已知△ABC中，DE是BC边上中垂线，若 AC=5，EC=2， △ADC周长是13，求△ABC周长。
A
D
C
E
D
B
E
C
A
F
B
如上图，EF是AB中垂线，分别延长BE、AE至D， C，使DE=CE，则AD与BC相等吗? 请说明理由。
第17页
第5页
4.如图，AD、BF都是△ABC 高线，若∠CAD=30度，则 ∠CBF=__3_0___度。
A EF
B
DC
A
5、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC， CE是AB边上高，BD，CE交于点P。已
知∠ABC=600，∠ACB=700, 求∠ACE， E p D
∠BDC度数。
400
800
B C 第6页
第9页
如图,已知AC平分∠BCD,要说明△ABC≌△ADC, 还需要增加一个什么条件?请说明理由。
BC=CD
或∠BAC=∠DAC
或∠B=∠D
C
B A
D
第10页
4、如图AD=BC，要判定 △ABC≌△CDA，还需要条件是ＡＢ＝ＣＤ或∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ.
D C
A B
第11页
如图,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC, 说明∠EFD=∠BCA理由。
平分线就是射线OP，要说明这个结论成立，可先说明△EOD≌ △ ＦOＣ. 理是ＳＡＳ，得到
∠OED=∠
ＯＦＣ，再说明
△PEC≌△ ＰＦＤ，理由是ＡＡＳ，
得到PE= ＰＦ
；最终说明
△EOP≌△ ＦＯＰ是ＳＡＳ

高中数学复习课一解三角形新人教A版必修

学习资料汇编复习课(一) 解三角形其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等．[考点精要]解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [典例] 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且有a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b . [解] (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由于△ABC 是锐角三角形，所以B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7. [类题通法]利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sinB ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选 A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sinπ6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3. 答案：π3或2π33．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12.判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等．[考点精要] 三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[典例] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sinA cosB .由正弦定理得2sin 2A cos A sinB ＝2sin 2B sin A cos B ，即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． [类题通法]根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有： ①通过正弦定理实现边角转化； ②通过余弦定理实现边角转化； ③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cosA －sinB cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．2．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3A 2，sin 3A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝3a ，试判断△ABC 的形状．解：(1)因为|m ＋n |＝3，所以|m ＋n |2＝3，即m 2＋n 2＋2m ·n ＝3.又因为m 2＝n 2＝1，所以m ·n ＝12，所以cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2＝12，所以cos A ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为b ＋c ＝3a ，所以sin B ＋sin C ＝3sin A ＝32.所以sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝32. 因为0<B <2π3，0<B ＋π6<5π6，所以B ＋π6＝π3或2π3，所以B ＝π6，C ＝π2或B ＝π2，C ＝π6，所以△ABC 为直角三角形．题以解答题为主，难度一般．[考点精要](1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． (2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．[典例] 如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 故sin α的值为3314.[类题通法]应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．[题组训练]1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，如图，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，根据余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝40或x ＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.2．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m ，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m ，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝hsin 60°＝233h .在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233h sin 45°，故h ＝30(m)．答案：303.某高速公路旁边B 处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A 处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C 处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D 处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E 处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝100米，则BC ＝1003米．在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，AB ＝100米，则BD ＝100米．在△BCD 中，∠DBC ＝75°＋15°＝90°，则DC ＝BD 2＋BC 2＝200米，所以客车的速度v ＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，又因为∠DBE ＝15°，所以∠CBE ＝105°，所以∠CEB ＝45°.在△BCE 中，由正弦定理可知EB sin 30°＝BCsin 45°，所以EB ＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于( ) A ．12 B.212C ．28D ．6 3解析：选D 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A ＝32，则S△ABC＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝6 3. 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1D.72解析：选D 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a2a 2＝72. 3．在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，则cos θ等于( )A.35 B ．－35C ．±35D ．±45解析：选C ∵S △ABC ＝12AB ·BC sin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.4．某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC的面积为334m 2，则此人这时离开出发点的距离为( )A ．3 m B. 2 m C ．2 3 mD. 3 m解析：选D 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ，∴334＝12×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3. 由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9＝3(m)． 5．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的边长为( ) A. 3 B ．3 C.7D ．7解析：选A ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝32，∴AC ＝1，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC ＝ 3.6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形C ．一定是钝角三角形D ．一定是直角三角形解析：选C 由正弦定理a sin A ＝bsin B 得80sin A ＝100sin B ，所以sin B ＝58.因为a <b ，所以B 有两种可能：锐角或钝角．若B 为锐角时， cos C ＝－cos (A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝12×58－32×398<0，所以C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形；若B 为钝角时，则△ABC 是钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形．故选C.7．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a 边最大，sin A ＝32，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .∴a 2＝(a －2)2＋(a －4)2＋(a －2)(a －4)． ∴a 2－9a ＋14＝0，解得a ＝2(舍去)或a ＝7.∴b ＝a －2＝5，c ＝b －2＝3. 答案：a ＝7，b ＝5，c ＝38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝________.解析：因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin 2B ＝2sin B ·cos B ，所以cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝12×85＝45，所以cos C ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.答案：7259．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan Atan B ＝2cb，则边c 的值为________．解析：由1＋tan A tan B ＝2c b ，得1＋sin A cos Bcos A sin B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A sin B ＝A ＋B cos A sin B ＝sin Ccos A sin B＝cb cos A ＝2c b ，所以cos A ＝12，故A ＝60°.由正弦定理得23sin 60°＝c sin 45°，所以c ＝2 2.答案：2 210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53，又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以253cos C ＝23sin C ，tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5得sin C ＝56，cos C ＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.12．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．(1)求B 的值；(2)求2sin 2A ＋cos(A －C )的范围．解：(1)∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，金戈出品 ∴a cos C ＋c cos A ＝2b cos B .由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝sin B ＝2sin B cos B .又在△ABC 中，sin B ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3， ∴2sin 2A ＋cos(A －C )＝1－cos 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －2π3 ＝1－cos 2A －12cos 2A ＋32sin 2A ＝1＋32sin 2A －32cos 2A ＝1＋3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3. ∵0<A <2π3，－π3<2A －π3<π， ∴－32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3≤1. ∴2sin 2A ＋cos(A －C )的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1＋3. 敬请批评指正。

人教版数学八上第十一章三角形复习课件共34张PPT

2
。
（3，3，1；2，2，3）
1、如图，求△ABC各内角的度数。 A
解：3x + 2x + x = 180
35xx
6x=180
X=30
23xx
B
xx C
∴三角形各内角的度数分别为：30°，60°，90°
2、已知三角形三个内角的度数比为1：3：5，求解这：三设个三内个角内的角度分数别。为x，3x，5x
B A
小莉的设计方案：先在池塘旁取一个能
直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至
D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，
使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，
这个长度就等于A，B两点的距离。请你说
明理由。
解： AC=DC
∠ACB=∠DCE
A
B
BC=EC
C
△ACB≌△DCE(SAS)
E
D
AB=DE
则x + 3x + 5x = 180 x=20
∴三角形三个内角分别为：20°，60°，100°
题型考查
1.符合条件∠A+∠B=62°的三角形是( C )
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、不能确定
2.在下列长度的四根木棒中，能与4㎝，9㎝两根木棒围成三角形的是( C )
A、4㎝ B、5㎝ C、9㎝ D、14㎝ 3.如图，在△ABC中，∠A=70° A
点，∠1=∠2，AE=DE，
试求AB=DC。
AD
12
BEC
简解：∵E是BC的中点， ∴BE=EC。又∴ ∠1=∠2，AE=DE， △ABE≌△DCE(SAS)，∴AB=DC 。
3.如图，已知BE⊥AD， CF⊥AD，且BE=CF，请你判断AD是△ABC的中线还是

一轮复习三角函数PPT课件

[自主解答] (1)∵在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是π3，∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为
α|α＝π3＋kπ，k∈Z. (2)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)， ∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)．依题意 0≤27π＋2k3π＜2π⇒－37≤k＜178，k∈Z.
[备考方向要明了]
考什么 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进
行弧度与角度的互化． 3.理解任意角三角函数(正
弦、余弦、正切)的定义．
1.三角函怎数么的定考义与三角恒等变换等相结合，考查三角函数
求值问题，如2008
年高考T15等.
[归纳
1．角的有关概念
知识整合]
角的特点
三角函数线
有向线段 ____ 有向线段____ 有向线段____
MP
OM
AT
为正弦线
为余弦线
为正切线
[探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么意义？
提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．
[自测牛刀小试] 1．(教材习题改编)下列与94π的终边相同的角 α 的集合为___．
解析：∵94π＝94×180°＝360°＋45° ∴与94π 终边相同的角可表示为 k·360°＋45°(k∈Z)
答案：{α|α＝k·360°＋ 45°(k∈Z)}
2．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ的终边一定落在第________象限．解析：由sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ＜0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的
2．弧度的概念与公式

第十一章三角形复习整理 (第1课时知识要点)数学八年级上册同步教学课件(人教版)

解：延长BC交OD于点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC＋∠MCD＋∠CDM
＝360°－225°＝135°.
M
∵∠BOD＋∠OBC＋∠MCD＋∠CDM＝180°，
∴∠BOD＝45°.
针对练习
1.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长
为 (C ) A.16
B.20或16
C.20
D.12
2.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为 5 .
考点二三角形中的重要线段例3. 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中
∠1=∠2=（180°－108°）÷2=36° ∠3=∠4=∠1=∠2=36°， ∴ ∠CAD=∠BAE－∠1－∠3=108°－36°－36°=36°．
课堂练习
1．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木
棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边为( B )
A．4
B．5
知识四三角形的高、中线与角平分线
2.三角形的中线： ① 两个三角形的面积相等； ② 两个三角形的周长的差等于这两个三角形另两边的差. ③ 三条中线相交于一点（重心）
3.三角形的角平分线 A
B
D
∵ ∠ ABD= ∠ CBD
∴ AD是△ABC的角平分线
B
D
C
A EC
知识五三角形的内角和与外角的性质
1.三角形的内角和： ① 三角形三个内角的和等于180°. ② 直角三角形的两个锐角互余．
A A
B
C

解直角三角形复习课件(浙教版)

水平线
视线
（3）方位角
北
A
30°
西
O
东
45°
B
南
1、在Rt△ABC中,∠C=900,a,b,c分别是∠A,∠B, ∠C的对边.(1)已知a=3,b=3,求∠A;
(2)已知c=8,b=4,求a及∠A; (3)已知c=8,∠A=450,求a及b
2、填空：
⑴ 已知:Rt△ABC中，∠C=90°∠A为锐角，且tanA=0.6，tanB=( ).
（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时
间有多长？
M
解（1）：过A作AC⊥BM,垂足为C,
A
C
在Rt△ABC中， ∠B = 30°,
240
∴AC=
1 2
AB=
1 2
x
240
=
120
∵AC = 120 < 150 ∴A城受到沙尘暴影响
30 °
B
当堂训练二
9，由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向 240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域。
cos sin(90 ) sin
3、30°，45°，60°的三角函数值
30° 45° 60°
sina 1
2
2
3
2
2
cosa 3
2
1
2
2
2
tana
31
3
3
4、
S
ABC
1 absin c 1 ac sin b 1 bc sin a
2
2
2

课件解直角三角形(复习课)

1.在△ABC中，∠C= 90° 在中 ° 2 2 已知∠ ° ① 已知∠B=45°，BC=2, 则AB=__________, 2 45° ° AC=_________, ∠A=_________ 1 60° 已知BC= 3 ，AB=2,那么那么AC=___,∠A=___, ° ②已知那么 ∠ 30° ° ∠B=___ 已知∠ 那么AB=__, ③已知∠A=30°,∠B=60°,那么 °∠ ° 那么 BC=__,AC=__ A
4.如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端,视线的仰角为64° 4.如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端,视线的仰角为64°, 如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端 64 双眼离地面为1.42m,请根据这些条件求出文光塔的高度。 1.42m,请根据这些条件求出文光塔的高度双眼离地面为1.42m,请根据这些条件求出文光塔的高度。
A
A
B
C
3.如图，四边形ABCD中，AB ，CD=1,∠A=600，如图，四边形如图中 AB=2， ∠ 求四边形ABCD的面积。的面积。的面积 ∠B=∠D=900，求四边形 ∠
A
1
B C
D
2
3.如图，四边形ABCD中，AB ，CD=1,∠A=600，如图，四边形如图中 AB=2， ∠ 求四边形ABCD的面积。的面积。的面积 ∠B=∠D=900，求四边形 ∠
引例：引例：如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端,视线的仰角为64 20m处看塔的顶端 64° 如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端,视线的仰角为64°, 双眼离地面为1.42m,你能根据这些条件求出文光塔的高度吗? 1.42m,你能根据这些条件求出文光塔的高度吗双眼离地面为1.42m,你能根据这些条件求出文光塔的高度吗?

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A.无解，B.有一解， C.有两解， D.不能确定 .
练习：根据条件，确定下列判断中正确的有（
）
(1) a 4, b 5, A 30 有一解
（2）a 5, b 4, A 60 有一解 (3) a 3, b 2, B 120 有一解
（4）a 3, b 6, A 60 无解
总结：关于三角形解的个数问题： (1)利用正弦定理讨论：若已知 a，b，A，由正弦定理 a b bsinA ＝得 sinB＝ .若 sinB>1，无解； sinA sinB a 若 sinB＝1，一解；若 sinB<1，两解． (2)利用余弦定理讨论：已知 a，b，A，由余弦定理 a2 ＝c2＋b2－2cbcosA，即 c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于 c 的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．
样可有两种基本解法.
【解析】(法一)2b=a+c,2sin B=sin A+sin C,∠B=60°,∠A+∠C =120°,代入,得 2sin 60°=sin(120°-C)+sin sin(C+30°)=1, ∠C=60°,所以∠A=60°,故△ABC为正三角形. (法二)由余弦定理可得,b =a +c
[例 2]
2 5 在△ABC 中，B＝45° ，AC＝ 10，cosC＝ . 5
(1)求 BC 边的长； (2)求 AB 边上的中线 CD 的长．
[解]
2 5 5 (1)由cosC＝ 5 ，得sinC＝ 5 ，
sinA＝sin(180° －45° －C)＝sin(135° －C ) 2 3 10 ＝ 2 (cosC＋sinC)＝ 10 . AC 10 3 10 由正弦定理，得BC＝sinB· sinA＝ × 10 ＝3 2. 2 2
AC 10 5 (2)由正弦定理，得AB＝sinB· sinC＝ × 5 ＝2. 2 2 1 BD＝2AB＝1. 由余弦定理，得CD＝ BD2＋BC2－2BD· BC· cosB ＝ 2 1＋18－2×1×3 2× 2 ＝ 13.
• 练习:
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2－b2＝ 3bc，sin C＝2 3sin B，则 A 等于 ( ) B．60° C．120° D．150° A．30°
c
B
SABC
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
ha
a
b
C
练习：
10
30
选择最佳方法求下列图形中的
45

x
120

5 12
30
x
x x
8 （3）
（1）
（2）
6
10
135
4
x x
14
3
5
60
7
x （6）
（4）
2
（5）
例1.在ABC中，A 60 ，a 6, b 3, 则ABC解得情况是
分析：判断三角形的形状，通常是指等腰三角形、等边三角形、直角三角形或等腰直角三角形等特殊三角形，多会运用正、余弦定理将所给条件中的三角形的边角关系统一转化为边的关系或角的关系。
解法一：角化为边解法二：边化为角
等腰或直角三角形
练习2、在 ABC中，已知2a b c, sin A sin B sin C, 试判断其形状
a : b : c sin A : sin B : sin C
正弦定理解决的题型：
1、已知两角和任意一边，求其他的两边及角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
二、余弦定理及其推论：余弦定理解决的题型：
a 2 b 2 c 2 2bc cos A 推论 2 2 2 b a c 2ac cos B c a b 2ab cos C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 1 sin C 15 cos B＝，＝2，且 S△ABC＝，则 b 等于 ( ) 4 sin A 4 A．4 B．3 C．2 D．1
题型二
判断三角形的形状
例3 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b
、c,若∠B=60°,2b=a+c,判断△ABC的形状. 【分析】判断三角形的形状,可从角或边的角度去思考,于是可通过正弦定理将边转化为角,或通过余弦定理转化为边,这
(1)求cos C,cos B的值;
(2)若 BA · BC = ,求边AC的长.
2 2 2
b c a 2 、已知两边和他 cos A 们的夹角，求第 2bc 三边和其他两角 a 2 c 2 b.2 cos B 2ac a 2 b2 c 2 cos C 2ab
A
1、已知三边求三角 . 2 2 2
三、角形的面积公式：
SABC 1 1 1 aha bhb chc 2 2 2
2
题型三例5
利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题
在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， 3 →· → ＝－21. cos B＝，且AB BC 5 (1)求△ABC 的面积； (2)若 a＝7，求角 C.
练习：在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对
3 . 边,C=2A,cos A= 4
ac ( 2
2 2 2 2 2 2
3 C,展开整理得, sin 2
1 C+ cos 2
C=1,
ac -2accos B,∠B=60°,b= 2
,
) =a +c -2accos 60°,(a-c) =0,a=c=b,故△ABC为正三角形.
2
例4
tan A a 2 在 ABC中，若 2 ，判断 ABC的形状。 tan B b
C
b
一、正弦定理及其变形：
a b c 2R sin A sin B sin C
变形
2R A B’
c
a
B
( R为三角形外接圆半径）
a a 2 R sin A (sin A 2 R ) b ) b 2 R sin B (sin B 2R c c 2 R sin C (sin C 2 R )