三角形的内切圆_和内切圆半径有关的计算
三角形内切圆半径公式
三角形内切圆半径公式
三角形内切圆半径公式：r=2S/(a+b+c）推导：设内切圆半径为r,圆心O,连接OA、OB、OC得到三个三角形OAB、OBC、OAC那么,这三个三角形的边AB、BC、AC上的高均为内切圆半径r所以：
S=S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC=(1/2...）
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
1、三角形三内角平分线交于一点，内切圆的圆心为三条角平分线的交点。
2、三角形的面积等于周长之半与内切圆半径之积。
三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆（一般情况下，n 边形无内切圆，但也有例外，如对边之和相等的四边形有内切圆。
），且内切圆圆心定在三角形内部。
在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
内切圆的半径为r=2S/C=S/p，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长，p表示三角形的半周长。
面积法；1/2lr(l周长）用于任意三角形。
三角形的内切圆——与内切圆半径有关的计算
三角形的内切圆——与内切圆半径有关的计算在计算内切圆相关问题时，最常见的是计算内切圆的半径。
为了计算内切圆半径，我们需要了解以下概念与定理：三角形的半周长、海伦公式以及正弦定理。
首先，我们来了解一下三角形的半周长。
三角形的半周长等于三边之和的一半，即s=(a+b+c)/2，其中a、b、c为三角形的三边长。
海伦公式是计算三角形面积的一种常用公式，它利用三角形的边长来计算三角形的面积。
给定三角形的三边长a、b、c，利用海伦公式可以计算出三角形的面积S，公式为S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为三角形的半周长。
正弦定理是用于计算三角形边长与角度关系的定理。
对于任意三角形ABC，设A、B、C分别为三角形的内角，a、b、c分别为与角A、B、C相对应的边长。
根据正弦定理可得：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
了解了这些基本概念和公式后，我们可以来计算三角形内切圆的半径。
设三角形的内切圆半径为r。
根据题设，内切圆与三角形的三条边都相切，所以内切圆与三角形的三角形的三个角的角平分线相交于一个点O，该点O为内切圆圆心。
假设内切圆与三角形的边a、b、c相切的点分别为D、E、F。
我们可以利用角平分线与边的相交关系来计算对应的长度。
根据角平分线定理，角平分线将对边分成的两条线段比值等于两个对边长度的比值：a/AD=b/BE=c/CF根据正弦定理，可以得到下列等式：sinA = AD/rsinB = BE/rsinC = CF/r由此，可以得到：AD = a * sinA / rBE = b * sinB / rCF = c * sinC / r根据三角形的半周长s，可以得出s=(a+b+c)/2又根据海伦公式，可以得到内切圆半径与三角形面积的关系：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c)) = sr其中S为三角形的面积，由此可得：r=√((s-a)(s-b)(s-c))/s综上所述，我们可以利用三角形的边长来计算内切圆的半径。
内切圆公式大全
内切圆公式大全全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：内切圆是指一个圆完全嵌入在一个多边形内部，并且切正多边形的每一边。
内切圆在几何问题和工程设计中有着广泛的应用，因此了解内切圆的相关知识和公式是非常重要的。
在本文中，我们将分享一些关于内切圆的公式大全，希望能够帮助大家更好地理解和应用。
一、内切圆的半径计算公式1. 内切圆的半径公式：对于一个正五边形，其内切圆的半径r可以通过下面的公式来计算：r = a * sqrt(10 + 2 * sqrt(5))/10a代表正五边形的边长。
二、内切圆和外接圆的关系公式1. 内切圆和外接圆的半径关系：对于任意多边形，其内切圆的半径r和外接圆的半径R之间存在着以下关系：R = 2r三、内切圆和多边形边长的关系2. 内切圆和多边形内角的关系：对于一个正n边形，其内切圆和内角之间存在以下关系：角A = 180 - (n-2)*180/nA表示正n边形的内角。
四、常见多边形的内切圆公式总结第二篇示例：内切圆，俗称内切圆，是指一个圆与一个给定的多边形（三角形、四边形、正多边形）相切。
内切圆在数学中有着重要的应用，特别是在几何学和工程学中。
在实际生活和工程中，我们常常需要计算内切圆的半径、圆心和切点等信息。
内切圆的相关公式是很有必要了解和掌握的。
在几何中，内切圆与多边形的关系是一个经典问题，经常出现在数学竞赛和学习中。
内切圆的半径、圆心和切点等可以通过一些简单的公式来求解，下面我们就来介绍一下关于内切圆的一些常用公式。
我们来看一下内切圆的半径计算公式。
对于一个三角形ABC，假设其三边分别为a、b、c，内切圆的半径r可以用以下公式来表示：\[r = \frac{2S}{a+b+c}\]其中S表示三角形ABC的面积，可以通过海伦公式来计算。
海伦公式是用来计算三角形面积的公式，其表达式如下：\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]其中p是三角形ABC的半周长，即\(p = \frac{a+b+c}{2}\)。
三角形内切圆半径求法
三角形内切圆半径求法三角形的内切圆是指能够恰好与三角形内部接触的一个圆，它的圆心位于三角形内部，且与三角形三边相切。
内切圆半径的求法在数学中是非常重要的，本篇文章将详细介绍三角形内切圆半径的求法。
一、明确概念在进行内切圆半径的求解之前，我们首先需要了解“内切圆”和“半径”两个概念的真正含义。
内切圆是指与三角形内部的三条边相切，且圆心位于三角形内部的一个圆。
而半径则是圆心到圆周上某一点的距离。
因此，“三角形内切圆半径”就是该内切圆的半径长度。
二、三角形边长计算计算内切圆半径首先需要能够确定三角形的边长。
确定三角形的边长有以下两种方法：方法一：通过三角形三个顶点的坐标差法计算出三条边长。
方法二：利用勾股定理，求出三个顶角所对应的三个边长。
三、计算三角形的面积在确定了三角形边长后，接下来需要计算三角形的面积。
求解三角形面积的公式为：面积=根号下（p * (p - a) * (p - b) * (p - c)）其中，a、b、c 分别为三角形的三边长，p=(a+b+c)/2为半周长。
四、计算内切圆半径计算出三角形的面积后，我们便可以求出内切圆半径。
内切圆半径的计算公式为：内切圆半径=三角形面积/半周长五、实例演练为更好理解内切圆半径求法，我们取一个斜边为 12，一个直角边为 5的等腰直角三角形为实例进行演练，其另一直角边长为 5。
1、计算出三角形的半周长：p=(12+5+5)/2=112、计算出三角形的面积：面积=根号下(11* (11-12)* (11-5)* (11-5))=根号下(11* (-1)* 6* 6)=5.4773、计算内切圆的半径：内切圆半径=5.477/11=0.497因此，在该等腰直角三角形中，内切圆的半径为 0.497。
总结通过上面的讲解，我们可以发现，内切圆半径的求法并不复杂，只需要将三角形的边长和半周长通过公式计算得出后，再按公式计算出三角形的面积和内切圆半径即可。
但在实际运用中，我们也需要细心认真地对待每一个步骤。
三角形内切圆的半径公式推导
三角形内切圆的半径公式推导一、引言在几何学中，三角形内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
在三角形内切圆中，有一个重要的性质，即内切圆的半径与三角形的三边之间存在一定的关系，本文将对这一关系进行推导和证明。
二、推导过程设三角形的三条边分别为a、b、c，三个内角对应的角度分别为A、B、C。
三角形的半周长定义为s，即s=(a+b+c)/2。
我们将内切圆的半径记为r，圆心到三角形三边的距离分别记为d1、d2、d3。
由于内切圆与三角形的三边都相切，因此d1、d2、d3分别是三角形三边的垂直平分线。
1. 推导d1的长度根据直角三角形的性质，我们可以得出以下关系：tan(A/2) = d1 / (s-a)其中，A/2表示角A的一半，即A的角度除以2。
根据正切函数的性质，我们可以得到：d1 = (s-a) * tan(A/2)2. 推导d2和d3的长度同理，我们可以得到以下关系：d2 = (s-b) * tan(B/2)d3 = (s-c) * tan(C/2)3. 推导r的长度根据垂直平分线的性质，我们知道d1、d2、d3相等，即有d1=d2=d3。
将d1、d2、d3的表达式代入上述等式，可以得到：(s-a) * tan(A/2) = (s-b) * tan(B/2) = (s-c) * tan(C/2) = r由于s是三角形的半周长，可以得到以下关系：s = (a+b+c)/2将s代入上述等式，可以得到：(s-a) * tan(A/2) = (s-b) * tan(B/2) = (s-c) * tan(C/2) = r(a+b+c)/2 - a * tan(A/2) = (a+b+c)/2 - b * tan(B/2) = (a+b+c)/2 - c * tan(C/2) = r化简上述等式，可以得到：r = (s-a) * tan(A/2) = (s-b) * tan(B/2) = (s-c) * tan(C/2)4. 推导半径公式由于tan(A/2)、tan(B/2)、tan(C/2)都是三角函数，可以使用三角恒等式将其转化为三角函数的其他形式。
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式
一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示）则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(222-=-+=+abc b a（余弦定理）而R bR b22cos ==α，R b R 4sin 22-=α RaR a22cos ==β，Ra R 4sin 22-=β 即有：=-+ab c b a 2222Ra R Rb R R a R b 44222222-⋅--⋅ 即有：222222222)4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+ 所以：)4)(4()(222222222a Rb R abc b a R ab --=-+- 即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(b a R b a R abc b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])(4[222222abc b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：))()()((a c b b c a c b a c b a abcR -+-+-+++=而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：SabcR 4=※ 另一求法，可用正弦定理，即：R Aa2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=所以：22222222222)(4)2(12)(cos 12sin 2a c b c b abcbca cb aA aA a R -+-=-+-=-==二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，（如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+cz y b y x az x ，解得2c b a x -+= 显然：αtan x r =，而ααααα2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=+= 而由余弦定理有：abc b a 22cos 222-+=α所以：))(()()(421)2(1tan 222222222222c b a c b a c b a ab abc b a ab c b a -+++-+-=-++-+-=α即有:)(2)()(4))(()()(422222222222c b a c b a ab c b a c b a c b a ab c b a r ++-+-=-+++-+-⋅-+=即：cb a Sc b a S c b a a c b b c a c b a c b a r ++=++=++-+-+-+++=2)(24)(2))()()((。
三角形内切圆求半径公式
三角形内切圆求半径公式咱们先来说说三角形内切圆求半径公式这个事儿哈。
咱都知道，在数学的世界里，三角形那可是个常见的“主角”。
而这三角形内切圆呢，就像是藏在三角形里面的一个小秘密宝藏。
那怎么才能找到开启这个宝藏的钥匙，也就是求出内切圆的半径呢？这就得提到一个神奇的公式：r = （S）/ p ，这里的 r 就是内切圆的半径，S 呢是三角形的面积，p 是三角形的半周长。
我给您讲讲我之前遇到的一件事儿，那时候我在给学生们讲这个知识点。
有个小同学瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这公式怎么来的呀？”我当时就想，得让他们明白这里面的道理，不能死记硬背。
我就拿出了一张纸，画了一个三角形，然后一点点地给他们解释。
我先把三角形的三条边的切点连起来，把三角形分成了三块。
这三块呀，分别以三角形的三条边为底，内切圆的半径为高。
然后我就说：“同学们，你们看，这三角形的面积 S 是不是就等于这三块小三角形的面积之和呀？”他们都点头。
我接着说：“那每一块小三角形的面积就是 1/2 乘以底乘以高，也就是 1/2 ×边长 × r 。
”这么一解释，他们好像有点开窍了。
然后我再带着他们把整个公式推导了一遍，看着他们恍然大悟的表情，我心里那叫一个满足。
咱们再回到这个公式。
知道了这个公式，那用处可大了。
比如说，给您一个三角形，告诉您三条边的长度，您先算出半周长 p ，再算出面积 S ，就能轻松求出内切圆的半径 r 啦。
在实际解题的时候，有时候题目不会直接告诉您三角形的面积和边长，这就得靠您灵活运用其他的知识来先求出这些条件。
这就像是玩一个解谜游戏，每一个条件都是一个线索，您得把它们都串起来，才能找到最终的答案。
比如说，给您一个直角三角形，两条直角边分别是 3 和 4 ，那斜边就是 5 。
这时候先算出三角形的面积，就是 1/2 × 3 × 4 = 6 。
半周长 p 就是（3 + 4 + 5）÷ 2 = 6 。
三角内切圆面积公式
三角内切圆面积公式
三角形的内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆，也被称为内心圆。
内切圆具有一些特殊的性质，例如它的圆心是三角形的内心，而且它与三角形的三条边的切点构成的三角形是等边三角形。
此外，内切圆的半径通常用字母 r 表示。
当我们想要计算三角形的内切圆面积时，可以使用以下公式：
内切圆面积 = s * r
其中，s 表示三角形的半周长。
半周长的计算公式为：
s = (a + b + c) / 2
其中，a、b 和 c 分别表示三角形的三条边的长度。
因此，如果我们已知三角形的三条边的长度，就可以使用上述公式计算出内切圆的面积。
例如，如果三角形的三条边分别为 3、4 和5，那么它的半周长为：
s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
接下来，我们需要计算内切圆的半径。
根据三角形内切圆的性质，我们可以使用以下公式计算出半径：
r = A / s
其中，A 表示三角形的面积。
三角形面积可以使用海伦公式计算： A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
将 a、b、c 和 s 带入上式，可以得到：
A = √[6(6-3)(6-4)(6-5)] = √[6*3*2*1] = 3√6
因此，内切圆的半径为：
r = A / s = (3√6) / 6 = √6 / 2
最后，我们可以使用内切圆面积公式计算出内切圆的面积：
内切圆面积 = s * r = 6 * (√6 / 2) = 3√6
因此，当三角形的三条边分别为 3、4 和 5 时，它的内切圆面积为 3√6。
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三角形的内切圆
——与内切圆半径有关的计算
【学习目标】
1．理解三角形内切圆的有关概念。
2．掌握三角形的内心的位置、数量特征。
3．会求三角形的内切圆半径，会利用内心的相关性质解决计算问题。
【预备知识】
1.内切圆的有关概念 _________________________叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是__________________________的交点。
2.内切圆的性质
（Ⅰ）内心的性质：_____________________________的距离相等。
（Ⅱ） 设S 是△ABC 面积，a, b ，c 是三角形三边长，r 为三角形
内切圆半径,则三角形面积与其内切圆半径的关系为：S=______________ 特别地，直角三角形三边长与内切圆半径关系为： r=______________
3. 切线长定理
经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。
从圆外一
点引圆的两条切线，__________________，________________________________。
4.如何求一个三角形的面积
△ABC 中a ，b ，c 是三角形的三边长，2
a b c
p ++=
方法① 海伦公式()()()S p p a p b p c =---
方法②
b
c a
r
r
r
D
E F I B
A
C
C
A
B
D
【中考衔接】
(天津中考)已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8。
（Ⅰ）如图①，若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆，求r 1；
（Ⅱ）如图②，若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求r 2；
（Ⅲ）如图③，当n 大于2的正整数时，若半径r n 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n 依次外切，且⊙O 1与AC 、BC 相切，⊙O n 与BC 、AB 相切，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、…、⊙O n －1均与AB 边相切，求r n .
拓展路径1：
C
B
A
C
B
A
C
B
A
拓展路径2：
C
B
A
C
B
A
C
B
A
小结： 类比，由特殊到一般，等面积转化。
【实战演练】
【练习1】（2016四川省攀枝花市）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的⊙O 和AB 、BC 均相切，则⊙O 的半径为 ．
【练习2】（2011年江苏省南通）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线y ＝
3
3
x 相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ． 【练习3】（2016年福建龙岩第16题）如图1～4，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，S 10，则S 1+S 2+S 3+…+S 10= ．
【练习4】（2014山东省济宁市部分） （2）理解应用：如图，在等腰梯形ABCD 中，AB
∥DC ，AB =21，CD =11，AD =13，⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆，设它们的半径
分别为r 1和r 2，求
2
1
r r 的值. 【参考答案】
9
1421 r r . O O 1 O 2
O 3
x y
· ·
·
【练习5】（2016广西桂林第23题）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式()()()S p p a p b p c =
---（其中a ，
b ，
c 是三角形的三边长，2
a b c
p ++=，S 为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC 中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算： ∵a=3，b=4，c=5 ∴2
a b c
p ++==6 ∴()()()S p p a p b p c =
---=
=6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 如图，在△ABC 中，BC=5，AC=6，AB=9
（1）用海伦公式求△ABC 的面积；（2）求△ABC 的内切圆半径r ．
【练习6】（上海市普陀区中考二模）如图，Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，圆O 与圆M 外切，圆O 与线段AC 、线段BC 、线段AB 相切于点E 、D 、F ，圆M 与线段AC 、线段BC 都相切，其中AB ＝5，BC ＝12。
求： （1）圆O 的半径r ；
（2）2tan
C ；（即DC OD
） （3）2sin C ；（即OC
OD
）
（4）圆M 的半径M r 。
图①
图②图③。