高二数学课件 解三角形复习
高二 数学 人教版 解三角形复习【精编版】
解三角形【考点概述】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2、能运用正弦、余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算和测量有关的实际问题．【重点难点】三角形中的边角互化、一解两解问题以及动态最值问题．【知识要点】： 1、 正弦定理：CcB b A a sin sin sin ==＝2R 正弦定理的变形：sin :sin :sin ::A B C a b c =利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角． 2、余弦定理：=2a A bc cb cos 222-+； cosA ＝bca cb 2222-+ =2b B ac c a cos 222-+； cosB ＝acb c a 2222-+ =2c C ab b a cos 222-+； cosC ＝abc b a 2222-+ 利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角．(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． (3)已知两边和其中一边对角，求第三边和其他两个角． 3、三角形的面积公式：C ab S ABC sin 21=∆＝A bc B ac sin 21sin 21=．【基础训练】1、在中，已知，，，求＝ ．2、在中，若sinA ︰sinB ︰sinC ＝5︰7︰8，则B ＝ ． 4、在ABC ∆中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若,cos cos AB b a =则ABC ∆的形状是 ．ABC △2AC =3BC =4cos 5A =-sin B ABC ∆【典例分析】：例1、（1）在A B C ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝3，b ＝32，A ＝30°，则B ＝ ． 变式1：在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝32，A ＝30°，则边c ＝ ．变式2：在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a ＝33，b ＝32，A ＝30°，则B 有几解？例2：在中，分别是角的对边，且． (Ⅰ)求角的大小；（Ⅱ）当a ＝6时，求其面积的最大值，并判断此时的形状．例3：如图：在中，若4,7b c ==，BC 的中点为D ，且72AD =，求cos A ．【巩固练习】1、在△ABC 中，若b ＝ 1，c，则a= ． 2、某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人根据上述条件，下列说法正确的是（ ）．（1）不能作出这样的三角形 （2）可作出一个锐角三角形 （3）可作出一个直角三角形 （4）可作出一个钝角三角形ABC ∆c b a ,,C B A ,,2sin 2)2cos(12CB A +=++πA ABC ∆ABC ∆23C π∠=3、一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为 ．4、已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，bA ＋C ＝2B ，则sinC ＝5、在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2，若△ADC的面积为3， 则∠BAC ＝______ ．6.[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知3acos C ＝2ccos A ，tan A ＝13，求B.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图13，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图138．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b)·(sin A －sin B)＝(c －b)sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．9. [2015·新课标全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是123,,F F F 1F 2F 0601F 2F 3F10.[2015·新课标全国卷Ⅰ]（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a =求ABC ∆的面积.11．根据下列条件，判断三角形的形状. （1）CcB b A a cos cos sin == （2）cos cos b A a B ⋅=⋅ （3）cos cos a A b B ⋅=⋅12. 在ABC ∆中，sin sin sin a b Ba B A+=-，且cos()cos 1cos 2A B C C -+=-，试判断ABC ∆的形状13.已知在ABC ∆中，()sin sin cos sin 0A B B C +-=,sin cos20B C +=,求角A B C 、、的大小.14.在ABC ∆中,c =b a >,C=4π,且有tan tan 6A B ⋅=，试求a b 、及此三角形的面积.作业（共40分，限时25分钟）1、（5分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =，sin cos B B +=则角A 的大小为2、（5分）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ．3、（5分）满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值是4、（5分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若22a b -=， sinC ＝，则A ＝ ．5. （5分）ABC ∆中，A B 、的对边分别是 a b 、，且A =60 ,a b ==那么满足条件的ABC∆为（ ）A.有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定 6. （5分）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人（ ） A.不能作出这样的三角形 B.能作出一个锐角三角形 C.能作出一个直角三角形 D.能作出一个钝角三角形7. （5分）在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若22a b -=，sin C B =，则A =（ ）A.30B.60C.120D.1508. （5分）在ABC ∆中，满足22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=-，则三角形的形状是 .老师相信你可以做得很好的! 教师评语。
人教新课标版数学高二-数学必修5第一章《解三角形》知识整合
数学·必修5(人教A版)一、本章的中心内容是如何解三角形．正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标：1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题．3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”．“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”的边角关系．我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形”．我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广．二、学数学的最终目的是应用数学．能把实际问题抽象成数学问题，把所学的数学知识应用到实际问题中去，通过观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题，确定解决问题的科学思维方法，学会把数学知识应用于实际．1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦越大所对的边就越长．2．由正弦值得出角的大小时特别要注意是一个解还是两个解．一般地，解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．4．把a＝k sin A，b＝k sin B代入已知等式可将边角关系全部转化为三角函数关系．5．余弦定理是三角形边角之间的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．6．余弦定理的应用范围是：①已知三边，求三角；②已知两边及一个内角，求第三边．7．已知两边及其中一边所对的角用余弦定理时可能有两个解，注意用三边特点取舍．解决实际测量问题一般要充分理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解．8．解斜三角形应用题的一般步骤．(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否有实际意义，从而得出实际问题的解．9．平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况：(1)A、B两点都在河的两岸，一点可到达，另一点不可到达．方法是可到达一侧再找一点进行测量．(2)A、B两点都在河的对岸(不可到达)．方法是在可到达一侧找两点进行测量．(3)A、B两点不可到达(如隔着一座山或建筑)．方法是找一点可同时到达A、B两点进行测量．10．利用正弦定理和余弦定理来解高度问题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．11．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用解三角形的方法进行计算．12．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．13．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解决复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系．14．许多试题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式列式．15．本章问题的高考要求不高，学习时要立足基本问题，熟练掌握测量的一般技巧，正确使用定理列方程求解，无须过多延伸与拓广．题型1 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．解斜三角形包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．在△ABC 中，c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 长为72，求a .解析：如图，设CD ＝DB ＝x ，在△ACD 中，cos C ＝72＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x ，在△ACB 中，cos C ＝72＋(2x )2－422×7×2x， 所以72＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x ＝72＋(2x )2－422×7×2x. 解得x ＝92. 所以a ＝2x ＝2×92＝9.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：由余弦定理得BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝2 3.∵BC ＝CD ＝2，C ＝120°，∴∠CBD ＝30°，∴∠ABD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12×4×23sin 90°＋12×2×2×sin 120°＝5 3. 答案：5 3题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ，sin(A －B )＝0⇔A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．解析：解法一：由正弦定理可得2sin B ＝sin A ＋sin C ，∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，A ＝120°－C ，将其代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C ，展开整理，得32sin C ＋12cos C ＝1，∴sin(C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°.∴C ＝60°，故A ＝60°，∴△ABC 是正三角形．解法二：由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°. ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为正三角形．题型3 三角形解的个数的确定(1)利用正弦定理讨论：若已知a ，b ，A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B，得sin B ＝b sin A a .若sin B ＞1，则无解；若sin B ＝1，则有一解；若sin B ＜1，则可能有两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a ，b ，A ，由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cos A )c ＋b 2－a 2＝0.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，则b 为何值时，三角形有一解，两解，无解？解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B得： ①当b sin A ＜a ＜b 时，有两解，此时23＜b ＜43；②当a ≥b 时或B 为90°(b 为斜边)时，有一解，此时b ≤23或b ＝43；③当a ＜b sin A 时无解，此时b ＞4 3.题型4 正、余弦定理在实际问题中的应用如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解析：如下图，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，高中数学-打印版精校版DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130， EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理得：cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF ＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.。
高二数学 解三角形和不等式
1 1 x2y x2y 3 2y x 32 2
xy x
y
xy
当且仅当 2 y x ．再由 x＋2y＝1 解得 xy
x 2 1， y 1 2 ． 2
1、若 1 ＜ 1 ＜ 0 ，则下列结论不正确的是( D )
ab
A. a2 ＜b2
B. ab＜b2
C. b a ＞2 ab
3
3
Q 如图可知，当直线y - 2 x z 33
经过可行域上的点M时，直线在
y轴上的截距 z 最大，即z最大 3
解方程组
x 2y 8 3x y 9
得
x
y
2 3
，即
M
2,3
所以zmax=2x+3y=4+9=13=1.3(万元)
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获
最大利润1.3万元。
2、若 logx 2 log y 2 0，则下列不等式中成立的是（ D）
1
A. x 2
1
y2
B.
( 1 )x y 3
3 x y
C. ( 1 )1 x 3 1 y
3
D.
( 1 )1 x 3
3 1 y
log x 2 log y 2 0 ? 1 x y ?
1、已知 a b 0, c d 0 ，那么下列判断中
B
C
基本不等式的变形：
a2 b2 2ab ab a2 b2 2
a b 2 ab ab a b 2
ab ( a b )2 a2 b2
2
2
4. 目标函数 z 2x y ，变量 x, y 满足
x 4y 3 0
3x 5 y 25 ，则有 （ C ） y
人教版高二数学必修5高二解三角形期中复习题及答案
高二数学期中复习（1）《解三角形》一、 选择题（每小题5分，满分60分）1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60°D ．60°或1202.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B =（ ）3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( ) A 90° B 120° C 135° D 150°4.不解三角形，下列判断正确的是（ ）A.7a =,14b =,30A =,有两解 B.30a =,25b =,150A =,有一解 C.6a =,9b =,45A =,有两解 D.9b =,10c =,60B =,无解 5. 已知锐角三角形三边分别为3，4，a ，则a 的取值范围为（ ）A ．15a <<B ．17a <<C 5a <<D 7a << 6.在ABC ∆中，若2sin sin cos2AB C =，则ABC ∆是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形7. 在ABC ∆中，A ∠＝600，AB ＝2，且ABC S ∆=，则BC 边的长为（ ）A B ．3 C D ． 8.ABC ∆ 中,1,2==c a 则C 角的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎝⎛6,0π B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D. ⎪⎭⎫⎝⎛ππ,2 9. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）A13 B 12 C 34D 0 10.如果满足60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．38=kB ．120≤<kC ．12≥kD ．120≤<k 或38=k11.在ABC ∆中，3A π=，3BC =，则ABC ∆的周长为（ ）A.)33B π++B.)36B π++ C.6sin()33B π++ D.6sin()36B π++ 12．如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于（ ）A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-aD ．)cos(sin cos βαβα-a二、填空题(每小题4分，满分16分)13、若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________14、在ABC ∆中，2,3,AB BC AC ===ABC ∆外接圆半径R = 15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列,30,B =ABC ∆的面积为32，则b =____. 16、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与 塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．测得00153030BCD BDC CD ∠=∠==，，米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为060, 则塔高AB= 米。
高二数学必修五 第一章 解三角形
高二数学必修五 第一章解三角形一、本章知识结构：二、基础要点归纳1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,222A B Cπ+=-⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sincos 22A B C+= ②.在ABC ∆中,a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ,A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔A ＞B③.假设ABC ∆为锐角∆，那么A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C === (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111sin sin sin 222ABCS ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=2222cos b a c ac B =+-222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-222cos 2a b c C ab+-=〔必修五〕第二章、数列一、本章知识结构：二、本章要点归纳：1、数列的定义及数列的通项公式：①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。
②.n a 的求法：i.归纳法。
ii.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 假设00S =，那么n a 不分段；假设00S ≠，那么n a 分段。
iii. 假设1n n a pa q +=+，那么可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。
iv. 假设()n n S f a =，那么先求1a ，再构造方程组：11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式.2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d 〔常数〕,证明数列是等差数列的重要工具。
高二数学解三角形：正弦、余弦定理苏教版知识精讲
高二数学解三角形：正弦、余弦定理苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：解三角形：正弦、余弦定理二. 教学目标：1. 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2. 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3. 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式；4. 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。
三. 知识要点：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，其比值为外接圆的直径。
即R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 表示三角形的外接圆半径） 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
（从而进一步求出其他的边和角）已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a2. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
第一形式，2b ＝B ac c a cos 222-+，第二形式，cosB ＝ac b c a 2222-+ 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
3. 两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…4. 三内角与三角函数值的关系：在△ABC 中sin(A+B)=sinC cos(A+B) -cosC tan(A+B) -tanC ==2cos 2sin C B A =+ 2sin 2cos C B A =+ tan cot 22A B C += tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。
高二数学解三角形和不等式
4、小明在某岛上的 A 处，上午 11 时测得在 A 的北偏东 600 的 C 处有一艘轮船，12 时 20 分时测得该船航行到北偏西 600 的 B 处，12 时 40 分时又测得轮船到达位于 A 正西方 5 千米 的港口 E 处，如果该船始终保持匀速直线运动，求： （1）点 B 到 A 的距离； （2）船的航行速度。
3 m 1 4 三角形的三条边长，那么 m 的取值范围是________.
4. 目标函数 z 2 x y ，变量 x, y 满足
x 4 y 3 0 y 3 x 5 y 25 ，则有 （ ） C x 1 3x+5y-25=0
A． z max 12, z min 3 B． z max 12, z 无最小值 C． z min 3, z 无最大值 D． z 既无最大值，也无最小值
400 A、 3
400 3 B、 3
A
30o
200 3 C、 3
E
60o
200 D、 3
200 m
D
B
C
基本不等式的变形：
a b a b 2ab ab 2 ab a b 2 ab ab 2 2 2 ab 2 a b ab ( ) 2 2
2 2 2
2
；
C
E
5
A
（2）∵在 ABE 中，由余弦定理得
BE 2 AB 2 AE 2 2 AB AE cos30 16 4 3 3 31 25 2 5 3 3 2 3 93 BE 3
31 20 所以轮船速度是 93 （千米/小时） 3 60
C
4x x
D
C
A
高中数学必修5高中数学复习课《解三角形》PPT
题型分析 高考展望
正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角 形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点 主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形 的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形 状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题； 三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命 题的重点和热点.（本节课复习一、三，二应用下节 课复习）
点评
解析答案
变式训练 1 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsin A ＝ 3acos B. (1)求角B的大小；
解 ∵bsin A＝ 3acos B，
由正弦定理得 sin Bsin A＝ 3sin Acos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得 tan B＝ 3.
(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；
解
f(x)＝2cos
2x(
3cos
2x－sin
2x)＝2
3cos22x－2sin
2xcos
x 2
＝ 3＋ 3cos x－sin x＝ 3＋2sin(π3－x)，
由 f(A)＝ 3＋1，可得 3＋2sin(π3－A)＝ 3＋1，
所以 sin(π3－A)＝12.
∵B∈(0，π)，∴B＝π3.
解析答案
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解 ∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即 9＝a2＋4a2－2a·2acos π3， 解得 a＝ 3，∴c＝2a＝2 3.
解析答案
2．设 G 是△ABC 的重心，且 7sin A·G→A＋3sin B·G→B＋3 7sin C·G→C＝0，则角 B 的大小为_______．
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例3、如图，在坡度中一定的山坡上的一点A测得山顶上 一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100米 后到达B点，又测得建筑物顶端C对于山坡的斜度为45 ， 已知建筑物高CD=50米，求此山坡相对水平面倾斜角θ的 余弦值。
C
解：在ABC中，BAC=15
ABC=180 45 135 ACB 30
【基础自测】
1、在ABC中，a 4，B 45 ，C=75 则b （A）
A、4 6 B、4 2 C、4 3 D、32
3
3
2、在ABC中，a 4，B 135 ，c= 2则b （B ）
A、10 B、26 C、14 D、2 7
3、在ABC中，a 2，b= 3,A 45 ，则B 60 或120 4、在ABC中，a 5，b= 2,c 3，则A 45
AB 100在ABC中由正弦定理得 θ
100 BC
A
sin 30 sin15
D B
E
BC 100 6 2 2 5（0 6 2） 4
例3、如图，在坡度中一定的山坡上的一点A测得山顶上
一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100米
后到达B点，又测得建筑物顶端C对于山坡的斜度为45 ，
【反馈检测】
1、在ABC中，bsinB c sin C，且sin2 A sin2 B sin2 C
则它是（C ）三角形
A、等腰 B、直角 C、等腰直角 D、等腰或直角
2、在ABC中，c 6，A 30 ，B=120
则S ABC
（
）
A、9 B、18 C、9 3 D、18 3
C
7
3、在ABC中，a 8，b=5,S 12，则cos2C 25
第一章： 解三角形复习
【学习目标】：灵活运用正弦定 理、余弦 定 理等 知识和方法进一步解决有关三角形问题，掌握三角 形的面积公式的推导和应用。 【重点难点】： 灵活运用定理解有关的三角形问题， 会解决简单有关测量的问题。
【课前导学】
1、正弦定理：sina A 2、余弦定理：a2 b2 3、三角形面积：S
b c 2R 也可变形为
sin B sinC
c2 2bccos A 也可变形为 cos
1 absin C 1 ac sin B 1
a 2Rsin A
A b2 c2 a2 2bc
bc sin A
等。 等。
2
2
2
4、解斜三角形的常规解法：
已知条件 定理选用
一般解法
AAS、ASA 正弦定理 (两角一边）
AB • AC 2 cb cos A=2即bc 4
cos 2 A co（s B+C）
由余弦定理得
2cos2 A cosA1 0
4 b2 c2 4即
解得cos A 1，cos A （1 舍去） （b c）2 16
2
b c 4
A （0，）A=
3
bc 4 b=2,c=2
故求得A ，b=2,c=2
2ac
2
2ac
2
又b 7，a b 4
9 2ac 1 即ac 3 2ac 2
所以，S= 1 ac sin B 2
＝1 ３ 2
３＝３ ３ ２４
【课内探究】:
例2、在ABC中，若a=2，cos2A=cos（B+C）
AB • AC=2，求角A及b、c的大小
解：(1)在ABC中，A+B+C=
co（s B C） cosA
由A+B+C=180°求第三角，再用 正弦定理求另外两边
SAS (两边夹角）
余弦定理
用余弦定理求第三边，再用余弦定 理求另一角，后用内角和求第三角
SSS (三边）
余弦定理
SSA
正弦定理
(两边及对角） 或余弦定理
用余弦定理求出两角，用内角和定 理求第三角。
先用正弦定理求另一对角，或用余 弦定理求第三边，解的情况有三种。
即sin A 2sin Acos B 又在三角形中sin A 0
所以，cosB 1，又因为B （0，）
2
所以B=
3
【课内探究】:
例1、在ABC中，若bcosC （2a c）cos B，（1）求B的大小；
若b 7，a b 4，求ABC的面积S
解：(2)由(1)及余弦定理的变形得
a2 c2 b2 1 即（a c）2 2ac b2 1
3 1
小结：
本章知识框架图
正弦定理 解三角形
余弦定理 应用举例
【方法总结】
1、运用面积公式求解，关键在于熟记公式的特征： 两边及其夹角正弦值的乘积的一半．根据面积公 式，题中条件缺少哪个量就用正余弦定理求哪个 量，其实质还是解三角形。
2、解斜三角形的实际问题，关键是分析题意，分清 已知与所求，根据题意画出示意图，将已知量与未 知量归结到三角形中去，运用正弦定理、余弦定理 或两角和差公式解决问题.
5、在ABC中，a 2，A=30 ,C 45 ，则SABC 3 1
【课内探究】:
例1、在ABC中，若bcosC （2a c）cos B，（1）求B的大小； 若b 7，a b 4，求ABC的面积S
解：(1)由正弦定理及bcosC （2a c）cos B， 得sin BcosC 2sinAcosB sinC cos B
4、答案（1）C=60 （2）a b 5
已知建筑物高CD=50米，求此山坡相对水平面倾斜角θ的
余弦值。
解：在BCD中，DBC=45
C
BDC=90 ,CD 50m
由正弦定理得, 50 BCห้องสมุดไป่ตู้
sin 45 sin(90 )
θ A
D B
E
即 50 5（0 6 2） 解得cos 3 1
sin 45
cos
所以求得此山坡相对水平面倾斜角θ的余弦值为