三角函数与解三角形(课堂PPT)
合集下载
第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习
内容索引
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
人教版数学九年级下册《 解直角三角形》PPT课件
∴ AB的长为
巩固练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA = 0.8 ，BC=8，则
AC的值为( B )
A．4
B．6
C．8
D．10
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，
sin B 4 ，则菱形的周长是 ( C )
5
A．10
B．20
C．40
D．28
链接中考
如图，在△ABC中，BC=12，tan A 3 ，B=30°；求
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°， b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
解：∠A 90 ∠B=90 35 =55 .
tan B b ，
a
c
a b 20 28.6.
tan B tan 35
B
35° a
sin B b，c b 20 34.9.
探究新知
A
在Rt△ABC中,
一角
（1）根据∠A= 60°，你能求出这个三角形
的其他元素吗?
不能
两角
C
B （2）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个
你发现了
三角形的其他元素吗?
不能
一角
什么？ （3）根据∠A= 60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其 一边
他元素吗?
∠B
AC BC
两边
（4）根据 BC 2 3，AC= 2 ， 你能求出这个三角形的
AC和AB的长．
4
解：如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
H
∴CH 1 BC 6 ，BH BC2 CH 2 6 3 ，
数学人教A版(2019)必修第二册 三角函数与解三角形(课件)
基本公式：
三角函数：
si n y ,cos x , tan y
r
r
x
三
角
函
数
基
本
关
系
式
：（
一
三角形边角基
） 正 弦 定 理 、 余定 弦理 ：
本
关
系
si n2 cos2 1
a a a 2R（R为 外 接 圆 半 径 ）
在 单 位 圆 中r 1, si n y,cos x
三角函数诱导公式：
a b
2R 2R
si si
nA nB
s s
i i
nA nB
a 2R b 2R
c
2R sinC
s i nC
c 2R
角化边： 边化角：
a b
2R 2R
sinA s i nB
si nA si nB
a 2R b 2R
c
2R sinC
si nC
c 2R
角化边： 边化角：
a b
2R 2R
2
2
tanπ( ) tan tanπ( ) tan
单调性：
特 别 的 ： 在 直 角 三 角 中 形 ，a2 b2 c2
三 角 函 数 的 和 差 倍 角式公： 辅 助 角 公 式 ： csoinsπ((π22 ))
cos s i n
csoinsπ((π22 ))
cos sin
五点
（二）边、角
si
nx
:
π ( ,-1)(0,0)
(π,1)(π,0)(
3π,-1)
2
2
2
边 ： 任 意 两 边 之 和 大 第 于 三 边 ，
高中数学必修四三角函数PPT课件
01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为 负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
02 三角函数诱导公 式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数， 即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数， 即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数， 即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达 在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导 通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用 用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角 的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直 角或钝角）。
第3章《三角函数、解三角形》(第3节)ppt 省级一等奖课件
第三章 三角函数、解三角形
5．(教材习题改编)y＝2－3cosx＋π4 的最大值为________．此时 x
＝________．
解析 当 cosx＋π4 ＝－1 时，函数 y＝2－3cosx＋π4 取得最大
值
5，此时
π x＋ 4 ＝π＋2kπ，从而
x＝34π＋2kπ，k∈Z.
2．最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期．
第三章 三角函数、解三角形
二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
第三章 三角函数、解三角形
定 义 域 值域
R [－1，1]
[规律方法] 1．三角函数的奇偶性的判断技巧 首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公 式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．
第三章 三角函数、解三角形
2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义； (2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为
(kπ －π2 ，π2 ＋k π ) (k∈Z)上递增
减
第三章 三角函数、解三角形
x＝
π 2
＋2kπ
(k∈Z)
x＝ 2kπ
(k∈Z)
最 时，ymax＝1；x＝
时，ymax＝1；x＝
值
－π2 ＋2kπ (k∈Z)
π ＋2kπ (k∈Z) 时，ymin＝－1
时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
第三章 三角函数、解三角形
(2)下列函数中，周期为π ，且在[π4 ，π2 ]上为减函数的是(
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
高三数学一轮课件 第四章 三角函数与解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
=
25.
5
关闭 关闭
解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
-11-
自测点评
1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中
α≠
π 2
+kπ,k∈Z.
2.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要
根据角α的范围确定.
3.公式化简求值时,要利用公式化任意角的三角函数为锐角三角
函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
(2)若 α∈R,则 tan α=csoins������������恒成立. (
)
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. ( )
(4)若 cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则 cos θ=13. ( )
(1)× (2)× (3)× (4)×
关闭
答案
-7-
知识梳理 双基自测
12345
什(1)么1 ? (2) 3
答案
考点1
考点2
考点3
-25-
解析: (1)原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°
=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-
cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)
=
-
4 5
,
cos������
=
3 5
,
于是 1
cos ������-sin ������
=
1 35- -45
= 57.
考点1
考点2
考点3
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
若 fA2＝0，a＝1，求△ABC 面积的最大值．
【解】 (1)由题意知 f(x)＝sin22x－1＋cos22x＋π2
＝sin22x－1－s2in 2x＝sin 2x－12. 由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z，可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤2x≤32π＋2kπ，k∈Z，可得π4＋kπ≤x≤34π＋kπ，k∈Z.
(2)写明得分关键 对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答 题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，如果没有 cos C＝12，直接给出 C＝π3，则不给分；第(2)问直接给出 ab 的值不给分，只有通过面积公式求出 ab 才得分，直接 给出 a＋b 不得分，只有通过余弦定理算出才给分．
(11 分) 所以△ABC的周长为5＋ 7.
(12 分)
第(2)问得分点说明： 列出面积关系式得
1 分； 求出 ab 得 1 分； 利用余弦定理列出
关系式，得 1 分； 求出(a＋b)2 得 2 分； 求出三角形的周长
得1分
[解题程序] 第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式； 第二步：利用三角恒等变换化简关系式； 第三步：求 C 的余弦值； 第四步：求 C 的值；
【解】 (1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD. 因为 S△ABD＝2S△ADC ，∠BAD＝∠CAD， 所以 AB＝2AC. 由正弦定理可得ssiinn BC＝AACB＝12.
(2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)知 AB＝2AC，所以 AC＝1.
[标准答案] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C（sin Acos B＋sin Bcos A） ＝sin C， (1 分)
即2cos Csin（A＋B）＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. (3 分)
可得cos C＝12，
(5 分)
所以C＝π3.
(6 分)
第(1)问得分点说明： 利用正弦定理转化
专题二 三角函数与平面向量
透视全国高考 揭秘命题规律(二) ——三角函数与解三角形(全国卷第17题)
平面几何与解三角形(方程思想的应用)
(2015·高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC，△ABD 的面积是△ADC 面积的 2 倍． (1)求ssiinn BC； (2)若 AD＝1，DC＝ 22，求 BD 和 AC 的长．
边为角得 1 分； 利用三角恒等变换
化简得 2 分； 求出 C 的余弦值得 2
分； 求由已知，12absin C＝3 2 3. (7 分)
又 C＝π3，所以ab＝6.
(8 分)
由已知及余弦定理得，
a2＋b2－2abcos C＝7， (9 分)
故 a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.
4．海伦面积公式：△ABC 三内角 A、B、C 的对边分别为 a， b，c，则
S△＝ p（p－a）（p－b）（p－c）其中p＝a＋2b＋c.
三角函数的性质与解三角形
设 f(x)＝sin xcos x－cos2x＋π4.
(1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
第五步：利用三角形的面积为3 2 3，求出 ab 的值； 第六步：根据 c＝ 7，利用余弦定理列出 a，b 的关系式； 第七步：求(a＋b)2 的值； 第八步：求周长．
[满分心得] (1)写全得分步骤 对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所 以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，利用正弦定理转 化为角的关系就得分，第(2)问，利用面积公式和余弦定理列 出关系式就各得 1 分．
即 bc≤2＋
3，且当 b＝c 时等号成立．因此12bcsin A≤2＋4
3 .
所以△ABC 面积的最大值为2＋4
3 .
第一步：标准化 已知解析式――三―角―函―辅数―助基―本角―关关―系系―与―公―式―→f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B. 第二步：根据△ABC 内角解三角函数关系，求出相应的角． 第三步：根据解三角形的原理和方法求解三角形．
附：三角形中四个可引用定理公式 1． 射影定理：acos B＋bcos A＝c，acos C＋ccosA＝b，
bcos C＋ccos B＝a. 2．内角平分线定理：△ABC 内角 A 的平分线交 BC 于 D， 则AABC＝BDDC. 3．中线长公式：△ABC 三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，则 BC 边上的中线长 Ma＝12 2（b2＋c2）－a2.
三角恒等变换与解三角形
满分展示
(满分 12 分)(2016·高考全国卷乙)△ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为3 2 3，求△ABC 的周长．
[联想破译] 联想因果：△ABC 的内角角 C，面积、周长． 联想路线：(1)由正弦定理进行边角互化求角 C. (2)由三角形的面积公式得 ab，再由余弦定理联立方程求出 △ABC 的周长．
第一步：作出示意图、并适当标注已知元素． 第二步：将条件和结论相结合进行对照，视其关系选择相关 定理列式．(要特别关注两三角形公共边(角)或邻角(邻补角) 的关系，列方程(组)求解) 第三步：求解过程中应注意三角形所固有的性质(例如：内角 和定理，边角大小对应关系，两边之和(差)与第三边的关系 等)．
所以 f(x)的单调递增区间是－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)； 单调递减区间是π4＋kπ，34π＋kπ(k∈Z)．
(2)由 f(A2)＝sin A－12＝0，得 sin A＝12，
由题意知 A 为锐角，所以 cos A＝ 23. 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得 1＋ 3bc＝b2＋c2≥2bc，
【解】 (1)由题意知 f(x)＝sin22x－1＋cos22x＋π2
＝sin22x－1－s2in 2x＝sin 2x－12. 由－π2＋2kπ≤2x≤π2＋2kπ，k∈Z，可得－π4＋kπ≤x≤π4＋kπ，k∈Z； 由π2＋2kπ≤2x≤32π＋2kπ，k∈Z，可得π4＋kπ≤x≤34π＋kπ，k∈Z.
(2)写明得分关键 对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答 题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，如果没有 cos C＝12，直接给出 C＝π3，则不给分；第(2)问直接给出 ab 的值不给分，只有通过面积公式求出 ab 才得分，直接 给出 a＋b 不得分，只有通过余弦定理算出才给分．
(11 分) 所以△ABC的周长为5＋ 7.
(12 分)
第(2)问得分点说明： 列出面积关系式得
1 分； 求出 ab 得 1 分； 利用余弦定理列出
关系式，得 1 分； 求出(a＋b)2 得 2 分； 求出三角形的周长
得1分
[解题程序] 第一步：利用正弦定理将已知的边角关系式转化为角的关系式； 第二步：利用三角恒等变换化简关系式； 第三步：求 C 的余弦值； 第四步：求 C 的值；
【解】 (1)S△ABD＝12AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝12AC·ADsin∠CAD. 因为 S△ABD＝2S△ADC ，∠BAD＝∠CAD， 所以 AB＝2AC. 由正弦定理可得ssiinn BC＝AACB＝12.
(2)因为 S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以 BD＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故 AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)知 AB＝2AC，所以 AC＝1.
[标准答案] (1)由已知及正弦定理得， 2cos C（sin Acos B＋sin Bcos A） ＝sin C， (1 分)
即2cos Csin（A＋B）＝sin C， 故2sin Ccos C＝sin C. (3 分)
可得cos C＝12，
(5 分)
所以C＝π3.
(6 分)
第(1)问得分点说明： 利用正弦定理转化
专题二 三角函数与平面向量
透视全国高考 揭秘命题规律(二) ——三角函数与解三角形(全国卷第17题)
平面几何与解三角形(方程思想的应用)
(2015·高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC，△ABD 的面积是△ADC 面积的 2 倍． (1)求ssiinn BC； (2)若 AD＝1，DC＝ 22，求 BD 和 AC 的长．
边为角得 1 分； 利用三角恒等变换
化简得 2 分； 求出 C 的余弦值得 2
分； 求由已知，12absin C＝3 2 3. (7 分)
又 C＝π3，所以ab＝6.
(8 分)
由已知及余弦定理得，
a2＋b2－2abcos C＝7， (9 分)
故 a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.
4．海伦面积公式：△ABC 三内角 A、B、C 的对边分别为 a， b，c，则
S△＝ p（p－a）（p－b）（p－c）其中p＝a＋2b＋c.
三角函数的性质与解三角形
设 f(x)＝sin xcos x－cos2x＋π4.
(1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
第五步：利用三角形的面积为3 2 3，求出 ab 的值； 第六步：根据 c＝ 7，利用余弦定理列出 a，b 的关系式； 第七步：求(a＋b)2 的值； 第八步：求周长．
[满分心得] (1)写全得分步骤 对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所 以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，利用正弦定理转 化为角的关系就得分，第(2)问，利用面积公式和余弦定理列 出关系式就各得 1 分．
即 bc≤2＋
3，且当 b＝c 时等号成立．因此12bcsin A≤2＋4
3 .
所以△ABC 面积的最大值为2＋4
3 .
第一步：标准化 已知解析式――三―角―函―辅数―助基―本角―关关―系系―与―公―式―→f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B. 第二步：根据△ABC 内角解三角函数关系，求出相应的角． 第三步：根据解三角形的原理和方法求解三角形．
附：三角形中四个可引用定理公式 1． 射影定理：acos B＋bcos A＝c，acos C＋ccosA＝b，
bcos C＋ccos B＝a. 2．内角平分线定理：△ABC 内角 A 的平分线交 BC 于 D， 则AABC＝BDDC. 3．中线长公式：△ABC 三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，则 BC 边上的中线长 Ma＝12 2（b2＋c2）－a2.
三角恒等变换与解三角形
满分展示
(满分 12 分)(2016·高考全国卷乙)△ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为3 2 3，求△ABC 的周长．
[联想破译] 联想因果：△ABC 的内角角 C，面积、周长． 联想路线：(1)由正弦定理进行边角互化求角 C. (2)由三角形的面积公式得 ab，再由余弦定理联立方程求出 △ABC 的周长．
第一步：作出示意图、并适当标注已知元素． 第二步：将条件和结论相结合进行对照，视其关系选择相关 定理列式．(要特别关注两三角形公共边(角)或邻角(邻补角) 的关系，列方程(组)求解) 第三步：求解过程中应注意三角形所固有的性质(例如：内角 和定理，边角大小对应关系，两边之和(差)与第三边的关系 等)．
所以 f(x)的单调递增区间是－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)； 单调递减区间是π4＋kπ，34π＋kπ(k∈Z)．
(2)由 f(A2)＝sin A－12＝0，得 sin A＝12，
由题意知 A 为锐角，所以 cos A＝ 23. 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A， 可得 1＋ 3bc＝b2＋c2≥2bc，