概率论与数理统计练习题(1)参考答案
概率论与数理统计练习册答案
概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
《概率论及数理统计》习题一课后答案
C83
36 65
1.29设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%， 从中随意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一 等品的概率.
解 Ai=｛取到的是i等品｝i=1，2，3.
则所求概率为
P( A1 A3)
0.6
P( A1A3) P( A3)
2
P( A1) 1 P( A3)
即为求在2红2黑四个球中,取到1红1黑的概率.
(用条件概率的本来含义)
P( X
1Y
0)
C21 C21 C42
2 3
1.31已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,求P(A∪B).
解 P(AU B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B A) 0.5 0.6 0.50.8 0.7
P(AB) 0 即P(AB) 0
∴A与B相容
1.11 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明.
(3)若P(A)=1,P(B)=1,则 P(A∪B)=1
(√)
解 Q A AUB
P(A) P(AU B)
1 P(A) P(A UB) 1
P(AUB) 1
1.11 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明.
1.8 设A与B互不相容,且P(A)=0.2,P(A+B)=0.6,求 P(B)
解 ∵A与B互不相容
∴P(AB)=0 又P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB) ∴P(B)=P(A+B)-P(A)
=0.6-0.2
=0.4
1.9设P(A) 0.7, P(A B) 0.2,求P(A B)
概率论与数理统计(练习参考答案)
一、填空题 (每小题2分，共10分)1、一射手对同一个目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为8180，则该射手的命中率为 .2、 设随机变量X 在区间[2,5]上服从均匀分布，则=)(2X E ____13_____ .3、 设X 服从参数为10=θ的指数分布，Y )2,3(~2N ，且X 与Y 相互独立，Y X Z 23-=，则=)(Z D ___916_____.4、已知5.0,9)(,4)(===XY Y D X D ρ，则=+)(Y X D 19_ .5、设总体),(~2σμN X ,n X X X ,,,21Λ为来自X 的简单随机样本,则~11∑==ni iX n X ),(2n N σμ. 二、单项选择题 (每小题2分，共10分)（1）对于任意两事件A 和B ，=-)(B A P C .（A ）)()(B P A P - （B ）)()()(AB P B P A P +- （C ） )()(AB P A P - （D ）)()()(B A P A P A P -+ 2、.对于任意两个随机变量，若)()()(Y E X E XY E =则____B _____.(A))()()(Y D X D XY D = (B))()()(Y D X D Y X D +=+ (C) X 与Y 相互独立 (D)X 与Y 相互不独立 3、设Y X ,相互独立，X 和Y 的分布律分别为，则必有 D .（A ）Y X = （B ）{}0==Y X P（C ）{}1==Y X P （D ）{}58.0==Y X P4、 在假设检验中,原假设0H ,备择假设1H ,则称_____D _____ 为犯第二类错误 (A)10H H 为真，接受 (B) 00H H 不真，拒绝 (C) 10H H 为真，拒绝 (D) 00H H 不真，接受5、 已知341.1)15(90.0-=t 。
设随机变量X 服从自由度为15的t 分布，若90.0)(=<a X P ，则=a _____B _____.(A) -1.341 (B) 1.341 (C) 15 (D) -15三、计算题 (共52分)1、 有四位同学报考硕士研究生，他们被录取的概率分别为0.2、0.3、0.45、0.6，试求至少有一位同学被录取的概率. (5分) 解: 设}{个同学被录取第i A i =),4,3,2,1(=i ;}{至少有一位同学被录取=B则有 4321A A A A B +++= ;∑=-=-=41)(1)(1)(i iA PB P B P8768.04.055.07.08.01=⨯⨯⨯-=2、 某年级有甲，乙，丙三个班级，其中各班的人数分别占年级总人数的1/ 4, 1/3, 5/12,已知甲,乙,丙三个班级中是独生子女的人数分别占各班人数的1/ 2, 1/ 4, 1/5, 求:： (1) 从该年级中随机的选一人,该人是独生子女的概率为多少?(2) 从该年级中随机的选一人,发现其为独生子女,则此人是甲班的概率为多少? （8分） 解: 设}{为独生子女从该年级中随机选一人=B }{1选到的是甲班的人=A}{2选到的是乙班的人=A ;}{3选到的是丙班的人=A ;则321,,A A A 为一个分割,41)(1=A P ,1)(2=A P ,125)(3=A P ;21)(1=A B P ,41)(2=A B P ,51)(3=A B P . (1) ∑==31)()()(i i i A P A B P B P =32=⨯+⨯+⨯511254*********7; (2) )(1B A P =)()()(11B P A P A B P =73.3、设有5件产品,其中有两件次品,今从中连取二次,每次任取一件不放回,以X 表示所取得的次品数,试求: : (1)X 的分布律和分布函数)(x F ; (2)122+=X Y 的分布律. (9分) 解: (1)(2)4、 某商品的日销量X (公斤)～)300,10000(2N , 求:日销量在9700到10300公斤之间的概率. （8413.0)1(=Φ 97725.0)2(=Φ备用） (8分)解: 300,10000==σμ)9700()10300(}103009700{F F X P -=≤≤=)3001000010300(-Φ-)300100009700(-Φ=)1()1(--ΦΦ=1)1(2-Φ=6826.018413.02=-⨯5、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≥=-其它0)(2x Ce x f x，求： (1) 常数C ； (2) 概率}2/11{<<-X P ； (3) )(X E ；（4）设X Y 2=,则Y 的密度函数)(y f Y 。
概率论与数理统计：概率论练习题1及答案
5 / 8概率论练习题1（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1、若当事件A ，B 同时发生时，事件C 必发生，则下列选项正确的是（ ） A ．()()P C P AB =； B ．()()P C P AB ≤； C ．()()P C P AB ≥； D ．以上答案都不对．2、设随机变量()~X E λ，则下列选项正确的是（ ）A ．X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λ-⎧>=⎨≤⎩；B ．X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩；C ．X 的分布函数为(),00,0x e x F x x λλ-⎧>=⎨≤⎩；D ．X 的分布函数为()1,00,0x e x F x x λλ-⎧->=⎨≤⎩．3、设相互独立的连续型随机变量1X ，2X 的概率密度函数分别()1f x ，()2f x ，分布函数分别为()1F x ，()2F x ，则下列选项正确的是（ ） A ．()()12f x f x +必为某一随机变量的概率密度函数； B ．()()12f x f x ⋅必为某一随机变量的概率密度函数； C ．()()12F x F x +必为某一随机变量的分布函数； D ．()()12F x F x ⋅必为某一随机变量的分布函数．4、设()~,X B n p ，()2~,Y N μσ，则下列选项一定正确的是（ ） A ．()E X Y np μ+=+； B ．()E XY np μ=⋅； C ．()()21D X Y np p σ+=-+； D ．()()21D XY np p σ=-⋅．5、设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从()1,0.2B ，则下列选项正确的是（ ）6 / 8A ．()1P X Y ==；B ．()1P X Y ≤=；C ．()1P X Y ≥=；D ．以上答案都不对． 6、设12,,,,n X X X 为独立的随机变量序列，且都服从参数为()0λλ>的指数分布，当n 充分大时，下列选项正确的是（ ）A ．21nii Xn nλλ=-∑近似服从()0,1N ； Bni X nλ-∑近似服从()0,1N ；C ．21ni i X λλ=-∑近似服从()0,1N ； D ．1ni i X nnλ=-∑近似服从()0,1N ．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1、设事件A ，B ，C 相互独立，且()()()P A P B P C ==，()1927P A B C =，则()P A =．2、若()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，则()P A B =．3、设()2~10,X N σ，且()10200.3P X <<=，则()010P X <<=．4、设随机变量X 与Y 相互独立，且()~100,0.3X B ，()~4Y P ，则()D X Y -=．5、设平面区域(){},01D x y x y =≤≤≤，二维随机变量(),X Y 在区域D 上服从均匀分布，则(),X Y 的联合分布密度函数为．6、若随机变量X 的分布律为()()2,0,1,2,k P X k ae k -+===，则常数a =．三、解答题（本大题共 6 小题，共 64 分）5 / 81、设盒一装有1支红色笔和2支黑色笔，盒二装有2支红色笔和1支黑色笔，盒三装有3支红色笔和3支黑色笔．现掷一枚匀质骰子，若掷出1点，则从盒一中任取一支笔，若掷出6点，则从盒三中任取一支笔，否则均从盒二中任取一支笔．求取出黑色笔的概率．（10分）2、一盒装有6只灯管，其中有2只次品，4只合格品，随机地抽取一只测试，测试后不放回，直到2只次品都被找出，求所需测试次数X 的概率分布及均值．（10分）3、设连续型随机变量X 的分布密度函数为(),13;0,ax b x f x +<<⎧=⎨⎩其他.，且{}{}23212P X P X <<=-<<，求常数a 和b 的值．（10分）6 / 84、设某工程队完成某项工程所需时间X （天）服从()100,25N ．工程队若在100天内完工，可获奖金10万元；若在100~115天内完工，可获奖金3万元；若超过115天完工，则罚款5万元．求该工程队在完成工程时所获奖金的均值（要求用标准正态分布的分布函数值表示）．（10分）5、设二维随机变量(),X Y 的概率密度函数为()8,01;,0,xy x y f x y <<<⎧=⎨⎩其他，求关于X 和Y 的边缘分布密度函数()X f x 和()Y f y ，并判别X 与Y 是否相互独立．（10分）5 / 86、设()~,X U a b ，且()0E X =，()13D X =．试确定X 的概率密度函数（6分）7、设随机变量X 服从标准正态分布，求2Y X =的概率密度函数()Y f y .（8分）6 / 8概率论练习题1参考答案一、单项选择题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1、C ； 2、B ； 3、D ； 4、A ； 5、D ； 6、B ． 二、填空题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1、13； 2、13； 3、0.3； 4、25； 5、()()2,,;,0,x y D f x y ∈⎧⎪=⎨⎪⎩其他.； 6、23e e ---．三、解答题（本大题 6 小题，共 64 分）1、解 设A 表示“取出黑色笔”，iB 表示“从盒i 中取笔”，1,2,3i =．……..2分则()()1316P B P B ==，()246P B =，()123P A B =，()213P A B =，()312P A B =，…………7分故由全概率公式，有()()()31124111563636212iii P A P B P A B ===⋅+⋅+⋅=∑．……………….10分2、解 由题意可知，X 的所有可能取值为2,3,4,5,6，…………….…….2 且{}1215P X ==，{}2315P X ==，{}145P X ==， {}4515P X ==，{}163P X ==，……..7分 所以 ()121411423456151551533E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………10分 3、解 由密度函数的性质()1f x dx +∞-∞=⎰，可得()31421ax b dx a b +=+=⎰，………..3分又由 {}{}23212P X P X <<=-<<，可得()()32212ax b dx ax b dx +=+⎰⎰，即02ab +=，…..7分联立方程，解得11,36a b ==-．………………………………………….10分4、解 方法1 由题设知工程队完成工程所需天数()~100,25X N ．设所获奖金为Y 万元，Y 的可能取值为10，3，-5，Y 取各值的概率为()100100{10}{100}(100)00.55P Y P X F -⎛⎫==≤==Φ=Φ= ⎪⎝⎭， ()115100100100{3}{100115}(115)(100)30.555P Y P X F F --⎛⎫⎛⎫==<≤=-=Φ-Φ=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 115100{5}{115}1(115)11(3)5P Y P X F -⎛⎫=-=>=-=-Φ=-Φ ⎪⎝⎭，…………….8分Y 因此 ()()()()100330.5513E Y =⨯Φ+Φ---Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()100.5330.551383 1.5=⨯+Φ---Φ=Φ-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………10分方法2 由题设知工程队完成工程所需天数()~100,25X N ， 所获奖金10,100;3,100115;5,115.X Y X X ≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩…………………………………………….2分5 / 8而()100100{10}{100}(100)00.55P Y P X F -⎛⎫==≤==Φ=Φ= ⎪⎝⎭， ()115100100100{3}{100115}(115)(100)30.555P Y P X F F --⎛⎫⎛⎫==<≤=-=Φ-Φ=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 115100{5}{115}1(115)11(3)5P Y P X F -⎛⎫=-=>=-=-Φ=-Φ ⎪⎝⎭，…….8分因此 ()()()()100330.5513E Y =⨯Φ+Φ---Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()100.5330.551383 1.5=⨯+Φ---Φ=Φ-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………10分5、解 关于X 的边缘分布密度函数()Xf x ：当0x ≤或1x ≥时，(,)0f x y =，所以()(),00Xf x f x y dy dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰，当01x <<时，()()()1212,8441Xxxf x f x y dy xydy xy x x +∞-∞====-⎰⎰，所以，()()241,01;0,X x x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他． ………………………….4分关于Y 的边缘分布密度函数()Yf y ：当0y ≤或1y ≥时，(,)0f x y =，所以()(),00Yf y f x y dx dx +∞+∞-∞-∞===⎰⎰，当01y <<时，()()230,844yyYf y f x y dx xydx yx y +∞-∞====⎰⎰，所以()34,01;0,Yy y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他.．……………………………………………8分于是()()()()32161,01,01;,0,X Y xy x x y f x f y f x y ⎧-<<<<⎪=≠⎨⎪⎩其他，所以X 与Y 不相互独立．……………………………………………10分 6、解 因为()~,X U a b ，所以()2a bE X +=，()()212b a D X -=，于是有()241,2123b a a b -+==，解得 1,3a b =-=，………….…..4分故X 的概率密度函数为()1,13;40,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他.．………………….6分7、22(0,1),(),.x X N x x ϕ-=-∞<<∞Y 的分布函数为2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤ ……………………2分 当0y ≤时，()()0Y F y P Y y =≤=，从而()0.Y f y = ……………………4分当0y>时，2()(){(YF y P X y P X=≤=≤≤=Φ-Φ…6分从而2()()(((Y Yyf y F yϕϕϕϕ-'''==Φ-Φ==+=7分所以20()0,0-⎧>=≤⎩yYyf yy……………………………………………8分6 / 8。
概率论与数理统计学习自测练习题1
第一章 概率论的基本概念自测练习题 A1．填空题（将正确答案填在题中横线上）：（1）设A 和B 是任意两事件，则()()()()A B A B A B A B =U U U U ．（2）设事件A 和B 及A 和B 各互不相容，则A 和B 为 ．（3）设A 、B 为随机事件，3.0)( ,6.0)(=−=B A P A P ，则=)(AB P ．（4）甲、乙二人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.7和0.6，则目标被击中的概率为 ．（5）设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为 ． 2．选择题（题中所给4个选项中只有一个是正确的，把正确选项的代号填在题后的括号内）（1）设A 、B 为任意两个随机事件，则事件()()A B S AB −U 表示（ ）．（A ）必然事件 （B ）A 与B 恰有一个发生 （C ）不可能事件（D ）A 与B 不同时发生（2）当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ ）（A ）)()(AB P C P = （B ）)()(B A P C P +=（C ）1)()()(−+≥B P A P C P （D ）1)()()(−+≤B P A P C P（3）设A 和B 是两个概率不为零的不相容的随机事件，则下列结论一定正确的是（ ） （A ）A 与B 互不相容 （B ）A 与B 相容 （C ）)()()(B P A P AB P =（D ）)()(A P B A P =−（4）设1|()|( ,1)(0 ,1)(0=+<<<<B A P B A P B P A P ，则（ ）（A ）事件A 与B 不独立 （B ）事件A 与B 相互独立（C ）事件A 与B 互斥 （D ）事件A 与B 互为对立事件（5）袋中有5个球，其中3个红球，2个白球，现无放回地从中随机地抽取两次，每次取一球，则第二次取到红球的概率为（ ）（A ）53 （B ）42 （C ）43 （D ）103 3．设随机事件A 、B 及其和事件B A U 的概率分别为0.4，0.3和0.6，求(B A P ．4．盒中有5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，第一次从盒中任取一张且不放回，第二次再从盒中任取一张． 求（1）第一次取到的卡片上标有奇数的概率；（2）第二次取到的卡片上标有奇数的概率；（3）两次都取到标有奇数的卡片的概率．5．某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率为0.56，问现年10岁的这种动物活到12岁的概率是多少？6．设甲、乙、丙三人独立地破译一种密码，他们能译出的概率分别是51，31，41，求密码能被译出的概率．7．盒中有12个乒乓球，其中9个新球，第一次比赛时从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个球，求第二次取出的球都是新球的概率（第一次用后的新球就成了旧球）． 自测练习题 B1．选择题（在题中所给的4个选项中只有一项是正确的，把正确答案的代号填到题后的括号中）（1）设A ，B ，C 为三事件，则=B C A )(U （ ）（A ）ABC （B ）B C A U ( （C ）C B A U U ( （D ）B C A U U )(（2）已知31)()(==B P A P ，61)|(=B A P ，则=)(B A P ( ) （A ）1811 （B ）31 （C ）187 （D ）41 （3）在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电．以E 表示事件“电炉断电”，设)4()3()2()1(T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则E 等于（ ）． （A ）}{0)1(t T ≥ （B ）}{0)2(t T ≥ （C ）}{0)3(t T ≥ （D ）}{0)4(t T ≥(4) 对于任意两事件A 和B ，有=−)(B A P （ ）．（A ）)()(B P A P − （B ）)()()(AB P B P A P +− （C ）)()(AB P A P −（D ）()()(B A P B P A P ++（5）设A ，B ，C 三个事件两两独立，则A ，B ，C 相互独立的充要条件是（ ）．（A ）A 与BC 独立 （B ）AB 与C A U 独立 （C ）AB 与AC 独立（D ）B A U 与C A U 独立2．填空题（将正确答案填到题中的横线上）（1）已知A ，B 两个事件满足()(B A P AB P =，且p A P =)(，则=)(B P ．（2）甲袋中有5个白球，5个红球，15个黑球；乙袋中有10个白球，5个红球，10个黑球，从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率为 ．（3）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5．现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为 ．（4）设在一次试验中事件A 发生的概率为p ，现进行n 次独立重复试验，则A 至少发生一次的概率为 ．（5）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 ． 3．设A ，B ，C 是三个随机事件，且有41)()()(===C P B P A P ，61)(=AC P ，0)()(==BC P AB P ．求A ，B ，C 至少出现一个的概率．4．在n 次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为0.3． 进行4次独立重复试验，若事件A 一次不发生，则事件B 也不发生，若事件A 发生一次，则事件B 发生的概率为0.6；若事件A 发生两次或两次以上，则事件B 一定发生． 求事件B 发生的概率．5． 设甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射击，直到有一人击中为止，击中者获胜．在一次射击中甲命中的概率为α，乙命中的概率为β，甲先射，求甲获胜的概率．6．做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p ，求在成功n 次之前已经失败了m 次的概率．7．设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少要配备多少门高射炮？。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率论与数理统计练习题第一章答案
(A) P(A 8) = 032 (B) P(AB) = 0・2 (C) P (B-A) = 04 (D) P(P4) = O ・487•有6本中文书和4 [D 1 本外文书.任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的槪率是,、4!・6! (A) -----10!二、填空题:7(B)—1010!1.设P(A) = P(B) = P(C) = -, P{AB) = 0 ,P(AC) = P{BC}=-,则 A. B. C 全不发 4 8概率论与数理统计练习题（公共） 系 _______ 专业______ 班姓名—第一章 威机事件及其概率（一）2.甲、乙两人进行射击，久B 分别表示甲、乙射中目标，则Aug 表示3-以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销5 则其对应事件A 为.（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销m （B ） “甲、乙两种产品均畅销 （C ） “甲种产品滞销”；（D ） “甲种产品滞销或乙种产品畅销4.在电炉上安装了 4个温控器，其显示温度的误差是随机的。
在使用过程中，只要有两个 温控器显示的温度不低于临界温度F 。
，电炉就断电0以f 表示事件“电炉断电”，设 人"＜7；2）＜7；3）＜：＞为4个温控器显示的按递增排列的温度值, 2000) （C ）｛丁⑶｝ — ^0一・选择题1.对掷一颗骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 【C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件学号（A ）二人都没射中 （C ）二人没有都射着（B ）二人都射中 （D ）至少一个射中则事件f 等于（考研题(A)(A)掷两颗均的骰子•事件“点数之和36事件，若P(A Q B) = 0・8,P(A) = 02P(P) = 0・4 . 则生的概率为4 2.设人和 B 是两事件，BuA ，P(A) = 0.9,P(B)= 0.36 •则 P(AB)= 3.在区间（0/1）内随机取两个数，则两个数之差的绝对值小于一的概率为的 。
《概率论与数理统计》练习题(含答案)
《概率论与数理统计》练习题（含答案）一、单项选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立.答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图 可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.SABC答案：（B ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（ ）（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==.答案：（A ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=， 19β=故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（ ）（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.6. 设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ ）Y X（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤ （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥答案：C 解答：由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ ） （A ）1/2, 1.a b == （B）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D）2,a b == 答案：B 解答：22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有（ ）（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == 答案：C解答：()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（ ）（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX 答案：C 解答：[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（ ） （A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+ （C ）(x u x uαα-+ （D ）/2/2(x u x u αα-+ 答案：D 解答：因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本，为样本均值，则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是（ D ）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
杭州师范大学《概率与统计 》练习题（1）参考答案
命题教师 杨益民
一、单选题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。
每小题5分，共30分。
）
一、填空（共30分，每空格5分）
1．两封信随机地投入到四个邮筒，则前两个邮筒没有信的概率是： ( A )
A.0．25
B.0.3
C.0.45
D.0.98
2．袋内装有两个5分、三个2分、五个1分的硬币，任意取出5个，求总数超过1角的概率。
( B )
A.0．25
B.0.5
C.0.45
D.0.6
3．有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。
由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。
( A ) A.5
12 B.0.3 C.0.45 D.0.55 4．已知随机变量ξ只能取－1，0，1，2四个值，相应概率依次为1
2c
，
357,,4816,
c c c ，则常数c 的值是 ( A )
A.
37
16
B.1
C.2
D.12
5、已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常生产情况下服从正态分布，其方差
220.108σ=。
现在测定了9炉铁水，其平均碳含量为4.484。
，若要求有95%的可靠性，则该厂铁水平均碳含量的置信区间是 ( A )
A.4.484 1.96 4.484 1.96μ<<+
B. 4.484 2.58 4.484 2.58μ<<+
C. 22
4.484 1.96 4.484 1.96μ-
<<+
D. 22
4.484 2.58 4.484 2.58μ<<+ 6.某商店为了了解居民对某种商品的需要，调查了100家住户，得出每户每月
平均需要量为10kg,方差为9。
如果这个商店供应1000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（α＝0.01）,并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以0.99的概率满足需要。
（ B ）
A.(10 1.96,10 1.96)-+
B. (10 2.58,10 2.58)
C. (10 1.96,10 1.96)-+
D. (10 2.58,10 2.58)
二、名词解析 (每小题5分，共10分。
)
7．全概率定理：如果事件A 1,A 2
,
构成一个完备的事件组，并
且都具有正概率，则对任何一个事件B,有：
P ()()()i i i
B P A P B A =∑
8．李雅普诺夫定理：设12,,
ξξ是互相独立的随机变量，有期望值E i i a ξ=及方
差D ()21,2,i i i ξσ=<+∞=，
若每个i ξ，对总和1
n
i i ξ=∑影响不大，令1
2
21
n
n i i S σ=⎛
⎫= ⎪⎝⎭
∑，
则
()2
2
011
()lim x
t n
i i
n i n
P a x e
dt x S ξ-
→∞=⎛⎫-≤==Φ
⎪⎝⎭
∑⎰
三、填空题（每空4分，共16分。
） 9．若ξ有概率密度：
()()
x b a b x λϕ α≤≤<={0 其 它
则称ξ服从区间[],a b 上的均匀分布。
试求λ＝1
b a
- 10、设随机变量ξ的概率密度是()2,F x ξξ则的分布函数是
(F F ξ
ξ
- 。
11、设ξ是区间[],a b 上均匀分布的随机变量，则D ξ=
()2
112
a b - 12、设ξ是参数为λ的指数分布则：E ξ=1λ-, D ξ＝2λ-
四、计算题（每小题8分，共32分。
） 13．假定某工厂甲、乙、丙3个车间生产统一中螺钉，产量
依次占全厂的45％、35％、20％。
如果各车间的次品率依次为4％、2％、5％。
现从待出厂的产品中检查出1个次品，试计算它是甲车间生产的概率。
解：设事件B 表示“产品为次品”，A 1、A 2、A 3分别表示“产品为甲、乙、丙车间生产的”。
显然，A 1、A 2、A 3构成一个完备事件组。
依题意有：
P ()1A =45% P ()2A =35% P ()3A =20% (2分)
P ()14%B A = P ()22%B A = P ()35%B A = (2分)
于是由贝叶斯公式有：
(2分)
()
()()
()()
1113
1
i
i
i P A P B A P A B P A P B A ==
∑
45%4%
45%4%35%2%20%5%⨯=⨯+⨯+⨯≈0.514 (2分)
14、同一品种的5个产品中，有2个正品。
每次从中取1个检验质量，不放
回地抽取，连续2次。
用"0"k ξ=表示第k 次取到正品，而"1"k ξ= 为第k 次取到次品（k=1,2）。
写出()12,ξξ的联合分布律。
解：试验结果共由4个基本事件组成，相应概率可按公式计算：
P {}{}{}121210,0000P P ξξξξξ=======21
0.154
⨯= (2分)
P {}{}{}121210,1010P P ξξξξξ=======23
0.354
⨯= (2分)
P {}{}{}121211,0101P P ξξξξξ=======32
0.354
⨯= (2分)
P {}{}{}121211,1111P P ξξξξξ=======32
0.354
⨯=
具体分布如下表： (2分)
15．根据长期经验和资料分析，某砖瓦厂生产砖的“抗断强度”ξ服从正态分布，方差2σ 1.21=。
现从该厂产品中随机抽取6块，测得抗断强度的平均值为
231.13/X kg cm =若设α＝0.05,试检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg/2
cm 是否成立？
解：0:32.50H μ=.如果0H 是正确的，即样本()126,,
,X X X
来自正态总体N （32.50,1.12）,于是有：
()0,1
N ，因而选取统计量
U = （4分）
对于给定的α＝0.05,可以确定u α＝1.96,其中满足：().P U u αα>=这就是说，对于0H 拒绝与否的临界值u α＝1.96,再由取定的样本观察值实际计算得到U 的值，
3.05 1.96u =
≈>
最后结论是否定0H 。
（4分）
16、某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布。
现对操作工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水测得含碳量数据220.228S =.若设α＝0.05,据此是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1028? 解：220:0.108;H σ=.如果0H 是正确的，即样本()12,,,n X X X 的函数
()22210.108n S χ-=作为统计量于是有样本
来自正态总体N （μ,0.1082）,于是有：
()222
10.108n S χ-=()21n χ-， （4分）
对于给定的α＝0.05,可以确定2αχ及2b χ使
()222(10.108)2
b P n S α
χ->=， ()222
(10.108)2
a
P n S α
χ-<=
其中 ：2222
0.9750.275(4)0.484,(4)11.1a
b χχχχ====
具体计算统计量2χ的值有：
2
2
2
40.22817.82711.10.108
χ⨯=≈>
因而拒绝0H (4分)
五、证明题（每小题12分，共12分。
）
1．从总体ξ中取一样本()12,,
,n X X X ，E ξ＝μ，D ξ=2,
σ试证明样本平均数X 及样本方差2S 分别是μ及2σ的无偏估计。
证：11111n n
i i i i EX E X EX n n n n μ==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑ （3分）
D 2211111n n
i i i i X D X DX n n n σ==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑ （3分）
E 2
211()1n i i S E X X n =⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦
∑
=
()211
1n i E x X n μμ=⎡⎤---⎣
⎦-∑
=()2211()1n
i i E X n X n μμ=⎡⎤---⎢⎥-⎣⎦
∑
＝()22
11()11
n i
i n X E X n n μμ=-----∑ （6分）
证明完毕。