三角形的内切圆——与内切圆半径有关的计算

E

F

D

O A

B

C

三角形的内切圆

——与内切圆半径有关的计算

【学习目标】

1．理解三角形内切圆的有关概念。 2．掌握三角形的内心的位置、数量特征。

3．会求三角形的内切圆半径，会利用内心的相关性质解决计算问题。 【预备知识】

1.内切圆的有关概念 _________________________叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是__________________________的交点。

2.内切圆的性质

（Ⅰ）内心的性质：_____________________________的距离相等。 （Ⅱ） 设S 是△ABC 面积，a, b ，c 是三角形三边长，r 为三角形

内切圆半径,则三角形面积与其内切圆半径的关系为：S=______________ 特别地，直角三角形三边长与内切圆半径关系为： r=______________

3. 切线长定理

经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。从圆外一

点引圆的两条切线，__________________，________________________________。 4.如何求一个三角形的面积

△ABC 中a ，b ，c 是三角形的三边长，2

a b c

p ++=

方法① 海伦公式()()()S p p a p b p c =---

方法②

b

c a

r

r

r

D

E F I B

A

C

C

A

B

D

【中考衔接】

(天津中考)已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8。 （Ⅰ）如图①，若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆，求r 1；

（Ⅱ）如图②，若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求r 2；

（Ⅲ）如图③，当n 大于2的正整数时，若半径r n 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n 依次外切，且⊙O 1与AC 、BC 相切，⊙O n 与BC 、AB 相切，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、…、⊙O n －1均与AB 边相切，求r n .

拓展路径1：

C

B

A

C

B

A

C

B

A

拓展路径2：

C

B

A

C

B

A

C

B

A

小结： 类比，由特殊到一般，等面积转化。

【实战演练】

【练习1】（2016四川省攀枝花市）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的⊙O 和AB 、BC 均相切，则⊙O 的半径为 ．

【练习2】（2011年江苏省南通）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线y ＝

3

3

x 相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ． 【练习3】（2016年福建龙岩第16题）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，S 10，则S 1+S 2+S 3+…+S 10= ．

【练习4】（2014山东省济宁市部分） （2）理解应用：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB

∥DC ，AB =21，CD =11，AD =13，⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆，设它们的半径

分别为r 1和r 2，求

2

1

r r 的值. 【参考答案】

9

1421 r r . O O 1 O 2

O 3

x y

· ·

·

【练习5】（2016广西桂林第23题）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式()()()S p p a p b p c =

---（其中a ，

b ，

c 是三角形的三边长，2

a b c

p ++=，S 为三角形的面积），并给出了证明

例如：在△ABC 中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算： ∵a=3，b=4，c=5 ∴2

a b c

p ++==6 ∴()()()S p p a p b p c =

---=

=6

事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 如图，在△ABC 中，BC=5，AC=6，AB=9

（1）用海伦公式求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的内切圆半径r ．

【练习6】（上海市普陀区中考二模）如图，Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，圆O 与圆M 外切，圆O 与线段AC 、线段BC 、线段AB 相切于点E 、D 、F ，圆M 与线段AC 、线段BC 都相切，其中AB ＝5，BC ＝12。求： （1）圆O 的半径r ；

（2）2tan

C ；（即DC OD

） （3）2sin C ；（即OC

OD

）

（4）圆M 的半径M r 。