2019_2020学年新教材高中数学全册综合检测新人教B版必修第二册
高中数学新教材人教B版必修第二册训练：4.3 指数函数与对数函数的关系
第四章 4.3请同学们认真完成 [练案8]A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝e x 与y ＝ln x 的图像( D ) A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称[解析] ∵函数y ＝e x 与y ＝ln x 是互为反函数， ∴其图像关于直线y ＝x 对称．2．函数y ＝f (x )的图像经过第三、四象限，则y ＝f －1(x )的图像经过( B ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第三、四象限D ．第一、四象限[解析] 因为第三、四象限关于y ＝x 对称的象限为第三、二象限，故y ＝f －1(x )的图像经过第二、三象限．3．函数y ＝f (x )的图像过点(1,3)，则它的反函数的图像过点( D ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(1,3)D ．(3,1)[解析] ∵互为反函数的图像关于直线y ＝x 对称， ∴点(1,3)关于直线y ＝x 的对称点为(3,1)，故选D ．4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (8)＝( A ) A ．3 B ．13C ．－3D ．－13[解析] 由题意可知f (x )＝log a x ，f (2)＝log a 2＝1，a ＝2， 即f (x )＝log 2x ，f (8)＝log 28＝3．5．(多选题)函数y ＝2|x |在下面的区间上，不存在反函数的是( AC ) A ．[－1,1] B ．(－∞，0] C ．[－2,4]D ．[2,4][解析] 函数若在区间上单调，则存在反函数，易知函数y ＝2|x |在[－1,1]，[－2,4]上不单调．二、填空题6．已知f (x )＝2x ＋b 的反函数为f －1(x )，若y ＝f －1(x )的图像经过点Q (5,2)，则b ＝__1__．[解析] 由互为反函数的图像关于直线y ＝x 对称可知，点Q ′(2,5)必在f (x )＝2x ＋b 的图像上，∴5＝22＋b ， ∴b ＝1．7．函数f (x )＝4－x 的反函数是__f －1(x )＝4－x 2(x ≥0)__． [解析] 函数的值域为[0，＋∞)，令y ＝4－x ， 将其中的x ，y 对调得x ＝4－y ，解得y ＝4－x 2， 所以反函数f －1(x )＝4－x 2(x ≥0)．8．若函数y ＝f (x )的反函数是y ＝－2－x 2(－1≤x ≤0)，则原函数的定义域是－1]__，f (－1)＝__－1__．[解析] 因为原函数的定义域为反函数的值域，又－1≤x ≤0，所以1≤2－x 2≤2，即y ∈[－2，－1]．令－2－x 2＝－1，解得x ＝±1，因为原函数的定义域为[－2，－1]，所以x ＝－1． 三、解答题9．已知y ＝12x ＋a 与y ＝3－bx 互为反函数，求a 、b 的值．[解析] 由y ＝12x ＋a ，得x ＝2y －2a ，∴y ＝2x －2A ．即函数y ＝12x ＋a 的反函数为y ＝2x －2a ，由已知得函数y ＝2x －2a 与函数 y ＝3－bx 为同一函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝2－2a ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32b ＝－2．10．求下列函数的反函数． (1)f (x )＝12x ＋1； (2)f (x )＝1－1－x 2(－1≤x ＜0)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(0≤x ≤1)x 2(－1≤x ＜0)．[解析] (1)设y ＝f (x )＝12x ＋1．∵x ≠－12，∴y ≠0．由y ＝12x ＋1，解得x ＝1－y 2y ．∴f －1(x )＝1－x 2x (x ≠0)．(2)设y ＝f (x )＝1－1－x 2． ∵－1≤x ＜0，∴0＜y ≤1．由y ＝1－1－x 2，解得x ＝－2y －y 2． ∴f －1(x )＝－2x －x 2(0＜x ≤1)．(3)设y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1(0≤x ≤1)x 2(－1≤x ＜0)，当0≤x ≤1时，－1≤y ≤0， 由y ＝x 2－1，得x ＝1＋y ； 当－1≤x ＜0时，0＜y ≤1， 由y ＝x 2，得x ＝－y ．∴f －1(x )＝⎩⎨⎧1＋x (－1≤x ≤0)－x (0＜x ≤1)．B 级 素养提升一、选择题1．若f (ln x ＋1)＝x ，则f (5)＝( C ) A ．log 5e B ．ln 4 C ．e 4D ．4e[解析] 解法一：令ln x ＋1＝t ，则x ＝e t －1，∴f (t )＝e t －1， ∴f (5)＝e 5－1＝e 4．解法二：令ln x ＋1＝5，则ln x ＝4， ∴x ＝e 4，∴f (5)＝e 4．2．若函数y ＝ax1＋x 的图像关于直线y ＝x 对称，则a 的值为( B )A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数[解析] 因为函数图像本身关于直线y ＝x 对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知点(1，a 2)与(a2，1)均在原函数图像上，故可得a ＝－1． 3．已知函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数，函数y ＝g (x )的图像与y ＝f (x )的图像关于x 轴对称，若g (a )＝1，则实数a 的值为( C )A ．－eB ．－1eC ．1eD ．e[解析] ∵函数y ＝f (x )与y ＝e x 互为反函数， ∴f (x )＝ln x ，又∵函数y ＝g (x )的图像与y ＝f (x )的图像关于x 轴对称，∴g (x )＝－ln x ， ∴g (a )＝－ln a ＝1，∴ln a ＝－1，∴a ＝1e ．4．函数y ＝10x 2－1(0＜x ≤1)的反函数是( D ) A ．y ＝－1＋lg x (x ＞110)B ．y ＝1＋lg x (x ＞110)C ．y ＝－1＋lg x (110＜x ≤1)D ．y ＝1＋lg x (110＜x ≤1)[解析] 由y ＝10x 2－1(0＜x ≤1)，得x 2－1＝lg y ， 即x ＝lg y ＋1．又∵0＜x ≤1，即－1＜x 2－1≤0， ∴110＜10x 2－1≤1，即原函数的值域为(110，1]． ∴原函数的反函数为y ＝lg x ＋1(110＜x ≤1)．二、填空题5．若点(1,2)既在y ＝ax ＋b 的图像上，又在其反函数的图像上，则a ＝__－3__，b ＝__7__． [解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y ＝ax ＋b 的图像上，∴⎩⎨⎧2＝a ＋b 1＝2a ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝7．6．已知函数f (x )的反函数为g (x )＝1＋2lg x (x ＞0)，则f (1)＋g (1)＝__2__． [解析] 令g (x )＝1，则2lg x ＝0，∴x ＝1． ∵f (x )与g (x )互为反函数， ∴f (1)＝1，g (1)＝1＋2lg 1＝1， ∴f (1)＋g (1)＝2．7．设a ＞0且a ≠1，若函数f (x )＝a x －1＋2的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是__(3,1)__．[解析] 因为函数f (x )＝a x －1＋2经过定点(1,3)，所以函数f (x )的反函数的图像经过定点P (3,1)．三、解答题8．已知函数f (x )＝log a (2－x )(a ＞1)．(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；(3)判断f－1(x)的单调性．[解析](1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x＞0，即x＜2，故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R．(2)由y＝log a(2－x)得，2－x＝a y，即x＝2－a y．∴f－1(x)＝2－a x(x∈R)．(3)f－1(x)在R上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2，∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，∵a＞1，x1＜x2，∴ax1＜ax2即ax1－ax2＜0，∴f－1(x2)＜f－1(x1)，∴y＝f－1(x)在R上是减函数．9．已知f(x)＝log a(a x－1)(a＞0，且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．[解析](1)要使函数有意义，必须a x－1＞0，当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0．∴当a＞1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0＜a＜1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a＞1时，设0＜x1＜x2，则1＜ax1＜ax2，故0＜ax1－1＜ax2－1，∴log a(ax1－1)＜log a(ax2－1)，∴f(x1)＜f(x2)．故当a＞1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；类似地，当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．(3)令y＝log a(a x－1)，则a y＝a x－1，∴x＝log a(a y＋1)．∴f－1(x)＝log a(a x＋1)．由f(2x)＝f－1(x)，得log a(a2x－1)＝log a(a x＋1)，∴a2x－1＝a x＋1，解得a x＝2或a x＝－1(舍去)，∴x＝log a2．由Ruize收集整理。
(新教材)2019-2020学年人教B版高中数学必修第二册第6章 平面向量初步 6.1.5 课时29
所以O→A＋O→C＝2O→E＝－3O→B.
知识对点练
课时综合练
解析
所以O→B＝－23O→E， |O→B|＝23|O→E|. 设点 A 到 BD 的距离为 h，则 S△AOB＝12|O→B|·h，S△AOC＝2S△AOE＝|O→E|·h.
1→ 1→ 所以SS△△AAOOCB＝2|O|→OEB|·|·hh＝2|O|→OEB||＝12×23＝13.
求证：D→E＝13(b－a)．
知识对点练
课时综合练
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证明 ∵CDDA＝EABE＝12，∴D→A＝23C→A＝23b，A→E＝13A→B＝13(A→C＋C→B)＝13(－b －a)＝－13b－13a.
∴D→E＝D→A＋A→E＝23b－13b－13a＝13b－13a＝13(b－a).
知识对点练
知识对点练
课时综合练
正解 因为 D 为 BC 的三等分点， 当 BD＝13BC 时，如图 1，
B→D＝13B→C，
知识对点练
课时综合练
答案
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所以A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B) ＝23A→B＋13A→C ＝23a＋13b.
知识对点练
课时综合练
答案 C
知识对点练
课时综合练
答案
解析 找出一个非零实数 λ 使得 a＝λb 即可判断 a∥b.A 项中 a＝－12b； B 项中 a＝4b；D 项中 a＝－32b，故 A，B，D 三项中 a∥b，而 C 项中 a＝e1 －2e2，b＝－2e1＋e2，所以 C 项 a 与 b 不一定共线，故选 C.
知识对点练
课时综合练
解析
3．(1)已知 3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中 a，b 为已知向量)， 求 x；
2019_2020学年新教材高中数学第5章统计与概率5.3.3古典概型课时21古典概型练习含解析新人教b版必修第二册
课时21 古典概型知识点一样本点个数的计算错误！未指定书签。
1.一个家庭有两个小孩，对于性别，则所有的样本点是( )A．(男，女)，(男，男)，(女，女)B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D．(男，男)，(女，女)答案 C解析把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．故选C.2．做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求出这个试验的样本点的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．解(1)这个试验的样本空间Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}．(2)样本点的总数为6.(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个样本点：(2,0)，(2,1)．知识点二古典概型的判断错误！未指定书签。
3.下列问题中是古典概型的是( )A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B．掷一个质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C．在区间[1,4]上任取一个数，求这个数大于1.5的概率D．同时掷两个质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率答案 D解析A，B两项中的样本点的发生不是等可能的；C项中样本点的总数是无限的；D项中每个样本点的发生是等可能的，且样本点总数有限．故选D.4．下列概率模型：①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲；④一只使用中的灯泡的寿命长短；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．其中属于古典概型的是________．答案③解析①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．知识点三古典概型概率的计算错误！未指定书签。
2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步 共线向量基本定理练习(含解析)新人教B版必修第二册
课时30 共线向量基本定理知识点一 共线向量基本定理1.已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ 答案 A解析 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；∵λa －μb ＝0，∴λa ＝μb ，故②可以；当x ＝y ＝0时，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．2．已知e 1，e 2不共线，若a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2，且a ∥b ，则k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．3 D ．－3 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，即3e 1－4e 2＝6m e 1＋mk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ，－4＝mk ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，k ＝－8.3. 如图所示，已知OA ′ →＝3OA →，A ′B ′ →＝3AB →，则向量OB →与OB ′ →的关系为( )A ．共线B ．同向C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′ →的长度是O B →的3倍 答案 D解析 由题意，知OB →＝OA →＋AB →，OB ′→＝OA ′→＋A ′B ′→＝3OA →＋3AB →＝3OB →，故选D.知识点二 共线向量基本定理的应用4.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，且3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S 答案 C解析 如图，由于3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，则3(PA →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)， 3(PA →＋PB →)2＝－2(PB →＋PC →)2. 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，即3PM →＝－2PN →，则点P 在中位线MN 上，则△PAC 的面积是△ABC 的面积的一半．5．设AB →＝22(a ＋5b )，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则共线的三点是________．答案 A ，B ，D解析 BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，AB →＝22BD →，即A ，B ，D 三点共线．6．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.答案 13或－2解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，∴k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m ，1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0，∴k ＝13或－2.7．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，且D ，E 分别是BC ，CA 的中点，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3∶1解析 如图，OB →＋OC →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →，∴OA →＋2OB →＋3OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)＝0，即2OD →＋OE →＝0， ∴DO →与OE →共线，即D ，E ，O 共线， ∴2|OD →|＝|OE →|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，即S △ABCS △AOC＝3.8．已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．用向量法证明：EF ∥AB ，EF ＝12(AB ＋DC )．证明 如图，延长EF 到点M ，使FM ＝EF ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得平行四边形ECMB ，由平行四边形法则得EF →＝12E M →＝12( EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →， DC →共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →， EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0，∴EF →＝12(E B →＋EC →)＝12(E A →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2D C →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB ，又|EF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12( AB →＋DC →)＝12(|AB →|＋|D C →|)，∴EF ＝12(AB ＋DC )，所以结论得证.易错点 对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线且方向相反，则k ＝________.易错分析 出错的根本原因是对共线向量基本定理b ＝λa 理解不透，误认为向量反向时，参数k 的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．答案 2正解 因为向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线， 所以k 2－4＝0，解得k ＝±2，当k ＝－2时，b ＝2a ，此时a 与b 方向相同，不符合题意，应舍去，因此k ＝2.一、选择题1．已知向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1＋2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 答案 B解析 a ＋b ＝3e 1＋e 2，∴c ＝6e 1＋2e 2＝2(a ＋b )． ∴c 与a ＋b 共线．2．下面向量a ，b 共线的有( ) ①a ＝2e 1，b ＝－2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)． A ．②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④答案 A解析 对于①，e 1与e 2不一定共线，故a 与b 不一定共线；对于②，a ＝－12b ，∴a ，b 共线；对于③，a ＝4b ，∴a ，b 共线；对于④，若a ，b 共线，则存在一实数λ，使得b ＝λa ，即2e 1－2e 2＝λ(e 1＋e 2)，得(2－λ)e 1＝(λ＋2)e 2，当λ＝2时，得e 2＝0，e 1，e 2共线，矛盾，当λ≠2时，e 1＝λ＋22－λe 2，则e 1，e 2共线，矛盾．故a 与b 不共线．综上，选A. 3．若M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A ．AB →＋BC →＋AC →B ． AM →＋MB →＋BC → C ． AM →＋BM →＋CM →D ．3A M →＋AC →答案 C解析 设D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，根据点M 是△ABC 的重心， AM →＋BM →＋CM →＝23( AD →＋BE →＋CF →)＝23(AB →＋B D →＋BC →＋CE →＋CA →＋AF →)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与AB →共线．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上答案 B解析 ∵CB →＝λPA →＋PB →，∴CB →－PB →＝λPA →，即CP →＝λPA →.∴点P ，A ，C 共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上． 二、填空题5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________．答案 1解析 由于c 与d 同向，所以可设c ＝k d (k >0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又k >0，所以λ>0，故λ＝1.6．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝4DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为________． 答案 85解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＝4DB →，∴CD →＝45CB →，即CD →＝45AB →－45AC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85.7．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋P C →＝A B →，则点P 在边AC 的________等分点处．答案 三解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，所以PC →＝2AP →，从而点P 在边AC 的三等分点处．三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，(1)如果AB →＝e 1＋e 2， BC →＝2e 1＋8e 2， CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，B D →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →与BD →共线，且AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，且此两向量均为非零向量， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线， 只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.9．如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .证明 如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ，只要证E ，E ′重合即可．设OA →＝a ， OB →＝b ，则BD →＝13a ， OD →＝b ＋13a .∵BE ′ →＝OE ′ →－b ，E ′A →＝a －OE ′ →，3BE ′ →＝E ′A →， ∴3(OE ′ →－b )＝a －OE ′ →， ∴OE ′ →＝14(a ＋3b )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13a ，即OE ′ →＝34O D →，∴O ，E ′，D 三点共线，∴E 与E ′重合．∴BE ＝14BA .10．已知OA →，OB →是不共线的两个向量，设OM →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .求证：M ，A ，B 三点共线． 证明 ∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ. ∴OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋OB →－λOB →. ∴OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BM →＝λBA →(λ∈R )，∴BM →，BA →共线． 又∵BM ，BA 有公共点B ， ∴M ，B ，A 三点共线．11．如图所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.证明 OP →＝λOA →＋μOB →＝λ(OP →＋PA →)＋μ(OP →＋PB →) ＝(λ＋μ)OP →＋λPA →＋μPB →， 又点P 在直线AB 上，不妨设PA →＝kPB →， 则(λ＋μ－1)OP →＋(λk ＋μ)PB →＝0又OP →与PB →不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ－1＝0，λk ＋μ＝0，得λ＋μ＝1.12．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，且AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解 (1)AD →＝AB →＋BD →＝a ＋12BC →＝a ＋12AC →－12AB →＝12b ＋12a ，AE →＝23AD →＝13b ＋13a ， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13b ＋13a －a＝13b －23a . (2)证明：BF →＝AF →－AB →＝12AC →－AB →＝12b －a ，BE →＝13b －23a ，∴23BF →＝BE →，故BF →∥BE →， 又BF 与BE 有公共点B ，∴B ，E ，F 三点共线．。
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率随机事件的独立性课后篇巩固提升新人教B版必修第二册
5.3.5随机事件的独立性课后篇巩固提升夯实基础1.掷一枚硬币两次,记事件A=“第一次出现正面”,B=“第二次出现反面”,下列结论正确的为()A.A与B相互独立B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.A与B互斥D.P(AB)=12A,由题意得事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响,所以A与B相互独立,所以A中结论正确.对于选项B,C,由于事件A与B可以同时发生,所以事件A与B不互斥,故选项B,C中结论不正确.对于选项D,由于A与B相互独立,因此P(AB)=P(A)P(B)=1,4所以D中结论不正确.故选A.2.甲、乙同时参加某次法语考试,甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为()A.0.42B.0.28C.0.18D.0.120.6,0.7,则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4,0.3,由于两人考试相互独立,所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为0.4×0.3=0.12.故选D.3.某市某校在秋季运动会中,安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4,每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响.现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则一名同学投篮得2分的概率为()A.0.5B.0.48C.0.4D.0.32A ,“第二次投进”为事件B ,则得2分的概率为P=P (A B )+P (B B )=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48.故选B .4.在某段时间内,甲地不下雨的概率为P 1(0<P 1<1),乙地不下雨的概率为P 2(0<P 2<1),若在这段时间内两地下雨相互独立,则这段时间内两地都下雨的概率为 ( )A.P 1P 2B.1-P 1P 2C.P 1(1-P 2)D.(1-P 1)(1-P 2)P 1,乙地不下雨的概率为P 2,且在这段时间内两地下雨相互独立,所以这段时间内两地都下雨的概率为P=(1-P 1)(1-P 2).5.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13(两人是否通过测试互不影响),两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是( ) A.13B.23C.12D.1A ,B ,则P (A )=12,P (B )=13,两人中有且只有一人能通过为事件B B+A B , 故所求的概率为P (B B+A B )=P (B )P (B )+P (A )P (B )=(1-12)×13+12×(1-13)=12.故选C .6.一射手对同一目标独立地进行4次射击,已知至少命中一次的概率为8081,则此射手的命中率是 ,此射手恰好命中三次的概率是 .3281设此射手每次射击命中的概率为P ,分析可得,至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中,由题意可知该射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1-8081=181,则(1-P )4=181,解得P=23.(2)此射手恰好命中三次的概率为P 1=13×23×23×23+23×13×23×23+23×23×13×23+23×23×23×13=3281.7.一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是13.求: (1)这名学生在途中遇到4次红灯的概率; (2)这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率; (3)这名学生至少遇到一次红灯的概率.设事件A 为在途中遇到4次红灯,P (A )=(13)4×(1-13)×5=10243.(2)设首次停车前经过3个路口为事件B , 则P (B )=(1-13)3×13=881.(3)设至少遇到一次红灯为事件C , 则其对立事件为全遇到绿灯, 所以P (C )=1-(1-13)5=211243.能力提升1.甲骑自行车从A 地到B 地,途中要经过4个十字路口,已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13,且在每个路口是否遇到红灯相互独立,那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是( ) A.13 B.427C.49D.1127解析由题可知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13,在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是1-13=23,所以甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是23×23×13=427. 2.端午节放假,甲回老家过节的概率为13,乙、丙回老家过节的概率分别为14,15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( ) A.5960B.12C.35D.160A ,B ,C ,至少1人回老家过节为事件D ,则P (D )=1-P (BBB )=1-P (B )P (B )P (B )=1-23×34×45=35.故选C .3.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,视为合格,否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立,某同学一次投篮投中的概率为p ,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p=( ) A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2p+p (1-p )+p (1-p )2=0.784,整理可得p (2-p+1-2p+p 2)=p (p 2-3p+3)=0.784,将各选项中的数分别代入方程可知A 项正确. 4.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为12,23,23,若他们3人分别向目标各发1枪,则三枪中至少命中2枪的概率为 .A 表示“甲命中”,事件B 表示“乙命中”,事件C 表示“丙命中”,则P (A )=12,P (B )=23,P (C )=23,所以他们3人分别向目标各发1枪,则三枪中至少命中2枪的概率为p=P (AB B )+P (A B C )+P (B BC )+P (ABC )=12×23×13+12×13×23+12×23×23+12×23×23=1218=23.5.在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是34,甲、乙两人都回答错误．．的概率是112,乙、丙两人都回答正确．．的概率是14.设每人回答问题正确与否是相互独立的. (1)求乙答对这道题的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.记甲、乙、丙答对这道题分别为事件A ,B ,C ,设乙答对这道题的概率P (B )=x ,由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此A ,B ,C 是相互独立事件. 由题意,得P (BB )=P (B )P (B )=(1-34)×(1-x )=112,解得x=23, 即乙答对这道题的概率为23.(2)设“甲、乙、丙、三人中,至少有一人答对这道题”为事件M , 丙答对这道题的概率P (C )=y. 由题意得P (BC )=P (B )P (C )=23×y=14,解得y=38.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P (BBB )=P (B )P (B )P (B )=(1-34)(1-23)(1-38)=596.因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对立事件,所以所求事件概率为P (M )=1-596=9196.。
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册
方法归纳 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若 A， B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B ， A 与 B 也是相互独立的，代入相 互独立事件的概率公式求解．
跟踪训练 3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮 活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮 猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结 果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率．
解析：设 A1，A2 分别表示甲两轮猜对 1 个，2 个成语的事件， B1，B2 分别表示乙两轮猜对 1 个，2 个成语的事件．根据独立性假 定，得 P(A1)＝2×34×14＝38，P(A2)＝342＝196.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人 射中”2 种情况，其概率为 P＝P(AB)十[P(A B )＋P( A B)]＝0.72＋ 0.26＝0.98.
(4)“2 人至多有 1 人射中目标”包括“有 1 人射中”和“2 人 都未射中”两种情况．
故所求概率为 P＝P(A] B )＋P(A B )＋P( A B)
解析：(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不 影响的，所以事件 A 与 B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射 手可能同时击中目标，也就是说事件 A 与 B 可能同时发生，所以事 件 A 与 B 不是互斥事件．
甲、乙击中目标相互不影响，所以相互独立，甲击中目标、乙 击中目标，可以同时发生，所以不互斥．
题型一 相互独立事件的判断[经典例题] 例 1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设 A＝“抽到 K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到 J”，那么下列每对事件是否 相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ (1)A 与 B；(2)C 与 A.
2019-2020学年高中数学人教B版必修2作业与测评：学期综合测评(一)Word版含解析.docx
必修 2学期综合测评(一)对应学生用书 P85 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 ) 和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ 卷(选择题，共 60 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )1．已知两直线 y＝ax－ 2 和 y＝(a＋ 2)x＋ 1 互相垂直，则 a 等于 ()A ． 2 B． 1 C．0D．－ 1答案D解析由题知 (a＋ 2)a＝－ 1? a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝ 0，∴ a＝－ 1，也可以代入检验．．圆x 2＋y2＋2x－4y＝0 的圆心坐标和半径分别是 ()2A ． (1，－ 2)， 5 B．(1，－ 2)，5C． (－1，2)， 5 D．(－ 1， 2)，5答案D解析圆的方程化为标准方程为(x＋ 1)2＋(y－ 2)2＝5，其圆心是 (－ 1，2)，半径为5．3．已知直线 l 的方程为 2x－ 5y＋10＝0，且在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则 |a＋b|＝ ()A ． 3 B． 7 C．10D． 5答案A解析因为直线 l 的方程为 2x－5y＋10＝0，所以令 y＝0，得 x＝－ 5，即 a ＝－ 5，令 x＝0，得 y＝ 2，即 b＝2，所以 |a＋ b|＝|－ 5＋ 2|＝3．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最大侧面的面积为()A ．1B．2C．5D．6 2222答案C解析由三视图，知该几何体的直观图如图所示．平面 AED ⊥平面 BCDE ，四棱锥A －BCDE的高为．四边形BCDE是边长为△AED＝1×1×1＝1，1 1 的正方形，则 S22△ ABC ＝S△ ABE＝1×1×2＝2，S△ACD＝1×1×5＝5，故选 C．S22225．某建筑物的上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8m，若按 1∶500 的比例用斜二测画法画出建筑物的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为()A ． 4 cm， 1 cm，2 cm，1．6 cmB． 4 cm，0．5 cm，2 cm，0．8 cmC． 4 cm，0．5 cm，2 cm，1．6 cmD． 2 cm， 0． 5 cm，1 cm，0．8 cm答案C解析由比例尺，可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm， 1． 6 cm，再结合斜二测画法，则在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为 4 cm，0．5 cm，2 cm，1．6 cm．y－2 16．直线 l ：y＝kx－ 1 与曲线x－1＝2不相交，则 k 的取值是 ()111A ．2或 3B．2C．3 D．2，3答案 A解析曲线y －2＝1表示直线 x －2y ＋ 3＝ 0(去掉点 (1，2))，则直线 l ：y ＝ kx －x －121 与曲线 y － 2＝ 1不相交，即直线 l 与 x －2y ＋ 3＝ 0 平行或直线 l 过点 (1，2)，所以x － 1 21k 的取值为 2或 3．7．如图，三棱台 ABC －A ′ B ′C ′中， AB ∶ A ′B ′＝ 1∶2，则三棱锥 A ′－ABC ，B －A ′ B ′ C ，C －A ′B ′C ′的体积之比为 ()A ． 1∶ 1∶ 1B ． 1∶ 1∶2C ． 1∶ 2∶4D ． 1∶ 4∶ 4答案 C解析设棱台的高为 h ，S ABC ＝S ，则 S A B C ＝4S ．△△ ′ ′ ′所以 V A ′ －ABC ＝1△ABC ·＝ 1，3Sh3ShV3S3ShC － A ′ B ′ C ′＝1△ A ′ B′C ′h ＝4，17又 V 台 ＝3h(S ＋4S ＋ 2S)＝3Sh ，2而 V B －A ′B ′ C ＝ V 台 －V C － A ′B ′ C ′ －V A ′－ ABC ＝3Sh ，所以 V A ′ －ABC ∶V B － A ′ B ′ C ∶V C － A ′B ′ C ′ ＝1∶2∶4．8．已知直三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝ 12，则球 O 的表面积为 ()A ． 153πB ． 160πC ．169πD ．360π答案C解析 由于直三棱柱的底面是直角三角形 ，所以可以把此三棱柱补成长方体 ，其体对角线就是外接球的直径 ，所以球 O 的半径 R ＝ 1 32＋ 42＋122＝13，所以球2 2132 O 的表面积 S ＝ 4π× 2 ＝169π，故选 C ．9．如图，三棱锥 V － ABC 中， VO ⊥平面 ABC ，O ∈ CD ， VA ＝VB ，AD ＝BD ，则下列结论中不一定成立的是 ()A ． AC ＝ BCB ． VC ⊥ VDC ． AB ⊥ VCD ． S △ VCD ·AB ＝S △ ABC ·VO答案B解析因为 VA ＝VB ，AD ＝ BD ，所以 VD ⊥AB ．因为 VO ⊥ 平面 ABC ，AB ? 平面 ABC ，所以 VO ⊥ AB ．又 VO ∩VD ＝V ，所以 AB ⊥ 平面 VCD ．又 CD? 平面 VCD ，VC? 平面 VCD ，所以 AB ⊥VC ， AB ⊥ CD ．又 AD ＝BD ，所以 AC ＝BC( 线段垂直平分线的性质 )．因为 VO ⊥ 平面 ABC ，1所以 V V － ABC ＝ 3S △ ABC ·VO ．因为 AB ⊥平面 VCD ，所以 V V － ABC ＝ V B － VCD ＋V A －VCD1 1＝ 3S △ VCD ·BD ＋3S△VCD·AD 1＝ 3S △ VCD ·(BD ＋ AD)1＝ 3S △ VCD ·AB ，所以1 △ 1 △3S ABC·VO ＝3S VCD·AB ，即 S△VCD·AB ＝S△ABC·VO ．综上知，A ，C，D 正确．10．如右图，定圆半径为a，圆心为 (b，c)，则直线 ax＋by＋c＝0 与直线 x－y＋ 1＝ 0 的交点在 ()A ．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限答案Bb＋ cax＋ by＋c＝0，x ＝－a＋b，解析解方程组得x－y＋1＝0，a－cy＝a＋b.观察题设中圆的位置，可知 a>0， b<0，c>0，且a＋b<0，b＋c<0， a－c>0，b＋ c a－ c所以 x＝－a＋b<0，y＝a＋b<0．．在正三棱柱11 1 中，若AB＝2，AA 1＝1，则点A到平面A 111ABC－ A B C BC 的距离为 ()3333A ．4B．2C．4D． 3答案B解析因为 ABC －A 1 1 1 是正三棱柱，AB＝2，所以底面三角形ABC的面B C积为3，所以 VA1 －ABC ＝1×3×1＝3．如图，在△ A 1中， 1 ＝ 1 ＝33BC A B A C 12＋22＝5，所以 BC 的中点 M 到 A 1的距离为 5 2－1＝ 2，所以 S△A1BC＝1×2×2＝2．设点 A 到平面 A的距离为，所以1·△· ＝－，21BC h 3SA1BC h VA1ABC解得 h＝23．12．若圆 C：x2＋ y2＋2x－4y＋ 3＝ 0 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，则由点 (a，b)所作的圆的切线长的最小值是()A ． 2 B． 3 C．4 D．6答案C解析将圆 C： x2＋y2＋2x－4y＋ 3＝0 化为标准方程为 (x＋1)2＋(y－2)2＝2，∴圆心 C(－ 1，2)，半径 r＝ 2．∵圆 C 关于直线 2ax＋ by＋6＝0 对称，∴直线 2ax＋by＋ 6＝ 0 过圆心，将 x＝－ 1， y＝2 代入直线方程得－ 2a＋2b＋6＝0，即 a＝ b＋3．∵点 (a，b)与圆心的距离 d＝ a＋ 1 2＋ b－2 2，∴ 由点 (a，b)向圆 C 所作切线长 l＝ d2－r2＝ a＋ 1 2＋ b－2 2－ 2＝b＋4 2＋ b－2 2－2＝ 2 b＋1 2＋16≥ 4，当且仅当 b＝－ 1 时切线长最小，最小值为 4．第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13．如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，A∈l，B∈l ，AC? α，BD? β，AC ⊥l ， BD ⊥l，且 AB ＝4，AC ＝3，BD ＝ 12，则 CD＝________．答案13解析连接 BC(图略 )，因为 AC ⊥l， AC＝ 3， AB ＝ 4，所以 BC＝5．因为 BD⊥l ，l ＝α∩β，α⊥β， BD? β，所以 BD ⊥α．又BC? α，所以 BD ⊥BC．在Rt△ DBC 中，CD＝ BD 2＋BC2＝13．14．四边形 ABCD 中，A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，若四边形 ABCD绕 y 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________．答案5π解析如右图所示，V 圆锥＝1 21＝12×2＝8π，V圆台＝1πh22＋ R2＋Rr)＝1π× ×2＋ 12＋2×1)＝73πr h3π× 233 (r3 1 (23π，∴ V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π．15．在△ ABC 中，高 AD 与 BE 所在直线的方程分别是x ＋5y－3＝0 和 x＋ y － 1＝ 0， AB 边所在直线的方程是 x ＋ 3y－ 1＝ 0，则△ ABC的顶点坐标分别是A________；B________； C________．答案(－2，1) (1，0) (2， 5)高 AD 与边 AB 所在直线的交点即为顶点 A ，联立x＋5y－3＝0，解析得x＋3y－1＝0，A( －2，1)．高 BE 与边 AB 所在直线的交点即为顶点B，联立x＋y－1＝0，得x＋3y－1＝0，B(1，0)．因为直线 AC 过点 A ，且与直线 BE 垂直，所以直线 AC 的方程为 y－ 1 ＝x ＋2，即y＝x＋3，同理，直线 BC 的方程为 y＝ 5(x－ 1)，联立两直线方程得 C(2，5)．16．如图，正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G，已知△ A ′ED是△ AED 绕 DE 翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题：①动点 A ′在平面 ABC 上的射影在线段AF 上；②恒有平面 A ′ GF⊥平面 BCED ；③三棱锥 A ′－ FED 的体积有最大值；④直线 A ′E 与 BD 不可能垂直．其中正确命题的序号是 ________．答案 ①②③解析 对于命题 ①， 由题意，知 A ′ G ⊥DE ，FG ⊥ DE ，A ′G ∩ FG ＝ G ，故 DE ⊥ 平面 A ′FG ．又 DE? 平面 ABC ，所以平面 A ′FG ⊥平面 ABC ，故该命题正确；对于命题 ②， 由①可知正确；对于命题 ③， 当 A ′ G ⊥平面 ABC 时，三棱锥 A ′ －FED 的体积有最大值 ，故命题 ③正确；对于命题 ④，当 A ′E 在平面 ABC 上的射影与直线 BD 垂直时，易证 A ′E 与 BD 垂直，故该命题不正确 ．三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤 )17．(本小题满分 10 分)已知直线 l ：kx － y ＋ 1－ 2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线 l 过定点；(2)若直线 l 交 x 轴正半轴于点 A ，交 y 轴正半轴于点 B ，O 为坐标原点，且 |OA|＝ |OB|，求 k 的值．解 (1)证法一：直线 l 的方程可化为 y － 1＝k(x － 2)， 故无论 k 取何值，直线 l 总过定点 (2，1)．证法二：设直线过定点 (x 0， y 0)，则 kx 0－y 0＋1－2k ＝0 对任意 k ∈R 恒成立，x 0 －2＝0，即(x 0－2)k － y 0＋1＝0 恒成立，所以 － y 0＋1＝0，解得 x 0＝ 2， y 0 ＝1，故直线 l 总过定点 (2， 1)． (2)因直线 l 的方程为 y ＝kx －2k ＋ 1，1则直线 l 在 y 轴上的截距为 1－2k ，在 x 轴上的截距为 2－k ，依题意 1－ 2k ＝2－1，解得k ＝－ 1或 k ＝ 1经检验，不符合题意 ，所以所k >02()求 k ＝－ 1．18．(本小题满分 12 分 )如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及主视图和左视图 (单位： cm)．(1)画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；(2)按照给出的数据，求该几何体的体积．解(1) 该几何体的俯视图如图所示 ．1 1 284 3)． (2) 该几何体的体积 V ＝ V 长方体 －V 三棱锥 ＝ 4× 4× 6－ 3×2× 2× 2× 2＝ 3 (cm 19．(本小题满分 12 分)已知动点 M 到点 A(2 ，0)的距离是它到点 B(8，0)的距离的一半，求：(1)动点 M 的轨迹方程；(2)若 N 为线段 AM 的中点，试求点N 的轨迹．解(1)设动点 M(x ， y)为轨迹上任意一点 ，则点 M 的轨迹就是集合 P ＝1M|MA| ＝2|MB| ．由两点间距离公式 ，点 M 适合的条件可表示为x － 22＋ y 2＝1x －8 2＋ y 2 ．2平方后再整理 ，得 x 2＋ y 2＝16．可以验证 ，这就是动点 M 的轨迹方程 ．(2)设动点 N 的坐标为 (x ，y)，M 的坐标是 (x 1，y 1)．由于 A(2 ， 0)，且 N 为线段 AM 的中点，2＋x 1 0＋ y 1所以 x ＝ 2 ， y ＝ 2 ．所以有 x 1＝2x － 2， y 1 ＝2y ．①由 (1)知，M 是圆 x 2＋ y 2＝16 上的点，22所以 M 的坐标 (x 1， y 1)满足 x 1＋y 1＝16．②22将 ①代入 ②整理 ，得(x － 1) ＋y ＝ 4．所以 N 的轨迹是以 (1， 0)为圆心，2 为半径的圆 ．20．(本小题满分 12 分 )如图，在四棱锥 P －ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，AC ⊥CD ， E ， F 分别是 PC ，AC 的中点．证明： (1)BF∥平面 PCD；(2)AE ⊥平面 PCD．证明(1)因为∠ ABC ＝ 60°，AB ＝BC，所以△ABC 为等边三角形．又F 是 AC 的中点，所以 BF⊥AC ．又CD⊥AC ，且 BF，CD，AC 都在平面 ABCD 内，所以 BF∥CD．因为 CD? 平面 PCD，BF?平面 PCD，所以 BF∥平面 PCD．(2)由(1)知，△ ABC 为等边三角形，且PA＝AB ，所以 PA＝AC ．又 E 为 PC 的中点，所以 AE ⊥PC．因为 PA⊥底面 ABCD ，CD? 平面 ABCD ，所以 PA⊥CD．又CD⊥AC ，PA∩AC ＝A ，所以 CD⊥平面 PAC．又AE? 平面 PAC，所以 CD⊥AE ．又PC∩CD＝C，所以 AE ⊥平面 PCD．21．(本小题满分 12 分 )如图，在三棱台 ABC － DEF 中，平面 BCFE⊥平面 ABC ，∠ACB ＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC ＝3．(1)求证： BF ⊥平面 ACFD ．(2)求三棱台 ABC － DEF 的体积．解 (1)证明：延长 AD ， BE ， CF 相交于一点 K ，如图所示 ，因为平面 BCFE ⊥ 平面 ABC ，且 AC ⊥BC ，所以 AC ⊥平面 BCK ，所以 BF ⊥AC ，又因为 EF ∥ BC ， BE ＝ EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以 △BCK 为等边三角形 ，且 F 为 CK 的中点，则 BF ⊥ CK ，所以 BF ⊥ 平面 ACFD ．DF EF(2)由题意知 ，△ DEF 和△ABC 都是直角三角形且相似 ，所以 AC ＝ BC ，所以 EF 1 3DF ＝ BC ·AC ＝2×3＝2，S △DEF ＝ 1× EF × DF ＝ 1×1×3＝3，2 2 2 4 S △ ABC ＝1×AC ×BC ＝1×3×2＝3，22过点 E 作 EH ⊥BC ，垂足为 H ，则由平面 BCFE ⊥ 平面 ABC ，可得 EH ⊥ 平面ABC ，在等腰梯形 BCFE 中，EH ＝2 2－ 12＝ 31 －22 ，所以该三棱台的体积为 1 32 323 59 3 3×4 ＋4×3＋3 × 2 ＝ 32 ．22．(本小题满分 12 分)已知圆 O ：x 2＋y 2＝4，点 P 是直线 l ：x ＝4 上的动点．(1)若从点 P 到圆 O 的切线长为 2 3，求点 P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长；(2)若点 A(－ 2，0)，B(2，0)，直线 PA ，PB 与圆 O 的另一交点分别为 M ，N ，求证：直线 MN 经过定点 Q(1，0)．解 (1)依题意，设 P(4， t)．设两切点分别为 C ，D ，则 OC ⊥PC ，OD ⊥PD ．由题意可知 |PO|2＝|OC|2 ＋|PC|2，即 42＋t 2＝ 22＋(2 3)2，解得 t ＝0， 所以点 P 的坐标为 (4，0)．在 Rt △ POC 中，可求得 ∠POC ＝60°，所以 ∠DOC ＝120°，120° 4π 所以所求两条切线所夹的劣弧长为2π×2×＝．360° 3(2)证明：设 M(x 1， y 1 )，N(x 2，y 2)．PA 的方程为 y ＝ t依题意，可得直线 6(x ＋ 2)，t由 y ＝6 x ＋2， 得(t 2＋36)x 2＋4t 2x ＋4t 2－144＝ 0．x 2＋ y 2＝4，因为直线 PA 经过点 A( － 2， 0)，M(x 1，y 1 ，) 所以－ 2，x 1 是上述方程的两个根 ，2－144－2 则－ 2x 1＝4t 2＋36 ，即 x 1＝7222t ， tt ＋ 36t代入直线方程 y ＝ 6(x ＋ 2)，t 72－ 2t 224t得 y 1＝ 6 t 2＋ 36 ＋2＝t 2＋ 36．t同理，可得直线 PB 的方程为 y ＝ 2(x －2)．t由y ＝2x －2 ，得(t 2＋4)x 2－4t 2x ＋4t 2－ 16＝0．x 2＋ y 2＝4，因为直线 PB 经过点 B(2，0)，N(x 2， y 2 )，所以 2，x 2 是上述方程的两个根 ，4t 2－162t 2－8则 2x 2＝ t 2＋4 ，即 x 2＝ t 2＋4 ，t代入直线方程 y ＝ 2(x － 2)，2t 2－8 －8t得 y 2＝ t 2－2＝ 2．2 t ＋ 4t ＋42t 2－8＝1，若 x 1＝1，则 t 2＝12，此时 x 2＝ 2t ＋ 4显然 M ，N 在直线 x ＝1 上，所以直线 MN 经过定点 Q(1，0)．若 x 1≠1，则 t 2≠12， x 2≠1，24t1t 2＋36－ 8t由 k MQ ＝y－ 0＝ 2＝2，x 1－ 1 72－2tt －12t 2 ＋36 －1－ 8tk NQ ＝y2－0＝t 2＋4－ 8t，可知 k MQ ＝ k NQ ，2＝ 2x 2－12t － 8t －12t 2＋4 － 1所以 M ，Q ，N 三点共线 ，即直线 MN 经过定点 Q(1， 0)．综上所述 ，直线 MN 经过定点 Q(1，0)．。
2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步 向量的加法练习(含解析)新人教B版必修第二册
课时26 向量的加法知识点一 向量加法的三角形法则1.已知向量a ，b ，c ，那么下列结论中正确的是( )A ．a ＋b ＝cB ．b ＋c ＝aC ．a ＋c ＝bD ．|a |＋|b |＝|c |答案 B解析 根据向量加法的三角形法则可得b ＋c ＝a .故选B.2．当a ，b 满足下列哪种条件时，等式|a ＋b |＝|a |－|b |成立？( ) A ．a 与b 同向且|a |≥|b | B ．a 与b 反向且|a |≤|b | C ．a 与b 同向且|a |≤|b | D ．a 与b 反向且|a |≥|b | 答案 D解析 当a 与b 反向且|a |≥|b |时，|a ＋b |＝|a |－|b |.知识点二 向量加法的平行四边形法则3.如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO → 答案 C解析 设a ＝OP →＋OQ →，利用平行四边形法则作出向量OP →＋OQ →，再平移即发现a ＝FO →. 4．如下图，在正六边形OABCDE 中，若OA →＝a ，OE →＝b ，试用向量a ，b 将OB →，OC →，OD →表示出来．解 由题意知四边形ABPO ，AOEP 均为平行四边形， 由向量的平行四边形法则，知OP →＝OA →＋OE →＝a ＋b . ∵AB →＝OP →，∴AB →＝a ＋b .在△AOB 中，根据向量的三角形法则，知OB →＝OA →＋AB →＝a ＋a ＋b ＝2a ＋b ， ∴OC →＝OB →＋BC →＝2a ＋b ＋b ＝2a ＋2b .OD →＝OE →＋ED →＝OE →＋AB →＝b ＋a ＋b ＝a ＋2b . 知识点三 多个向量相加 5.化简下列各式：(1) AB →＋MB →＋BO →＋OM →；(2) MB →＋AC →＋BM →；(3) OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解 (1)原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →.(2)原式＝(MB →＋BM →)＋AC →＝AC →.(3)原式＝OA →＋BO →＝BO →＋OA →＝BA →.6．向量a ，b ，c ，d ，e 如图所示，据图回答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用a ，b ，e 表示EC →.解 由题图知AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e . (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a . (2)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝e ＋a ＋b .一、选择题1．已知非零向量a ，b ，c ，则向量(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(b ＋a )，c ＋(a ＋b )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 根据向量加法的运算律解答．2. 如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 答案 D解析 由于BA →＝DE →，故BA →＋ CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →. 3．若C 是线段AB 的中点，则AC →＋BC →等于( ) A ． AB →B ．BA →C ．0D ．以上均不正确答案 C解析 AC →与BC →的模相等而方向相反，因此AC →＋BC →＝0.4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C. 2 D ．2 2 答案 D解析 ∵A B →＋BC →＝AC →，∴|a ＋b ＋c |＝|2c |， ∵|c |＝2，∴|a ＋b ＋c |＝2 2.故选D.5．已知向量a ，b 均为非零向量，下列说法不正确的是( ) A ．向量a 与b 反向，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 B ．向量a 与b 反向，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同 C ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与a 的方向相同 D ．向量a 与b 同向，则向量a ＋b 与b 的方向相同 答案 B解析 ∵a 与b 方向相反，|a |<|b |，∴a ＋b 与a 的方向相反，故B 不正确． 6．已知平行四边形ABCD ，设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a ，且b 是一非零向量，则下列结论： ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |.其中正确的是 ( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①② 答案 A解析 a ＝0，①③正确，②错误；|a ＋b |＝|0＋b |＝|b |＝|a |＋|b |，④错误． 二、填空题7．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________． 答案 20 4解析 当a ，b 共线同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |＝8＋12＝20， 当a ，b 共线反向时，|a ＋b |＝||a |－|b ||＝4. 当a ，b 不共线时，||a |－|b ||<|a ＋b |<|a |＋|b |， 即4<|a ＋b |<20，所以最大值为20，最小值为4.8．小李从家里出发，先到小卖部买了一瓶矿泉水，再到小区门口，这样走的路程________(填“大于”“小于”“不大于”“不小于”或“等于”)他从家里直接到小区门口的距离．(假设这几条路都是直的)答案 不小于解析 由性质|a ＋b |≤|a |＋|b |，小李从家里出发先到小卖部再到小区门口走的路程不小于他从家里直接到小区门口的距离．9．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝2，则|BC →＋DC →|＝________. 答案 2 3解析 如图所示，设菱形对角线交点为O .BC →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →.∵∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． 又∵|AB →|＝2，∴|OB →|＝1. 在Rt △AOB 中，|AO →|＝ |AB →|2－|OB →|2＝3，∴|AC →|＝2|AO →|＝2 3. 三、解答题10. 如图，已知向量a ，b .(1)用平行四边形法则作出向量a ＋b ；(2)用三角形法则作出向量a ＋b .解 (1)如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，连接OC ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b .(2)如图，在平面内任取一点O ′，作O ′D →＝a ，DE →＝b ，连接O ′E ，则O ′E →＝O ′D →＋DE →＝a ＋b .11．如图，∠AOB ＝∠BOC ＝120°，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，求OA →＋OB →＋OC →.解 如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB ，由向量加法的平行四边形法则，易知OA →＋OB →＝OD →.∵∠AOB ＝120°，| OA →|＝| OB →|， ∴∠BOD ＝60°，|OB →|＝|OD →|. ∵∠BOC ＝120°，|OB →|＝|OC →|， ∴OD →＋OC →＝0，故OA →＋OB →＋OC →＝0.12. 已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点．求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.证明 连接EF ，由题意知，AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →. 由D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点可知，EF →＝CD →，BF →＝FA →.∴AD →＋BE →＋CF →＝(AC →＋CD →)＋(BC →＋CE →)＋(CB →＋BF →)＝(AC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋(BC →＋CB →)＝(AE →＋EC →＋CD →＋CE →＋BF →)＋0＝AE →＋CD →＋BF →＝AE →＋EF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0.。
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全册综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题所给的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (a )＝1，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B 由题意知log 2(a ＋1)＝1，∴a ＋1＝2，∴a ＝1. 2．函数y ＝x －1·ln(2－x )的定义域为( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2]D ．[1,2]解析：选B 要使解析式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2－x ＞0，解得1≤x ＜2，所以所求函数的定义域为[1,2)．3．已知O ，A ，B 是同一平面内的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC ―→＋CB ―→＝0，则OC ―→＝( )A ．2OA ―→－OB ―→B ．－OA ―→＋2OB ―→C.23OA ―→－13OB ―→ D ．－13OA ―→＋23OB ―→解析：选A 依题意，得OC ―→＝OB ―→＋BC ―→＝OB ―→＋2AC ―→＝OB ―→＋2(OC ―→－OA ―→)，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→，故选A.4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个黑球与都是红球B ．至少有一个黑球与都是黑球C ．至少有一个黑球与至少有一个红球D ．恰有1个黑球与恰有2个黑球解析：选D A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件．故选D.5．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为( ) A．193 B．192C．191 D．190解析：选B 1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，求得n＝192.6．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( ) A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数解析：选B 统计问题中，体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差．故选B.7．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，若a∥b，则m2＝1，即m＝±1，故“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.8．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得到了他们某月交通违章次数的数据，结果制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )A．1 B．1.8C．2.4 D．3解析：选B 5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×450＝1.8.9．甲、乙、丙三人在3天节目中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙的前面值班的概率是( )A.16B.14C.13D.12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；丙、甲、乙；丙、乙、甲；乙、甲、丙；乙、丙、甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝2a －b ，则|c |＝( ) A.26 B ．3 2 C.10D. 6解析：选B ∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴c ＝2a －b ＝(3,3)，∴|c|＝9＋9＝32，故选B.11．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |解析：选ABC 易知y ＝1x；y ＝e －x ，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg |x |在(0，＋∞)上是增函数．故选ABC.12．在△ABC 中，下列四个选项正确的是( ) A ．AB ―→－AC ―→＝BC ―→ B ．AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0C ．若(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝0，则△ABC 为等腰三角形 D ．若AC ―→·AB ―→>0，则△ABC 为锐角三角形解析：选BC ∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→＝－BC ―→≠BC ―→，∴A 错误．AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝AC ―→－AC ―→＝0，∴B 正确．由(AB ―→＋AC ―→)·(AB ―→－AC ―→)＝AB 2―→－AC 2―→＝0，得|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 为等腰三角形，C 正确．AC ―→·AB ―→>0⇒cos 〈AC ―→，AB ―→〉>0，即cos A >0，∴A 为锐角，但不能确定B ，C 的大小，∴不能判定△ABC 是否为锐角三角形，∴D 错误，故选BC.13．图1为某省2019年1～4月份快递业务量统计图，图2为该省2019年1～4月份快递业务收入统计图，则下列选项中对统计图理解正确的是( )A ．2019年1～4月份快递业务量中3月份最高，2月份最低，差值接近2 000万件B ．2019年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关C ．从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致D ．从1～4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长解析：选ABC 对于A,2019年1～4月份快递业务量中3月份最高，有4 397万件，2月份最低，有2 411万件，其差值接近2 000万件，所以A 正确；对于B,2019年1～4月份快递业务量的同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关，所以B 正确；对于C ，由题中两图易知增量与增长速度并不完全一致，其业务量从高到低变化是3月→4月→1月→2月，业务收入从高到低变化是3月→4月→1月→2月，保持高度一致，所以C 正确；对于D ，由题图知业务收入2月相对1月减少，4月相对3月减少，整体不具备高速增长之说，所以D 不正确．综上，选ABC.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡上的横线上)14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，2x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19的值为________．解析：因为19＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝log 33－2＝－2，所以f (－2)＝2－2＝14.答案：1415．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________．解析：由平均数为10，得(x ＋y ＋10＋11＋9)×15＝10，则x ＋y ＝20；又方差为2，∴[(x－10)2＋(y －10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2]×15＝2，得x 2＋y 2＝208,2xy ＝192，∴|x －y |＝(x －y )2＝x 2＋y 2－2xy ＝4.答案：416．甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，25，那么三人中恰有两人合格的概率是________．解析：三人中恰有两人合格的概率P ＝23×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34×25＝715.答案：71517．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________(一空2分)．解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1， ∴a ＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x ，y ，z 人， 则x100＝0.030×10，解得x ＝30.同理，y ＝20，z ＝10. 故从[140,150]的学生中选取的人数为1030＋20＋10×18＝3.答案：0.030 3三、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18．(12分)已知a ＝AB ―→，B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)＝AB ―→.又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )， 则AB ―→＝(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10，即A 点坐标为(8，－10)．1 7 92 0 1 5 319.(14分)某车间共有12所示．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？解：(1)样本均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人所占比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．20．(14分)已知f (x )＝|log 3x |. (1)画出函数f (x )的图象；(2)讨论关于x 的方程|log 3x |＝a (a ∈R)的解的个数．解：(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ≥1，－log 3x ，0＜x ＜1，对应的函数f (x )的图象如图所示．(2)设函数y ＝|log 3x |和y ＝a .当a ＜0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个． 当a ＝0时，两图象只有1个交点，原方程只有1解． 当a ＞0时，两图象有2个交点，原方程有2解． 21．(14分)已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a >0，且a ≠1)． (1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴0<a <1或1<a <32，∴实数a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数． ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数，∴a >1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 22．(14分)今年西南一地区遭遇严重干旱，某乡计划向上级申请支援，为上报需水量，乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量，得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表：(月均用水量的单位：吨)(1) (2)估计样本的中位数是多少；(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水，若该乡共有1 200户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？解：(1)频率分布表与相应的频率分布直方图和频率分布折线图如下：[0.5,2.5)120.12[2.5,4.5)240.24[4.5,6.5)400.40[6.5,8.5)180.18[8.5,10.5]60.06合计100 1.00(2)设中位数为x，因为月均用水量在[0.5,4.5)内的频率是0.12＋0.24＝0.36，月均用水量在[0.5,6.5)内的频率是0.12＋0.24＋0.40＝0.76，所以x∈[4.5,6.5)，则(x－4.5)×0.2＝0.5－0.36，解得x＝5.2.故中位数是5.2.(3)该乡每户月均用水量估计为1．5×0.12＋3.5×0.24＋5.5×0.40＋7.5×0.18＋9.5×0.06＝5.14，由5.14×1 200＝6 168，知上级支援该乡的月调水量是6 168吨．23．(14分)(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2 000元大于2 000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为40100×1 000＝400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)＝125＝0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．。