高中数学必修五《不等式及其基本性质》教案

§2.2 不等式及其基本性质

预备知识

∙数与式的基本运算

∙数轴

重点

∙比较两个实数的大小

∙不等式的解集

难点

∙不等式的基本性质

∙比较式的大小

学习要求

∙了解不等式的概念，

∙熟练应用不等式的基本性质解题

1. 不等式及其基本性质 我们先用天平来做两个实验． 实验1：

在天平的一端放一个实物(如一只玻璃杯)，另一端逐一加1g 的砝码，观察天平平衡的情况．

当天平处在平衡状态，说明两端的 重量是相等的；当天平处在不平衡状态， 则两端的重量不等．在实验中你可以观 察到：

(1)天平平衡是可能的；

(2)天平不平衡状态是经常发生的， 所谓平衡，往往也只能是近似地处于平衡

状态．这说明实际生活中，除了等量关系外，更多的是不等量关系． 在数学上，等量关系用等号“=”表示，不等量关系用符号“≠”或“<(≤)”、“>(≥)”表示，依次读作不等于、小于(不大于或小于等于)、大于(不小于或大于等于)．不等于关系不能反映大小关系，因此，我们更有兴趣的，是研究以“<(≤)”、“>(≥)”表示的不等量关系．用符号“<(≤)”、“>(≥)”表示量之间不等关系的式子，称为不等式．

用x 表示天平右边实物的重量，图2-11(1)的表示x >1，读作x 大于1；图2-11(2)表示x <2，读作x 小于2． 课内练习1

1.请你用“>(≥)”、“<(≤)”表示你在实验中出现的不等量关系．

2.字母a ,b ,c ,d ,e ,f 所表示的数如图所示．用“>(≥)” 、“<(≤)”连接任意两 个字母．

实验2：

选图2-11中天平一种不平衡态．

(1)在天平两端增加或减少相等数量的砝码，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质1：不等式两边加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号方向不变．例如

⇒ 7+3>5+3(即10>8)；

⇒ 7+(3⨯3-3)>5+(3⨯3-3)(即13>11)； ⇒ 7-9>5-9(即-2>-4)．

(2)在天平两端以同样倍数增加重量，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质2：不等式两边同乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变．例如

7>5 ⇒ 7⨯2>5⨯2 (即14>10)；

-5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

d e c f a b

∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

第2题图

7>5

7>5 ⇒ 7÷2>5÷2 (即3.5>2.5)； 7>5 ⇒ 7⨯x >5⨯x , x >0．

但是若在一个不等式的两边同乘以或除以一个负数，情况会怎样呢？请你和我一起验证：

7>5 ⇒ 7⨯(-2)<5⨯(-2)(即-14<-10)； 5>-7 ⇒ 5⨯(-5)<(-7)⨯(-5)(即-25<35)； -3<-2 ⇒ (-3)÷(-4)>(-2)÷(-4)(即

43>2

1)． 这是不等式的基本性质3：不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号方向变向． 课内练习2 1. 因为3<5，所以

(1)3+2 5+2，根据 ； (2)3+(-2) 5+(-2)，根据 ． 2. 因为4>2，所以

(1)4⨯3 2⨯3，根据 ； (2)4⨯(-3) 2⨯(-3)，根据 ． 3. 用不等式表示下面的文字意思： (1)x 与3的差大于0； (2)y 与5的和小于1； (3)y 的3倍不小于6． 4. 利用不等式的基本性质填空：

(1)不等式x +3>0的两边同减去3后，不等式成为 ； (2)不等式

y +6<2y -4

的两边同加上4

后，不等式成

为 ； (3)不等式

2

1

x +7<-9的两边同乘以2后，不等式成为 ； (4)不等式9x +18<18x +6的两边同除以9后，不等式成为 ； (5)不等式-

2

1

x +7<-9的两边同乘以-2后，不等式成为 ； (6)不等式9x +18<-18x +6的两边同除以-9后，不等式成为 ．

根据不等式基本性质1，对于任意两个实数a ,b ，有 a b ⇔ a-b >0； a =b ⇔ a-b =0．

(这里的记号“⇔”表示可以从左边关系，导出右边的关系，也可从右边关系，导出左边的关系)因此可以用求差法来判断两个数或两个式的大小．

例1 比较65和7

6

的大小． 解 因为 65-76=42

1423635-=-<0， 所以

65<7

6 ▍ 例2 比较x 2+x 和3x -2的大小，其中x 为任意实数．

解 因为 (x 2+x )-( 3x -2) =x 2+x -3x +2 =(x 2-2x +1)+1 =(x -1)2+1>0， 所以 (x 2+x )>( 3x -2) ▍

应用求差法还可以证明：若a >b ,b >c , 则a >c ．这个性质称为不等式的传递性 课内练习3

1. 比较下列各组中两个实数的大小：

(1)32和4

3

； (2)-3和-4； (3)12.3和3112．

2. 比较下列各组中两个式的大小(式中的x 是任意实数)： (1)(x +1)2和2x +1；(2)(x +5)(x +7)和(x +6)2．

2. 数集的区间表示法

在§1解一元一次不等式时，你已经知道它的解是一个数集，称为解集；即将学习的其它类型不等式的解，一般也是数集．此前的数集都是用特征描述法来表示的，为了更方便地表示数集，下面介绍一种新的、更为简单的区间表示法．

(1)开区间(a , b )：(a ,b )表示{x a

(4)左闭右开区间[a ,b )：[a ,b )表示{x a ≤x a }，如图2-12(5)； (6)左闭右无界区间[a ,+∞)：[a ,+∞)表示{x x ≥a }，如图2-12(6)；

(7)左无界右开区间(-∞,b )：(-∞,b )表示{x x

图2-12(1)

图2-12(2)

图2-12(3)

图2-12(4)

图2-12(5)

图2-12(6)