三角形内切圆和外接圆(已整理)
三角形的外接圆与内切圆的性质与判定
三角形的外接圆与内切圆的性质与判定在数学中，三角形的外接圆与内切圆是两个重要的概念。
它们具有一些独特的性质，并且可以通过一些准确的判定方式来确定。
本文将详细介绍三角形的外接圆和内切圆的性质，并给出它们的判定条件。
一、三角形外接圆的性质外接圆是指能够与三角形的三个顶点都相切的圆。
下面是外接圆的一些重要性质：1. 外接圆的圆心位于三角形的垂直平分线交点处，也就是三角形的三条垂直平分线的交点。
2. 外接圆的半径等于三角形的边长的一半的倒数，即R = (abc)/(4S)，其中a、b、c为三角形的边长，S为三角形的面积。
3. 外接圆的直径等于三角形中最长边的边长。
4. 外接圆的切线与三角形的边相切，且切点在边的中点处。
二、三角形内切圆的性质内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。
下面是内切圆的一些重要性质：1. 内切圆的圆心位于三角形的角平分线交点处，也就是三角形的三条角平分线的交点。
2. 内切圆的半径等于三角形面积除以半周长的值，即r = S/p，其中S为三角形的面积，p为三角形的半周长。
3. 内切圆的切点分别是三角形的三个顶点。
4. 内切圆的切线与三角形的边相切，且切点在边的中点处。
三、三角形外接圆与内切圆的判定条件根据三角形的性质，我们可以通过以下条件来判定三角形是否存在外接圆或内切圆：1. 外接圆存在的条件：当且仅当三角形的三个角的外角和为360度时，三角形存在外接圆。
2. 内切圆存在的条件：当且仅当三角形的三个角的内角和为180度时，三角形存在内切圆。
除了上述判定条件外，我们还可以通过计算三角形的边长、角度、面积等来进一步确定外接圆和内切圆的位置和属性。
总结：三角形的外接圆与内切圆是三角形的重要概念，它们具有一些独特的性质。
外接圆与三角形的垂直平分线、外角和、直径等相关；内切圆与三角形的角平分线、内角和、半径等相关。
我们可以通过计算三角形的边长、角度、面积来判定三角形是否存在外接圆或内切圆。
(完整word版)三角形的内切圆和外接圆
(完整word 版)三角形的内切圆和外接圆三角形的内切圆和外接圆切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
三角形的内切圆：和三角形三条边都相切的圆,叫三角形的内切圆。
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心。
三角形的外接圆：过三角形三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点的交点，叫做三角形的外心. 4、等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．A ．23B ．33C ．3D ．214. 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）A ．2B ．3C ．3D ．235. 等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为R r ,,则R r :=5、ABC ∆外切于⊙O ，E 、F 、G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ∆的外心是ABC ∆的 。
6、直角三角形的两条直角边分别为5和12,那么它的外接圆的半径为 ，内切圆半径为 ．7、ABC ∆的内切圆⊙I 与AB 、BC 、CA 分别切于D 、E 、F 点，且∠FID=∠EID=︒135，则ABC ∆为 ．8、设I 是△ABC 的内心，O 是△ABC 的外心 ，∠A=80°，则∠BIC= ，∠BOC= 。
9、．若三角形的三边长为5、12、13，则其外接圆的直径长等于 ，其内切圆的直径长为 。
10、如图6，⊙I 切△ABC 于D 、E 、F,∠C=60°,∠EIF=100°, 则∠B= 。
11、．如图7，⊙O 内切于Rt △ABC,∠C=90°，D 、E 、F 为切点。
若∠AOC=120°，则∠OAC= ,∠B= 。
1.如图，已知⊙O 中，AB 是直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，连结CO ．若AD ∥OC 交⊙O 于D ．求证：CD 是⊙O 的切线．3。
已知：如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，若A BCIEF图6CEBDO图7(完整word 版)三角形的内切圆和外接圆∠FDE=70°，求∠A 的度数．5。
三角形的外接圆与内切圆的性质
三角形的外接圆与内切圆的性质在数学几何学中，三角形是一个基本的几何形状。
而三角形的外接圆和内切圆是与三角形紧密相关的两个圆形。
本文将描述三角形的外接圆和内切圆的性质，并探讨它们的关系。
一、三角形的外接圆（Circumcircle）三角形的外接圆是能够完全通过三个顶点的圆。
这意味着三角形的每个顶点都位于圆上。
外接圆的圆心被称为三角形的外心（Circumcenter）。
在外接圆中，三角形的三条边都是圆的切线。
下面是三角形外接圆的性质：1. 外接圆的半径等于三角形任意一边的中线长。
2. 对于直角三角形，外接圆的直径等于斜边的长度。
3. 外接圆的周长等于三角形的周长。
二、三角形的内切圆（Incircle）三角形的内切圆是与三角形的三条边相切的圆。
内切圆的圆心被称为三角形的内心（Incenter）。
在内切圆中，三角形的每条边都是圆的切线。
下面是三角形内切圆的性质：1. 内切圆的半径等于三角形的内角平分线的长度，也等于三角形三个角的内切点到相应边的距离。
2. 内切圆的圆心到三边距离的和等于内切圆的半径。
3. 内切圆的半径与三角形的面积成正比。
面积越大，半径越大。
三、外接圆与内切圆的关系在任何三角形中，外接圆的圆心、内心以及重心（三条中线的交点）三点共线。
这条直线称为欧拉线（Euler Line）。
此外，外接圆和内切圆的半径之间存在着一个特殊的关系。
设R为外接圆的半径，r为内切圆的半径，s为三角形的半周长（即三边之和的一半），则有如下关系式：R = （abc）/（4∆）r = ∆/s其中，a、b、c为三角形的三边长度，∆为三角形的面积。
这两个关系式表明，外接圆的半径与三角形的边长成正比，而内切圆的半径与三角形的面积成正比。
总结：三角形的外接圆与内切圆是与三角形紧密相关的圆形。
外接圆通过三角形的三个顶点，内切圆与三角形的三条边相切。
外接圆和内切圆有着许多重要的性质，包括半径与三角形边长、面积的关系等。
同时，外接圆的圆心、内心和重心三点共线，并且外接圆和内切圆的半径之间存在着特殊的关系。
三角形的内切圆和外接圆
三角形的内切圆和外接圆三角形是几何学中最简单的形状之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形的研究中，内切圆和外接圆是两个重要的概念。
一、内切圆内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意三角形，都存在唯一的一条内切圆。
内切圆与三角形的关系可以通过以下性质来描述：1. 内切圆的圆心与三角形的三条角平分线的交点相同。
这是内切圆与三角形关系的一个重要性质。
换句话说，内切圆的圆心是三条角平分线的交点。
这一性质可以通过角平分线的定义和内切圆的定义进行证明。
2. 内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
内切圆的半径可以用三角形的面积除以半周长来表示。
其中半周长指的是三角形的三条边的长度之和除以2。
3. 内切圆的半径和面积有一定的关系。
内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长，这个关系可以通过计算得出。
这个关系可以用于解决一些与内切圆半径和三角形面积有关的问题。
二、外接圆外接圆是指能够与三角形的三个顶点都相切的圆。
对于任意三角形，都存在唯一的一条外接圆。
与内切圆类似，外接圆与三角形的关系也可以通过以下性质来描述：1. 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
这可以通过垂直平分线的定义和外接圆的定义进行证明。
2. 外接圆的半径等于三角形的边长之积除以4倍三角形的面积。
外接圆的半径可以用三角形的边长之积除以4倍三角形的面积来表示。
这个关系可以用于计算外接圆的半径。
3. 外接圆的半径和面积有一定的关系。
外接圆的半径等于三角形的边长之积除以4倍三角形的面积，这个关系同样可以用于解决一些与外接圆半径和三角形面积有关的问题。
三、内切圆和外接圆的关系内切圆和外接圆有着密切的联系，在某些情况下，它们之间的关系可以相互推导。
1. 内切圆的半径和外接圆的半径之间存在一定的关系。
通过内切圆和外接圆的定义和性质，可以证明内切圆的半径等于外接圆半径的一半。
2. 三角形的三个角的角平分线交点是外接圆的圆心，而内切圆的圆心则是三个角的角平分线的交点，因此三角形的外接圆与内切圆有一个共同的圆心。
三角形内切圆与外接圆的性质
三角形内切圆与外接圆的性质三角形内切圆与外接圆是几何学中常见且重要的概念，它们在三角形的性质研究以及解决相关的几何问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质以及它们之间的关系。
一、三角形内切圆的定义和性质三角形内切圆是指一个圆完全位于三角形的内部，并且与三角形的三条边都相切。
根据三角形内切圆的定义，我们可以得到以下性质：1. 内切圆的圆心是三角形的内心。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离都相等，也就是说，内切圆的圆心到三角形的三条边的距离相等。
2. 内切圆的半径是内心到三角形三条边的距离的一半。
我们可以利用这个性质来计算内切圆的半径。
3. 三角形的三条角平分线与内切圆的半径相交于内切圆的圆心。
这个性质在解决几何问题时经常会用到。
二、三角形外接圆的定义和性质三角形外接圆是指一个圆通过三角形的三个顶点，并完全包含三角形在内。
根据三角形外接圆的定义，我们可以得到以下性质：1. 外接圆的圆心是三角形的外心。
三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，它到三角形的三个顶点的距离都相等，也就是说，外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。
2. 外接圆的半径是外心到三角形的任意一个顶点的距离。
我们可以利用这个性质来计算外接圆的半径。
3. 三角形的三条中垂线与外接圆的半径相交于外接圆的圆心。
这个性质在解决几何问题时也经常会用到。
三、三角形内切圆和外接圆的关系三角形的内切圆和外接圆之间存在一些重要的关系：1. 内切圆的半径和外接圆的半径满足一个重要的关系：内切圆的半径是外接圆半径的一半。
这个关系在解决几何问题时常常会用到。
2. 如果一个三角形的内切圆和外接圆存在，则它们的圆心连线经过三角形的垂心。
垂心是三角形三条高线的交点，它到三角形的三个顶点的距离都相等。
3. 在某些特殊的情况下，三角形的内切圆和外接圆的圆心可能重合，此时称为等圆三角形。
等圆三角形的特点是三个顶点到圆心的距离相等，换句话说，等圆三角形的内切圆和外接圆是同一个圆。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆三角形是几何学中最基本的形状之一，而三角形的外接圆与内切圆则是与三角形密切相关的重要概念。
本文将介绍三角形的外接圆与内切圆的定义、性质以及相关应用。
一、三角形的外接圆首先，我们先来了解一下什么是三角形的外接圆。
对于任意一个三角形ABC，如果能够找到一个圆，使得该圆的圆心在三角形的外面，并且该圆与三角形的每条边恰好相切，那么这个圆就是这个三角形的外接圆。
三角形的外接圆具有一些重要的性质。
首先，外接圆的圆心恰好位于三角形的三个顶点的垂直平分线的交点处。
其次，外接圆的半径等于三角形三个顶点到圆心的距离中的最大值。
此外，外接圆的直径等于三角形的最长边。
三角形的外接圆在几何学的各个分支中都有广泛的应用。
例如，在三角形的面积计算中，可以利用外接圆的直径来简化计算过程。
此外，对于一些特殊的三角形，如等边三角形和直角三角形，外接圆的性质可以帮助我们推导出一些重要的结论。
二、三角形的内切圆接下来，让我们来了解一下三角形的内切圆。
对于任意一个三角形ABC，如果能够找到一个圆，使得该圆的圆心在三角形的内部，并且该圆与三角形的每条边都相切，那么这个圆就是这个三角形的内切圆。
与外接圆类似，内切圆也具有一些重要的性质。
首先，内切圆的圆心位于三角形的三个角平分线的交点处。
其次，内切圆的半径等于三角形的三个切点到圆心的距离中的最小值。
三角形的内切圆也有着广泛的应用。
在解决与三角形相关的问题时，内切圆的性质可以提供重要的线索和条件。
此外，在一些工程和建筑设计中，内切圆的性质也被广泛应用，例如在规划和设计圆形建筑等方面。
三、外接圆与内切圆的关系除了研究外接圆和内切圆的性质，我们还可以探讨一下它们之间的关系。
对于任意一个三角形ABC，这个三角形的外接圆和内切圆一定存在，并且唯一。
此外，外接圆的圆心、内切圆的圆心以及三角形的重心三者是共线的。
其中，重心是三角形三个顶点与对边的垂直平分线的交点。
四、小结三角形的外接圆与内切圆是与三角形密切相关的几何概念。
三角形的内切圆与外接圆
三角形的内切圆与外接圆三角形是几何学的基础形状之一，它具有丰富的性质和特征。
其中，内切圆和外接圆是与三角形紧密相关的概念。
本文将重点探讨三角形的内切圆和外接圆，包括定义、性质和应用。
一、内切圆的定义和性质内切圆是指一个圆完全位于三角形内部，且与三角形的三条边都相切于一个点的圆。
设三角形的三边分别为a、b、c，内切圆的半径记为r，则根据内切圆的性质，有以下关系式成立：1. 内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长s的差值，即 r = S/s，其中s=(a+b+c)/2；2. 内切圆的圆心与三角形的三条角平分线交点重合。
二、外接圆的定义和性质外接圆是指一个圆通过三角形的三个顶点，即三角形的顶点在该圆上的圆。
设三角形的三个顶点为A、B、C，外接圆的半径记为R，则根据外接圆的性质，有以下关系式成立：1. 外接圆的半径R等于三角形的边长abc的乘积除以4倍三角形的面积S，即 R = abc/4S；2. 外接圆的圆心为三角形的三个垂直平分线的交点。
三、内切圆和外接圆的应用内切圆和外接圆在几何学和实际应用中有着广泛的应用。
1. 内切圆和外接圆的位置关系可以用于解决三角形的相关问题，例如计算三角形的面积、周长等。
通过利用内切圆和外接圆的性质可以简化计算过程，提高问题求解的效率。
2. 内切圆和外接圆的存在还可以帮助解决三角形相关的构造问题。
例如，已知一个三角形的顶点和边长，可以利用外接圆的性质来构造整个三角形。
同样地，可以利用内切圆的性质来构造三角形的内部结构。
3. 内切圆和外接圆也广泛应用于其他学科和领域。
例如，在工程测量中，通过测量三角形的三边长可以确定外接圆的半径，从而计算出三角形的面积。
在建筑设计中，内切圆和外接圆的特性可以用于优化建筑物的结构和布局。
总之，三角形的内切圆和外接圆是几何学中重要的概念，具有丰富的性质和应用。
了解和掌握内切圆和外接圆的定义和性质，对于解决三角形相关的问题和应用具有重要意义。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
在研究三角形属性时，我们常常会遇到外接圆和内切圆这两个重要的概念。
本篇文章将详细探讨三角形的外接圆与内切圆，包括它们的定义、性质以及相关定理等内容。
一、外接圆1. 定义：三角形的外接圆是能够完全包围该三角形的一个圆，使得该圆的圆心与三角形的顶点在一条直线上。
换句话说，外接圆的直径等于三角形的三条边的其中一个边所对的角的边。
外接圆也被称为三角形的园外接圆。
2. 性质：（1）外接圆的圆心与三角形的顶点在一条直线上，这条直线叫做欧拉直线；（2）外接圆的半径等于三角形任意一条边的弦长的一半；（3）外接圆的直径等于三角形的某一条边的边长；（4）外接圆的周长等于三角形的周长。
3. 相关定理：（1）圆周角定理：对于三角形的外接圆，其圆周角等于其所对的弦对应的角；（2）中线定理：三个边上的中线交于一点，且此点到三角形的顶点的距离等于外接圆半径的一半；（3）外心定理：三角形的外接圆的圆心就是三条中垂线的交点。
二、内切圆1. 定义：三角形的内切圆是与该三角形的三条边都相切的一个圆，也就是说，内切圆的切点分别位于三角形的三条边上。
内切圆也被称为三角形的园内切圆。
2. 性质：（1）内切圆的圆心位于三角形的重心、内心、垂心的连线上；（2）内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长；（3）内切圆的半径等于三角形的三边距离之差的一半；（4）内切圆的半径是三角形内角平分线的交点到三边的距离之积的比值。
3. 相关定理：（1）切线定理：对于三角形的内切圆，从切点到对角顶点的线段相互平行；（2）切线长度定理：切点到对边的距离等于三角形周长的一半。
综上所述，三角形的外接圆与内切圆在几何学中具有重要的地位和性质。
通过研究它们的定义、性质和相关定理，我们可以更深入地理解三角形的特性，运用它们解决实际问题，甚至在其他数学领域中进行应用。
因此，在学习几何学时，对于三角形的外接圆与内切圆的研究是不可或缺的一部分。
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圆一三角形外接圆、内切圆2018.12.16
3、 下列命题正确的是（）
A .三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B. 三角形的内心不一定在三角形的内部
C. 等边三角形的内心，外心重合
D. —个圆一定有唯一一个外切三角形
4、 小颖同学在手工制作时，把一个边长为12 cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上
，若三角形的三个顶点恰好都
在这个圆上，则圆的半径为 _______________ 。
5、 等边三角形的外接圆的半径等于边长的 _____________ 倍。
6、 直角三角形的两条直角边分别为 5和12,那么它的外接圆的半径为 _______________ ，内切圆半径为 ___________ .
7、 若三角形的三边长为 5、12、13,则其外接圆的半径等于 ________________ ，其内切圆的半径为 ____________ 。
&在平面直角坐标系中 A B 的坐标分别为 3,0、 0,4，则Rt ABO 内心的坐标是 _______________________ .
9、 如图，在 RtiABC 中，/ C=90°, BC=5 O O 与Rt 心ABC 的三边 AB BC AC 分相切于点 D E 、F ,若O O 的半径r = 2,贝V Rt ABC 的周长为 _____________________ .
10、 如图，O O 内切于 RtiABC ，/ C=90°, D E F 为切点。
若/ AOC=120，贝U
NOAC = , N
B
= _________ ；若 AB=2cm 贝U AC= , △ ABC 的外接圆半径 = ______ ，内切圆半径= _________ 。
11、 如图，已知 AABC , £B =40 .
（1） 在图中，用尺规作出 「ABC 的内切圆O O,并标出O O 与边AB , BC , AC 的切点D , E , F （保留痕迹，不必 写作法）；
（2） 连接EF , DF ，求Z EFD 的度数.
12、如图，AB 是O O 的直径，点 C 在AB 的延长线上，AD 平分/ CAE 交O O 于点D,且AE ± CD 垂足为点 E.
（1）求证：直线 CE 是O O 的切线.（2）若BC=3 CD =3.2，求弦AD 的长.
1、三角形内心是
三角形外心是 ______________ 2、如图，在.'ABC 中，/ A=66° ,它是 ,它是 的交点。
I 是内心，则/ BIC 的大小为
B
（2）「二 "（9） F （10）
13、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A(6,0),B(0,6), 。
0的半径为2(0为坐标原点),P是直线AB上的动点，过点P作。
0的一条切线PQ,Q为切点，求切线长PQ的最小值？。