人口发展趋势预测

人口发展趋势预测 Ting Bao was revised on January 6, 20021浙江省人口发展趋势预测杨丙良（通信工程）高勇（数学与应用数学）杨丽娜（计算机科学与技术）2012/3/20浙江省人口增长预测模型简述：本文对浙江省人口增长趋势进行了研究，建立人口增长模型。

选用了马尔萨斯人口增长模型，阻滞增长模型，非线性插值，灰度模型。

得到预测结果如下：考虑到老龄化以及性别比例对人口增长的影响，通过灰色序列，得到了人口的出生率、死亡率的模型，预测未来长时间内的人口增长情况，并且进一步通过图形解释，说明了人口增长的大致趋势。

但是由于浙江省统计年鉴中数据不全面，无法找到详尽的数据资料，造成了对年龄结构、性别比例、城乡差异等因素的无法考虑在内，鉴于此因素，本文对长期人口预测不做说明。

一问题重述背景：伴随着社会不断发展，浙江省新时期内的发展受到人口增长的极大影响，人口增长预测的研究是国家（地区）制定未来人口发展目标和生育政策等有关人口政策的基础，对于经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。

人口增长对人民的经济生活，政治生活，文化生活，娱乐生活等方面都有极大的影响。

浙江省是人口大省、地域小省(资源小省)，虽然从“资源小省、经济小省(国家投入小省)、工业小省”迅速发展成为“经济大省”，但人口问题始终是制约浙江省发展的关键因素之一。

因此对浙江省人口增长做出合理分析和预测显得十分的重要。

近年来浙江省的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着浙江省人口的增长。

问题：收集浙江省人口统计资料，并根据数据资料内容，从浙江省的实际情况和人口增长的特点出发，建立浙江省人口增长的数学模型，并由此对浙江省人口增长做出预测。

分别从不同的方面对人口增长做出短期，中期，长期的预测。

以及分析老龄化特点等问题。

二问题假设1、假设所研究问题处在封闭系统中，不考虑外来人口影响。

2、在所研究时段内，不发生大规模的人口外迁和移民问题。

3、社会稳定，没有战争及大规模疾病影响。

4、全省各民族生育政策相同。

5、短期内人民的生育观念不发生改变。

6、所研究的处于同一年龄段内的人，没有区别。

7、忽略经济、社会、资源、政策等因素对人民的影响。

三符号说明f(x)-----------第i x年人口总量ip(t) ------------t时刻的人口数量x----------------第i年ir ------------人口增长固有增长率(人口总数很小时)x ------------省内人口最大容量（资源、环境能容纳的最大m数量）x --------------浙江省一年的的总人口t ---------------时间(年份)s---------------假设参数（其中s>0)x--------------微分方程的初始值（人口初始值）b(x)-----------人口出生率d(x)-----------人口死亡率r(x)-----------人口增长率四 问题分析人口增长需要定量测算，准确预测出人口未来发展的趋势，同时还要能预测出未来人口老龄化问题，抚育这就需要多方面考虑，诸如人口基数，年龄结构，性别比例，出生率，死亡率，自然增长率。

同时还受限于我国的人口政策，国际化外来移民，民族观念。

本文不考率外来因素和宏观政治因素，认为研究的系统封闭，固可得，人口数量=人口基数+出生数目—死亡数目。

对于不同时期的预测，考虑因素也不尽相同。

像中短期预测，可以近似认为年龄结构，性别比例，出生率，死亡率，自然增长率没有太大变化，稳定于某一固定数量周围。

但是，对于长期预测，由于一系列因素影响，这时，必须考虑年龄结构，性别比例，城镇男女生育观的差异等因素。

此时，建立Leslie 人口模型，对长期人口数量进行预测。

五 模型建立与求解I 插值模型在不明确知道人口的增长率，只知道年份与人口数量关系的条件下，估计人口的增涨趋势。

我们可以建立简单的模型来预测短期的人口增长趋势。

首先将年份与年份的人口看作二维平面的节点（()i i x f x ,）。

用这些点集可以构造一个简单的多项式函数f （x ）。

且f(x)过已知的点，由此可以推断出未来几年的发展情形。

由于构造的多项式函数与节点的关系为：n 个点确定一个最高次数不超过n-1次的多项式，对于次数越高的函数，对于x 的变化f （x ）变化越快，所以选取的节点数不能过多，另一方面节点太少问题的解答结果就不精确，所以此处选择6个节点。

假设浙江省人口变化规律满足多项式函数。

[]k x x x f ,,10为k 阶均差。

2.建立模型由分析可知可以将时间与人口数看成是平面上的点，对与取出的n 个点，依据牛顿插值公式得f （x ）的一般表达式为：[][][])())((,,))((,,)(,)()(11010102100100------+-+=n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x f 选取2005年到2010年的数据作为插值的节点根据牛顿插值公式计算f （x ）表达式的系数，如下表table 01所示 table 01由表格的数据可以确定f （x ）的表达式：f(x)=+*(x-2005)+*(x-2005)*(x-2006)*(x-2005)*(x-2006)*(x-2007)+*(x-2005)*(x-2006)*(x-2007)*(x-2008)*(x-2005)*(x-2006)*(x-2007)*(x-2008)*(x-2009)根据f（x）的表达是画出图像模型的预测值：由此图像可以预测出人口数量为：年份20112012201320142015人口（万人）此模型的缺点是对于长期的预测存在较大的误差，只能用来估计短时间内的人口变化规律。

误差的来源主要是所选取的模型没有考虑到人口的增长率。

另外对于多项式函数插值，所构造的函数对于节点的增加不能增加函数的精确度，所以能够选取的点数严重受限。

II 马尔萨斯增长模型在考虑短期人口增长问题的时候，可以简单的假设人口的增长率为一个常数,假设在时刻t 增长率和人口总数成正比，令增长率为r ，并且以p(t)代表t 时刻的人口数，假设p(t)连续可微。

于是有以下式子成立：()()*()*p t t p t r p t t +-=于是：()()()*p t t p t r p t tdp r p dt+-=-→=又:00()p t p =那么有： 0()0()*r t t p t p e -=在此处，由于是预测短期内的人口增长问题，于是可以选择从2005年开始，即0t =2005.利用matlab 计算出最近五年的平均增长率，得到r=于是可以预测最近五年的浙江省人口数量增长模型为00.0088()0()*t t p t p e -=得到最近几年的人口预测数量为显然，受到环境，资源等因素的限制，增长率不可能保持不变，于是就有，时间跨度愈大，预测的准确性越低。

马尔萨斯模型的确定就是只适用于短期的人口模型预测。

当时间跨度变大，不能使用此模型。

考虑到这一点，下面我们建立了阻滞增长模型。

III 阻滞增长模型人口的增长受到出生率与死亡率的影响。

所以在考虑长期的人口走向的时候需要考虑出生率和死亡率。

为了模型的简单，将出生率跟死亡率统一起来考虑，即为人口自然增长率r （x ），其中r （x ）=出生率—死亡率。

增长率受到时间的影响会随时间的变化而改变。

假设：人口的自然增长率与时间成一次函数关系，并且人口在增长的过程中会出现最大值。

建立模型：人口的自然增长率满足：())0,(>-=s r sx r x r 当人口达到最大的时候有：mm x rs x r =→=0)( 将s 代入r(x)得到：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m x x r x r 1)( 又有时间与人口的关系满足微分方程：x x r dtdx)(= 将r （x ）代入可得微分方程： )1(mx xrx dt dx -= 微分方程的通解可以求出为：rt mme x x x t x --+=)1(1)(0对于方程x （t ）我们可以通过浙江省2000年到2010年的人口数与自然增长率的数据进行插值拟合。

选取0x =（2000年的人口数） 由插值计算出 =m x r= 即有te t x 004.0)122.45013.4813(13.4813)(--+=根据x （t ）的函数可以作出x （t ）的函数图像模型的预测：由图可知，随着时间的推移，最终人口将达到一个稳定 的状态，此时即达到了人口最大存在点m x 。

由上述拟合模型tet x 004.0)122.45013.4813(13.4813)(--+=，在以2000年为初始点的时候，得到如下估计值： 年份20112012 2013 2014 2015 总人口数（万人）此模型对于人口增长率的预测相对精确，考虑了人口增长的有最大限制的因素。

但是因为没有考虑年龄结构、性别比例等问题，对于长期的人口增长趋势还是不能做出相对精确的预测。

下面我们从长期的出生率和死亡率出发，利用灰度模型进行新的预测。

IV 灰度预测模型GM（1,1）影响人口增长的因素有很多，有经济、政策、科学技术、自然环境等，这些众多的因素之间的关系难以准确描述出来, 它们对人口增长的作用不是用几个指标就能精确计算出来的。

人口系统具有明显的灰色性, 是一个部分信息已知而部分信息未知的系统。

灰色系统理论把这样受众多因素影响, 而又无法确定其复杂关系的量,称为灰色量。

灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。

采用了灰色系统预测方法进行长期人口预测灰色系统模型建模是利用离散的时间序列数据建立近似连续的微分模型。

顾名思义，灰色预测就是对灰色系统问题进行未来的预测，这里讨论的灰色预测是以GM（1,1）（即GM（1，N）当N=1时的特例）模型为基础的。

选择灰色模型GM（1,1）的方程式如下：()()()[()](1)[(1)](1)dx t ax t u dtdx t a x t u dtdx t a x t u d t +=→-+=+→-++=+从而近似有一次差分为： {}()(1)()1/2[()(1)D x x t x t a x t x t u=+-=-+++令： A= (,)T a uB= 1((0)(1))21((1)())121x x x n x n ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭⎝⎭- C= ((0),(1),(2)(1))T DX DX DX DX n - 于是就有A= 11(*)*(*)T T B B B C -- 从而可以计算出a 和u然后，在原等式的两边，同时乘上一个at e 于是就有()()atatat dx t e e ax t e u dt+= 继而(())atat d e X t e u dx= ()at at e X t e udt c =+⎰ ()at u X t Ce a=+令t=0得到 C=X(0) -u a带入数据有： 对于出生率：0.510.340.280.040.321.050.390.810.090.180.02C -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦于是可以算出 a= u=10.895110.47110.1611019.82110.185110.905110.695110.335110.29110.211B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦c=从而有出生率b(x)= *exp*t)+对于死亡率：6.34 16.24 16.19 16.22 16.285 16.07 15.92 15.75 15.495 15.595 15.605 1B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ 0.020.220.120.060.190.620.320.660.150.050.03C ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦于是利用matlab 软件可以计算出 a= u= C=于是可以得到死亡率函数为d(x)= *exp*t)+于是可以得到人口的自然增长率为：r(x)=b(x)-d(x)=567/500*exp(-2459/10000*t)-12457/5000+3089/500*exp(103/10000*t)那么我们就可以预测未来长时间内的人口数量为：由于计算没有考虑到年龄结构，性别比例等因素，此模型还有待于进一步完善。