最新解三角形测试题(附答案)
三角函数及解三角形测试题(含答案)
三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。
根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。
根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。
根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。
根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。
根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。
2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。
2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。
4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。
5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。
6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。
解三角形(含答案)
解三角形一、单选题(共9道，每道11分)1.由下列条件解△ABC，其中有两解的是( )A.b=20，A=45°，C=80°B.a=30，c=28，B=60°C.a=12，c=15，A=120°D.a=5，，A=30°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形2.在△ABC中，已知下列条件解三角形，其中有唯一解的是( )A.A=30°，a=6，b=10B.A=30°，a=1，b=2C.A=133°，a=22，b=25D.A=90°，a=5，c=10答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形3.在△ABC中，，则角B的解的个数是( )A.0B.1C.2D.不确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形4.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，则B=( )A.45°或135°B.135°C.45°D.不确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形5.在△ABC中，已知，则C=( )A.30°B.60°C.120°D.30°或150°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，B=45°，则角A=( )A.30°B.30°或105°C.60°D.60°或120°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，如果满足的三角形恰有一个，则a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形8.若满足的△ABC有两个，那么a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形9.如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=a的△ABC恰有一个，那么a的取值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：解三角形。
解三角形专题(高考题)练习【附答案】
解三角形专题(高考题)练习【附答案】1、在b 、c ，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。
（I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。
(1)解：m ∥n ⇒ 2sinB(2cos2B2－1)＝－3cos2B⇒2sinBcosB ＝－3cos2B ⇒ tan2B ＝－ 3 ……4分∵0＜2B ＜π,∴2B ＝2π3,∴锐角B ＝π3……2分 (2)由tan2B ＝－ 3 ⇒ B ＝π3或5π6①当B ＝π3时，已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) ……3分∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3 ……1分②当B ＝5π6时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3)……1分∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝14ac ≤2－ 3∴△ABC 的面积最大值为2－ 3……1分5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=⋅，且22=b ，求c a 和b 的值. 解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B …………6分 （II ）解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以a ＝c ＝ 6 6、在ABC ∆中，5cos A =，10cos B =. （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）设2AB =ABC ∆的面积.（Ⅰ）解：由5cos A =，10cos B =，得02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，，所以sin sin 510A B == …… 3分因为2cos cos[()]cos()cos cos sin sin C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=…6分且0C π<< 故.4C π=………… 7分（Ⅱ）解：根据正弦定理得sin sin sin sin 10AB AC AB B AC C B C ⋅=⇒== ………….. 10分所以ABC ∆的面积为16sin .25AB AC A ⋅⋅= 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.解：（1）由m//n 得0cos 1sin 22=--A A……2分即01cos cos 22=-+A A1c o s 21c o s -==∴A A 或 ………………4分1cos ,-=∆A ABC A 的内角是 舍去 3π=∴A ………………6分（2）a c b 3=+ 由正弦定理，23sin 3sin sin ==+A C B (8)分π32=+C B23)32s i n (s i n =-+∴B B π ………………10分23)6sin(23sin 23cos 23=+=+∴πB B B 即8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。
解三角形练习题(含答案)
一、选择题1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（）A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形2、已知中，，，则角等于A ．B ． C． D ．3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(2，) D．()4、，则△ABC的面积等于A ． B． C ．或 D ．或5、在中，，则角C的大小为A.300B.450C.600D.12006、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（）A． B ． C． D．7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，则ab的值为（）A． B． C．1 D．8、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则=A ．B ． C． D ．10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )．A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（）A. B. C. D.12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A ．B ．C ．或D ．或13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（）A ．B ．C ． D．14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（）A、1B、2C、3D、015、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( ) （A ．B ．C ． D．16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（）A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（）A． B ． C． D ．18、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则角A= （）A． B ． C ． D ．19、（）A. B.C.D.20、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．421、若△ABC的对边分别为、、C且，，，则b=（）A、5B、25C 、D 、22、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能23、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定24、在中，若，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形25、在△ABC中，已知A=，BC=8，AC=，则△ABC的面积为▲A．B．16 C．或16 D ．或26、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足c sin A ＝a cos C，则sin A＋sin B的最大值是( )A．1B. C. D．3二、填空题27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=, a=, b=1，则c= .28、已知△ABC的面积 .29、在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c ，若，则A= 。
(完整版)解三角形练习题(含答案)
一、选择题1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若=，则△ABC的形状为（）A、正三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形2、已知中，，，则角等于A． B． C． D．3、在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．(2，＋∞) B．(0，2)C．(2，) D．()4、，则△ABC的面积等于A． B． C．或 D．或5、在中，，则角C的大小为A.300B.450C.600D.12006、的三个内角、、所对边长分别为、、，设向量，，若，则角的大小为（）A． B． C． D．7、若ΔABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足，则ab的值为（）A． B． C．1 D．8、在中,若,且,则是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形9、在中，所对的边分别是且满足，则=A． B． C． D．10、若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则这个三角形是( )．A．等边三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形11、在△中，，，，则此三角形的最大边长为（）A. B. C. D.12、在△ABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B=（）A． B． C．或 D．或13、（2012年高考（天津理））在中,内角,,所对的边分别是,已知,,则（）A． B． C． D．14、已知△ABC中，=，=，B=60°，那么满足条件的三角形的个数为（）A、1B、2C、3D、015、在钝角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则最大边c的取值范围是( ) （ A． B． C． D．16、（2012年高考（上海理））在中,若,则的形状是（）A．锐角三角形. B．直角三角形. C．钝角三角形. D．不能确定.17、在△ABC中，a=15，b=10, ∠A=，则（）A． B． C． D．18、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则角A= （）A． B． C． D．19、（）A. B. C. D.20、给出以下四个命题：（1）在中，若,则；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象；（3）在中，若，，，则为锐角三角形；（4）在同一坐标系中，函数与函数的图象有三个交点；其中正确命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．421、若△ABC的对边分别为、、C且，，，则b=（）A、5B、25C、 D、22、设A、B、C是△ABC三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x+1=0的两个实根，那么△ABC是（）A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均有可能23、设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定24、在中，若，则此三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形25、在△ABC中，已知A=，BC=8，AC=，则△ABC的面积为▲A．B．16 C．或16 D．或26、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足c sin A＝a cos C，则sin A＋sin B的最大值是( )A．1 B. C. D．3二、填空题27、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=, a=, b=1，则c= .28、已知△ABC的面积 .29、在△ABC中，角A、B、C所对的对边分别为a、b、c，若，则A= 。
大题 解三角形(精选30题)(解析版)1
大题 解三角形(精选30题)1(2024·江苏·一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知2cos B +1=ca.(1)证明：B =2A ；(2)若sin A =24,b =14，求△ABC 的周长.【答案】(1)证明见解析(2)7+14【分析】(1)利用正弦定理边化角结合角范围可证；(2)利用倍角公式求得sin C ，然后利用正弦定理可得【详解】(1)2cos B +1 sin A =sin C =sin A +B =sin A cos B +cos A sin B ⇒sin A =sin B cos A -cos B sin A =sin B -A 因为A ,B ∈0,π ,∴B -A ∈-π,π∴A =B -A 或A +B -A =π(舍)，∴B =2A .(2)由sin A =24，结合(1)知A +B =3A ∈0,π ，则A ∈0,π3 ，得cos A =1-sin 2A =1-242=144sin B =sin2A =2sin A cos A =2×24×144=74，cos B =cos2A =1-2sin 2A =1-2×18=34，∴sin C =sin A +B =sin A cos B +cos A sin B =24×34+144×74=10216=528，由正弦定理得a sin A=b sin B =c sin C ⇒a 24=1474=c528⇒a =2c =5 ∴△ABC 的周长为a +b +c =7+14.2(2024·湖南常德·三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A +sin 2B +sin A sin B =sin 2C ．(1)求角C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且△ABC 的面积为1534，求△ABC 的周长．【答案】(1)2π3(2)15【分析】(1)先利用正弦定理角化边得出a 2+b 2+ab =c 2；再结合余弦定理得出cos C =-12即可求解.(2先根据a ，b ，c 成等差数列得出a +c =2b ；再利用三角形的面积公式得出ab =15；最后结合(1)中的a 2+b 2+ab =c 2，求出a ，b ，c 即可解答.【详解】(1)因为sin 2A +sin 2B +sin A sin B =sin 2C ，由正弦定理a sin A=b sin B =csin C 可得：a 2+b 2+ab =c 2.由余弦定理可得：cos C =a 2+b 2-c 22ab =a 2+b 2-(a 2+b 2+ab )2ab=-12.又因为C ∈(0,π)，所以C =2π3.(2)由a ,b ,c 成等差数列可得：a +c =2b ①.因为三角形ABC 的面积为1534，C =2π3，∴12ab sin C =1534，即ab =15②.由(1)知：a 2+b 2+ab =c 2③由①②③解得：a =3,b =5,c =7.∴a +b +c =15，故三角形ABC 的周长为15.3(2024·江苏·一模)在△ABC 中，sin B -A +2sin A =sin C ．(1)求B 的大小；(2)延长BC 至点M ，使得2BC =CM ．若∠CAM =π4，求∠BAC 的大小．【答案】(1)B =π4；(2)∠BAC =π12或5π12．【分析】(1)由sin C =sin A +B ，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得cos B =22，可得B 的大小；(2)设BC =x ，∠BAC =θ，在△ABC 和△ACM 中，由正弦定理表示边角关系，化简求∠BAC 的大小.【详解】(1)在△ABC 中，A +B +C =π，所以sin C =sin A +B ．因为sin B -A +2sin A =sin C ，所以sin B -A +2sin A =sin A +B ，即sin B cos A -cos B sin A +2sin A =sin B cos A +cos B sin A 化简得2sin A =2cos B sin A ．因为A ∈0,π ，所以sin A ≠0，cos B =22．因为0<B <π，所以B =π4．(2)法1：设BC =x ，∠BAC =θ，则CM =2x ．由(1)知B =π4，又∠CAM =π4，所以在△ABM 中，∠AMC =π2-θ．在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC =AC sin B ，即x sin θ=ACsin π4①．在△ACM 中，由正弦定理得CM sin ∠CAM =AC sin M ，即2x sin π4=ACsin π2-θ②．①÷②，得222sin θ=cos θ22，即2sin θcos θ=12，所以sin2θ=12．因为θ∈0,3π4，2θ∈0,3π2，所以2θ=π6或5π6，故θ=π12或5π12．法2：设BC=x，则CM=2x，BM=3x．因为∠CAM=π4=B，所以△ACM∽△BAM，因此AMBM=CMAM，所以AM2=BM⋅CM=6x2，AM=6x．在△ABM中，由正弦定理得BMsin∠BAM=AMsin B，即3xsin∠BAM=6x22，化简得sin∠BAM=3 2．因为∠BAM∈0,3π4，所以∠BAM=π3或2π3，∠BAC=∠BAM-π4，故∠BAC=π12或5π12．4(2024·浙江温州·二模)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知2c sin B=2b．(1)求C；(2)若tan A=tan B+tan C，a=2，求△ABC的面积．【答案】(1)C=π4或3π4(2)43【分析】(1)根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得sin C，从而确定角C.(2)根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.【详解】(1)由2c sin B=2b 得2sin C sin B=2sin B，而B为三角形内角，故sin B>0,得sin C=22，而C为三角形内角，∴C=π4或3π4(2)由tan A=-tan B+C=tan B+tan C得-tan B+tan C1-tan B tan C=tan B+tan C，又tan B+tan C≠0，∴tan B tan C=2， ，故B,C∈0,π2，由(1)得tan C=1，故tan B=2，∴tan A=tan B+tan C=3，而A为三角形内角，∴sin A=31010.又asin A=csin C即231010=c22⇒c=203，又tan B=2，而B为三角形内角，故sin B=255，∴S=12ac sin B=12×2×203×255=43.5(2024·浙江嘉兴·二模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知2cos A-3cos2A= 3.(1)求cos A的值；(2)若△ABC为锐角三角形，2b=3c，求sin C的值.【答案】(1)cos A=13或cos A=0；(2)429.【分析】(1)根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解；(2)解法一，由2b =3c ，利用正弦定理边化角得2sin B =3sin C ，结合sin A +C =sin B 和cos A =13，化简运算并结合平方关系求得答案；解法二，根据条件利用余弦定理可得c =23a ，再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案.【详解】(1)由题可得2cos A -32cos 2A -1 =3，即3cos 2A -cos A =0，解得cos A =13或cos A =0.(2)解法一：因为2b =3c ，由正弦定理得2sin B =3sin C ，即2sin A +C =3sin C ，即2sin A cos C +2sin C cos A =3sin C ，因为cos A =13，所以sin A =223；所以423cos C +23sin C =3sin C ，又sin 2C +cos 2C =1，且△ABC 为锐角三角形，解得sin C =429.解法二：由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc=13，因为2b =3c ，所以9c 24+c 2-a 23c2=13，即c 2=49a 2，所以c =23a ，所以sin C =23sin A ，又cos A =13，所以sin A =223，所以sin C =23sin A =429.6(2023·福建福州·模拟预测)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且a sin C =c sin B ,C =2π3．(1)求B ；(2)若△ABC 面积为334，求BC 边上中线的长．【答案】(1)B =π6(2)212【分析】(1)由正弦定理边化角即可得到角B ；(2)根据A =B ，得a =b ，结合三角形面积公式即可得到a =b =3，再由正弦定理得边c ，以及2AD =AB +AC ，即可得到答案．【详解】(1)∵a sin C =c sin B ，由正弦定理边化角得sin A sin C =sin C sin B ，∵sin C ≠0，∴sin A =sin B ，∴A =B 或A +B =π(舍)，又∵C =2π3，∴B =π6；(2)∵B =π6，C =2π3，A =π6，∴a =b ，∴S △ABC =12ab sin C ，即334=12a 2⋅32，解得a =b =3，由正弦定理a sin A=csin C ，得c =a sin Csin A=3，设BC 边的中点为D ，连接AD ，如下图：∵2AD =AB +AC ，即(2AD )2=(AB +AC)2，即4AD 2=c 2+b 2+2bc cos A =9+3+2×3×3×32，解得AD =212．7(2024·山东淄博·一模)如图，在△ABC 中，∠BAC =2π3,∠BAC 的角平分线交BC 于P 点，AP =2.(1)若BC =8，求△ABC 的面积;(2)若CP =4，求BP 的长.【答案】(1)3+1952(2)2+2133【分析】(1)利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；(2)首先利用余弦定理求出AC =1+13，再利用正弦定理求出sin C ，再根据三角恒变换求出sin B ，最后再根据正弦定理即可.【详解】(1)△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在△ABC 中由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC ⋅cos ∠CAB ，即64=c 2+b 2+b ⋅c ①因S △ABC =S △MBP +S △MCP ，即bc 2⋅32=2c 2⋅32+2b 2⋅32，整理得b ⋅c =2b +2c ②①②解得b ⋅c =2+265，所以S △ABC =12bc sin ∠BAC =3+1952.(2)因为AP =2,CP =4,∠PAC =π3，所以在△APC 中由余弦定理可得CP 2=AP 2+AC 2-2AP ⋅AC ⋅cos ∠CAP ，所以16=4+AC 2-2AC解得AC =1+13，由正弦定理得APsin C =PCsin ∠CAP，即2sin C=432，解得sin C =34，所以cos C =1-sin 2C =134，sin B =sin (∠BAC +C )=sin ∠BAC cos C +cos ∠BAC sin C =39-38,△ABC 中由正弦定理得AC sin B =BC sin ∠BAC，则1+1339-38=BC32，解得BC =14+2133，所以PB =BC -PC =14+2133-4=2+2133.8(2024·安徽·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，AB =AD =4，BC =6．(1)若A =2π3，C =π3，求sin ∠BDC 的值；(2)若CD =2，cos A =3cos C ，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)34(2)162+853【分析】(1)△ABD 中求出BD ，在△BCD 中，由正弦定理求出sin ∠BDC 的值；(2)△ABD 和△BCD 中，由余弦定理求出cos A 和cos C ，得sin A 和sin C ，进而可求四边形ABCD 的面积．【详解】(1)在△ABD 中，AB =AD =4，A =2π3，则∠ADB =π6，BD =2AD cos ∠ADB =2×4×cos π6=43，在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC =BDsin C ，sin ∠BDC =BC sin C BD =6sin π343=34.(2)在△ABD 和△BCD 中，由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ⋅AD cos A =42+42-2×4×4×cos A =32-32cos A ，BD 2=CB 2+CD 2-2CB ⋅CD cos C =62+22-2×6×2×cos C =40-24cos C ，得4cos A -3cos C =-1，又cos A =3cos C ，得cos A =-13,cos C =-19，则sin A =223，sin C =459，四边形ABCD 的面积S =S △ABD +S △BCD =12AB ⋅AD ⋅sin A +12CB ⋅CD ⋅sin C=12×4×4×223+12×6×2×459=162+853.9(2024·浙江·一模)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知c 2b 2+c 2-a2=sin Csin B ．(1)求角A ；(2)设边BC 的中点为D ，若a =7，且△ABC 的面积为334，求AD 的长．【答案】(1)A =π3(2)132【分析】(1)根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到b 2+c 2-a 2=bc ，再结合余弦定理即可求出角A ；(2)根据三角形面积公式得到bc =3和b 2+c 2=10，再结合中线向量公式计算即可.【详解】(1)在△ABC 中，由正弦定理得，sin C sin B =cb，因为c 2b 2+c 2-a 2=sin C sin B ，所以c 2b 2+c 2-a 2=cb ，化简得，b 2+c 2-a 2=bc ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos A =b 2+c 2-a 22bc=12，又因为0<A <π，所以A =π3(2)由S △ABC =12bc sin A =34bc =334，得bc =3，由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，得7=b 2+c 2-3，所以b 2+c 2=10．又因为边BC 的中点为D ，所以AD =12AB +AC，所以AD =12(AB +AC )2=12b 2+c 2+2bc cos A =12×10+2×3×12=13210(2024·湖北·一模)在△ABC 中，已知AB =22,AC =23,C =π4．(1)求B 的大小；(2)若BC >AC ，求函数f x =sin 2x -B -sin 2x +A +C 在-π,π 上的单调递增区间．【答案】(1)B =π3或B =2π3(2)-π,-7π12 ,-π12,5π12 ,11π12,π【分析】(1)利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；(2)利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.【详解】(1)在△ABC 中，由正弦定理可得：AB sin C=AC sin B ，即2222=23sin B ，解得sin B =32，又0<B <π，故B =π3或B =2π3．(2)由BC >AC ，可得A >B ，故B =π3,A +C =2π3.f x =sin 2x -π3 -sin 2x +2π3 =sin 2x -π3 -sin 2x +π-π3=2sin 2x -π3,令-π2+2k π≤2x -π3≤π2+2k π,k ∈Z ,解得-π12+k π≤x ≤5π12+k π，k ∈Z .由于x∈-π,π，取k=-1，得-π≤x≤-7π12；取k=0，得-π12≤x≤5π12；取k=1，得11π12≤x≤π，故f x 在-π,π上的单调递增区间为-π,-7π12,-π12,5π12,11π12,π．11(2024·福建厦门·二模)定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，△ABC的面积为S，三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且sin C=2Sc2-b2.(1)证明：△ABC是倍角三角形；(2)若c=9，当S取最大值时，求tan B.【答案】(1)证明见解析(2)23-3【分析】(1)由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；(2)由正弦定理结合题中条件得到a=9sin3Bsin2B，结合三角形面积公式S=12×ac sin B化为关于tan B的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可.【详解】(1)因为sin C=2Sc2-b2=2×12ab sin Cc2-b2=ab sin Cc2-b2，又sin C≠0,所以abc2-b2=1，则b2=c2-ab，又由余弦定理知，b2=a2+c2-2ac cos B，故可得2c cos B=a+b，由正弦定理，2sin C cos B=sin A+sin B,又sin A=sin B+C=sin B cos C+cos B sin C,代入上式可得sin C cos B=sin B cos C+sin B,即sin C cos B-sin B cos C=sin B，sin C-B=sin B，则有C-B=B,C=2B,故△ABC是倍角三角形.(2)因为C=2B，所以A=π-B-C=π-3B>0,故0<B<π3，则tan B∈0,3，又c=9，又asin A=csin C，则a=9sin Asin C=9sinπ-3Bsin2B=9sin3Bsin2B,则S=12×ac sin B=92a sin B=92×9sin3Bsin2B×sin B=814⋅sin3Bcos B,=814⋅sin2B cos B+cos2B sin Bcos B=814×sin2B+cos2B tan B=8142tan B1+tan2B+1-tan2B1+tan2B⋅tan B=814×3tan B-tan3B1+tan2B设x=tan B∈0,3，f x =3x-x31+x2，则f x =3-3x21+x2-3x-x3⋅2x1+x22=-x4-6x2+31+x22令f x =0得x2=23-3或者x2=-23-3(舍)，且当0<x2<23-3时，f x >0，当23-3<x2<3时，f x <0，则f x 在0,23-3上单调递增，在23-3,3上单调递减，故当x=23-3时，f x 取最大值，此时S也取最大值，故tan B=23-3为所求.12(2024·福建漳州·模拟预测)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=π2，B=π6，且△ABC的外接圆半径为4.(1)若BC=42，AD=22，求△ACD的面积；(2)若D=2π3，求BC-AD的最大值.【答案】(1)4；(2)833.【分析】(1)在三角形ABC中，根据正弦定理求得AC,∠CAB，再在三角形ADC中，利用三角形面积公式即可求得结果；(2)设∠DAC=θ，在三角形ADC,ABC中分别用正弦定理表示BC,AD，从而建立BC-AD关于θ的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【详解】(1)因为B=π6，△ABC的外接圆半径为4，所以ACsin B=8，解得AC=4.在△ABC中，BC=42，则BCsin∠CAB=42sin∠CAB=8，解得sin∠CAB=22.又∠CAB∈0,π2，所以∠CAB=π4；在△ACD中，AC=4，∠DAC=π2-∠CAB=π4，AD=22，所以SΔACD=12×4×22×22=4.(2)设∠DAC=θ，θ∈0,π3.又D=2π3，所以∠ACD=π3-θ.因为∠DAB=π2，所以∠CAB=π2-θ.在△DAC中，AC=4，由正弦定理得ACsin D=ADsin∠ACD，即432=ADsinπ3-θ，解得AD=833sinπ3-θ=83332cosθ-12sinθ=4cosθ-433sinθ.在△ABC中，AC=4，由正弦定理得ACsin B=BCsin∠CAB，即412=BCsinπ2-θ，解得BC=8sinπ2-θ=8cosθ，所以BC-AD=4cosθ+33sinθ=833sinθ+π3.又θ∈0,π3，所以θ+π3∈π3,2π3，当且仅当θ+π3=π2，即θ=π6时，sinθ+π3取得最大值1，所以BC-AD的最大值为83 3.13(2024·山东济南·二模)如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB=BC=2，∠ABC=θ，120°≤θ<180°.(1)若θ=120°，AD=3，求∠ADC的大小；(2)若CD=6，求四边形ABCD面积的最大值.【答案】(1)∠ADC=45°(2)3+2【分析】(1)在△ABC中，利用余弦定理可得AC=6，由等腰三角形可得∠BCA=30°，然后在△ADC中利用正弦定理即可求解；(2)利用勾股定理求得BD=22，然后四边形面积分成S△BCD+S△ABD即可求解.【详解】(1)在△ABC中，AB=BC=2，θ=120°，所以∠BCA=30°，由余弦定理可得，AC2=22+22-2×2×2×-1 2=6，即AC=6，又BC⊥CD，所以∠ACD=60°，公众号：慧博高中数学最新试题在△ADC中，由正弦定理可得3sin60°=6sin∠ADC，得sin∠ADC=22，因为AC<AD，所以0°<∠ADC<60°，所以∠ADC=45°.(2)在Rt△BCD中，BC=2,CD=6，所以BD=22，所以，四边形ABCD的面积S=S△BCD+S△ABD=12×2×6+12×2×22sin∠ABD=3+2sin∠ABD，当∠ABD =90°时，S max =3+2，即四边形ABCD 面积的最大值为3+2.14(2024·湖北武汉·模拟预测)已知锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b 2+c 2-(b ⋅cos C +c ⋅cos B )2=bc ，(1)求角A 的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为3，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)6,9【分析】(1)由余弦定理将cos B ,cos C 化成边，化简再结合余弦定理可求得答案；(2)利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.【详解】(1)∵b 2+c 2-b cos C +c cos B 2=bc ，由余弦定理可得b 2+c 2-b ⋅a 2+b 2-c 22ab+c ⋅a 2+c 2-b 22ac 2=bc ，化简整理得b 2+c 2-a 2=bc ，又b 2+c 2-a 2=2bc cos A ，∴cos A =12，又0<A <π2，所以A =π3.(2)因为三角形外接圆半径为R =3，所以b =23sin B ，c =23sin C ，∴bc =12sin B sin C ，由(1)得B +C =2π3，所以bc =12sin B sin C =12sin B sin 2π3-B =12sin B 32cos B +12sin B =63sin B cos B +6sin 2B =33sin2B +31-cos2B=632sin2B -12cos2B +3=6sin 2B -π6+3，因为△ABC 是锐角三角形，且B +C =2π3，所以π6<B <π2，∴π6<2B -π6<5π6，∴12<sin 2B -π6≤1，∴6<6sin 2B -π6+3≤9，即6<bc ≤9.所以bc 的取值范围为6,9 .15(2024·湖南邵阳·模拟预测)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且△ABC 的周长为a sin Bsin A +sin B -sin C ．(1)求C ；(2)若a =2，b =4，D 为边AB 上一点，∠BCD =π6，求△BCD 的面积．【答案】(1)C =2π3；(2)235.【分析】(1)根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.(2)由(1)的结论，利用三角形面积公式，结合割补法列式求出CD ，再求出△BCD 的面积.【详解】(1)在△ABC 中，a +b +c =a sin B sin A +sin B -sin C，由正弦定理得a +b +c =aba +b -c ，整理得a 2+b 2-c 2=-ab ，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab=-12，而0<C <π，所以C =2π3.(2)由D 为边AB 上一点，∠BCD =π6及(1)得∠ACD =π2，且S △ACD +S △BCD =S △ABC ，即有12b ⋅CD sin π2+12a ⋅CD sin π6=12ab sin 2π3，则4CD +CD =43，解得CD =435，所以△BCD 的面积S △BCD =12a ⋅CD sin π6=14×2×435=235.16(2024·广东梅州·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，3a cos B -b sin A =3c ，c =2，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，(Ⅰ)当AD ⊥AB ，且AD =1时，求AC 的长；(Ⅱ)当BD =2DC ，且AD =1时，求△ABC 的面积S △ABC ．【答案】(1)A =2π3(2)AC =83+411；S △ABC =32+34【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A 的值，结合A ∈(0,π)即可求解A 的值；(2)(Ⅰ)根据锐角三角函数和差角公式可得cos ∠ABC =AB BD =25,sin ∠ABC =AD BD =15,sin C =-510+155正弦定理即可求解.(Ⅱ)采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决．【详解】(1)因为3a cos B -b sin A =3c ，所以由正弦定理可得3sin A cos B -sin B sin A =3sin C ，又sin C =sin (A +B )=sin A cos B +cos A sin B ，所以-sin B sin A =3cos A sin B ，因为B 为三角形内角，sin B >0，所以-sin A =3cos A ，可得tan A =-3，因为A ∈(0,π)，所以A =2π3；(2)(Ⅰ)此时AB =2=2AD ，AD ⊥AB ，所以DB =AB 2+AD 2=5，所以cos ∠ABC =AB BD =25,sin ∠ABC =AD BD =15,sin C =sin B +2π3 =15×-12 +25×32=-510+155，在△ABC 中，由正弦定理可得AC sin ∠ABC =AB sin C ⇒AC =AB sin ∠ABC sin C =2×15-510+155=83+411；(Ⅱ)设∠CAD =α，由S △ABC =S △BAD +S △CAD ，可得3b =2sin 2π3-α +b sin α，化简可得3b -b sin α=2sin 2π3-α 有b sin ∠ADC =CD sin α,2sin ∠ADB =BDsin 2π3-α，由于BD =2DC ，所以b sin αsin ∠ADC ×sin ∠ADB 2sin 2π3-α =12，所以b =sin 2π3-α sin α=12×3b -b sin αsin α⇒sin α=33,b =6+12，则S △ABC =12bc sin A =32+34．17(2024·广东广州·一模)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S .已知S =-34(a 2+c 2-b 2).(1)求B ；(2)若点D 在边AC 上，且∠ABD =π2，AD =2DC =2，求△ABC 的周长.【答案】(1)2π3；(2)3+23【分析】(1)根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合B 的范围，即可求得结果；(2)利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得AB ,BC ，即可求得三角形周长.【详解】(1)由S =-34(a 2+c 2-b 2)，则12ac ⋅sin B =-34×2ac ⋅cos B ，tan B =-3又B ∈0,π ，故B =2π3.(2)由(1)可知，B =2π3，又∠ABD =π2，则∠CBD =π6；由题可知，AD =2DC =2，故BD =BC +CD =BC +13CA =BC +13BA -BC =23BC+13BA ，所以BA ⋅BD =BA ⋅23BC +13BA =13c 2-13ac =0，因为c ≠0，所以a =c ，A =C =π6，在Rt △ABD 中，c =AD ⋅cos π6=3，故△ABC 的周长为AB +BC +AC =3+3+3=3+2 3.18(2024·广东佛山·模拟预测)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，其中a =1，cos A =2c -12b．(1)求角B 的大小；(2)如图，D 为△ABC 外一点，AB =BD ，∠ABC =∠ABD ，求sin ∠CABsin ∠CDB的最大值．【答案】(1)B =π3(2)3【分析】(1)根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；(2)根据题意，由正弦定理可得sin ∠CAB sin ∠CDB =CDAC，再由余弦定理分别得到AC 2,CD 2，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】(1)因为a =1，所以cos A =2c -a2b，由正弦定理a sin A=b sin B =c sin C ，可得cos A =2sin C -sin A2sin B ，整理可得2sin B cos A =2sin C -sin A ，又因为sin C =sin A +B =sin A cos B +sin B cos A ，化简可得sin A =2sin A cos B ，而sin A ≠0，则cos B =12，又B ∈0,π ，则B =π3(2)在△BCD 中，由BC sin ∠CDB =CDsin ∠CBD 可得sin ∠CDB =sin 23πCD，在△ABC 中，由BC sin ∠CAB =AC sin ∠ABC 可得sin ∠CAB =sin π3AC，所以sin ∠CAB sin ∠CDB =CD AC ，设AB =BD =t t >0 ，由余弦定理CD 2=BA 2+BC 2-2BA ⋅BC ⋅cos ∠CBD ，AC 2=BA 2+BC 2-2BA ⋅BC ⋅cos ∠CBA ，可得CD 2=t 2+1+t ，AC 2=t 2+1-t ，因此CD 2AC 2=t 2+1+t t 2+1-t =1+2t t 2+1-t ≤1+22t ⋅1t -1=3，当且仅当t =1t时，即t =1等号成立，所以sin ∠CAB sin ∠CDB的最大值为3，此时AB =BD =1.19(2024·河北石家庄·二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m=(2sin A ,3sin A +3cos A )，n =(cos A ,cos A -sin A ),f (A )=m ⋅n ,A ∈π6,2π3.(1)求函数f A 的最大值;(2)若f (A )=0,a =3,sin B +sin C =62，求△ABC 的面积.【答案】(1)3(2)S △ABC =34【分析】(1)由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得f (x )=2sin 2A +π3，再结合三角函数的值域计算即可求得；(2)由题中条件计算可得A =π3，再由正弦定理得b +c =6，由余弦定理可得bc =1，再由三角形的面积公式计算即可求得．【详解】(1)f (x )=m ⋅n=2sin A cos A +(3sin A +3cos A )(cos A -sin A )=sin2A +3(cos 2A -sin 2A )=sin2A +3cos2A =2sin 2A +π3因为A ∈π6,2π3 ，所以2A +π3∈2π3,5π3，所以当2A +π3=2π3，即A =π6时，f (x )有最大值2×32=3；(2)因为f A =0，所以2sin 2A +π3 =0，所以2A +π3=k π,k ∈Z ，因为A ∈π6,23A ，所以A =π3，由正弦定理得：2R =a sin A =332=2，所以sin B =b 2R =b 2，sin C =c 2R=c2，又因为sin B +sin C =62，所以b 2+c 2=62，所以b +c =6，由余弦定理有：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，即3=(b +c )2-3bc ，所以bc =1，所以S △ABC =12bc sin A =12×1×32=34．20(2024·广东·一模)设锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知b -c cos A =2a cos B cos C ．(1)求cos B ；(2)若点D 在AC 上(与A ,C 不重合)，且C =π4,∠ADB =2∠CBD ，求CD AD的值．【答案】(1)12(2)2+3【分析】(1)根据条件，边转角得到sin B -sin C cos A =2sin A cos B cos C ，再利用sin B =sin A cos C +cos A sin C 即可求出结果；(2)根据题设得到∠DBC =C =π4，进而可求得A =5π12，∠ABD =π12，再利用CDAD=S △BCD S △ABD ，即可求出结果.【详解】(1)由b -c cos A =2a cos B cos C ，得到sin B -sin C cos A =2sin A cos B cos C ，又sin B =sin (π-A -C )=sin (A +C )=sin A cos C +cos A sin C ，所以cos C sin A=2sin A cos B cos C，又三角形ABC为锐角三角形，所以sin A≠0,cos C≠0，得到1=2cos B，即cos B=1 2 .(2)因为∠ADB=2∠CBD，又∠ADB=∠ACB+∠CBD，所以∠ACB=∠CBD，则BD=CD，所以∠DBC =C=π4，由(1)知，B=π3，则A=π-π3-π4=5π12，∠ABD=π-π2-5π12=π12，则CDAD=S△BCDS△ABD=12BC⋅BD sinπ412AB⋅BD sinπ12=sin A⋅sinπ4sin C⋅sinπ12=sin5π12⋅sinπ4sinπ4⋅sinπ12=cosπ12sinπ12=1tanπ12，又tan π12=tanπ4-π3=1-331+33=3-33+3，所以CDAD=3+33-3=2+ 3.21(2024·辽宁·二模)在△ABC中，D为BC边上一点，DC=CA=1，且△ACD面积是△ABD面积的2倍．(1)若AB=2AD，求AB的长；(2)求sin∠ADBsin B的取值范围．【答案】(1)1(2)54,+∞【分析】(1)根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；(2)根据余弦定理、二倍角的余弦公式求出AB,AD的表达式，最后根据正弦定理求出sin∠ADBsin B的表达式，利用余弦函数的最值性质进行求解即可.公众号：慧博高中数学最新试题【详解】(1)设BC边上的高为AE，垂足为E，因为△ACD面积是△ABD面积的2倍，所以有S△ACDS△ABD=12CD⋅AE12BD⋅AE=2⇒BD=12⇒BC=32，设AB=2AD=x⇒AD=22x，由余弦定理可知：cos C=AC2+BC2-AB22AC⋅BC =AC2+DC2-AD22AC⋅DC⇒1+94-x22×1×32=1+1-12x22×1×1，解得x=1或x=-1舍去，即AB=1；(2)由(1)可知BD=12,BC=32，设∠ADC=θ，由DC=CA⇒∠DAC=∠ADC=θ⇒C=π-2θ且θ∈0,π2，由余弦定理可得：AD=12+12-2×1×1⋅cosπ-2θ=2+2cos2θ=2+22cos 2θ-1 =2cos θ，AB =12+32 2-2×1×32⋅cos π-2θ =134+3cos2θ=134+32cos 2θ-1 =6cos 2θ+14，在△ABD 中，因为θ∈0,π2 ，所以由正弦定理可知：AB sin ∠ADB =AD sin B ⇒sin ∠ADB sin B =ABAD =6cos 2θ+142cos θ=14×24cos 2θ+1cos 2θ=14×24+1cos 2θ，因为θ∈0,π2，所以cos θ∈0,1 ⇒cos 2θ∈0,1 ⇒1cos 2θ>1⇒24+1cos 2θ>25⇒24+1cos 2θ>5，于是有sin ∠ADB sin B >54，因此sin ∠ADB sin B的取值范围为54,+∞ ..22(2024·黑龙江齐齐哈尔·一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知B =π4,4b cos C =2c +2a .(1)求tan C ；(2)若△ABC 的面积为32，求BC 边上的中线长.【答案】(1)tan C =12(2)52.【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得tan C .(2)根据三角形ABC 的面积求得ac ，根据同角三角函数的基本关系式求得sin A ,cos A ，利用正弦定理、向量数量积运算来求得BC 边上的中线长.【详解】(1)由正弦定理可得c sin C=bsin B ，所以4sin B cos C =2sin C +2sin A ，即22cos C =2sin C +2sin A ，又A +B +C =π，所以22cos C =2sin C +2sin π4+C =22sin C +2cos C ，整理得2cos C =22sin C ，解得tan C =12；(2)依题意，12ac sin B =12ac ×22=32，解得ac =32，又tan A =tan 3π4-C =-1-tan C1-tan C =-3，所以A 为钝角，所以由sin A cos A=-3sin 2A +cos 2A =1 ,解得sin A =310,cos A =-110，由正弦定理可得c a =sin C sin A=15310=23，又ac =32，所以a =3,c =2,b =c sin Bsin C=2×2215=5，设BC 的中点为D ，则AD =12AB +AC，所以AD 2=14(AB +AC )2=b 2+c 2+2bc cos A 4=2+5+2×2×5×-1104=54，所以BC 边上的中线长为52.23(2024·重庆·模拟预测)如图，某班级学生用皮尺和测角仪(测角仪的高度为1.7m )测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A 和瞰胜楼楼底O 在同一水平线上，从测角仪顶点C 处测得楼顶M 的仰角，∠MCE =16.5°(点E 在线段MO 上)．他沿线段AO 向楼前进100m 到达B 点，此时从测角仪顶点D 处测得楼顶M 的仰角∠MDE =48.5°，楼尖MN 的视角∠MDN =3.5°(N 是楼尖底部，在线段MO 上)．(1)求楼高MO 和楼尖MN ；(2)若测角仪底在线段AO 上的F 处时，测角仪顶G 测得楼尖MN 的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO ．参考数据：sin16.5°sin48.5°sin32°≈25，tan16.5°≈827，tan48.5°≈87，40×35≈37.4,【答案】(1)41.7m ，5m (2)FO 为37．4m【分析】(1)法一：在△CDM 中，由正弦定理得，可得CM =100sin48.5°sin32°，进而求得ME ，MO ，进而求得CE ，计算可求得楼离MO 和楼尖MN ；法二：利用CE =ME tan ∠MCE，DE =MEtan ∠MDE ，可求得ME ，进而计算可求得楼离MO 和楼尖MN ；(2)设FO =xm ，tan ∠MGE =40x ，tan ∠NGE =35x，进而可得tan ∠MGN =tan ∠MGE -∠NGE =40x -35x1+40x ⋅35x，利用基本不等式可求得楼尖MN 的视角最大时x 的值．【详解】(1)法一：∠MCE =16.5°，∠MDE =48.5°，∴∠DMC =32°．在△CDM 中，由正弦定理得，CM =CD sin ∠CDMsin ∠DMC，又CD =100m ，∴CM =100sin 180°-48.5° sin32°=100sin48.5°sin32°．∴ME =CM sin ∠MCE =100sin48.5°sin16.5°sin32°=40m ，∴MO =ME +EO =40m +1.7m =41.7m ．CE =ME tan ∠MCE =40tan16.5°=40827=135(m )．∴DE =CE -CD =35m ．∵∠NDE =∠MDE -∠MDN =45°，∴NE =DE =35m ，MN =ME -NE =5m ．法二：CE =ME tan ∠MCE，DE =MEtan ∠MDE ，∴CE -DE =ME tan ∠MCE-MEtan ∠MDE =100，即ME ×278-78=100，∴ME =40m ，∴MO =ME +EO =40m +1.7m =41.7m ．CE =ME tan ∠MCE =40tan16.5°=40827=135m ．∴DE =CE -CD =35m ．∵∠NDE =∠MDE -∠MDN =45°，∴NE =DE =35m ，MN =ME -NE =5m ．(2)设FO =xm ，tan ∠MGE =40x ，tan ∠NGE =35x，∴tan ∠MGN =tan ∠MGE -∠NGE =tan ∠MGE -tan ∠NGE1+tan ∠MGE ⋅tan ∠NGE=40x -35x1+40x ⋅35x =5x +40×35x ≤52x ⋅40×35x =5240×35，当且仅当x =40×35x，即x ≈37.4时，等号成立．∴测角仪底到楼底的距离FO 为37．4m 处时，测得楼尖MN 的视角最大．24(2024·重庆·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B 2 ．(1)求角A 的大小；(2)若BP =PC ，且b +c =2，求AP 的最小值．【答案】(1)A =π3；(2)32．【分析】(1)根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果；(2)根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A=bsin B ，可得a sin B =b sin A又由b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B 2 知2a sin B 2cos B 2=b ⋅2cos 2π12-A 2-1 ，即a sin B =b cos π6-A ，得b sin A =b cos π6-A ，得sin A =cos π6-A =32cos A +12sin A ，得12sin A =32cos A ，所以tan A =3；又因为A ∈0,π ，所以A =π3．(2)由BP =PC ，得AP =12AB +12AC ，所以AP 2=12AB +12AC 2=14AB 2+14AC2+12AB ⋅AC=14c 2+14b 2+12bc cos A =14c 2+14b 2+14bc =14b +c 2-bc ≥14b +c 2-b +c 2 2 =316b +c 2=34，当且仅当b =c b +c =2 ，即b =c =1时等号成立，故AP 的最小值为32．25(2024·山西朔州·一模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，向量m =a +b ,c ,n=sin A -sin C ,sin A -sin B ，且m ⎳n ．(1)求B ；(2)求b 2a 2+c2的最小值．【答案】(1)B =π3(2)12【分析】(1)利用向量共线的坐标形式可得a 2+c 2-b 2=ac ，结合余弦定理可求B ；(2)利用基本不等式可求最小值.【详解】(1)因为m ⎳n，所以a +b sin A -sin B =c sin A -sin C ，由正弦定理可得a +b a -b =c a -c 即a 2-b 2=ac -c 2，故a 2+c 2-b 2=ac ，所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12，而B 为三角形内角，故B =π3.(2)结合(1)可得：b 2a 2+c 2=a 2+c 2-ac a 2+c 2=1-aca 2+c2,1-ac a 2+c2≥1-ac 2ac =1-12=12，当且仅当a =c 时等号成立，故b 2a 2+c2的最小值为12.26(2024·河南开封·二模)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos A =2a sin B ．(1)求sin A ；(2)若a =3，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求△ABC 的面积．条件① ：b =6c ；条件② ：b =6；条件③ ：sin C =13．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)sin A =33；(2)答案见解析.【分析】(1)利用正弦定理边化角，结合同角公式计算即得.(2)选择条件①，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件②，利用正弦定理计算判断三角形不唯一；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积.【详解】(1)由b cos A =2a sin B 得：sin B cos A =2sin A sin B ，而sin B ≠0，则cos A =2sin A >0，A 为锐角，又sin 2A +cos 2A =1，解得sin A =33，所以sin A =33且A 为锐角.(2)若选条件①，由sin A =33，A 为锐角，得cos A =63，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，又b =6c ，则3=6c 2+c 2-4c 2，解得c =1,b =6,△ABC 唯一确定，所以S △ABC =12bc sin A =22.若选条件②，由正弦定理得a sin A =b sin B ，则sin B =6×333=63<1，由b =6>a =3，得B >A ，因此角B 有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.若选条件③，由sin A =33，A 为锐角，得cos A =63，又sin A =33>sin C =13，得a >c ，A >C ，则cos C =223，因此sin B =sin (A +C )=sin A cos C +cos A sin C =63,△ABC 唯一确定，由正弦定理得a sin A=c sin C ，则c =3×1333=1，所以S △ABC =12ac sin B =22.27(2024·河南·一模)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b 2-a 2=ac .(1)求证：B =2A ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin (C -A )-sin Bsin A的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(-2,0)【分析】(1)用正弦定理边化角，再利用和差化积公式与诱导公式进行化简，得sin (B -A )=sin A ，从而用等量关系即可得证；(2)由(1)知，锐角三角形△ABC 中B =2A ，利用角A ,B ,C 关系求得角A 的范围，再把式子sin (C -A )-sin Bsin A用角A 的三角函数来表示并利用两角和差的正弦公式进行化简，进而用三角函数的取值范围即可求解.【详解】(1)证明：由条件b 2-a 2=ac ，根据正弦定理可得sin 2B -sin 2A =sin A sin C ，1-cos2B 2-1-cos2A2=sin A sin C ，即cos2A -cos2B =2sin A sin C ，cos2A -cos2B =cos A +B +A -B -cos A +B -A -B =-2sin (A +B )sin (A -B )=2sin A sin C ，又△ABC 中sin (A +B )=sin π-C =sin C ≠0，进行化简得sin (B -A )=sin A ，所以B -A =A ，即B =2A 或B -A =π-A ，即B =π(舍去)，所以B =2A .(2)若△ABC 为锐角三角形，根据(1)B =2A ，则B =2A <π2C =π-A -B <π2 ⇒2A <π2π-3A <π2 ，得π6<A <π4，式子sin (C -A )-sin B sin A =sin (π-A -B -A )-sin B sin A =sin4A -sin2Asin A ，=sin (3A +A )-sin (3A -A )sin A=2cos3A ，由π6<A <π4得π2<3A <3π4，又易知函数y =cos x 在π2,3π4内单调递减，所以cos3A ∈-22,0，因此sin (C -A )-sin B sin A =2cos3A ∈(-2,0).28(2023·河南·三模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a c =a 2+b 2-c 2b 2，且a ≠c ．(1)求证：B =2C ；(2)若∠ABC 的平分线交AC 于D ，且a =12，求线段BD 的长度的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)(43,62)【分析】(1)根据正余弦定理边角互化可得sin B =sin2C ，即可利用三函数的性质求解，(2)根据正弦定理以及角的范围即可利用三角函数的范围求解.【详解】(1)证明：由余弦定理可得a c =2ab cos C b 2=2a cos Cb ， 故b =2c cos C ，由正弦定理得sin B =2sin C cos C =sin2C ．所以在△ABC 中，B =2C 或B +2C =π．若B +2C =π，又B +A +C =π，故A =C ，因为a ≠c ，所以A ≠C ，故B +2C =π不满足题意，舍去，所以B =2C ．(2)在△BCD 中，由正弦定理可得a sin ∠BDC =BD sin C ，即12sin ∠BDC =BDsin C所以BD =12sin C sin ∠BDC =12sin C sin2C =6cos C因为△ABC 是锐角三角形，且B =2C ，所0<C <π20<2C <π20<π-3C <π2 得π6<C <π4，22<cos C <32 所以43<BD <62．所以线段BD 长度的取值范围是(43,62)．29(2024·湖北·二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c a <b ，c =2a cos A cos B -b cos2A ．(1)求A ；(2)者BD =13BC ，AD =2，求b +c 的取值范围．【答案】(1)A =π3(2)1277<b +c <6【分析】(1)借助正弦定理、三角形内角和与两角差的正弦公式计算即可得；(2)借助向量的模长与平方的关系，结合数量积公式计算可得(b +c )2+3c 2=36，借助三角函数的性质，可令b +c =6cos α，3c =6sin α，结合余弦定理计算可得1277<6cos α<6，即可得解.【详解】(1)由正弦定理得sin C =2sin A cos A cos B -sin B cos2A ，则sin C =sin2A cos B -sin B cos2A ，则sin C =sin 2A -B ，∵C =π-A +B ，∴sin A +B =sin 2A -B ．即A +B =2A -B 或A +B =π-2A -B ，解得A =2B 或A =π3．因为a <b ，所以A <B ，所以A =2B 舍去，即A =π3；(2)由BD =13BC 得AD -AB =13AC -AB ，则AD =13AC +23AB ，则|AD |2=19b 2+49c 2+49bc cos A ，则4=19b 2+49c 2+29bc ，则b 2+4c 2+2bc =36，即(b +c )2+3c 2=36．令b +c =6cos α，3c =6sin α，因为c >0，b +c >0，所以0<α<π2．因为b =6cos α-23sin α>0，所以tan α<3，解得0<α<π3．由(1)得A =π3，则a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc ，又因为a <b ．所以a 2<b 2，所以7b 2+c 2-bc <b 2，解得c <b ，所以23sin α<6cos α-23sin α，解得tan α<32，所以0<tan α<32．令tan α1=32，则0<α<α1<π3，则cos α1<cos α<1．因为cos α1=277，所以1277<6cos α<6，即1277<b +c <6．30(2024·河北·二模)若△ABC 内一点P 满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =θ，则称点P 为△ABC 的布洛卡点，θ为△ABC 的布洛卡角．如图，已知△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，点P 为的布洛卡点，θ为△ABC 的布洛卡角．。
(完整版)解三角形高考大题-带答案
解三角形高考大题，带答案1. （宁夏17）（本小题满分12分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+=∠，CB AC CD ==，所以15CBE =∠．所以6cos cos(4530)4CBE =-=∠． ···················································· 6分 （Ⅱ）在ABE △中，2AB =， 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+．故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. （江苏17）（14分） 某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。
（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
专题解三角形大题(含答案)
专题解三角形大题(含答案)靠自己打拼出来的天下，才是最美的；靠自己获得的一切，才是最珍贵的。
今天，你，做数学题了吗？1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC的面积。
根据正弦定理和余弦定理，可以得到sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。
代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4.2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2，求角C的度数和△ABC面积的最大值。
同样利用正弦定理和余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。
解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是钝角三角形，求其面积。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得sinC=√3/2，若△ABC是钝角三角形，面积为0.4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C和如果c=2，求△ABC面积的最大值。
根据余弦定理，可以得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。
代入已知条件，解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得S△ABC=√3.5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。
根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以解得S△ACD=8√3和AB=2√7.6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。
代入正弦定理和已知条件，解得sinB=1/2，周长为3c。
1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。
由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。
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解三角形单元测试题
一、选择题：
1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（
）
A ． 30°
B ．45°
C ．60°
D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）
A ．310+
B ．(
)
1310
-
C ．13+
D ．310
3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（
）
A ．30°
B ．60°
C ．30°或120°
D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ）
A ．无解
B ．一解
C ． 二解
D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=2
2
2
，则角A 为（
）
A ．
3
π B ．
6
π C ．32π D ． 3π或32π
6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（
）
A ．()10,8
B ．
(
)
10,8
C ．
(
)
10,8
D ．
()8,10
8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形 9、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( )
A ．2>x
B ．2<x
C ．33
4
2<
<x D ． 33
42≤
<x 10、在△ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC ＝4：5：6,下列结论：①6:5:4::=c b a
②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 11、在△ABC 中，3=AB
,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）
A ． 2
3 B ．
4
3
C ．
2
3
或3 D ．
43 或2
3
A
C
B 0150 30米 20米 12、已知△AB
C 的面积为
2
3
，且3,2==c b ，则∠A 等于 （ ） A ．30°
B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120°
13、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ）
A ． 14
B ．142
C ．15
D ．152
14、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空
地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则
购买这种草皮至少要（ ） A ． 450a 元 B ．225a 元 C ． 150a 元 D ． 300a 元
15、甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小
时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）
A ．
7
150
分钟 B ．
7
15
分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟
16、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（ ）
A ． 5000米
B ．50002 米
C ．4000米
D ．24000
米
17、在△ABC 中，10sin =a °，50sin =b °，
∠C ＝70°，那么△ABC 的面积为（ ） A ．
64
1
B ．
32
1 C ．
16
1 D ．
8
1 18、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ ） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．8
19、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是（ ）
A ．51<<x
B ．135<<x
C ．50<<x
D ．513<<x
20、在△ABC 中，若
c
C
b B a A sin cos cos =
=，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形
B ．等腰直角三角形
C ．有一内角为30°的等腰三角形
D ．等边三角形
二、填空题
21、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 22、在△ABC 中，===B c a ,2,33150°，则b ＝
23、在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ；b ＝ 24、已知△ABC 中，===A b a ,209,181121°，则此三角形解的情况是 25、已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 .
26、在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是 三、解答题
27、在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，33
20
，5的情况下，求相应角C 。
28、在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322
=+-x x 的两个根，且
()1cos 2=+B A 。
求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。
29、在△ABC 中，证明：2
2221
12cos 2cos b a b B a A -
=-。
解三角形单元测试答案
一、选择题
二、填空题
21、2:3:1 22、7 23、61236-,24612- 24、无解 25、1 26、120°
三、解答题
27、解：由正弦定理得BC BC A AB C 10
sin sin =
= （1）当BC ＝20时，sinC ＝2
1
；AB BC > C A >∴ 30=∴C °
（2）当BC ＝
33
20
时， sinC ＝23； AB BC AB <<︒•45sin C ∴ 有两解 ︒=∴60C 或120°
（3）当BC ＝5时，sinC ＝2>1； C ∴不存在
28、解：（1）()[]()2
1
cos cos cos -=+-=+-=B A B A C π ∴C ＝120°
（2）由题设：⎩⎨
⎧=+=3
22
b a ab
︒-+=•-+=∴120cos 2cos 22
2
2
2
2
ab b a C BC AC BC AC AB
()()
102322
2
22=-=-+=++=ab b a ab b a
10=∴AB
29、证明：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=---=-222222222222sin sin 21
1sin 21sin 212cos 2cos b B a A b a b B a A b B a A 由正弦定理得：2
222sin sin b B
a A = 2
2221
12cos 2cos b
a b B a A -=-∴。