解三角形练习题及答案
三角函数及解三角形测试题(含答案)
三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。
根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。
根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。
根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。
根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。
根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。
2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。
2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。
4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。
5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。
6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。
解三角形练习题及答案
解三角形练习题及答案一、解三角形练习题1. 已知三角形ABC，AB=5cm，AC=8cm，BC=7cm，求角A的大小。
2. 已知三角形DEF，DE=6cm，EF=9cm，DF=12cm，求角D的大小。
3. 已知三角形GHI，GH=5cm，HI=5cm，GI=7cm，求角G的大小。
4. 已知三角形JKL，JK=8cm，KL=10cm，JL=12cm，求角K的大小。
5. 已知三角形MNO，MN=4cm，NO=6cm，MO=8cm，求角M的大小。
二、解三角形练习题答案1. 解题过程：根据已知条件，我们可以使用余弦定理来求解角A的大小。
余弦定理公式为：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2b*c)其中，a、b、c分别表示三角形对应边的长度。
代入已知条件可得： cos(A) = (7^2 + 8^2 - 5^2) / (2*7*8)= (49 + 64 - 25) / 112= 88 / 112≈ 0.786通过查表或计算器的反余弦函数，可以得到角A的近似值为38°。
2. 解题过程：同样利用余弦定理，我们可以求解角D的大小。
代入已知条件可得：cos(D) = (9^2 + 12^2 - 6^2) / (2*9*12)= (81 + 144 - 36) / 216= 189 / 216≈ 0.875通过反余弦函数，可以得到角D的近似值为 30°。
3. 解题过程：同理，利用余弦定理求解角G的大小。
代入已知条件可得：cos(G) = (5^2 + 7^2 - 5^2) / (2*5*7)= (25 + 49 - 25) / 70= 49 / 70≈ 0.7通过反余弦函数，可以得到角G的近似值为 45°。
4. 解题过程：利用余弦定理求解角K的大小。
代入已知条件可得：cos(K) = (10^2 + 12^2 - 8^2) / (2*10*12)= (100 + 144 - 64) / 240= 180 / 240= 3 / 4= 0.75通过反余弦函数，可以得到角K的近似值为 41.4°。
解三角形 习题含答案
第一章 解三角形1．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形 答案 C2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A >B >C B ．B >A >C C ．C >B >AD ．C >A >B解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C >B >A . 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．43C ．4 6 D.323解析 A ＝45°，由正弦定理，得b ＝a sin B sin A 答案 C4．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C等于( ) A.833 B.2393 C.2633 D ．2 3解析 利用正弦定理及比例性质，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝3sin60°＝332＝2 3. 答案 D 5．若三角形三边长之比是1:3:2，则其所对角之比是( )A ．1:2:3B ．1: 3 :2C ．1: 2 : 3 D. 2 : 3 :2 解析 设三边长分别为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cos A ＝a 2＋(3a )2－(2a )22·a ·3a＝0， ∴A ＝90°. 设最小角为B ，则cos B ＝(2a )2＋(3a )2－a 22·2a ·3a＝32， ∴B ＝30°，∴C ＝60°. 因此三角之比为1:2:3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解 D ．解的个数不确定解析 由b sin B ＝a sin A ，得sin B ＝b sin A a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解． 答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R (sin 2A －sin 2C )＝(2a －b )sin B (其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，那么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 根据正弦定理，原式可化为2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b )·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b )b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析 由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2 ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sin C ＝32.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( )A.85B.58C.53D.35解析 由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sin B sin C ＝AC AB ＝35. 答案 D10．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析 由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32 km解析 如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋23C ．4－2 3 D.6－ 2解析 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bc cos A ＝b 2－2b (6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22(32－12)＝14(6－2)，∴b 2－2b (6＋2)cos75°＝b 2－2b (6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析 由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝b sin C sin B ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)． 答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________. 解析 由B ＝A ＋60°，得sin B ＝sin(A ＋60°)＝12sin A ＋32cos A .又由b ＝2a ，知sin B ＝2sin A .∴2sin A ＝12sin A ＋32cos A 即32sin A ＝32cos A .∵cos A ≠0，∴tan A ＝33.∵0°<A <180°，∴A ＝30°. 答案 30°15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝________，AB ＝________.解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sin B ∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8.答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c ) : (c ＋a ) : (a ＋b )＝8:9:10，则sin A :sin B :sin C＝________.解析 设⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a :b :c ＝11:9:7.∴sin A :sin B :sin C ＝11:9:7. 答案 11:9:717．(10分)在△ABC 中，若a 2b 2＝sin A cos B cos A sin B ，判断△ABC 的形状．解 依据正弦定理，得a 2b 2＝a b ·cos B cos A ，所以a cos A ＝b cos B .再由正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，因为2A,2B ∈(0,2π)，故2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π.从而A ＝B ，或A ＋B ＝π2，即△ABC 为等腰三角形，或直角三角形．18．(12分)锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满足2sin(A ＋B )－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32.∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×32＝32.19．(12分)如右图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 nmile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 nmile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．分析 (1)要求AD 的长，在△ABD 中，AB ＝126，B ＝45°，可由正弦定理求解；(2)要求CD 的长，在△ACD 中，可由余弦定理求解．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°，AB ＝12 6，由正弦定理，得AD ＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×2232＝24(nmile)． (2)在△ADC 中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos30°.解得CD ＝83(nmile)．∴A 处与D 处的距离为24 nmile ，灯塔C 与D 处的距离为8 3 nmile.20．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．解 (1)∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.又由AB →·AC→＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5. 因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1，或b ＝1，c ＝5.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20.∴a ＝2 5.21．(12分)在△ABC 中，已知内角A ＝π3，边BC ＝23，设内角B ＝x ，周长为y .(1)求函数y ＝f (x )的解析式和定义域；(2)求y 的最大值．解 (1)△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π，由A ＝π3，B >0，C >0，得0<B <2π3.应用正弦定理，得AC ＝BC sin A ·sin B ＝23sin π3·sin x ＝4sin x .AB ＝BC sin A sin C ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x . ∵y ＝AB ＋BC ＋CA ，∴y ＝4sin x ＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <2π3. (2)y ＝4(sin x ＋32cos x ＋12sin x )＋2 3 ＝43sin(x ＋π6)＋2 3. ∵π6<x ＋π6<5π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，y 取得最大值6 3.22．(12分)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C . (1)求A ，C ；(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c .解 (1)因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B， 即sin C cos C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B， 所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ，即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ，得sin(C －A )＝sin(B －C )．所以C －A ＝B －C ，或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，即2C ＝A ＋B ，得C ＝π3，所以B ＋A ＝2π3.又因为sin(B －A )＝cos C ＝12，则B －A ＝π6，或B －A ＝5π6(舍去)．得A ＝π4，B ＝5π12. 所以A ＝π4，C ＝π3.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝6＋28ac ＝3＋3，又a sin A ＝c sin C ，即a 22＝c 32. 得a ＝22，c ＝2 3.。
解三角形专项练习以及答案
解三角形专项练习以及答案一、选择题1.在△ABC中，sinA=sinB，则△ABC是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案D2.在△ABC中，若acosA=bcosB=ccosC，则△ABC是A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，∴tanA=tanB=tanC，∴A=B=C.3.在△ABC中，sinA=34，a=10，则边长c的取值范围是A.152，+∞B.10，+∞C.0,10D.0，403答案D解析∵csinC=asinA=403，∴c=403sinC.∴04.在△ABC中，a=2bcosC，则这个三角形一定是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案A解析由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，∴sinB+C=2sin Bcos C，∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C，∴sinB-C=0，∴B=C.5.在△ABC中，已知b+c∶c+a∶a+b=4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于A.6∶5∶4B.7∶5∶3C.3∶5∶7D.4∶5∶6答案B解析∵b+c∶c+a∶a+b=4∶5∶6，∴b+c4=c+a5=a+b6.令b+c4=c+a5=a+b6=k k>0，则b+c=4kc+a=5ka+b=6k，解得a=72kb=52kc=32k.∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.6.已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为A.1B.2C.12D.4答案A解析设三角形外接圆半径为R，则由πR2=π，得R=1，由S△=12absinC=abc4R=abc4=14，∴abc=1.二、填空题7.在△ABC中，已知a=32，cosC=13，S△ABC=43，则b=________.答案23解析∵cosC=13，∴sinC=223，∴12absinC=43，∴b=23.8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=60°，a=3，b=1，则c=________.答案2解析由正弦定理asinA=bsinB，得3sin60°=1sinB，∴sinB=12，故B=30°或150°.由a>b，得A>B，∴B=30°，故C=90°，由勾股定理得c=2.9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则asinA+b2sinB+2csinC=________.答案7解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2，∴asinA=bsinB=csinC=2R=2，∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.10.在△ABC中，A=60°，a=63，b=12，S△ABC=183，则a+b+csinA+sinB+sinC=________，c=________.答案12 6解析a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183，∴sinC=12，∴csinC=asinA=12，∴c=6.三、解答题11.在△ABC中，求证：a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.证明因为在△ABC中，asinA=bsinB=csinC=2R，所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA=sinB+C-sinCcosBsinA+C-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.所以等式成立，即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.12.在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，试判断△ABC的形状.解设三角形外接圆半径为R，则a2tanB=b2tanA⇔a2sinBcosB=b2sinAcosA⇔4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA⇔sinAcosA=sinBcosB⇔sin2A=sin2B⇔2A=2B或2A+2B=π⇔A=B或A+B=π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.能力提升13.在△ABC中，B=60°，最大边与最小边之比为3+1∶2，则最大角为A.45°B.60°C.75°D.90°答案C解析设C为最大角，则A为最小角，则A+C=120°，∴sinCsinA=sin120°-AsinA=sin120°cosA-cos120°sinAsinA=32tanA+12=3+12=32+12，∴tanA=1，A=45°，C=75°.14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a=2，C=π4， cosB2=255，求△ABC的面积S.解cosB=2cos2B2-1=35，故B为锐角，sinB=45.所以sinA=sinπ-B-C=sin3π4-B=7210.由正弦定理得c=asinCsinA=107，所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.1.在△ABC中，有以下结论：1A+B+C=π;2sinA+B=sin C，cosA+B=-cos C;3A+B2+C2=π2;4sin A+B2=cos C2，cos A+B2=sin C2，tan A+B2=1tan C2.2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
解三角形专项练习(含解答题)
解三角形专练1.在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为2.在ABC ∆中，若0120,2==A b ，三角形的面积3=S ，则三角形外接圆的半径为（ ）A．B ．2 C．．43.边长为8,7,5的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ． 120 B ． 135 C ． 90 D ． 1504.在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边C 的值是( ) A ．8 B． C． D．5.在三角形ABC 中，若1tan tan tantan ++=B A B A ，则C cos 的值是B. 22C. 21D. 21-6.在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形7.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若22265b c a bc+-=，则 sin()B C +=( )A ．－45 B.45 C ．－35 D.358.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sinA 、sinB 、 sinC 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形9.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若18=a ，24=b ，︒=45A ,则这样的三角形有（ ）A.0个 B. 两个 C. 一个 D. 至多一个10.已知锐角A 是ABC ∆的一个内角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,若221sin cos 2A A -=,则下列各式正确的是( )A. 2b c a +=B. 2b c a +<C. 2b c a +≤D. 2b c a +≥11.在ABC ∆中,已知30,4,34=∠==B AC AB ,则ABC ∆的面积是A ．34B ．38 C．34或38D ．312.在ABC ∆中，角角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b -=且sin C B =，则A 等于A ．6πB ．4π C ．3πD ．23π13.若∆ABC 的三角A:B:C=1:2:3，则A 、B 、C 分别所对边a ：b ：c=( ）A.1:2:3B.2 D. 1:2: 14.△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别a ，b ，c ，且a cosC,b cosB,c cosA 成等差数列，则角B 等于( )A 30B ．60C 90 D.12015.在∆ABC 中，三边a ，b,c 与面积S 的关系式为2221()4Sa b c =+-，则角C 为( )A ．30B 45C ．60D ．90 16.△ABC 中，a b sin B ＝2，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个17.设∆ABC 的内角A,B ，C 所对边的长分别为a,b,c ，若b+c= 2a,.3sinA=5sinB ，则角C=( ) A ．3πB ．23πC ．34π D.56π18.若三角形ABC 中，sin(A ＋B)sin(A －B)＝sin 2C ，则此三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形19.已知两座灯塔A 、B 与C 的距离都是a ，灯塔A 在C 的北偏东20°，灯塔B 在C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 ( )A ．a B.2aD20.在△ABC 中，若cos cos A bB a =，则△ABC 的形状（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形21.已知ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且120c b B ==︒,则ABC ∆的面积等于________.22.在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且a b c <<2sin b A =． 则角B 的大小为_______；23.在△ABC 中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，则cos C 的值为________． 24.在ABC ∆中.若1b =，c =23C π∠=，则a=___________。
解直角三角形 试题及答案
向东航行 30 分钟后到达 C处,发现灯塔 B在它的南偏东 15°方向,则此时货轮与灯塔 B的距离为
km.
图 K23-8
10、 如图 K23-9,在一笔直的沿湖道路上有 A,B两个游船码头,观光岛屿 C在码头 A北偏东 60°的方向,在码头 B北偏 西
45°的方向,AC=4 km.游客小张准备从观光岛屿 C乘船沿 CA回到码头 A或沿 CB回到码头 B,设开往码头 A,B的游船
∵∠CNP=46°,∴∠PNA=44°,
∴PA=PN·sin∠PNA=60×0.6947≈41.68(海里).
6【答案】25
如图,过点 B作 BE⊥AE于点 E,
∵坡度 i=1∶ 3,
∴tanA=1∶ 3= 3,∴3∠A=30°,
∵AB=50 m,∴BE=1AB=25(m)
.
2
∴他升高了 25 m.
∴BD=CD·tan37°≈27.2×0.75=20.4(海里).
�� 3
答:还需航行的距离 BD的长为 20.4 海里.
12【答案】解:如图,过点 C作 CD⊥AB于点 D,
设 BD为 x海里,
在 Rt△ACD中,∠DAC=45°,
∴AD=DC=(x+5)海里,
4
在 Rt△BCD中,由 tan53°=����
126
米.
5【答案】B
如图,过点 P作 PA⊥MN于点 A,
MN=30×2=60(海里),
∵∠MNC=90°,∠CNP=46°,
∴∠MNP=∠MNC+∠CNP=136°,
∵∠BMP=68°,
∴∠PMN=90°-∠BMP=22°,
∴∠MPN=180°-∠PMN-∠PNM=22°,
解三角形练习题及答案
解三角形练习题及答案1.已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．则△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形2.△ABC中，若sin2A+sin2B＞sin2C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=ccosB，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4.在△ABC中，若•=•=•，则该三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5.在△ABC中，acosA=bcosB，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形6.在△ABC中，若b=asinC，c=acosB，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若==则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．直角非等腰三角形D．等腰非直角三角形8.在△ABC中，P是BC边中点，若，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形但不一定是等边三角形9.在△ABC中，若（b﹣bcosB）sinA=a（sinB﹣sinCcosC），则这个三角形是（）A．等腰直角三角形B．底角不等于45°的等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．锐角不等于45°的直角三角形10.在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB，则这个三角形的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形11.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等边三角形C．非等边锐角三角形D．钝角三角形12.若O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形13.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=（b+c）cosC，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形14.在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，BC边上的中线AD=1，则AC的长度为（）A．1或B．C．D．1或15.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是（）（单位：m）A．10B．10C．10D．1016.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度AB为（）A．15米B．15米C．15（+1）米D．15米17.在△ABC中，已知AB=4，cosB=，AC边上的中线BD=，则sinA=（）A． B．C． D．18.在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为9，当△ABC的面积最大时，AB的长为（）A．9 B．9C．6D．619.在△ABC中，如果cos（B+A）+2sinAsinB=1，那么△ABC的形状是．20.给出下列命题：①在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形；②在△ABC中，若cosA•tanB•cotC＜0，则△ABC是钝角三角形；③在△ABC中，若sinA•sinB＜cosA•cosB，则△ABC是钝角三角形；④在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形．其中正确的命题序号是．21.在△ABC中，点D是BC的中点，若AB⊥AD，∠CAD=30°，BC=2，则△ABC的面积为．22.在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为．23.在△ABC中，已知=，且cos（A﹣B）+cosC=1﹣cos2C．（1）试确定△ABC的形状；（2）求的范围．24.设△ABC中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC．（Ⅰ）若b=2，求c边的长；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值，并指明此时三角形的形状．25.设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c，=，=若，共线，请按以下要求作答：（1）求角A的大小；（2）当BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．26.如图，某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC=km，当目标出现在B点时，测得∠BCD=75°，∠CDB=45°，求炮兵阵地与目标的距离．27.在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面C和D两个建筑物的距离，作图如下，所测得的数据为AB=50米，∠DAC=75°，∠CAB=45°，∠DBA=30°，∠CBD=75°，请你帮他们计算一下，河对岸建筑物C、D的距离？28.如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上．（l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积；（2）若AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值．【答案】1-5BDCDB 6-10CBACB 11-15BDAAB 16-18DAD 19.等腰三角形20.①②③21.222.7+23.解：（1）由=，可得cos2C+cosC=1﹣cos（A﹣B）得cosC+cos（A﹣B）=1﹣cos2C，cos（A﹣B）﹣cos（A+B）=2sin2C，即sinAsinB=sin2C，根据正弦定理，ab=c2，①，又由正弦定理及（b+a）（sinB﹣sinA）=asinB可知b2﹣a2=ab，②，由①②得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=90°；（2）由正弦定理化简==sinA+sinC=sinA+cosA=sin（A+45°），∵≤sin（A+45°）≤1，A∈（0，）即1＜sin（A+45°），则的取值范围是（1，]．24.解：（I）由正弦定理得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即a2﹣b2=c2﹣bc因为a=2且b=2，所以解得：c=2．（II）由（I）知，则A=60°因为a=2，∴b2+c2﹣bc=4≥2bc﹣bc=bc，∴，此时三角形是正三角形25.解：（1）∵∥，∴sinA•（sinA+cosA）﹣=0．∴+sin2A﹣=0，即sin2A﹣cos2A=1，即sin（2A﹣）=1，∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），∴2A﹣=，A=．（2）由余弦定理得：4=b2+c2﹣bc，又S△ABC=bcsinA=bc，而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时取等号）∴S△ABC=bcsinA=bc≤×4=．当△ABC的面积取最大值时，b=c，又A=，∴此时△ABC为等边三角形．26.解：∠CBD=180°﹣∠CDB﹣∠BCD=180°﹣45°﹣75°=60°，在△BCD中，由正弦定理，得：BD==．在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2﹣2AD•BDcos105°=3+（）2﹣2×××=5+2．∴AB=．27.解：在ABD中，∴，∵A+B+C=π，∴，所以a2=b2+c2﹣2bc•cosA，△ABD为为等腰三角形，即在中，∴bc=4，∴，由于∠ACB=30°，由正弦定理可得，计算得；在△ACD中，∠DAC=75°，，AD=50，根据余弦定理可得=28.解：（1）在△CDE中，CD==，解得CD=1，在直角三角形ABD中，∠ADB=60°，AD=2，AE=1，S△ACE===；（2）设CD=a，在△ACE中，=，CE==（）a，在△CED中，=，sin∠CDE===﹣1，则cos∠DAB=cos（∠CDE﹣90°）=sin∠CDE=﹣1．。
(完整版)解三角形练习题(含答案)
一、选择题1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（）A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形2、已知中，，，则角等于A． B． C． D．3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(2，) D．()4、，则△ABC的面积等于A． B． C．或 D．或5、在中，，则角C的大小为A.300B.450C.600D.12006、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（）A． B． C． D．7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，则ab的值为（）A． B． C．1 D．8、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则=A． B． C． D．10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )．A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（）A. B. C. D.12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A． B． C．或 D．或13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（）A． B． C． D．14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（）A、1B、2C、3D、015、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( ) （ A． B． C． D．16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（）A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（）A． B． C． D．18、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则角A= （）A． B． C． D．19、（）A. B. C. D.20、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．421、若△ABC的对边分别为、、C且，，，则b=（）A、5B、25C、 D、22、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能23、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定24、在中，若，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形25、在△ABC中，已知A=，BC=8，AC=，则△ABC的面积为▲A．B．16 C．或16 D．或26、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足c sin A＝a cos C，则sin A＋sin B的最大值是( )A．1 B. C. D．3二、填空题27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=, a=, b=1，则c= .28、已知△ABC的面积 .29、在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，若，则A= 。
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解三角形练习题及答案
解三角形习题及答案
、选择题（每题5分，共40分）
1、己知三角形三边之比为5 : 7 : 8,则最大角与最小角的和为（）.
A. 90°
B. 120°
C. 135°
D. 150°
2、在厶ABC中，下列等式正确的是（）.
A. a : b=Z A ：Z B B . a : b= sin A : sin B
C. a : b= sin B : sin A D . asin A= bsin B
1 :
2 : 3,则它们所对的边长之比为（
3、若三角形的三个内角之比为
A. 1 : 2 : 3 B . 1 ： 3 : 2
C . 1 : 4 : 9
D . 1 ：；』2 : 3
4、在厶ABC中，a= V5 , b= 尿，/ A= 30 °贝卩c等于（）.
A. 2 5
B. --:5C . 2 ；5或■、5 D. . 10或■,5
5、已知△ ABC中，/ A= 60° a=76 , b= 4,那么满足条件的厶ABC的形
状大小（）.
A .有一种情形B.有两种情形
C .不可求出
D .有三种以上情形
6、在厶ABC 中，若a2+ b2—c2v 0,则4 ABC 是（）.
A .锐角三角形B.直角三角形
C .钝角三角形
D .形状不能确定
7、sin7cos37 -sin 83 sin 37 的值为( )
A.—一
2 B.
1
2
C.
1
2
n 3
D.—
—
8、化简1
T：等于( )
A. 3
B.二
C. 3
D. 1
2
二、填空题(每题5分，共20分)
9、已知cos a —cos B 二丄，sin a —sin 3 =丄，贝S cos (a —B )=
.
2 3
10、在厶ABC 中，/ A= 105° / B= 45° c=忑，贝S b= _____________ .
a +
b + c
你在厶ABC 中，/ A= 60° a= 3,则sinA + sinB + sinC = --------- •
12、在厶ABC中，若sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4,则最大角的余弦值等于__ .
班别：__________ 姓名： _____________ 序号：_______ 得分： _______
9、______ 10、_______ 11、 ________ 12、__________
三、解答题
13、（12分）已知在△ ABC中，/ A=45° a= 2, c= V6，解此三角形.
14、（14 分）已知tan（二「=丄,tan ：二-丄，求tan（2二-的值
2 7
15、( 16 分)已知 f (x) = 2cos2 x-2.3si nxcosx ,
(1)求函数f(x)的取最小值时x的集合；
(2)求函数单调增区间及周期.
16、( 18分)在厶ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,已知
2c cosC =b cosA a cosB
(1)求角C ；
(2)若 a =9, cosA =，求c。
.
5
第一章解三角形
参考答案
、选择题
二、 填空题
59 9.
59 . 10. 2.
72
三、 解答题
13.
解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求
出三角形所有的边长与角的大小. 解法1:由正弦定理得sin sin 45°=兰•土 =—.
2 2 2 2
[2
一 L
T csin A =、6 x 一 = 3 , a = 2, c =、6 ,
3 v 2< 6 ,
2
•••本题有二解，即/ C = 60°或/ C = 120°
/ B = 180°— 60°— 45°= 75°或/ B = 180° —120° — 45° = 15° 故 b = —sin B ,所以 b =、、3 +1 或 b = . 3 — 1,
sin A
••• b =岛 +1，/ C = 60° / B = 75°或 b = V3 — 1,Z C = 120° / B = 15° 解法2:由余弦定理得 b 2
+ （ 6）2
— 2 6 bcos 45= 4, ••• b 2
— 2 .3 b + 2= 0,解得 b = ,3 ± 1.
又（ .6） 2
= b 2
+ 22
— 2x 2bcosC ，得 cosC =± 1
，/ C = 60或/ C = 120°
2
所以/ B = 75°或/ B = 15°
••• b = .3 + 1,Z C = 60° / B = 75°或 b = . 3 — 1,Z C = 120°
14、解：I tan （： - ：）二1
•••
tan2（： - ■）
）
一
2
1 - ta n © - P ）
1. B
2. B
3. B
4. C
5. C
6. C
7. B
8. A 11. 2 3 .
12
.-1
/ B = 15°
2 - 4
2
1 二 4
•••tan(—5—霊厂亍器
4
3 7
4 1 1-一（-
•••潮一
1
15、解: f (x) = 2cos 2
x -2 = 3sin xcosx = cos2x — ；'3sin 2x 1 = 2cos(2^ —)
1
(1).，.函数f (x)的取最小值时满足2x
2k-=• x * k 二(k =Z)
3 3
要使函数单调递增，则满足
JI
< x k 二
6
16、解：(1) T c=2Rsi nC , b = 2Rsi nB , a = 2Rs inA
• 2c cosC =b cos A a cosB 有 2s i C c oC = s i B c o A s i A c o B
o
—
1 — 0
二 2sinC cosC 二sin(A B)二 sin(180 「C)二sinC 二 cosC C = 60
2
(2) T cosA =-4得 sin A = 1-cos 2A =3
5
5
又T a =9, C =60°，由正弦定理得 一^^匹二
15
卫
sin A 2
函数f (x)的取最小值时 x 的集合{x|x
蔦
k Z}
2 二 2 二
=31 ⑵周期
T=—=三
31
=ii'2ta 弐2x 2k
•函数f (x)的单调增区间为
k 二］(k Z)。