07高等数学竞赛培训班线面积分习题参考解答
线面积分整章
( )
例1 求I L yds,
y2 4x
其中L : y2 4x,从(1,2)到(1,2)一段.
解
I
2
y
1 ( y)2dy 0.
2
2
例3 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,
z k的一段. (0 2)
( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 ,求: 1、它关于Z 轴的转动惯量 I Z ；
2、它的重心 .
练习题答案
一、1、L ( x, y)ds； 2、L 的弧长 ；
3、弧长；
4、<.
二、1、ea (2 a) 2； 4
3、22a3 (1 22 )；
L P( x, y)dx Q( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算
定理 设P( x, y),Q( x, y)在曲线弧L上有定义且连
续,
L的参数方程为
x y
( t ), ( t ),
n
P(i ,i )xi的极限存在, 则称此极限为函
i 1
数 P( x, y)在有向曲线弧L上对坐标 x的曲线
积分(或称第二类曲线积分）, 记作
n
L
P(
x,
y)dx
lim
0
i 1
P ( i
,i
)xi
.
n
类似地定义
Q(
L
x,
y)dy
lim
0
i 1
Q(i
第11章 曲线积分与曲面积分习题解答(开放课程)
d
L
02
2
1 a2
cos
d
2
cos
d
2 0 2
2
1 2
a
2
2
sin
2
0
2sin 2
2
2a 2
3．计算 x2 y 2 ds ，其中 L 为曲线 x acos t t sin t ，y asin t t cos t， L
解：
xydx
1
y2 y
y2
dy
2
1 y 4dy 21 y 5 1
4.
L
1
1
5 1 5
8. 计算 x3dx 3zy 2dy x 2 ydz ，其中 L 是从点 A3,2,1 到点 B0,0,0的直线 L
段 AB 。
解：直线段 AB 的方程为 x y z ，化成参数方程为 x 3t ， y 2t ， z t ， 321
1x 0
1
x
2dx
2。
2．计算 x 2 y 2 ds ，其中 L 为圆周 x 2 y 2 ax 。 L
解：
L
的参数方程为
x
y
1 2 1 2
a cos a sin
1 2
a
， 0
2
则 x 2 y 2 1 a cos 1 a2 1 a sin 1 | a | 21 cos
0
ex
|0a
e
高等数学 习题册解答_11.线面积分(青岛理工大学)
第十一章 曲线积分与曲面积分 § 1 对弧长的曲线积分1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时，()=⎰Lds y x f ,()⎰1,L ds y x f C. ()⎰-1,2L ds y x f D.ABC 都不对2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界,则⎰+Lyx ds =24 D. 223、有物质沿曲线L ：()103,2,32≤≤===t t z t y t x 分布，其线密度为,2y =μ，则它=m++1421dt t t t B.⎰++14221dt t t t C.⎰++1421dt t t D.⎰++1421dt t t t4．求,⎰Lxds 其中L 为由2,x y x y ==所围区域的整个边界解：()22155121241111+-=++⎰⎰xdx dy yy 5．,ds y L⎰其中L 为双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x解：原积分=()()222sin 4sin 442022'2441-==+=⎰⎰⎰a d ad r r r ds y L χππθθθθθ6．⎰+Lds y x ,22 其中L 为()022>=+a axy x原积分=2222cos 2a adt t a ==⎰π7．,2⎰Lds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线解：将y x =代入方程2222a z y x =++得2222a z x =+于是 L 的参数方程：ta z t a y t a x sin ,sin 2,cos 2===，又adt ds =原积分=⎰=ππ203222cos 2a adt t a 8、求均匀弧()0,sin ,cos ≤<∞-===t e z t e y t e x t t t 的重心坐标33,30===⎰∞-dt e M dt e ds tt，523cos 100==⎰∞-dt e t e Mx t t ，21,5100=-=z y§2 对坐标的曲线积分 一、选择题1.设L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x P ,关于y 是偶函数 时，()=⎰Ldx y x P , A.0 B. ()⎰1,2L dx y x P C.()⎰-,2L dx y x P 都不对2．设L 为1=+y x 的正向，则=++⎰Ly x ydyxdx3．L 为222a y x =+的正向，=+--+⎰Ly x dyy x dx y x 22)()( A.2ππ C.0 D.π二、计算1．()()dy y x dx y x L⎰-++2222，其中L 由曲线()2011≤≤--=x x y 从()0,2A 到()0,0O 方向解：()1,1B 01:,:;12:,2:_______→=→-=x x y BO x x y AB=I =+⎰⎰_______BOAB ()()()()()()34122012212222-=++---+-+⎰⎰dx x xdx x x dx x x2．[]d y y x x xy y dx y x L)ln((2222+++++⎰ 其中L 是正向圆周曲线222a y x =+解： 由奇偶对称性022=+⎰Ldx y x ，L ：ππ→-==:,sin ,cos t t a y t a x=I ()()=++⎰-dt t a t t a dt t t acos 1ln cos sin cos sin 3224πππππ4cos sin 4224a dt t t a =⎰-3．()⎰Γ-+++dz y x ydy xdx 1其中为从点()1,1,1A 到()4,3,2B 的有向线段解：Γ方程：13,12,1+=+=+=t z t y t x ，=I ()136141=+⎰dt t三、过()0,0O 和()0,πA 的曲线族()0sin >=a x a y ，求曲线L 使沿该曲线从()0,0O 到()0,πA 的积分()()dy y x dx y L+++⎰213的值最小解：()()[]3033344cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +-=+++=⎰ππ()()()0811,014''2'>=⇒=⇒=-=I a a a I 。
曲线曲面积分部分难题解答
曲线曲面积分部分难题解答1．（P201,第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）： （ⅰ）⎰lxyds ，l 为抛物线x y 22=上从原点)0,0(O 到点)2,2(A 的弧⋂OA ；（ⅱ）()⎰+l ds yx 22，l 为联结点)0,0(O 、)0,2(A 和)1,0(B 的三角形围线；（ⅲ）⎰+lsd y x 22，l 为圆周()022>=+a ax y x ；（ⅳ）()⎰++l ds zy x 222，l 为螺线()0,sin ,cos >===b bt z t a y t a x 的 一段弧()π20≤≤t ；（ⅴ）⎰l zds ，l 为曲线()⎩⎨⎧>===0,2222a ax y z y x 上从点)0,0,0(O 到)2,,(a a a A 的一段弧.解：（ⅰ）[]2,0,,21:2∈⎪⎩⎪⎨⎧==y y y y x l ，.1122dy y dy dy dx ds +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=所以dy y y y xyds l2221..21+=⎰⎰（令t y tan =） tdtt 332arctan 0sec .tan21⎰= ()t td t sec sec .tan21222arctan 0⎰=()()t td t sec sec .1sec21222arctan 0-=⎰()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=315153155121sec 31sec 5121352arctan35|t t.15135515255315521+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=（ⅱ）解：()⎰+l ds yx 22⎰⎰⎰++=OAABOB()()3801.022222222==++=+⎰⎰⎰dx x dx xds y xOA;，其中：.20,,0:≤≤⎩⎨⎧==x xx y OA()()[]()dy y y ds y xAB21222221.22-++-=+⎰⎰().5354855102=+-=⎰dy y y其中：.10,,22,:≤≤⎩⎨⎧-==y y x y y AB()().3101.22212222==++=+⎰⎰⎰dy y dy yds y xBO，其中：.10,,0:≤≤⎩⎨⎧==y y y x BO所以.3535+=++=⎰⎰⎰OAABOBI（ⅲ）解法一：.20,sin 2,cos 22:π≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t t a y t a a x l()().2cos 2sin 22222dt a dt t a t a dt t y t x ds =⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=所以，()dt at a t a s d y x l2sin 4cos 1420222222⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+π()dt t a⎰+=π202cos 124dt t a⎰=π20222sin2.24dt t a⎰=π2022sin2.22cos 22sin2202202|a t a t d t a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰ππ解法二：化l 为极坐标表示：().2,2,cos :⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππθθθa r l 则()().22,s i n .c o s s i n,c o s c o s :2πθπθθθθθθθ≤≤-⎩⎨⎧====a r y a r x l ()()()().sin cos 2222θθθθθad dt a a dt r r ds =-+='+=所以，()()[]θθθθππad a a s d y x l⎰⎰-+=+2222222sin cos cosθθππd a a ⎰-=2222cos .2sin 2cos 2220222|a a d a===⎰ππθθθ（ⅳ） ()()()()()dt b a dt b t a t a dt t z t y t x ds22222222cos sin +=++-='+'+'=()()()()[]dt b a bt t a t a ds z y x l2220222222.sin cos +++=++⎰⎰π()|203222220222223ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=⎰t b t a b a dt t b aba[].433222222b a b a++=ππ2．（P201,第2题）设有某种物质分布在椭圆1:2222=+by ax l 上，其密度().,y y x =μ求它的总质量.解：不妨假设.b a >⎰⎰==14l lydsds y M ，其中.2,0,sin ,cos ;1⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧==πt t b y t a x l ()()()().cos sincos sin 22222222dt t b t a dt t b t a dt t y t x ds +=+-='+'=所以dt t b t a t b yds M l 222220cos sinsin 441+==⎰⎰π()dt t b a a t b 222220cos sin 4--=⎰π()()t d t b a a b cos cos 4202222⎰---=π()du u b a a b 222214---=⎰()du u b a a b 222214--=⎰duu ba aba b ⎰---=22222224π（公式）|102222222222222arcsin .2.4⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---=u ba au ba au ba ab a b ()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---=21arcsin .2.42222222222ba aab a b a a b a b.arcsin..222222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=b ab a ba ab 3．（P202,第3题）设曲线l 的长度为L ，而函数f 在包含l 的某个区域内连续.证明：()().max .P f L dsP f lP l∈≤⎰证明：由第一型曲线积分的定义()()ini id ls P f dsP f ∆=∑⎰=→.lim1故()()ini id ls P f dsP f ∆=∑⎰=→.lim1()ini id s P f ∆=∑=→.lim1()ini id sP f ∆≤∑=→.lim1()ini lp d sP f ∆≤∑=∈→.m a x lim1().m a x .P f L lP ∈=4．（P202,第4题）从原点()0,0O 到点()2,1A 沿下列不同路径分别计算第二型曲线积分.⎰⋂-OAydx xdy（1）.⋂OA 为直线段；（2）.⋂OA 为抛物线22x y =上的弧；（3）.⋂OA 为从点()0,0O 经点()0,1B 到点()2,1A 的折线⋂OBA . 解： （1） .1~0:,,2:x xx x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].022.1=-=-⎰⎰⋂dxx x ydx xdy OA（2）.1~0:,,2:2x x x x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].323224.|10312==-=-⎰⎰⋂xdxx x x ydx xdy OA（3）.220=+=+=+⎰⎰⎰⋂OBBAOAydx xdy其中，.1~0:,.,0:x x x y OB ⎩⎨⎧==();000.1=-=-⎰⎰dxx ydx xdy OB其中，.2~0:,.,1:y y y x BA ⎩⎨⎧== ().20.12=-=-⎰⎰dyy ydx xdy BA5．（P202,第5题）计算曲线积分 .⎰+lxdy ydx（1）.l 为从点()0,a 点()0,a -的上半圆周()022>-=a xa y ；（2）. l 为从点()0,a 点()0,a -的直线段()0>a ； （3）. l 为逆时针方向的圆周.222a y x =+ 解： （1）.~0:,sin ,cos :πt t a y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+πcos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ22cos 02sin 2|02=πt a.（2）.~:,,0:a a x x x y l -⎩⎨⎧==().00.0=+=+⎰⎰-dxx xdy ydxaal（3）.2~0:,sin ,cos :πt ta y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+π20cos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ2022cos 02sin 2|202=πt a.6．（P202,第6题）计算沿逆时针方向的圆周()222a y x =+的曲线积分 ()().22⎰+--+lyx dyy x dxy x解：π2~0:,.sin ,cos :t t a y t a x l ⎩⎨⎧==，所以，()()⎰+--+lyx dyy x dxy x 22()()()()dtat a t a t a t a t a t a ⎰---+=π202cos .sin cos sin sin cos.22022ππ-=-=⎰dt aa7．（P202,第7题）计算下列曲线积分，曲线的方向与参数增加方向： （ⅰ）()()dy xy y dx xy x l⎰-+-2222，l 为抛物线()112≤≤-=x x y ；（ⅱ）()()dy y x dx yx l ⎰-++2222，l 为折线()2011≤≤--=x x y ；（ⅲ）()dz x yzdy dx zy l ⎰-+-2222，l 的参数方程为().10,,3,2≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t y t x ；解：（ⅰ）.1~1:,:2-⎩⎨⎧==x xy x x l()()dy xy y dx xy xl⎰-+-2222()()[]d x x x x xxx x⎰--+-=1124222..2.2[].151454324|10531142-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰-x x dx x x （ⅱ）设点().0,1A 则()()dyyx dx y xL2222-++⎰()()dyyx dx y xOA2222-++=⎰()()dyyx dx y xAB2222-+++⎰其中 .1~0:,,:x x x x y OA ⎩⎨⎧==故()()()()[]d x xxxxdy yx dx y xOA⎰⎰-++=-++1022222222.32322|10312===⎰x dx x ;其中.2~1:,,2:x x x x y AB ⎩⎨⎧=-=故()()()()()()()[]d x x xx xdy yx dx y xAB⎰⎰---+-+=-++21222222221.22()().3232222|213212=-=-=⎰x dx x所以原式.343232=+=（ⅲ）()dz x yzdydx zy l ⎰-+-2222()[]d t t t t t ttt⎰-+-=102232643.2 (2)[].351527323|1571046=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰t t dttt8．（P202,第8题）设曲线l 的长度为L ，而函数()P f 在包含l 的某个区域内连续.证明：()).max ...P L d P f lP l∈≤⎰证明：设()()(){}.,21P f P f P f =由第二型曲线积分的定义及柯西不等式()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i iid ly P f xP f rd P f 121..lim.故()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i iid ly P f xP f d P f 121..lim.()()[]∑=→∆+∆≤ni i i iid y P f xP f 121..lim()()()()2212221.limi i ni i i d y x P f P f ∆+∆+≤∑=→)()()221.limi ini id y x P ∆+∆=∑=→)()())⎰∑=→=∆+∆≤li ini d ds P y x P .max .max lim221)P L =m a .9．（P209,第1题）求下列曲面块的面积：（ⅰ）球面2222a z y x =++包含在圆柱面()a b b y x ≤<=+0222内的那部分面积；（ⅱ）圆锥面22yx z +=被圆柱面x y x 222=+截下的那一部分；（ⅲ）圆柱面222a y x =+被圆柱面222a z y =+截下的那一部分.解：（ⅰ）画出示意图222:b y x D xy ≤+. 将曲面方程化为:z ∑=2z zx y∂∂=-=-∂∂，所以，d S d x d d x d y==. 因此d x d yyx a a S S xyD ⎰⎰--==22222上 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰⎰|022022202.2122bbra a ra a r d r d πθπ极().422b a a a --=π（ⅱ）画出示意图x y x D xy 2:22≤+. 由曲面方程22:yx z +=∑，得,22yx x xz +=∂∂,22yx y yz +=∂∂，所以，,2122d x d y d x d y y z x z dS =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=.因此().222π===⎰⎰xy D D S dxdy S xy（ⅲ）利用对称性（仅在第一卦限内计算）18S S =，曲面1∑（1∑为∑在第一卦限的那部分，其面积设为1S ）向yoz 面上的投影区域为222:a z y D yz ≤+. 将曲面1∑方程化为22ya x -=，则,22ya y yx --=∂∂,0=∂∂zx ，所以，d y d zya a d y d z z x yx dS 22221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.因此d y d zya a S S yzD ⎰⎰-==22188 ⎰⎰--=22228ya a dz ya a dy .882a a d z a==⎰10．（P209,第2题）求下列曲面积分：（ⅰ）()⎰⎰++Sy x dS21，式中S 为四面体()1,0,0,0≤++≥≥≥z y x z y x 的表面；（ⅱ）()dS y x S⎰⎰+22，式中S 为圆柱体()h z a y x ≤≤≤+0,222的表面；（ⅲ）()dS z y x S⎰⎰++，式中S 为球面()2222a z y x =++的表面.解：（ⅰ）.4321S S S S S +++= 其中,0:1=z S dxdy dS =1，()()()dy y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++110222111111dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-101010211111|()212ln 211ln 2111|1010-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x dx x ；,0:2=x S d y d z dS =2，()()()dz y dy dydz y y x dSyD S yz⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++1102221101112()()dy y y dy y y⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+-=102102111211()2ln 11ln 12||110-=+-+-=y y；,0:3=y Sd z d x dS =3，()()()dzx dx dzdx x y x dSxD S zx⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++1102221101113()()dx x x dx x x⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-=10212111211 ()2ln 11ln 12||1010-=+-+-=x x；,1:4y x z S --= d x d ydS 34=，()()()dz y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++101022211311314dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-1011021113113|().212ln 33211ln 321113|110⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎰x dx x；所以()⎰⎰++Sy x dS21()+++=⎰⎰121S y x dS()+++⎰⎰221S y x dS()⎰⎰++321S y x dS ()⎰⎰++421S y x dS()()().32ln 2213212ln 32ln 12ln 1212ln +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（ⅱ）.321S S S S ++=其中,0:1=z S d x d y dS =1，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.420222221⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ24a π=；,:2h z S = d x d y dS =2，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.420222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ24a π=；,:2223a yx S =+其向yoz面上的投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.,0:a y a h z D yz . 将曲面3S 方程化为22y a x -±=，则,22ya y yx --=∂∂,0=∂∂zx ，所以，d y d z ya a d y d z z x yx dS 22221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.因此()()d y d zya a yya dS y xyzD S ⎰⎰⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+222222322.23⎰⎰-=-haadz ya dy a22312..2arcsin433|h a ayh a aπ==或者()..22..32232233h a ah a dS a dS y xS S ππ===+⎰⎰⎰⎰所以()⎰⎰++Sy x dS21()++=⎰⎰122S dSyx()++⎰⎰222S yx()dSy xS ⎰⎰+322().22223344h a ah a a a+=++=ππππ （ⅲ）由积分区域的对称性，及被积函数的奇偶性知，显然()dS z y x S⎰⎰+++=⎰⎰dSx SdS y S⎰⎰().0=+++⎰⎰dS z y x S11．（P210,第3题）证明泊松公式()()d uc b a uf dS cz by ax f S⎰⎰⎰-++=++112222π其中S 为球面0,1222222>++=++c b a z y x ，f 为连续函数.证明：取新的空间直角坐标系Ouvw ，其中原点不变，使坐标平面Ouvw 与平面=++cz by ax 重合，并使Ou 轴垂直于平面0=++cz by ax .则有其实根据坐标系Ouvw 选取方法的描述，我们不难看出Ou 轴上的单位向量就可取作平面0=++cz by ax 的单位法线向量.则 222cb a cz by ax u ++++=（1）（注意到，显然222cb a cz by ax u ++++=为点()z y x P ,,到平面0=++cz by ax 的距离）.则()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222显然在新坐标系下，球面的形状并未改变（仍记为S ），且它的方程应为 1222=++w v u （2） （因为在新的坐标系下，任何一个球面上的点到原点的距离仍然为1.）由（2）式可得： ()22221u w v -=+ （3）当u 固定时，（3）式其实就表示垂直于Ou 轴平面上的一个圆周. 进一步，我们把S 化为参数方程表示：.20,11,sin 1,cos 1,22πθθθ≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧-=-==u u w u v u u,1='uu ,cos 12θuu v u --=';sin 12θuu w u--=',0='θu ,sin 12θθu v --='.cos 12θθu w -='于是，;112222uw v u E u u u-='+'+'=;0...=''+''+''=θθθw w v v u u F u u u.12222u w v u G -='+'+'=θθθ因此， 曲面的元素dS =dudv = （4）故()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222()d u c b a u f d ⎰⎰-++=πθ2011222().211222⎰-++=du cb a u f π12（P210,第4题）设某种物质均匀分布在球面2222a z y x =++上（认为分布密度1=ρ）.求它对于oz 轴的转动惯量. 解：由公式 ()dSy xJ S⎰⎰+=22由对称性()dSy x J S ⎰⎰+=1228其中2221:yx a z S--=，则2z z x y∂∂=-=-∂∂，所以，d S d x d d x d y==. 因此()d x d yy x a a y x S S xyD ⎰⎰--+==222221.88 r d r ra rd a a.8022220⎰⎰-=πθ极()r d r r a aara a.4022222⎰-+-=πr d r r a a a.4022⎰--=πr d rra aa.140223⎰-+π()22022.2ra d r a a a--=⎰π()220223.12ra d ra a a---⎰π()|232232.2araa -=π|2232.2ara a --π434aπ-=44aπ+ .384a π=13（P217,第1题）沿圆锥面()122≤=+z yx S的下侧，求曲面积分S d r S.⎰⎰，其中{}.,,z y x r =解：⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdyydzdx xdydzS d r .化为第一型曲面积分计算.S 的向下的法向量{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++=-''=1,,1,,2222yx y yx x z z n y x，所以{}.c o s ,c o s ,c o s21,2,22222γβα=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++==yx yyx x n 故⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdyydzdx xdydzSd r . ()⎰⎰++=SdSz y x γβαcos .cos .cos .⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=SdSz yx y yx x222222222⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=SdS z y x 2222（根据第一型曲面积分的计算方法） ⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=xy D dxdy y x y x .0222222214（P217,第2题）沿椭球面1222222=++cz by ax 的外侧，求曲面积分.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Sz dxdy y dzdx xdydz解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，222211:by ax c z S --=（上侧）；222221:by ax c z S ---=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为.1:2222≤+by ax D xy故dxdyby ax c zdxdy xyD S ⎰⎰⎰⎰--=2222111作变量代换： ⎩⎨⎧==.s i n,c o s θθbr y ar x由二重积分的换元法drabrd rc dxdy by ax c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111.其中 ()()abr br b ar a y ry xrx r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,10:πθr D所以=⎰⎰1S zdxdy drabrd rc dxdy by ax c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111dr r r d cab ⎰⎰-=πθ201211dr r rd cab ⎰⎰-=πθ201211所以，().212111|12212πππcab rcabrd rcab =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---=⎰（1）同理 dxdy by ax c zdxdy xyD S ⎰⎰⎰⎰----=2222112.2112222πcab dxdy by ax c xyD =--=⎰⎰（2）所以=⎰⎰Szdxdy +⎰⎰1S zdxdy .42πcab zdxdy S =⎰⎰（3）由轮换对称性，知：πa bc x dzdy S4=⎰⎰；.4πbac ydzdx S=⎰⎰故⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Sz dxdy y dzdx xdydz +=⎰⎰Szdxdy +⎰⎰Sxdzdy ⎰⎰Sydzdx+=πc ab4πabc4().44222222ac c b b a abc b ac ++=+ππ15（P217,第3题）沿球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧，求曲面积分.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，()()2221:b y a x R c z S ----+=（上侧）；()()2222:b y a x R c z S -----=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为:xy D ()()222R b y a x ≤-+-故()()dxdy b y a x R c dxdy zxyD S ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=222221作变量代换：⎩⎨⎧+=+=.s i n ,c o sθθr b y r a x由二重积分的换元法()()[]r d r rR c d x d y b y a x R c D D xy⎰⎰⎰⎰'-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+2222222.其中 ()()r r r y ry xrx r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,0:πθR r D所以=⎰⎰12S dxdy z[]rdr rR c D 222⎰⎰'-+()drr rR c d R⎰⎰-+=πθ20222()rdr rR c R2222⎰-+=π()r dr r R rR c c R⎰-+-+=02222222πrdr r R c rdr c RR⎰⎰-+=0222222ππ()rdr r RR⎰-+0222π()()|||0222023220222132.222R RR r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ.2344322R cRRc πππ++=（1）同理()()dxdy b y a x R c dxdy z xyD S ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=222221[]rdr rR c D 222⎰⎰'---=()dr r rR c d R⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πθ20222()rdr rR c R2222⎰---=π()r dr r R rR c c R⎰-+---=02222222πrdr r R c rdr cR R⎰⎰-+-=0222222ππ()rdr r RR⎰--0222π()()|||0222023220222132.222R RR r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ.2344322R cRRc πππ-+-=（2）所以=⎰⎰Sdxdy z 2+⎰⎰12S dxdy z 32382cRdxdy z S π=⎰⎰； （3）由轮换对称性，知：=⎰⎰Sdydz x 2338aRπ；=⎰⎰Sdzdx y 2.383bR π故.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x⎰⎰=Sdydzx2⎰⎰Sdzdxy 2⎰⎰Sdxdyz2().383c b a R ++=π16（P217,第4题）设S 为长方体()c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面.沿外侧求曲面积分⎰⎰Sxyzdxdy解：把S 分割为654321,,,,,S S S S S S 六个部分. 其中()b y a x c z S ≤≤≤≤=0,0:1的上侧； ()b y a x z S ≤≤≤≤=0,00:2的下侧； ()c z b y a x S ≤≤≤≤=0,0:3的前侧； ()c z b y x S ≤≤≤≤=0,00:4的后侧； ()c z a x b y S ≤≤≤≤=0,0:5的右侧； ()c z a x y S ≤≤≤≤=0,00:6的左侧.注意到除21,S S 外，其余四片曲面在xoy 面上的投影为零，因此=⎰⎰Sxyzdxdy+⎰⎰1S xyzdxdy⎰⎰2S xyzdxdy⎰⎰=xyD xycdxdy⎰⎰-xyD dxdyxy 0.c b a yd y x d x c ab.422⎰⎰==17（P225第1题）利用格林公式计算下面的曲线积分（l 的方向为正方向）： （ⅰ）()dy xy dx y x l22+-⎰，l 为圆周()222a y x =+；（ⅱ）()()dy y x dx y x l--+⎰，l 为椭圆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+12222b ya x ； （ⅲ）()xdy dx y l+-⎰，l 为曲线()1=+y x ；（ⅳ）()()dy y y e dx y e x lx sin cos 1---⎰，l 为区域().sin 0,0x y x D <<<<π；18（P225第2题）求()()dy m y e dx my y eI xxL-+-=⎰cos sin ，（m 为常数）其中l 是自点()0,a A 经过圆周()022>=+a ax y x 的上半部分到点O(0,0)的半圆 周.（提示：作辅助线后用格林公式）.解：cos ,cos xxP Q e y m e y yx∂∂=-=∂∂.所以，由格林公式：221...428A OO A D DQ P a dxdy m dxdy m m a x y ππ⋂⎡⎤∂∂+=-===⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 所以，2220.888AOOAma ma ma I πππ⋂==-=-=⎰⎰（因为，⎰⎰==OAadx 0.00）19（P225第5题）设函数()x f 在正半轴()0>x 上有连续导数()x f '且().21=f 若 在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx x l求函数().x f解：()y x y x P 34,=，()()x xf y x Q =,都是右半平面上的连续函数，由于在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx xl故有xQ yP ∂∂=∂∂即()()x f x x f x '+=34 化简，得()()241xx f xx f =+' （1）（1）为一阶线性微分方程，其通解为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c e x e x f dx xdx x 1214[]()cdx xx c e x e x x +=+=⎰⎰-3ln 2ln 414().1134xcx c xx+=+=（2）代入条件()21=f ，得 .1=c故().13x x x f +=20（P226第6题）设D 是以光滑曲线l 为正向边界的有界闭区域，而函数()y x u u ,= 在闭区域D 上具有连续的二阶偏导数且记 2222yu xuu ∂∂+∂∂=∆证明：⎰⎰⎰∆=∂∂Dludxdy ds nu其中()()y n yu x n xu nu ,cos ,cos ∂∂+∂∂=∂∂表示函数()y x u u ,=沿边界曲线l 外法线方向的方向导数.证明：设τ为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则 有()()y x n ,,τ=，()().,,x y n τπ-= 故()()y x n ,c o s ,c o s τ=，()().,cos ,cos x y n τ-=()()ds x y u y xu ds nul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系）dx yu dy xul⎰∂∂-∂∂=（格林公式）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u y x u x=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=⎰⎰Ddxdy y u x u 2222.⎰⎰∆Dudxdy21（P226第7题）在第6题的假设和记号下，证明：.22ds nu uudxdy u dxdy y u x u D lD⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂证明：仿上题 ()()ds x y uy xu u ds nu ul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系） dx yu udy xu ul⎰∂∂-∂∂=（格林公式）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u u y x u u x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=Ddxdy y u u y u y u x u u x u x u 2222....dxdy y ux u u dxdy y u x u DD⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰222222udxdyu dxdy y u x u DD∆+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰22移项，即得 .22ds nu uudxdy u dxdy y u x u D lD⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂22（P227第8题）格林第二公式 若函数()y x u u ,=和()y x v v ,=都满足第6题中的假设，证明： dsvun v n udxdy vuv u lD⎰⎰⎰∂∂∂∂=∆∆证明：我们有 ()()ds x y u y xu v ds nu vl l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ （由两型曲线积分之间的联系）dx yu vdy xu vl⎰∂∂-∂∂=（格林公式）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u v y x u v x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=Ddxdy y u v y u y v x u v x u x v 2222....⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DDdxdy y u x u v dxdy y v y u x v x u 22.. ...⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DDudxdy v dxdy y v y u x v x u （1）由轮换对称性，知 dsnv ul⎰∂∂ ...⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DDvdxdy u dxdy y v y u x v x u （2）于是ds n v u n uv ds vun v n ul l⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=⎰⎰⎰⎰DDudxdy v dxdy y v y u x v x u ..⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎰⎰⎰⎰DD vdxdy u dxdy y v y u x v x u ..()⎰⎰∆-∆=Ddxdyv u u v .dxdy vuv u D⎰⎰∆∆=23（P227第9题）计算高斯(Gauss)积分 ()(b a I ⎰=,其中l 为简单（光滑）闭合曲线，r 为不在l 上的点()b a ,到l 上动点()y x ,的向量，而n 为l 上动点()y x ,处的法向量.解：设τ为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则 有()()y x n ,,τ=，()().,,x y n τπ-= 又设()(){}y n x n n ,cos ,,cos 0= ，{}b y a x r --=,，则()()()()()()().,c o s .,c o s .,c o s ,c o s 2200b y a x y n b y x n a x n r n r -+--+-==⎪⎭⎫ ⎝⎛= 故(()()()()()().,cos .,cos .22b y a x y n b y x n a x -+--+-=()()()()()()()[]ds y n b y x n a x b y a x b a I l ,cos ,cos .1,22-+--+-=⎰()()()()()()[]ds x b y y a x b y a x l,cos ,cos .122ττ----+-=⎰()()()().22⎰-+----=l b y a x dx b y dya x记 ()()(),,22b y a x by y x P -+---=()()().,22b y a x ax y x Q -+--=则()()()(),2222b y a x a x b y yP -+-----=∂∂()()()().2222b y a x a x b y x Q -+-----=∂∂它们在xo y 平面内除点 ()b a ,外处处连续，且.0=∂∂-∂∂yP xQ（一）若点()b a ,在l 所包围的区域D 外，原式=0；（二）若点()b a ,在l 所包围的区域D 内，以点()b a ,为中心作一个充分小的圆()()).0(:222>=-+-εεεb y a x l 取逆时针方向，使之完全包含在l 为边界的区域内.记介于εl 和l 之间的区域为'εD . 则在'εD 由格林公式可得：)()()()⎰-+----lb y a x dxb y dy a x 22()()()()⎰-+-----εl b y a x dx b y dy a x 22.0⎰⎰'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=εD dxdy y P x Q所以，()()()()⎰-+----=l b y a x dx b y dya x I 22()()⎰---=εεl dxb y dy a x 2()()⎰---=εεl dx b y dy a x 21（格林公式）()()ππεεεεε2.22112222===⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-∂-∂-∂=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y y b x a x .24（P227第10题）利用斯托克斯公式重新计算积分（例3） ()()(),⎰-+-+-=ldz y x dy z x dx y z I 其中l 是曲线⎩⎨⎧=+-=+.2,122z y x y x方向为从oz 轴正方向往负方向看去是顺时针方向. 解一：由斯托克斯公式d x d y yx zx yz z y x d x d y d z d x d y d z 2=---∂∂∂∂∂∂.取∑为平面2=+-z y x 上由椭圆所围成的那一小块曲面.（取下侧），因此{}1,1,1-=n ,.31,33,33⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=n ） ()()()dSdxdy dz y x dy z x dx y z I l⎰⎰⎰⎰⎰∑∑-=-=-+-+-=3122.2.23.312⎰⎰⎰⎰-=-=-=xyxyD D dxdy dxdy π解二：（直接计算）()()()⎰⎰⎰∑=-+-+-=dxdydz y x dy z x dx y z I l2其中，.1:22≤+y x D xy所以，.22π-=-=⎰⎰dxdy I xyD .25（P238第1题）下面的向量场是否为保守场？若是，并求位势:u(){};sin cos 2,sin cos 2122y x x y x y y x f --=解：（1）这里()x y y x y x P sin cos 2,2-=，().sin cos 2,2y x x y y x Q -=因为xQ x y y x yP ∂∂=--=∂∂sin 2sin 2，()2,R y x ∈所以{}y x x y x y y x f sin cos 2,sin cos 222--=是定义在全平面上的保守场.所以，()+-dx x y y x sin cos22()dyy x x y sin cos 22-是某一个函数()y x u ,的全微分.故可取()()()()()dyy x x y dx x y y x y x u y x sin cos 2sin cos 2,2,0,02-+-=⎰()()dyy xx y dx x x yx⎰⎰-+-=0202sin cos 2sin 00cos 2[]||0222c o s c o s yx yx x y x++=()[]2222c o s c o s xy x x yx -++=.cos cos 22y x x y +=则，所求的位势为().cos cos ,22c y x x y c y x u ++=+(){}.sin ,cos ,222z y ex z xef yy--=--解：这里()()().sin ,,,cos ,,,2,,2z y z y x R e x z z y x Q xez y x P yy-=-==--。
线面积分的计算
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
思考题
1) 二重积分是哪一类积分?
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面 问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式 添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
3(5). 计算
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
提示: P e x sin y 2 y, Q e x cos y 2 P Q x e cos y 2, e x cos y y x
用格林公式:
I
L AB D 2
y
AB
L
2d x d y 0
D
经典例题
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) 用参数方程 转化 定积分
(1) 选择积分变量
用直角坐标方程
用极坐标方程 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终
(2) 确定积分上下限
练习题: P184
D
O
1 D
1x
12 dxd y
D
24
D 的形心
x y0
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
第一类( 对面积 ) 曲面积分 第二类( 对坐标 )
转化
二重积分
(1) 选择积分变量 — 代入曲面方程
第一类: 始终非负 (2) 积分元素投影 第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域
y
07高等数学竞赛培训班线面积分习题参考解答.doc
2007年爲务紅兮菴赛培训班线面积分练习题参考解答2006.5.13一•填空题（每小题3分，共15分）1 •设厶为椭圆手+召=1，其周长为Q ， 解:贞（2xy 2+ 3x 2+ 4y 2心=巾 2xy 2ds + 血（3x 2+ 4y 2）dy =0 4-也 则 j (2 卩 2 + 3x 2 + 4b )d5= 12° L 2•设27:x + y + z=l,则Jj(x + |^|)dS =JA /3 ・L解：JJ(x + A|)dS = Hxd5 + JJ[41SJI 2As = 1 2Q •<4加iX+ M +》|)dS 二胡 dS二制x 2+(y+l)2<2Wl + z ：+zfdrd 尸制Vjdxd 尸耳再・1・1 =扌屁%丫2 + / + 2 二 R 23 •密度为仏的均匀金属丝厂:X 十V 十〜—K 对于兀轴的转动惯量x+尹十z=04 =細）尿・解：—也3+门“亦=訓厂（++尸+才）“佔時“尼血论詁疋.2欣=扌“（）兀7?'・4 •设厶：宀（卩+ 1）2二2xdy-ydx x 2十尹2 +2尹十3-7T5.设X:z = -y]l-x 2-y 2,贝!j / = jj x 2dydz + cos ydzdx + zdxdy =3 71解：/ = JJ x 2dydz+ JJ cos ydzdx + JJ zdxdy = 0 + 0 - jj -^X-x 2 -y 2dxdy =i^-评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意①不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行；②与Riemann积分的对称性的结论刚好相反，例如光滑曲面刀关于x = 0（即yOz平面）对称（包括侧也对称），则有0, 若伪x的偶函数，⑵dj也二2j“（xj,z）dWz,若f为x的奇函数.L刀半③也可利用轮换对称性。
二.选择题（每小题3分，共15分）（将正确选项的代号填在括号内）1 •设曲线积分\c xy2dx^y（p（x）dy与路径无关，其中0（x）有连续的导数，且0(0) = 0 ,贝叮(:;xy2dx + y(p(x)dy等于(A)l・(B) 0・(C) 21. (D)|.(::xy2dx + y(p(x)dy = J； w(0)dy + [兀• F dx = 0 + * = £ 2.设S:x2+/+z2=l 解:(沦0)，5是S在第一卦限中的部分，则有(A) 口xdS = 4JJ xdS ・(B) jj ydS = 4 jj xdS ・S S] S S](C) JJ zdS = 4jj xdS ・(D) jj xyzdS = 4JJ xyzdS ・答：(C )S S\ S S\解：因为S :x2 + y2 -\-z2 =1 （z > 0）关于x = 0对称，关于尹=0也对称，且兀和入；yz 都是x的奇函数、尹是尹的奇函数，于是U xdS = 0, jj xyzdS = 0, jj>d5 = 0 , s s s {B 4jj xdS > 0,4JJ xyzdS > 0 ,故（A）、（B）、（D）都不对•事实上，将JJzdS S] S| s 视为密度〃 =z时$的质量，则显然有Jjzd5 = 4jj zdS ,再由x,y,z在S】上S S|的轮换对称性有Jj zdS = 4口zdS = 4口xdS・S S] S]3•设Z = {（x,j；?z）|x2+/+z2=^2},在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是（A） x2dS,^j* x2dvdz ・（B）前xdS,曲Xdpdz ・E2•外z（C）前xdS,曲xdydz ・（D）前xydS,前ydzdx・答：（B ）解：因为2'关于x = 0 （即yOz 平面）对称，x 和卩是x 的奇函数，而F 是x 的xydS = 09 x 2dS = 2[Jf x 2dS =；£ 乞半而第二类曲面积分xdydz = 2 xdydz = 2 jj yjR 2-y 2-z 2dydz =,/ 第 y 2+z 2<R 2有前 ydzdx = 2 前 ydzdx -4•设曲线厶:/（x,^） = l （/（x,y ）具有一阶连续偏导数）过第II 象限内的点M 和 第IV 象限的点N,厂为厶上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分少于零的是(A) J 厂/Cr,y)d¥ ・(C) J 厂/(x 』)d5・(B) \r f(x,y)Ay ・(D) J 厂./；(s)dr + /：(x 』)dp ・ 答：(B)解：J 厂/(x,，)& = ]*厂& = J dx 〉0,不选(A)；J./(兀J )dy =(厂dp = J dx<0,选(B)； J 厂 f(x,y)d5 = J 厂ch > 0,不选(C)；J 厂 /：(x ，y)^ + f ；(x, y)dy = J 厂 df(x,y) = J ： df(x 9 y) = = 1-1 =0, 不选(D)・5 •设 Z :z = x 2+ y 2(z < 1), D xv :x 2+ y 2< \ ,则 jj zdydz 可化为二重积分 (B) jj(x 2+y 2) (-2x)dxdy ・%，偶函数，故第一类曲面积分皿(A) || (x 2+ 尸)• 2xdxdy ・(C) ^(x 2+y 2)-2ydxdy.5(D) jj(x 2+y 2)-(Lrdy.因为⑪血二cosodS二空陞dx® （—般地有业二气 =3屯），而“cosy " cos a cos p cosy 解：X:z = x2 +y2 (z < 1)的外侧即下侧，故dydz = -z^dxdy = -2xdxdy 9所以JJ zdydz = -jj (x2 +y2)- (-2x)dxdy = JJ (x2 + 才)• 2xdxdy ・三. （本题 6 分）计算/ = [jj/ -z 2）dx + （2z 2 -x 2）dj ； + （3x 2 -y 2）dz ,其中厶是平 面x + y + z = 2与柱面|x| + |y| = l 的交线，从z 轴正向看去，厶为逆时针方向.解：设》为平面x + j ； + z = 2上由厶所围成部分的上侧，久是》在xQy 面上的投影域，则》的法向量的方向余弦为COSQ 二COS0二cosy 二洽, D xy : |x| +1_y| < 1, 27 的曲面面积元素dS = y/3dxdy.由 Stokes 公式，得 左/ (y 2- z? )dx + (2z 2- x 2)dy + (3x 2- y 2)dz£ ds 二 + J](-8x -4y-6z)dSz V 3三学口 (4x + 2p + 3z)dS 二乎JJ (兀一尹 + 6)>/3dxdj ； "3 z "3 J =-2 0 + 0 + j]6drdy =-12-(A /2)2 =-24. 另解：将其化为平面曲线积分.记厶在面上的投影曲线为C,则C:x + y=l,取逆时针方向，C 所域记为2*•因为z-2-x-y , dz = -dx-dy ,故原积分可化为见[一4兀$ + 牡 + 4尹 一 2xy + j/2]dx + [-2x 2 -Sx-Sy- +4.ry + 3j^2 ]dy恪林公式=Jj(-2x + 2j/-12)cLrdy = 0 + 0-12jjdxdy = -24. S ・ D巧四. （本题6分）求密度为“°的均匀半球壳Z:z = ylR 2-x 2-y 2对于z 轴的转动 惯量.2 2y-zd_2Z 2-X 2I=\^[y 2-(2-x-y)2]dx + [2(2-x-y)2-x 2]iy- (3x 2- y 2)dx - (3x 2- y 2)dy解：/严口（工+尸）角辽二“。
高等数学(微积分)竞赛工科类试题整理1
浙江和江苏试题2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)一.计算题（每小题12分，满分60分） 1、求9⎰.解: 9551155==⎰⎰⎰111111555u t u du=+-==-⎰⎰⎰312222155u u C=-+Cx x ++-+215235)1(52)1(152。
2、求1120(1)(12)limsin xxx x x x→+-+.解:1111220(1)(12)(1)(12)limlimsin x xx xx x x x x x xx→→+-++-+=11022201ln(1)1ln(12)lim (1)(12)(1)(21)2x xx x x x x x x x x x x →⎧⎫⎡⎤⎡⎤++=+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 0112220(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)(12)(1)2(21)x xx x x x x x x x x x x x x →⎧⎫⎡⎤⎡⎤-++-++=+-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 1122200(1)ln(1)2(21)ln(12)lim (1)lim (12)(1)2(21)x x x x x x x x x x x x x x x x →→⎡⎤⎡⎤-++-++=+-+⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦22(1)ln(1)2(21)ln(12)limlim2x x x x x x x x e e xx→→-++-++=-00ln(1)2ln(12)lim lim24x x x x e e x x→→-+-+=-22e e e =-+=.3、求p 的值,使22007()()0b x p ax p edx ++=⎰.解: 222007()2007()t x pbb p x p ta a px p e dx te dt =+++++=⎰⎰被积函数是奇函数, 要积分为零, 当且仅当积分区间对称,即:a pb p +=--,解得:2a b p +=-.4、计算2222max{,}00,(0,0)abb x a y dx edy a b >>⎰⎰. 解: 22222222max{,}max{,}00abb xa yb x a y Ddx e dy ed σ=⎰⎰⎰⎰, 其中D 如右图2222222212max{,}max{,}b x a y b x a y D D ed ed σσ=+⎰⎰⎰⎰222212a yb xD D ed ed σσ=+⎰⎰⎰⎰2222ab b ya xa yb xb a dy edx dx edy=+⎰⎰⎰⎰2222b aa yb xa b yedy xedxba=+⎰⎰2222222211()()22b a a yb xed a y ed b x ab ab=+⎰⎰221(1)a beab=-.5、计算2()Sx y dS+⎰⎰,其中S 为圆柱面224,x y +=解: 2221()()2SSSx y dS x y dS ydS +=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰142SSdS ydS =+⎰⎰⎰⎰ 8yzD π=+⎰⎰8yzD π=+⎰⎰8π=被积函数关于y 是奇函数,积分区域关于z 对称,二、(20分)设1211211212345632313nun n n=+-++-+++--- ,111123n v n n n=+++++ ,求: (1)1010u v ;(2)lim n n u →∞.解: (1)111232313nn k u k k k=⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭∑ 1211211212345632313n n n=+-++-+++--- ,23111111nnnn k k k v n kkk=====-+∑∑∑111111111111123456323132n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++++++++++-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭31111121132313nn nn n k k k u v k k k k k ===⎛⎫-=+--- ⎪--⎝⎭∑∑∑11211033nnk k k k k ==⎛⎫=---= ⎪⎝⎭∑∑ 1n vu v ⇒=;(2)111lim lim lim 123n n n n n u v n n n →∞→∞→∞⎛⎫==+++ ⎪++⎝⎭11111lim 1221111n k nn n n n n →∞⎛⎫⎪=+++ ⎪ ⎪++++⎪⎝⎭(图来说明积分上下)2111lim1nn k k nn→∞==+∑201ln 31dx x==+⎰.三、(满分20分)有一张边长为4π的正方形纸(如图),C 、D 分别为A A '、B B '的中点，E为D B '的中点，现将纸卷成圆柱形，使A 与A '重合，B与B '重合，并将圆柱垂直放在xOy 平面上，且B 与原点O 重合，D 若在y 轴正向上，求：（1） 通过C ，E 两点的直线绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程； （2） 此旋转曲面、xOy 平面和过A 点垂直于z 轴的平面所围成的立体体积.解:C EL :22224x y z π--==--旋转曲面上任意取一点(,,)M x y z则000(,,)N x y z 的坐标为：0002222z x z y z z ππ-⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎩，(0,0,)Q zM Q N Q ===化简得：所求的旋转曲面方程为：222282zxy π+-=，（2）(0,0,4)A π，故过(0,0,4)A π垂直z 轴的平面方程为：4z π=BDB 'Ex令0x=，解得在坐标面yo z上的曲线方程为：22282zyπ-=，图中所求的旋转体的体积为：24V dzππ⎛=⎝⎰24282zdzπππ⎛⎫=+⎪⎝⎭⎰242322zdzπππ=+⎰222321283233πππ=+=.四、(20分) 求函数2222(,,)x yzf x y zx y z+=++,在222{(,,)14}D x y z x y z=≤++≤的最大值、最小值.解：222222222222222()2()222(,,)()()xx x y z x x yz xy xz xyzf x y zx y z x y z++-++-'==++++2222232222222222()2()2(,,)()()yz x y z y x yz zx z yx y zf x y zx y z x y z++-++--'==++++2222232222222222()2()2(,,)()()zy x y z z x yz yx y zx z yf x y zx y z x y z++-++--'==++++由于,x y具有轮换对称性,令x y=, 0x=或0y z==解得驻点: (0,,)y y或(,0,0)x对22221(0,,)2x yzf y yx y z+==++, 2222(,0,0)1x yzf xx y z+==++,在圆周2221x y z++=上,由条件极值得:令2222(,,)(1)F x y z x yz x y zλ=++++-(,,)220xF x y z x xλ'=+=8=(,,)20y F x y z z y λ'=+=(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)10F x y z x y z λ'=++-=解得:(0,)22,(0,)22-,(0,22--,(0,22-,(1,0,0),(1,0,0)-1(0,,222f =,1(0,222f -=-,1(0,,222f --=,1(0,)222f -=-,(1,0,0)1f =,(1,0,0)1f -=;在圆周2224x y z ++=上,由条件极值得:令2222(,,)(4)F x y z x yz x y z λ=++++-(,,)220x F x y z x x λ'=+=(,,)20y F x y z z y λ'=+=(,,)20z F x y z y z λ'=+= 222(,,)40F x y z x y z λ'=++-=解得:(0,,(0,,(0,,(0, ,(2,0,0),(2,0,0)-12f =,1(0,2f =-,1(0,2f =,1(0,2f =-,(2,0,0)1f =,(2,0,0)1f -=;2222(,,)x yz f x y z x y z+=++,在222{(,,)14}D x y z x y z =≤++≤的最大值为1,最小值为12-.五、(15分)设幂级数0n n n a x ∞=∑的系数满足02a =,11n n na a n -=+-,1,2,3,n = ,求此幂级数的和函数.证明：0()nn n S x a x∞==∑1111111()(1)n n n nn n n n S x naxaxn x∞∞∞----==='⇒==+-∑∑∑()nnnnn n n ax nxS x nx ∞∞∞====+=+∑∑∑而()1200011(1)nn nn n n n n x nxx nxx xx x x x x ∞∞∞∞-====''⎛⎫⎛⎫'=====⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑,即:2()()(1)x S x S x x '-=- 一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,求()()0S x S x '-=的通解:()xS x ce=,令()()x S x c x e =代入2()()(1)xS x S x x '-=-得:2()()()(1)xxxx c x e c x e c x e x '+-=-,即:()211()(1)111x x x x xxe c x dx xe dx xe dx x e xx x ---'⎛⎫'==⋅=-⎪----⎝⎭⎰⎰⎰()11xxxxxexee dx ec xx ----=+-=++--⎰故2()()(1)x S x S x x '-=-的通解为:1()11x x x xxe S x e c e ce x x --⎛⎫=++⋅=+ ⎪--⎝⎭,由于(0)0S =,解得1c =-, 故0n n n a x ∞=∑的和函数1()1xS x ex=--.六、(15分)已知()f x 二阶可导,且()0f x >,[]2()()()0f x f x f x '''-≥,x R ∈,(1) 证明:2121212()(),,2x x f x f x f x x R+⎛⎫≥∀∈ ⎪⎝⎭.(2) 若(0)1f =,证明(0)(),f x f x e x R'≥∈.证明: (1) 要证明2121212()(),,2x x f x f x f x x R+⎛⎫≥∀∈ ⎪⎝⎭,只需证明1212121111ln()ln ()ln ,,2222f x f x f x x x x R⎛⎫+≥+∀∈ ⎪⎝⎭,也即说明()ln()F x f x =是凹函数,[]()ln()()f x f x f x ''=,[][]22()()()()ln ()0()()f x f x f x f x f x f x f x ''''-'⎛⎫''==≥ ⎪⎝⎭, 故()ln ()F x f x =是凹函数, 即证.(2)2()()(0)(0)2F F x F F x xξ'''=++[]222()()()(0)ln (0)(0)2()x f x f x f x f f x x f f x ξ='''-'=++(0)f x'≥,即:(0)(),f xf x ex R'≥∈.2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答) *一.计算题1、求xxx x x ee e sin13203lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→.解:xxxxx xxx x x e e e e e e s i n1320s i n1320331lim 3lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→→xee e x xeee ee e xxxx xxxxxx xxxee e e sin 13sin 133320323232lim 3lim ⋅++→⋅++⋅++→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2cos 3320032lim e exeee x xxx==⋅++→。
曲线积分与曲面积分习题答案.pdf
解： Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0} ， z 1 x y ， dS 3dxdy
原式 = (2 x y 2(1 x y)) 3dxdy
D xy
13 3(
x
1 x2)dx
53
02
2
6
1
1x
3 dx (2 y) dy
1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
(1) x 2 y3dx dy zdz ， 为 xOy 面内圆周 x2 y 2 a 2 逆时针方向；
解：取 为平面 z 0的下侧被 围成的部分， D 为 在 xOy 面上的投影
区域。 由 Stokes 公式，得
dydz dzdx dxdy
原式 =
x
y
z
x2 y3 1
x 2 ydx xy2 dy ，其中 L 为 x2 y 2 6x 的上半圆周从点 A(6,0)
L
到点 O (0,0) 及 x 2 y 2 3x 的上半圆周从点 O(0,0) 到点 B(3,0) 连成的弧
AOB；
uuur 解：连直线段 AB，使 L 与 BA 围成的区域为 D，由 Green 公式，得
第十一章 曲线积分与曲面积分
第三节 Green 公式及其应用
1．利用 Green 公式，计算下列曲线积分：
(1) xy 2dy x2 ydx ，其中 L 为正向圆周 x2 y 2 9 ；
L
解：由 Green 公式，得
?xy2dy x2 ydx
L
(x2
y2 )dxdy
2
2d
0
D
3 r 3dr
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2007年高等数学竞赛培训班线面积分练习题参考解答一.填空题(每小题3分,共15分)1.设L 为椭圆22143y x +=，其周长为a ，则222(234)d 12L a xy x y s ++=⎰Ñ. 解：222222(234)d 2d (34)d 012d 12LLLLxy x y s xy s x y s s a ++=++=+=⎰⎰⎰⎰蜒蜒. 2.设∑:1x y z ++=，则()dx y S ∑+=⎰⎰解：()d d d x y S x S y S ∑∑∑+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰()8110d d 333x y z S S ∑∑∑=+++==⎰⎰⎰⎰88d d 33xyxyD D x y x y ==⎰⎰⎰⎰3.密度为0μ的均匀金属丝2222:0 x y z R x y z Γ⎧++=⎨++=⎩对于x 轴的转动惯量304π 3x R I μ=.解：22222220000222()d ()d d 2π333x I y z s xy z s R s R R ΓΓμμμμΓ=+=++==⋅⎰⎰⎰蜒? 304π3R μ=.4.设22:(1)2L x y ++=，则 22d d 23π Lx y y xx y y -=+--++⎰Ñ.解： 22d d 23Lx y y x x y y --=+++⎰Ñ 222(1)2d d 11(11)d ππ2242L x y x y y x σ-++≤-=-+=-=-+⎰⎰⎰Ñ.5.设:z ∑=，则2d d cos d d d d 2π3I x y z y z x z x y ∑=++=⎰⎰下侧. 解：22212d d cos d d d d 00d π3x y I x y z y z x z x y x y ∑∑∑+≤=++=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰下侧下侧下侧.评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意1z =①不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行；②与Riemann 积分的对称性的结论刚好相反，例如光滑曲面∑关于0x =（即yOz 平面）对称（包括侧也对称），则有0, (,,)d d 2( d , ,,)d f f x y z y z f x y z y z x x f ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰半若为的函数，若函数.奇为的偶③也可利用轮换对称性。
二.选择题(每小题3分,共15分)(将正确选项的代号填在括号内)1.设曲线积分2d ()d Cxy x y x y ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ有连续的导数，且(0)0ϕ=，则(1,1)2(0,0)d ()d xy x y x y ϕ+⎰等于(A)1. (B) 0. (C) 21. (D)12. 答: ( D )解：(1,1)1122(0,0)0011d ()d (0)d 1d 0.22xy x y x y y y x x ϕϕ+=+⋅=+=⎰⎰⎰ 2. 设222: 1 (0)S x y z z ++=≥,1S 是S 在第一卦限中的部分，则有 (A) 1d 4d SS x S x S =⎰⎰⎰⎰. (B) 1d 4d SS y S x S =⎰⎰⎰⎰.(C)1d 4d SS z S x S =⎰⎰⎰⎰. (D) 1d 4d SS xyz S xyz S =⎰⎰⎰⎰. 答: ( C )解：因为222: 1 (0)S x y z z ++=≥关于0x =对称，关于0y =也对称，且x 和xyz都是x 的奇函数、y 是y 的奇函数，于是d 0,d 0,d 0SSSx S xyz S y S ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，但114d 0,4d 0S S x S xyz S >>⎰⎰⎰⎰，故（A ）、（B ）、（D ）都不对.事实上，将d Sz S⎰⎰视为密度z μ=时S 的质量，则显然有1d 4d SS z S z S =⎰⎰⎰⎰，再由,,x y z 在1S 上的轮换对称性有11d 4d 4d SS S z S z S x S ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 设2222{(,,)}x y z x y z a ∑=++=，在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是（A ）22d ,d d x S x y z ∑∑⎰⎰⎰⎰乙外. （B ）2d ,d d x S x y z ∑∑⎰⎰⎰⎰乙外.（C ）d ,d d x S x y z ∑∑⎰⎰⎰⎰乙外. （D ）d ,d d xy S y z x ∑∑⎰⎰⎰⎰乙外. 答: ( B )解：因为∑关于0x =（即yOz 平面）对称，x 和xy 是x 的奇函数，而2x 是x 的偶函数，故第一类曲面积分d 0,d 0xy S x S ∑∑==⎰⎰⎰⎰ÒÒ，4224πd 2d 3R x S x S ∑∑==⎰⎰⎰⎰乙半；而第二类曲面积分22234πd d 2d d 2d 3y z R R x y z x y z y z ∑∑+≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰乙外上侧上半，2d d 0x y z ∑=⎰⎰Ò外.类似地，有34πd d 2d d 3R y z x y z x ∑∑==⎰⎰⎰⎰乙外前侧前半. 4.设曲线L ：(,) 1 (,)f x y f x y =(具有一阶连续偏导数）过第II 象限内的点M 和第IV 象限的点N ,Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧,则下列积分小于零．．．的是 (A)(,)d f x y x Γ⎰. （B ）(,)d f x y y Γ⎰.（C ）(,)d f x y s Γ⎰. （D ）(,)d (,)d x y f x y x f x y y Γ''+⎰. 答：（B ）解： (,)d d d 0,f x y x x x ΓΓ-+==>⎰⎰⎰不选（A）；(,)d d d 0,f x y y y x ΓΓ-+==<⎰⎰⎰选（B）；(,)d d 0,f x y s s ΓΓ=>⎰⎰不选（C）；(,)d (,)d d (,)d (,)()()110,Nx y Mf x y x f x y y f x y f x y f N f M ΓΓ''+===-=-=⎰⎰⎰不选（D ）.5.设()22: 1z x y z ∑=+≤，22:1xy D x y +≤，则d d z y z ∑⎰⎰外可化为二重积分(A)22()2d d xyD xy x x y +⋅⎰⎰. (B)22()(2)d d xyD xy x x y +⋅-⎰⎰.(C)22()2d d xyD x y y x y +⋅⎰⎰. (D) 22()d d xyD x y x y +⋅⎰⎰. 答: ( A ) 解：因为cos d d cos d d d cos y z S x y ααγ==（一般地有d d d d d d cos cos cos y z x yz x αβγ==），而()22: 1z x y z ∑=+≤的外侧即下侧，故d d d d 2d d x y z z x y x x y '=-=-，所以d d z y z ∑⎰⎰外2222()(2)d d ()2d d xyxyD D x y x x y x y x x y =-+⋅-=+⋅⎰⎰⎰⎰. 三.(本题6分) 计算222222()d (2)d (3)d LI y z x z x y x y z =-+-+-⎰Ñ，其中L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向. 解：设∑为平面2x y z ++=上由L 所围成部分的上侧，xy D 是∑在xOy 面上的投影域，则∑的法向量的方向余弦为cos cos cos αβγ===，:1xy D x y +≤，∑的曲面面积元素d d S x y =. 由Stokes 公式，得222222()d (2)d (3)d LI y z x z x y x y z =-+-+-⎰Ñ222222d 23S x y z y z z x x y∑∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(846)d x y z S ∑=---(423)d (d xyD x y z S x y x y ∑=++=-+⎰⎰22006d d 1224xy D x y ⎡⎤⎢⎥=-++=-⋅=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.另解：将其化为平面曲线积分.记L 在xOy 面上的投影曲线为C ，则:C 1x y +=，取逆时针方向，C 所围域记为xy D .因为2z x y =--，d d d z x y =--，故原积分可化为22222222[(2)]d [2(2)]d (3)d (3)d CI y x y x x y x y x y x x y y =---+-------⎰Ñ 2222[4442]d [28843]d Cx x y xy y x x x y xy y y =-++-++----++⎰Ñ(2212)d d 0012d d 24xyxyD D x y x y x y -+-=+-=-=⎰⎰⎰⎰格林公式.四.(本题6分) 求密度为0μ的均匀半球壳:z ∑=z 轴的转动惯量.解：222222200()d (d z x y R I x y S x y x y ∑μμ+≤=+=+⎰⎰⎰⎰22π 200 001d d 2π2RRR R t μθρρρμ==⋅⎰⎰⎰222324200024π222π()π33RRR t R R t R μμμ⎡⎤-=-+=⋅-=⎢⎥⎣⎦⎰. 五．（本题6分）计算222()dLx y z s++⎰，其中L是球面22292x y z++=与平面1y z+=的交线.解：方法一因为L的方程可表示为()22121421yxz y⎧-⎪+=⎨⎪=-⎩，则其参量方程为2cos1 (02π)212xyzθθθθ⎧=⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪=⎩.故222()dLx y z s++⎰ 2π 2π0 0999d2d18π222Lsθθ====⎰⎰⎰.方法二222()dLx y z s++⎰9d2Ls=⎰99d22LLs s==⎰（L s表示L的弧长）；而22292:1x y zLy z⎧++=⎪⎨⎪+=⎩显然是平面1y z+=上的圆周，为求周长只需求出其直径d即可. 在L的方程中令0x=得圆周上的两点：(110,,22A+和(110,22B，易知AB就是L的一条直径，于是4d AB==.所以222()dLx y z s++⎰99d22LLs s==⎰9π4=18π2=⋅⋅.六．(本题6分)计算积分)d dLI x y y x=+⎰，其中L是依次联结点(1,0)A-、(2,2)B和(1,0)C的有向折线段.解：直接计算较繁.添加直线段CA，构成闭合曲线L CA+，使用格林公式.记L CA+所围域为D.,P y Q x==，2Q Px y∂∂-=-∂∂，故)d d LI x y y x =+⎰()[d )d ]L CACAy x x y +=-+⎰⎰Ñ()111(2)d d 0d 22242Dx y x -=--=⋅=-⋅⎰⎰⎰.七．(本题6分) 设对于半空间0x >内任意的简单光滑有向闭合曲面∑，都有2()d d ()d d e d d 0x xf x y z yf x z x xz x y ∑--=⎰⎰Ò， 其中()f x 有连续导数，且0lim ()1x f x +→=，求()f x . 解：设∑所围成的有界闭域为Ω，由题设及Gauss 公式得20()d d ()d d e d d xxf x y z yf x z x xz x y ∑=--⎰⎰Ò 2[()()()e ]d x f x xf x f x x V Ω'=±+--⎰⎰⎰2[()e ]d x xf x x V Ω'=±-⎰⎰⎰.由∑的任意性，知2()e 0x xf x x '-=，即2()e x f x '=，解得21()e 2x f x C =+.由0lim ()1x f x +→=得12C =，故2e 1()2xf x +=. 八.(本题6分) 计算曲面积分d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑是曲面221 (01)4yz x z =--≤≤的上侧. 解: 取S 为xOy 平面上由椭圆2214y x +=所围部分的下侧，由∑和S 所围空间区域记为Ω.由Gauss 公式，得()2214d d 2d d 3d d 20d 3d d S S y x I xz y z zy z x xy x y z z V xy x y ∑Ω++≤⎛⎫⎛⎫ ⎪=-++=++-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò 221100143d d 032π(1)d π.y x zz zz z z σ+≤-=-=-=⎰⎰⎰⎰九. (本题8分) 计算曲面积分()32222d d d d d d x y z y z x z x yI xy z∑++=++⎰⎰，其中∑是曲面()()16125211022-+--=y x z在xOy 平面之上的部分的上侧.解: ()23222z y xxP ++=,()23222z y x yQ ++=,()23222z y x zR ++=,除点()0 ,0 ,0O 外,z R y Q x P ∂∂∂∂∂∂,,处处连续,且0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P . ∑为顶点在()10 ,1 ,2的椭圆锥面的一部分,它在xOy 面上的投影域为xyD :()()141522222≤-+-y x .采用《挖洞法》：设0>ε充分小,取-S 为222 :y x z S --=ε之下侧,又取1∑-为平面域}),{(\222ε<+y x y x D xy 之下侧,于是1S ∑∑++构成一封闭曲面,记其所围成的空间域为Ω.由Gauss 公式得11(S S I ∑∑∑+----++∴=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò⎰⎰⎰Ω=z y x d d d 0⎰⎰+∑+1(++=00⎰⎰+S y x d d 13ε22223 013d d x y z z x εε++≤≥⎡⎢=⎢⎢⎣⎰⎰⎰ 十. (本题6分) 计算积分d ∑⋅⎰⎰rot F S ，其中32()()3x z x yz xy =-+-F i +j k ，∑是锥面 2z =xOy 面上方的部分，取上侧.解：设∑的边界曲线为Γ，则224:0x y z Γ⎧+=⎨=⎩，取逆时针方向.故由Stokes 公式得d ∑⋅⎰⎰rot F S d Γ=⋅=⎰ÑF s 32()d ()d 3d x z x x yz y xy z Γ-+--⎰Ñ 3(0)d (0)d 0x x x y Γ=-+--⎰Ñ3d d x x x y Γ=+⎰Ñ 22243d d x y x x y +≤==⎰⎰格林公式2π 223 0 0163cos d d 3π12π4θθρρ=⋅⋅=⎰⎰.十一. (本题6分)设2222:22220x y z ax ay az a ∑++---+=（0a >），求()d I x y z S ∑=++⎰⎰Ò解：方法一 （直接计算） 因为()()()2222:x a y a z a a ∑-+-+-=，故由轮换1对称性得 3d I z S ∑=⎰⎰Ò3()d 3d z a S a S ∑∑=-+⎰⎰⎰⎰乙23034π12πa a a =+⋅=. 方法二（利用形心坐标公式）显然()()()2222:x a y a z a a ∑-+-+-=的形心坐标为(,,)(,,)x y z a a a =，于是2d d 4πx S x S a x Sa∑∑===⎰⎰⎰⎰乙，由此得3d 4πx S a ∑=⎰⎰Ò；同理有3d 4πy S a ∑=⎰⎰Ò，3d 4πz S a ∑=⎰⎰Ò； 故 312πI a =.十二. (本题6分)计算曲线积分⎰++++++Γz y x y x z x z y 222222d )(d )(d )(,其中Γ为曲线⎩⎨⎧=+=++ 2222222ax y x Rxz y x (0,0≥<<z R a ), +Γ与Oz 轴正向成右手系. 解: 取Stokes 公式中的S 为曲面222y x Rx z --=的上侧（注意：S 关于0y =对称）,其上任意一点),,(z y x 处的单位法向量},,{0Rz R yR R x -=n ,S 在xOy 平面的投影域为:xy D ax y x 222≤+.于是原式S y x x z z y z y x Rz R y R R x Sd 222222⎰⎰+++∂∂∂∂∂∂-= S R z y x R yx z R x z y S d ])()()1)([(2⎰⎰-+-+--=S y z Sd )(2⎰⎰-=2d 0xyD x y =+⎰⎰22πRa =.十三. (本题8分)1. 设()f u 是连续函数，Γ为任意分段光滑的有向简单闭曲线，试证：222()(d d d )0.f x y z x x y y z z Γ++++=⎰Ñn2.设在上半平面{}(,)0D x y y =>内，(,)f x y 具有连续的偏导数，且0t ∀>，都有2(,)(,)f tx ty t f x y -=，证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有(,)d (,)d 0Lyf x y x xf x y y -=⎰Ñ.证：1.设()f u 的一个原函数为()F u ，则2222221 ()(d d d )d ()02f x y z x x y y z z F x y z ΓΓ++++=++=⎰⎰蜒.2.21(,),(,),(,)(,),(,)(,).QP P yf x y Q xf x y f x y yf x y f x y xf x y y x∂∂''==-=+=--∂∂ 由题设：(,),0x y D t ∀∈∀>，有2(,)(,)f tx ty t f x y -=.两边对t 求导，得312(,)(,)2(,).xf tx ty yf tx ty t f x y -''+=-令1t =得12(,)(,)2(,),xf x y yf x y f x y ''+=-即21(,)(,)(,)(,).Q P f x y yf tx ty f x y xf x y y x∂∂''=+=--=∂∂ 所以(,)d (,)d 0Lyf x y x xf x y y -=⎰Ñ.。