直角三角形的内切圆半径公式
内切圆三角形公式(一)
内切圆三角形公式(一)
内切圆三角形公式
1. 什么是内切圆三角形公式？
内切圆三角形公式是由三角形的三边长或三顶点坐标来计算内切圆半径和圆心坐标的数学公式。
2. 计算内切圆半径的公式
•内切圆半径公式 1：[r = ] 其中，(A) 表示三角形的面积，(a, b, c) 分别表示三角形的三边长。
•内切圆半径公式 2：[r = ] 其中，(s) 表示三角形的半周长，即 (s = )。
3. 计算内切圆圆心坐标的公式
•内切圆圆心坐标公式：[x = , y = ] 其中，(A(x_1, y_1))、(B(x_2, y_2))、(C(x_3, y_3)) 是三角形的顶点坐标。
4. 示例说明
以一个直角三角形为例，其中(AB = 3)，(BC = 4)，(AC = 5)。
我们可以使用内切圆三角形公式来计算内切圆半径和圆心坐标。
首先，计算三角形的面积： [A = AB BC = = 6]
根据内切圆半径公式 1，计算内切圆半径： [r = = = 1]
再根据内切圆圆心坐标公式，计算圆心坐标： [x = = = ] [y = = = ]
因此，这个直角三角形的内切圆半径为 1，圆心坐标为 ((, ))。
5. 总结
内切圆三角形公式是计算内切圆半径和圆心坐标的数学公式，可以利用三角形的三边长或三顶点坐标来进行计算。
这个公式在几何学和数学中都有广泛应用，非常重要。
通过以上示例，我们可以清楚地了解到如何使用内切圆三角形公式来计算内切圆的半径和圆心坐标。
已知三边长度如何求三角形内切圆半径
Ｃ 求内切圆的半径 ｒ ｔ ， ． Ｅ 解 ： 内 切 圆 的 圆 由 心 ０ 分 别 向边 Ａ Ｂ ｃ Ｄ 。 曰 Ｃ、 Ｃ
引垂 线 ， 足 分 别 为 点 垂
Ｅ和点 Ｄ．
若 所给 三角 形 为锐角 三 角形或 钝 角三 角
图１
形又如何求内切圆半径呢？ 例 ２ 如图 ２ 所示 ， 在△ Ａ Ｃ中 ， Ｃ＝Ｃ＝ Ｂ Ｂ ｔ
１
＝
ｒ Ａ Ｃ＋Ａ ） （ Ｂ＋ Ｃ
（８ ７＋ ５ ：３ ， ２ ＋１ ２ ） ５
＝
去 ｒⅡ＋ｂ ） （ ＋ｃ ．
＝ ．
Ｐ 一 Ⅱ ＝ ３ —２８＝ ７， ５
Ｐ — ｂ＝３ ５— １ ７＝ １ ８．
所
Ｐ — ｃ＝ ３ ５—２ ５＝ １ ． ０
结论 ： 角形 内切 圆半 径 长 度 等 于 三 角 三 形 面积 的 ２倍 除 以三角 形周 长所 得 的商 ． 这样 ， 要求 例 ２中 的三 角 形 内切 圆 半径
学生 思维 的严 密性 ， 为今 后 灵 活 运 用 知 识 又
内， 这时 ， 就要根据抛物线的性质来判断最大
值 的实 际取值 ． 由于抛 物线 开 口向下 ， 对称 轴 是 ＝４ 在 对 称 轴 右 侧 Ｙ随 的增 大 而 减 ，
解决 实 际问题 奠定 了基 础 ．
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所 以 ， △ ｃ＝√ｐ ｐ—ａ （ ．加 ｓ （ ） Ｐ—ｂ （ ） Ｐ—ｃ ）
：
￣ ／ ｒ
…
丽
＝
＝２ ０ １．
＝ ＿６ ．
所
长度 ， 必然要先求出此三角形的面积值 ， 如何 求该三角形的面积值呢？ 在三 边 长度 已知 的情 况 下求 三角 形 面积
三角形内切球的半径公式
三角形内切球的半径公式
三角形内切球的半径公式是一个与三角形面积和边长有关的公式。
设三角形的边长分别为a、b、c，面积为S，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，那么内切圆的半径r = S/s（s为半周长，s=（a+b+c）/2）。
此外，根据海伦公式，可求出三角形的面积S，公式为S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
将海伦公式代入内切圆半径的公式中，可得r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。
这是求解三角
形内切圆半径的一个常用方法。
同时，在具体的应用中，还需要针对三角形的具体类型（如等边三角形、直角三角形等）采取不同的求解方法。
例如，对于等边三角形，其内切圆半径r = a√3 / 6，其中a为三角形的边长。
另外，根据三角形的边角关系，亦可以推导出一种更通用的内切圆半径的公式：r = 4RsinA/2sinB/2sinC/2，其中A、B、C分别为三角形的三个内角，R为三角形的外接圆半径。
值得注意的是，在具体计算时，要确保所有的计算都在合理的范围内进行，以避免出现数学错误。
总的来说，求解三角形内切圆半径的公式既考验了解题者的基础知识水平，也考察了解题者的综合运用能力。
三角形内切圆半径求法
三角形内切圆半径求法三角形的内切圆是指能够恰好与三角形内部接触的一个圆，它的圆心位于三角形内部，且与三角形三边相切。
内切圆半径的求法在数学中是非常重要的，本篇文章将详细介绍三角形内切圆半径的求法。
一、明确概念在进行内切圆半径的求解之前，我们首先需要了解“内切圆”和“半径”两个概念的真正含义。
内切圆是指与三角形内部的三条边相切，且圆心位于三角形内部的一个圆。
而半径则是圆心到圆周上某一点的距离。
因此，“三角形内切圆半径”就是该内切圆的半径长度。
二、三角形边长计算计算内切圆半径首先需要能够确定三角形的边长。
确定三角形的边长有以下两种方法：方法一：通过三角形三个顶点的坐标差法计算出三条边长。
方法二：利用勾股定理，求出三个顶角所对应的三个边长。
三、计算三角形的面积在确定了三角形边长后，接下来需要计算三角形的面积。
求解三角形面积的公式为：面积=根号下（p * (p - a) * (p - b) * (p - c)）其中，a、b、c 分别为三角形的三边长，p=(a+b+c)/2为半周长。
四、计算内切圆半径计算出三角形的面积后，我们便可以求出内切圆半径。
内切圆半径的计算公式为：内切圆半径=三角形面积/半周长五、实例演练为更好理解内切圆半径求法，我们取一个斜边为 12，一个直角边为 5的等腰直角三角形为实例进行演练，其另一直角边长为 5。
1、计算出三角形的半周长：p=(12+5+5)/2=112、计算出三角形的面积：面积=根号下(11* (11-12)* (11-5)* (11-5))=根号下(11* (-1)* 6* 6)=5.4773、计算内切圆的半径：内切圆半径=5.477/11=0.497因此，在该等腰直角三角形中，内切圆的半径为 0.497。
总结通过上面的讲解，我们可以发现，内切圆半径的求法并不复杂，只需要将三角形的边长和半周长通过公式计算得出后，再按公式计算出三角形的面积和内切圆半径即可。
但在实际运用中，我们也需要细心认真地对待每一个步骤。
三角形内切圆的半径公式推导
三角形内切圆的半径公式推导一、引言在几何学中，三角形内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
在三角形内切圆中，有一个重要的性质，即内切圆的半径与三角形的三边之间存在一定的关系，本文将对这一关系进行推导和证明。
二、推导过程设三角形的三条边分别为a、b、c，三个内角对应的角度分别为A、B、C。
三角形的半周长定义为s，即s=(a+b+c)/2。
我们将内切圆的半径记为r，圆心到三角形三边的距离分别记为d1、d2、d3。
由于内切圆与三角形的三边都相切，因此d1、d2、d3分别是三角形三边的垂直平分线。
1. 推导d1的长度根据直角三角形的性质，我们可以得出以下关系：tan(A/2) = d1 / (s-a)其中，A/2表示角A的一半，即A的角度除以2。
根据正切函数的性质，我们可以得到：d1 = (s-a) * tan(A/2)2. 推导d2和d3的长度同理，我们可以得到以下关系：d2 = (s-b) * tan(B/2)d3 = (s-c) * tan(C/2)3. 推导r的长度根据垂直平分线的性质，我们知道d1、d2、d3相等，即有d1=d2=d3。
将d1、d2、d3的表达式代入上述等式，可以得到：(s-a) * tan(A/2) = (s-b) * tan(B/2) = (s-c) * tan(C/2) = r由于s是三角形的半周长，可以得到以下关系：s = (a+b+c)/2将s代入上述等式，可以得到：(s-a) * tan(A/2) = (s-b) * tan(B/2) = (s-c) * tan(C/2) = r(a+b+c)/2 - a * tan(A/2) = (a+b+c)/2 - b * tan(B/2) = (a+b+c)/2 - c * tan(C/2) = r化简上述等式，可以得到：r = (s-a) * tan(A/2) = (s-b) * tan(B/2) = (s-c) * tan(C/2)4. 推导半径公式由于tan(A/2)、tan(B/2)、tan(C/2)都是三角函数，可以使用三角恒等式将其转化为三角函数的其他形式。
直角三角形内切圆的半径推导
直角三角形内切圆的半径推导1. 引言在几何学中，我们经常会遇到三角形及其相关的形状和性质。
其中，直角三角形是一种特殊的三角形，具有许多独特的性质和定理。
本文将重点讨论直角三角形内切圆的半径推导，通过推导和证明，深入理解这一性质的原理和应用。
2. 定义和性质在开始推导之前，我们先来了解一下直角三角形内切圆的定义和一些基本性质。
定义：直角三角形内切圆是指一个圆与直角三角形的三边都相切于一点的圆。
性质： - 直角三角形内切圆的圆心与三角形的三条边的中点共线。
- 直角三角形内切圆的半径等于直角三角形两直角边之和减去斜边的一半。
3. 推导过程接下来，我们将对直角三角形内切圆的半径进行推导。
假设我们有一个直角三角形ABC，其中∠C为直角，AB为斜边。
首先，我们需要找到直角三角形内切圆的圆心。
根据性质1，圆心与三角形的三条边的中点共线。
设直角边AC的中点为D，直角边BC的中点为E，斜边AB的中点为F。
连接圆心O和三个中点D、E、F，如下图所示：由于圆心O与三个中点D、E、F共线，我们可以得到三个线段的关系： - OD = OE = OF = r，其中r为内切圆的半径。
- AD = DC = BD = AF = FB = AB/2。
接下来，我们将利用相似三角形和勾股定理来推导内切圆的半径。
首先，我们观察直角三角形ABC和直角三角形ADC的三个直角边。
根据勾股定理，我们可以得到以下两个关系： - AC² = AD² + DC² - AB² = AD² + BD²由于AD = DC，我们可以将上述两个式子相减，得到： - AC² - AB² = DC² - BD²我们再观察直角三角形ABC和直角三角形ABF的三个直角边。
同样根据勾股定理，我们可以得到以下两个关系： - AC² = AF² + FC² - AB² = AF² + FB²由于AF = FB，我们可以将上述两个式子相减，得到： - AC² - AB² = FC² - FB²将上述两个等式相等，我们得到： - DC² - BD² = FC² - FB²接下来，我们观察直角三角形ADC和直角三角形EFC的两个直角边。
三角形内切圆求半径公式
三角形内切圆求半径公式咱们先来说说三角形内切圆求半径公式这个事儿哈。
咱都知道，在数学的世界里，三角形那可是个常见的“主角”。
而这三角形内切圆呢，就像是藏在三角形里面的一个小秘密宝藏。
那怎么才能找到开启这个宝藏的钥匙，也就是求出内切圆的半径呢？这就得提到一个神奇的公式：r = （S）/ p ，这里的 r 就是内切圆的半径，S 呢是三角形的面积，p 是三角形的半周长。
我给您讲讲我之前遇到的一件事儿，那时候我在给学生们讲这个知识点。
有个小同学瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这公式怎么来的呀？”我当时就想，得让他们明白这里面的道理，不能死记硬背。
我就拿出了一张纸，画了一个三角形，然后一点点地给他们解释。
我先把三角形的三条边的切点连起来，把三角形分成了三块。
这三块呀，分别以三角形的三条边为底，内切圆的半径为高。
然后我就说：“同学们，你们看，这三角形的面积 S 是不是就等于这三块小三角形的面积之和呀？”他们都点头。
我接着说：“那每一块小三角形的面积就是 1/2 乘以底乘以高，也就是 1/2 ×边长 × r 。
”这么一解释，他们好像有点开窍了。
然后我再带着他们把整个公式推导了一遍，看着他们恍然大悟的表情，我心里那叫一个满足。
咱们再回到这个公式。
知道了这个公式，那用处可大了。
比如说，给您一个三角形，告诉您三条边的长度，您先算出半周长 p ，再算出面积 S ，就能轻松求出内切圆的半径 r 啦。
在实际解题的时候，有时候题目不会直接告诉您三角形的面积和边长，这就得靠您灵活运用其他的知识来先求出这些条件。
这就像是玩一个解谜游戏，每一个条件都是一个线索，您得把它们都串起来，才能找到最终的答案。
比如说，给您一个直角三角形，两条直角边分别是 3 和 4 ，那斜边就是 5 。
这时候先算出三角形的面积，就是 1/2 × 3 × 4 = 6 。
半周长 p 就是（3 + 4 + 5）÷ 2 = 6 。
三角形内切圆圆心公式
三角形内切圆圆心公式一、三角形内切圆圆心（内心）的定义。
三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，这个点称为三角形的内心。
设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c。
1. 推导。
- 根据角平分线的性质，设内切圆半径为r，内心为I。
- 对于直角三角形，其面积S=(1)/(2)ab。
- 同时，三角形的面积还可以表示为S = (1)/(2)(a + b+ c)r（因为三角形的面积等于以内切圆半径为高，三角形周长的一半为底的三角形面积）。
- 所以(1)/(2)ab=(1)/(2)(a + b + c)r，则r=(ab)/(a + b+ c)。
- 直角三角形内切圆圆心到三边的距离都等于内切圆半径r。
2. 内心坐标（在平面直角坐标系中的情况）- 假设直角三角形的直角顶点为坐标原点(0,0)，两直角边分别在x轴和y轴上，两直角边长度分别为a和b。
- 因为内心是角平分线的交点，根据角平分线的性质，内心的坐标为(r,r)，其中r=(ab)/(a + b+ c)，c=√(a^2)+b^{2}。
三、一般三角形内切圆圆心坐标公式（利用向量法或解析几何方法推导，这里以向量法为例）1. 设三角形顶点坐标及相关向量。
- 设ABC的顶点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)。
- 设→AB=(x_2-x_1,y_2-y_1)，→AC=(x_3-x_1,y_3-y_1)。
2. 求角平分线向量。
- 根据角平分线的向量公式，∠ A的角平分线向量→AD（D在角平分线上），→AD=frac{|→AC|→AB+|→AB|→AC}{|→AB|+|→AC|}。
3. 同理求∠ B和∠ C的角平分线向量。
- 设→BE是∠ B的角平分线向量，→CF是∠ C的角平分线向量（E,F分别在相应角平分线上）。
- 通过类似的方法求出→BE和→CF。
4. 求内心坐标（联立方程求解）- 设内心I(x,y)，因为内心I在三条角平分线→AD，→BE，→CF上。
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直角三角形的内切圆半径公式：r=(a+b-c)/2这个公式是
怎样推导出来的?
hmedbtja 数学 2014-11-08
优质解答
设Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c
结论是：内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
证明方法一般有两种：
方法一：
如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE 显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OD＝OE
所以四边形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r
所以AD＝b－r,BE＝a－r,
因为AD＝AF,CE＝CF
所以AF＝b－r,CF＝a－r
因为AF＋CF＝AB＝r
所以b－r＋a－r＝r
内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c
方法二：
如图设内切圆圆心为O,三个切点为D、E、F,连接OD、OE、OF,OA、OB、OC
显然有OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB
所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB
所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2
所以r＝ab/(a＋b＋c)
＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)
＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]
因为a^2＋b^2＝c^2
所以内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c
cpbneq92 2014-11-08。