高二数学解三角形测试题附答案
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.ABC中,已知,则ABC的形状为【答案】直角三角形【解析】略2.在中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求的面积．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）利用内角和为，所以,再利用同角基本关系式求;（2），那么利用正弦定理，,求边，最后，试题解析：（1） ,,因为,所以，．（2），那么利用正弦定理，,代入数值，，所以．【考点】1．两角和的三角函数；2．正弦定理．3.（本题满分13分）已知中，点，动点满足（常数），点的轨迹为Γ．（Ⅰ）试求曲线Γ的轨迹方程；（Ⅱ）当时，过定点的直线与曲线Γ相交于两点，是曲线Γ上不同于的动点，试求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用椭圆定义求动点轨迹，注意定义的条件要完整，不要少，另外要注意三角形中三顶点不共线，对轨迹要去杂（Ⅱ）求面积的最大值，首先要表示出面积，这要用到底乘高的一半，其中底为直线与椭圆的弦长，高为点到直线的距离，而由椭圆的几何性质知当直线与平行且与椭圆相切时，切点到直线的距离最大，因此还要求椭圆的切线，其次利用直线方程与椭圆方程联立方程组，再结合韦达定理可得弦长及切线，最后根据面积的表达式求最值，这要用到导数试题解析：（Ⅰ）在中，因为，所以（定值），且， 2分所以动点的轨迹为椭圆（除去与A、B共线的两个点）．设其标准方程为，所以， 3分所以所求曲线的轨迹方程为．4分（Ⅱ）当时，椭圆方程为．5分①过定点的直线与轴重合时，面积无最大值．6分②过定点的直线不与轴重合时，设方程为：，，若，因为，故此时面积无最大值．根据椭圆的几何性质，不妨设．联立方程组消去整理得：， 7分所以则．8分因为当直线与平行且与椭圆相切时，切点到直线的距离最大，设切线，联立消去整理得，由，解得．又点到直线的距离， 9分所以， 10分所以．将代入得：，令，设函数，则，因为当时，，当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以．故时，面积最大值是．所以，当的方程为时，的面积最大，最大值为．13分【考点】椭圆定义，直线与椭圆位置关系4.函数的图象的一条对称轴的方程是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据余弦函数的图像和性质，可知，解得，，可知当时得到，故选D．【考点】余弦函数的图像和性质．5.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C 的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东100B．北偏西100C．南偏东100D．南偏西100【答案】B【解析】由题意知, ．由数形结合可得灯塔在灯塔的北偏西．故B正确．【考点】数形结合．6.已知函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，向左平移个单位长度得：，因为关于原点对称，所以，因此的最小正值为，选C．【考点】三角函数图像与性质7.角的终边上有一点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【考点】三角函数定义8.三角形ABC中．．则A的取值范围是．【答案】【解析】由已知不等式结合正弦定理得则A的取值范围是【考点】正余弦定理解三角形9.已知是锐角的外心，．若，则A．B．C．3D．【答案】A【解析】取AB的中点D，连接OA，OD，由三角形外接圆的性质可得OD⊥AB，∴．，代入已知，两边与作数量积得到由正弦定理可得：，化为cosB+cosCcosA=msinC，∵cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，∴sinAsinC=msinC，∴m=sinA．∵，∴【考点】1．向量的线性运算性质及几何意义；2．正弦定理；3．三角函数基本公式10.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小．若，，,则的最大值是（仰角为直线AP与平面ABC所成角）【答案】【解析】仰角最大时即为面ACM与面ABC所成的角．过B作BC的垂线交CM于点P,过B作连接PN,则为所求的角，【考点】1、二面角的平面角；2、线面垂直的应用．【易错点晴】本题主要考查的是二面角的平面角的应用，属于中档题．本题容易犯的错误是过B作认为为所求角，从而出错．题中说目标P沿线MC运动，面ACM是确定的，仰角的最大值就是二面角M-AC-B的平面角，再应用三垂线法做出二面角的平面角．11.如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数，时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧．（1）试确定A，和的值；（2）现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设（弧度），试用来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）【答案】（1）；（2）造价，，在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．【解析】（1）由“五点法”可求得；（2）由（1）求出点坐标，得半圆的半径，用表示出弦长和弧长，由题意可得造价，，下面用导数的知识求出的最大值．试题解析：（1）因为最高点B（-1，4），所以A=4；，因为代入点B（-1，4），，又；（2）由（1）可知：，得点C即，取CO中点F，连结DF，因为弧CD为半圆弧，所以，即，则圆弧段造价预算为万元，中，，则直线段CD造价预算为万元所以步行道造价预算，．由得当时，，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减所以在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．……16分【考点】“五点法”，的解析式，导数与最值．12.已知面积为，，则BC长为．【答案】【解析】由三角形面积公式可知【考点】三角形面积公式13.在△ABC中，a=3,b=5,sinA=,则sinB=（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由正弦定理得【考点】正弦定理解三角形14.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a、b、c成等比数列且c＝2a，则cosB ＝（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由a、b、c成等比数列且c＝2，知：，所以，故选A．【考点】1、等比数列性质；2、余弦定理．15.已知中,角，所对的边分别是，且．（1）求的值；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由条件的特点，可以考虑余弦定理求，再由半角公式求解；（2）由面积公式知，需求的最值，利用均值不等式即可．试题解析：（1）（2）又当且仅当时，△ABC面积取最大值，最大值为【考点】1、余弦定理；2、半角公式；3、基本不等式．【方法点晴】本题主要考查的是余弦定理、半角的正弦公式和三角形的面积公式及基本不等式，属于中档题．解题时一定要注意所给条件的结构特征，能主动联想余弦定理得角的余弦值，然后利用半角公式变形求解．由面积公式分析面积的最大值即求的最大值，因为考虑基本不等式来处理，注意等号成立的条件，这是易错点．16.已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若＝（－cos，sin），＝（cos，sin），a＝2，且·＝．（1）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值．（2）求b＋c的取值范围．【答案】（1）b＋c＝4,（2）【解析】（1）由已知及余弦定理可求cosA=-，结合范围三角形内角的取值范围A∈（0，π），可求A．又由三角形面积公式可求bc，利用余弦定理即可解得b+c的值．（2）由正弦定理及三角形内角和定理可得b+c=4sin（B＋），根据范围0＜B＜，利用正弦函数的有界性即可求得b+c的取值范围试题解析：（1）∵＝（－cos，sin），＝（cos，sin），且·＝，∴－cos2＋sin2＝，即－cosA＝，又A∈（0，π），∴A＝．又由S＝bcsinA＝，所以bc＝4，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos＝b2＋c2＋bc，△ABC∴16＝（b＋c）2，故b＋c＝4（2）由正弦定理得：＝＝4，又B＋C＝π－A＝，∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin（－B）＝4sin（B＋），∵0＜B＜，则＜B＋＜，则＜sin（B＋）≤1，即b＋c的取值范围是．【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式．【方法点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式．（3））在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．17.要得到函数y = sin的图象，只要将函数y = sin2x的图象A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】，因此只需将函数y = sin2x的图象向左平移个单位【考点】三角函数图像平移18.在中，，则边的长为（）A．B．3C．D．7【答案】A【解析】由三角形的面积公式，得，解得；由余弦定理，得，即；故选A．【考点】1．三角形的面积公式；2．余弦定理．19.在中，若，则的形状为．【答案】等腰三角形【解析】法一:由正弦定理可将变形为，，即．，．所以三角形为等腰三角形．法二: 由可得，整理可得，解得，即．所以三角形为等腰三角形．【考点】正弦定理，余弦定理．【方法点睛】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理，属于容易题，本题利用正弦定理把边转化为角，变形后为正弦的两角和差公式．或是利用余弦定理将角转化为边再变形整理．即解此类题的关键是边角要统一．20.在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．【答案】AB=．【解析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC==，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=．【考点】余弦定理；正弦定理．21.（2015秋•醴陵市校级期末）正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为．【答案】【解析】先求导函数，利用导函数在x=处可知切线的斜率，进而求出切点的坐标，即可求得切线方程．解：由题意，设f（x）=sinx，∴f′（x）=cosx当x=时，∵x=时，y=∴正弦函数y=sinx在x=处的切线方程为即故答案为：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．22.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A= ．【答案】30°【解析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2，∴由余弦定理得：cosA===，∵A为三角形的内角，∴A=30°．故答案为：30°【考点】正弦定理．23.在△ABC中，所对的边分别为，且，则．【答案】【解析】由得【考点】正弦定理24.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（）A．B．2C．D．【答案】D【解析】先根据正弦定理求出角C的正弦值，进而得到角C的值，再根据三角形三内角和为180°确定角A=角C，所以根据正弦定理可得a=c．解：由正弦定理，∴故选D．【考点】正弦定理的应用．25.在中, 角的对边分别是，且则的形状是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】，三角形为直角三角形【考点】余弦定理及二倍角公式26.已知中，角所对的边分别，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】对于问题（Ⅰ），首先根据余弦定理把关于边的问题转化为关于角的问题，再结合降次公式以及三角函数的诱导公式，即可求得；对于问题（Ⅱ）可以根据（Ⅰ）的结论并结合基本不等式和三角形的面积公式即可求得面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）（Ⅱ）且，，又，，，面积的最大值注：求法不唯一，只要过程、方法、结论正确，给满分。
高中数学解三角形(有答案)
高中数学解三角形(有答案) Solving Triangles1.(2015 Henan Second Model Test) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and a=3.c=8.and B=60°。
What is the perimeter of triangle ABC?A。
18 B。
19 C。
16 D。
172.(2015 Henan Second Model Test) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and a=3.c=8.and B=60°。
What is the perimeter of triangle ABC?A。
17 B。
19 C。
16 D。
183.(2014 Yunnan Mock Exam) In triangle ABC。
if b^2-a^2-c^2=ac。
what is the measure of angle B?A。
30° B。
60° C。
120° D。
150°4.(2013 Shaanxi) In triangle ABC。
the sides opposite to angles A。
B。
and C are a。
b。
and c。
respectively。
and bc cos C + c cos B = a sin A。
What is the shape of triangle ABC?A。
XXX5.(2013 Hunan) In acute triangle ABC。
the XXX angles A and B are a and b。
respectively。
高二数学解三角形试题答案及解析
高二数学解三角形试题答案及解析1.的内角的对边分别为，若，则=______.【答案】【解析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入a2−b2＝bc中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【考点】解三角形.2.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把其倾斜角改为30°，而坡高不变，则坡长需伸长_____________米.【答案】100(－1)【解析】因为坡高为，所以倾斜角为30°时坡长为，因此需伸长100(－1) 米【考点】解直角三角形3.在中，，，，则 .【答案】4【解析】解法一：由正弦定理，,,所以答案应填：4.解法二：由余弦定理：整理得：解得：(舍去) ,. 所以答案应填：4.【考点】1、正弦定理、余弦定理；2、解三角形.4.在平面直角坐标系中，已知三角形顶点和，顶点在椭圆上，则 .【答案】【解析】由椭圆的标准方程，可知，此时恰好是椭圆的左、右焦点，由正弦定理可知，而由椭圆的定义可知，所以.【考点】1.正弦定理；2.椭圆的标准方程及其性质.5.在中，角所对的边分别为，且，.（1）求的值；（2）若，，求三角形ABC的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先用正弦定理将条件中的所有边换成角得到，然后再利用两角和的正弦公式、三角形的内角和定理进行化简可得的值；（2）利用（1）中求得的结果，结合及余弦定理，可计算出的值，然后由（1）中的值，利用同角三角函数的基本关系式求出，最后利用三角形的面积计算公式即可算出三角形的面积.试题解析：（1）由已知及正弦定理可得 2分由两角和的正弦公式得 4分由三角形的内角和可得 5分因为，所以 6分(2)由余弦定理得：9分由（1）知 10分所以 12分.【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.两角和的正弦公式；3.三角形的面积计算公式.6.在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）或.【解析】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的综合运用，求解边和角的关系，同时也考查了三角形面积公式的运用.(1)根据已知中的边角关系可以用正弦定理将边化为角，得到角的关系式，得到角；(2)结合（1）中求出的角，运用余弦定理，求出的值，然后利用正弦面积公式可得所求.试题解析：（1）2分即4分6分（2）由余弦定理，得：即 8分即，解得或 10分∴由或 12分.【考点】1.解斜三角形；2.正、余弦定理；3.两角和差公式；4.三角形的面积计算公式.7.设是锐角三角形，分别是内角A，B，C所对边长，并且（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若，求（其中）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数对等式的右端进行变形化简,既然目标求的是,则必可最终消去．（Ⅱ）根据及的值，可得关于的一个等式；在等式中，代入和可得关于的另一个等式，两式联立解方程组即得．试题解析：（Ⅰ）因为（Ⅱ）由可得①由（I）知所以②由余弦定理知及①代入，得③③+②×2，得，所以因此，c，b是一元二次方程的两个根．解此方程并由【考点】1．三角形内的三角恒等变换;2．向量的数量积;3．余弦定理．8.在面积为的△ABC中，角A、B、C所对应的边为成等差数列，B＝30°.（1）求；（2）求．【答案】（1）6 （2）【解析】(1)∵，又，∴，∴。
【高二】高二数学解三角形的实际应用举例综合测试题(含答案)
【高二】高二数学解三角形的实际应用举例综合测试题(含答案)解三角形的实际应用举例同步练习1.在△ ABC，下面的公式是正确的（）a.ab＝sinbsinab.asinc＝csinbc、 asin（a＋b）＝csinad。
c2＝a2＋b2－2abcos（a＋b）2．已知三角形的三边长分别为a、b、a2＋ab＋b2，则这个三角形的最大角是（）a、135°b.120°c.60°d.90°3．海上有a、b两个小岛相距10nmile，从a岛望b岛和c岛成60°的视角，从b岛望a岛和c岛成75°角的视角，则b、c间的距离是（）a、 52nmileb。
103nmilec。
1036nmiled。
56N英里4．如下图，为了测量隧道ab的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据a、α、a、bb。
α、β、ac.a、b、γd.α、β、γ5.有人以每小时AKM的速度向东走，而南风以每小时AKM的速度吹，那么此人感到的风向为，风速为.6.在△ ABC，tanb=1，Tanc=2，B=100，然后是C=7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°然后朝着灯塔的方向航行塔的距离是.8.a层和B层之间的距离为20m。
B栋底部至a栋顶部的仰角为60°，a栋顶部至B栋顶部的俯角为300。
那么a层和B层的高度分别为9．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进103米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是米.10.在△ ABC，确认cos2aa2-cos2bb2=1a2-1b211．欲测河的宽度，在一岸边选定a、b两点，望对岸的标记物c，测得∠cab＝45°，∠cba＝75°，ab＝120m，求河宽.（精确到0.01m）12.a船在a，B船在a船以东偏南45°，距离a船9海里，以20海里/小时的速度向西偏南15度行驶。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.在中，内角的对边分别是，若，的面积为，则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意有，即，结合余弦定理，可知，所以有，结合题中所给的三角形的面积，可知，化简整理可得，结合三角形内角的取值范围，可知，故选A．【考点】余弦定理，三角形的面积，辅助角公式，已知三角函数值求角．2.函数的图象的一条对称轴的方程是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据余弦函数的图像和性质，可知，解得，，可知当时得到，故选D．【考点】余弦函数的图像和性质．3.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是．【答案】【解析】由得函数的单调递减区间为．经验证当k=0时，有,解得，．【考点】三角函数的单调性，注意利用复合函数的单调性考虑．4.在中，角所对的边分别为，满足：．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的最大值，并求取得最大值时角的值．【答案】(Ⅰ）;（Ⅱ）;.【解析】(Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用及正弦定理化简已知等式可得：，结合范围，可得，从而解得的值．（Ⅱ）由正弦定理可得，由，可求，即可得解．试题解析：（Ⅰ）由.可得，所以，由正弦定理可得：，因为，所以，从而，即，从而解得：（Ⅱ）由正弦定理：，可得，所以：,又因为，得：，，所以，所以，此时，即【考点】余弦定理；正弦定理．5.在△中，若，则△的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴或，∴或，∴△的形状为等腰三角形或直角三角形．【考点】判断三角形形状、两角和与差的正弦公式．6.在△ABC中，,则（）A．2∶3∶4B．14∶11∶（-4）C．4∶3∶2D．7∶11∶（-2）【答案】B【解析】∵，∴由正弦定理得：，∴设，，，∴．【考点】正弦定理和余弦定理．7.（本小题满分12分）是单位圆上的点，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限．记且．（1）求点坐标；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据角的终边与单位交点为（），结合同角三角函数关系和，可得B点坐标；（2）由（1）中结论，结合诱导公式化简，代入可得答案试题解析：（1）∵点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．设B点坐标为（x，y），则y=sin．x=即B点坐标为：（2）【考点】1．三角函数定义；2．同角三角函数基本关系及诱导公式8.已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且,则tanC等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】1．余弦定理解三角形；2．同角间三角函数关系9.（本小题12分）在锐角△中，内角的对边分别为，且（1）求角的大小。
高二解三角形练习题及答案
高二解三角形练习题及答案一、选择题1. 已知∠ABC=60°，边AB=5，边AC=8，求∠ACB的大小。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 已知∠ABC=90°，边AB=15，边BC=20，求∠ACB的大小。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，底边AC=10，求∠C的大小。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 在△ABC中，∠A=45°，边AB=7，边AC=7，求∠C的大小。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题1. 在等腰三角形ABC中，∠C的度数是_____。
2. 在直角三角形ABC中，边AB的边长是12，边BC的边长是___，边AC的边长是___。
3. 在△ABC中，边AB的边长是6，∠A的度数是60°，∠B的度数是____，边AC的边长是___。
三、解答题1. 已知△ABC中，∠C=90°，边AB=5，边BC=12，求边AC的边长和∠ACB的大小。
解：根据勾股定理，我们可以得到AC的边长为13。
由于∠ACB是直角三角形的一个内角，所以必然等于90°。
所以，边AC的边长为13，∠ACB的大小为90°。
2. 已知△ABC中，边AB=8，边BC=10，边AC=12，求∠ACB的大小。
解：根据余弦定理，我们可以得到：cos∠ACB = (AB² + BC² - AC²) / (2 × AB × BC)cos∠ACB = (8² + 10² - 12²) / (2 × 8 × 10)cos∠ACB = 156 / 160cos∠ACB = 0.975∠ACB = arccos(0.975)使用计算器计算，得到∠ACB约为 12.68°。
高二数学解三角形试题答案及解析
高二数学解三角形试题答案及解析1.若的内角满足，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据正弦定理可将等式转化为，不妨设，则，在内，由余弦定理可得，解出，故选D.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.2.如图，从高为米的气球上测量铁桥()的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则桥长为米.【答案】【解析】如下图，设于点，则依题意有，则有即，由，得，所以.【考点】解斜三角形.3.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由余弦定理，得，∴，∵，由正弦定理，得，∴或．当时，为直角三角形，且，所以C，D可能成立；当时，，所以∴，即A可能成立，因此一定不成立的是选项B．【考点】正弦定理与余弦定理的应用．4.在中，为锐角，角所对的边分别为，且则=___________ ．【答案】【解析】都是锐角【考点】三角形内的三角恒等变换5.设是锐角三角形，分别是内角A，B，C所对边长，并且（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若，求（其中）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数对等式的右端进行变形化简,既然目标求的是,则必可最终消去．（Ⅱ）根据及的值，可得关于的一个等式；在等式中，代入和可得关于的另一个等式，两式联立解方程组即得．试题解析：（Ⅰ）因为（Ⅱ）由可得①由（I）知所以②由余弦定理知及①代入，得③③+②×2，得，所以因此，c，b是一元二次方程的两个根．解此方程并由【考点】1．三角形内的三角恒等变换;2．向量的数量积;3．余弦定理．6.在△ABC中，若．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）在上述△ABC中，若角C的对边，求该三角形内切圆半径的取值范围。
【答案】（Ⅰ）直角三角形；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先利用正弦定理和余弦定理把条件中关于角的等式转化为关于边的等式，再整理化简，通过最终的等式可以判断三角形的形状．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果和切线的性质把内切圆的半径用三角形的三条边表示出来，再把三角边转化为角的形式，从而把问题转化求三角函数的值域问题．（Ⅰ）根据正弦定理，原式可化为：，再由余弦定理，上式可化为：，即消去整理得：，所以即△ABC为直角三角形．（Ⅱ）如图，中，，的内切圆分别与边相切与点由切线长定理知：四边形中，且四边形为正方形，的半径若设内切圆半径为，则．且，，【考点】1．正弦定理和余弦定理的应用；2．直角三角形内切圆的性质；3．三角恒等变换；4．三角函数的值域．7.已知A、B、C 为的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.已知△中，，，分别是，的等差中项与等比中项，则△的面积等于（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】和的等差中项是，正的等比中项是，所以，，根据正弦定理：，，或，或，那么的面积是，或是．故选C．【考点】1．正弦定理；2．三角形的面积3．等差，等比中项．2.（本小题满分12分）在中，已知．（1）求sinA与的值；（2）若角A,B,C的对边分别为的值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）由于，可得，又，可得．∵，即可求出的值；（2）由正弦定理得，得，然后再由余弦定理可得．试题解析：解：（1）∵，，又∵，．∵，且，．（2）由正弦定理得，，另由得，解得或（舍去），．【考点】1．三角恒等变换；2．正、余弦定理．3.（满分10分）已知函数的最小正周期为，且．（1）求的表达式；（2）设，，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由周期求得的值，代入可求得值，得到函数表达式；（2）由代入函数式得到的正余弦值，由代入函数式得到的正余弦值，代入得展开式求其值试题解析：（1）依题意得，∴，由，得，即，∴，∴（2）由，得，即，∴，，由，得，即，又∵，∴，【考点】1．三角函数性质与解析式；2．三角函数求值4.已知，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．【考点】1．三角函数的诱导公式；2．三角函数恒等变换．5.要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】B【解析】因为，所以要得到函数的图象只需将函数的图象向右平移个单位．故B正确．【考点】三角函数伸缩变换．6.（本小题满分13分）函数y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，y有最大值3，当x＝6π时，y有最小值-3．（1）求此函数解析式；（2）写出该函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m，满足不等式Asin（）＞Asin（）?若存在，求出m值（或范围），若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，．【解析】（1）由最大值可得，取的最大值与最小值时的值差半个周期，根据周期公式可得．根据最值可求得．（2）将整体角代入正弦函数的单调增区间内，所得的范围即为所求．（3）分析可得和均在内，而正弦函数在内单调递增，所以可将原不等式转化为，若不等式有解，则说明存在满足题意，否则说明不存在．试题解析：解：（1）∵∴∴（2）令得∴函数的单调递增区间为：（3）∵而在上是增函数∴【考点】1正弦函数周期性，最值；2正弦函数的单调性．7.的内角的对边分别为，，那么角等于（）A．B．或C．D．【答案】C【解析】根据正弦定理，，根据大角对大边，所以，故选C．【考点】正弦定理8.三角形ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A中，由正弦定理得边只有1解；B中由余弦定理可知边只有1解；C中由正弦定理可知，因此B角有2个，三角形有两解；D中三角形无解【考点】正余弦定理解三角形9.在中，已知，,则的长为____________________．【答案】【解析】由正弦定理可得【考点】正弦定理解三角形10.如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道曲线段是函数，时的图象且最高点B（-1，4），在y轴右侧的曲线段是以CO为直径的半圆弧．（1）试确定A，和的值；（2）现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO（单位：米），在点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设（弧度），试用来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）【答案】（1）；（2）造价，，在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．【解析】（1）由“五点法”可求得；（2）由（1）求出点坐标，得半圆的半径，用表示出弦长和弧长，由题意可得造价，，下面用导数的知识求出的最大值．试题解析：（1）因为最高点B（-1，4），所以A=4；，因为代入点B（-1，4），，又；（2）由（1）可知：，得点C即，取CO中点F，连结DF，因为弧CD为半圆弧，所以，即，则圆弧段造价预算为万元，中，，则直线段CD造价预算为万元所以步行道造价预算，．由得当时，，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减所以在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．……16分【考点】“五点法”，的解析式，导数与最值．11.如图，一根木棒长为米，斜靠在墙壁上，，若滑动至位置，且米，则中点所经过的路程为．【答案】【解析】设的中点为，的中点为，连接、，∵，为中点，∴＝＝＝＝．当端下滑端右滑时，的中点到的距离始终为定长，∴是随之运动所经过的路线是一段圆弧，∵，∴，．∵，，∴，∴，∴，∴，∴弧的长＝＝，即点运动到所经过路线的长为．【考点】动点的轨迹，弧长公式．【方法点睛】该题考查的是有关动点运动时所经过的路程问题，属于较难题目，解决该题的关键是要明确动点运动的轨迹是什么曲线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而确定出动点应该在以原点为圆心，以为半径的圆上，再结合题中所给的角的大小，从而确定出相应的边长，结合，从而确定出动点所经过的圆弧所对的圆心角的大小，进一步确定出弧长，求得结果．12.（本小题满分12分）在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求和的长．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由题根据面积公式及所给条件不难得到AB=2AC,结合正弦定理可得；（Ⅱ）设，则在与中，由余弦定理可得AC．试题解析：（Ⅰ）由题由正弦定理可知（II），设，则在与中，由余弦定理可知，，解得即【考点】三角形面积公式；正弦定理；余弦定理13.在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c．已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于求a与b的值；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．【答案】（1）a=2，b=2；（2）．【解析】（1）结合已知条件由三角形的面积公式、余弦定理列出关于a，b的方程组求解即可；（2）由正弦定理得到b=2a，然后由余弦定理得到a，b的另一等量关系，解方程组求出a，b，然后由面积公式求解即可．试题解析：（1）由余弦定理及已知条件，得ab=4，又因为△ABC的面积等于所以sin得ab=4．联立方程组解得a=2，b=2．（2）由正弦定理，sinB=2sinA化为b=2a，联立方程组 -解得．所以△ABC的面积sin．【考点】①正弦定理、余弦定理的应用；②三角形的面积公式．14.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且．求：（1）角C的度数；（2）AB的长度．【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由已知条件和可得；（2）由已知和韦达定理可得与，再利用余弦定理可得；试题解析：（1）C＝120°由题设：【考点】1．余弦定理；2．韦达定理；15.在△中，已知，且．（1）试确定△的形状；（2）求的范围．【答案】（1）直角三角形（2）【解析】（1）利用和差化积公式和二倍角公式对cos2C+cosC=1-cos（A-B）整理求得sinAsinB=sin2C，利用正弦定理换成边的关系，同时利用正弦定理把（b+a）（sinB-sinA）=asinB角的正弦转化成边的问题，然后联立方程求得，推断出三角形为直角三角形；（2）利用正弦定理化简所求式子，将C的度数代入，用A表示出B，整理后利用余弦函数的值域即可确定出范围试题解析：（1）由，得，即…①…2分又∵，∴．即，则………②由①②知，即，∴△为直角三角形．（2）在△中，，即．又，当且仅当，即为等腰直角三角形时，等号成立．故的取值范围为．【考点】1．三角形的形状判断；2．正弦定理；余弦定理16.设中．若，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，整理得，又，所以．【考点】余弦定理的应用．17.已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB＝1，，且△ABC的面积为，求sinA＋sinB的值．【答案】（1），（2）1＋【解析】（1）利用三角函数降幂公式及两角和与差正余弦公式将三角函数式化为的形式，通过已知条件即可求θ的值；（2）通过三角形的面积以及余弦定理和正弦定理直接求sinA+sinB的值．试题解析：（本小题12分）（1）f（x）＝2cos2－2sin cos＝（1＋cosx）－sinx＝2cos＋．由2cos＋＝＋1，得cos＝．于是k∈Z），因为∈，所以（2）因为C∈（0，π），由（1）知C＝．因为△ABC的面积为，所以＝absin，于是ab＝2．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b．由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－6，所以a2＋b2＝7．②由①②可得或于是a＋b＝2＋．由正弦定理得所以sinA＋sinB＝（a＋b）＝1＋．【考点】三角函数的化简求值正弦定理余弦定理的应用．【方法点睛】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式；（3）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．18.在△ABC中，若，则∠C=（）A．60°B．90°C．150°D．120°【答案】A【解析】【考点】余弦定理解三角形19.在△ABC中，若，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】已知条件变形为，三角形为等腰三角形【考点】三角函数基本公式20.在中，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理得，，所以，故选B．【考点】正弦定理．21.在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．【答案】AB=．【解析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC==，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=．【考点】余弦定理；正弦定理．22.已知△中，，，，那么角A等于A．B．C．D．【答案】C【解析】由得【考点】正弦定理23.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成600的视角，从B岛望C岛和A岛成300的视角，则B、C间的距离是___________________海里．【答案】【解析】依题意，作图如下：∵∠CAB=60°，∠ABC=30°，∴△ABC为直角三角形，∠C为直角，又|AB|=10海里，∴|BC|=|AB|sin60°=10×=海里，【考点】正弦定理的应用24.设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】由正弦定理可将变形为，三角形为直角三角形【考点】正弦定理与三角函数基本公式25.=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由倍角公式的运用可得：．故选D．【考点】1、二倍角公式；2、特殊角的三角函数值．26.已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出B+C的度数，即可确定出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c以及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=，∴B+C=，则A=；（2）∵a=2，b+c=4，cosA=﹣，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，解得：bc=4，=bcsinA=×4×=．则S△ABC【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．27.已知函数(其中)，其部分图像如图所示．（I）求的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【答案】（I）；(II) 当时，取得最大值.【解析】（I）根据图象可求出的值，再根据图象可求出周期，进而可求得的值，再结合函数在处有最大值以及，就可以求出的值，由此可求出函数的表达式；(II)根据（I）的结论先求出函数的表达式，再结合，就可求出在区间上的的最大值及相应的值．试题解析：（I）由图可知，，所以.又，且，所以.所以（II）由（I），所以因为，所以，.故：，当时，取得最大值【考点】1、三角函数的“由图求式”；2、形如的函数的最值问题.28.已知中，角所对的边分别，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面积的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】对于问题（Ⅰ），首先根据余弦定理把关于边的问题转化为关于角的问题，再结合降次公式以及三角函数的诱导公式，即可求得；对于问题（Ⅱ）可以根据（Ⅰ）的结论并结合基本不等式和三角形的面积公式即可求得面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）（Ⅱ）且，，又，，，面积的最大值注：求法不唯一，只要过程、方法、结论正确，给满分。
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解三角形测试题
一、选择题：
1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（）
A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2,∠A=30°C．a=1,b=2,∠A=100°D．b=c=1, ∠B=45°
3、在锐角三角形ABC中，有（）
A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosA<sinB且cosB<sinA
C．cosA>sinB且cosB<sinA D．cosA<sinB且cosB>sinA
4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，
那么角B （）A．B>60°B．B≥60°C．B<60°D．B ≤60°
6、满足A=45,c=6,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为（）
A．4 B．2 C．1 D．不定
7、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,
α(α<β),则A点离地面的高度AB等于（）
A
B
A ．
)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβ
α-⋅a
C ．
)sin(cos sin αββα-a D ．)
cos(sin cos βαβ
α-a
8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ）
A ．a (km)
B ．3a(km)
C ．2a(km)
D ．2a (km)
二、填空题：
9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=
12
7
, 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.
11、在ΔABC 中，若S ΔABC =
4
1 (a 2+b 2－c 2
),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=32
31
,则cosC=_______.
三、解答题：
13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=
B
A B
A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).
14、已知ΔABC 三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B,
A cos 1+ C cos 1 =－
B cos 2 , 求2
cos
C
A -的值.
15、二次方程ax 2－2bx+c=0,其中a 、b 、c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长.
D C
①证明方程有两个不等实根； ②证明两个实根α,β都是正数； ③若a=c,试求|α－β|的变化范围.
16、海岛O 上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一
轮船在岛北60°东C 处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B 处, 俯角60°.
①这船的速度每小时多少千米？
②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E 离岛多少千
米？
一、BDBBD AAC 二、（9）钝角 （10）
33
14 （11）4π （12）81
三、（13）分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状. ①由余弦定理
ac ac c a ac b c a ac b c a =-+⇒=-+⇒-+=︒222222222
1
2260cos 0)(2=-∴c a ，
c a =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由A
A
b B a A b cos sin tan tan 22
2
⇒=
,2sin 2sin ,cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin 2
2222B A B B A A A
B a b B A A B B B a =∴=∴==⇒=∴A=B 或A+B=90°，∴△AB
C 为等腰△或Rt △. ③B
A B A C cos cos sin sin sin ++= ，由正弦定理：
,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理：b a ac
b c a c bc c b a c +=-+⨯+-+⨯222
22222
∆∆∴+=∴=--+∴Rt ABC b a c b a c b a 为,,0))((222222. ④由条件变形为222
2)sin()sin(b
a b a B A B A +-=+-
︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sin sin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2222B A B A B A B
A B A B A b a B A B A B A B A 或. ∴△ABC 是等腰△或Rt △. 点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的关系，
从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用. 如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看.
（14）分析：︒=+︒=∴=+120,60,2C A B B C A 再代入三角式解得A 或 C. 解：
︒=+︒=∴=-︒∴=+120.60,2180,2C A B B B B C A .
∴由已知条件化为：
22cos )120cos(.22)
120cos(1
cos 1-=+-︒∴-=-︒+A A A A ),120cos(cos A A -︒设
ααα-︒=+︒==-60,60,2
C A C
A 则.代入上式得：)60cos(α-︒ )60cos()60cos(22)60cos(ααα-︒+︒-=+︒+.化简整理得023cos 2cos 242=-+αα
2
22cos ,22cos ,0)3cos 22)(2cos 2(=+=
∴=+-⇒C A 即ααα. 注：本题有多种解法. 即可以从上式中消去B 、C 求出cosA ，也可以象本例的解法.还可以用和、差化积的公式，
同学们可以试一试.
（15）分析：证明方程有两个不等实根，即只要验证△＞0即可.要证α，β为正数，只要证明αβ＞0，α+β＞0即可. 解：①在钝角△ABC 中，b 边最
长.ac b ac b B ac c a b B 424)2(,cos 20cos 12
2222-=--=∆-+=<<-∴且
.0cos 4)(24)cos 2(2222>--=--+=B ac c a ac B ac c a （其中0cos 40)(22>-≥-B ac c a 且
∴方程有两个不相等的实根. ②,0,02>=>=
+a
c
a b αββα ∴两实根α、β都是正数. ③a=c 时，=-=-+=-+=-∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧===+424)(2)(,1
2222222a b a a c a b
αββααβββααββα
2||0,4cos 40,0cos 1,cos 44)cos 2(22
2
22<-<<-<∴<<--=--+βα因此B B B a
a B ac c a . （16）分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉.
解：①如图：所示. OB=OA 3330tan = (千米)，3=OC （千米）
则3
13120cos 222=
︒⋅-+=
OC OB OC OB BC （千米）
39260
10313=÷=
∴v 船速（千米/小时） ②由余弦定理得：=∠=∠∴=⨯-+=
∠OBC EBO BC OB OC BC OB OBC sin sin ,26
13
52cos 222 再由正弦定理，得OE=1.5（千米），5),(639==
v
BE
BE 千米（分钟）. 答：船的速度为39
2千米/小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时所在点E 离岛1.5
千米.。