线性代数习题3.3 向量组的线性相关性
线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案
线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案 一、填空题1、12332βααα=−+；2、5；3、相关；4、-1；5、相关。
二、单项选择题 1、（B）；2、（C）；3、（C） 三、计算题1、 秩为3；123,,ααα为一个最大无关组，4123234αααα=++。
2、 0,0a b ≠=。
3、 3a =。
4、 讨论对于2b =时，秩为2，1α，2α为一个最大无关组；2b ≠时，秩为3，1α，2α，3α为一个最大线性无关组。
5、 1k =±。
四、证明题 1、（略）2、设1β=1α+2α，2β=2α+3α，3β=3α+4α，4β=4α+1α，证明1β，2β，3β，4β线性相关。
证明：11223344k k k k ββββ+++=0，即()()()()112223334441k k k k αααααααα+++++++=0()()()()141212323434k k k k k k k k αααα+++++++=0无论1234,,,αααα线性相关还是线性无关，上式总成立。
令141223340000k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，由于此方程组系数行列式10011100001100011=，所以此方程组必有非零解，所以存在不全为零的数1234,,,k k k k ，使得11223344k k k k ββββ+++=0成立，所以1β，2β，3β，4β线性相关。
另证：因为1234ββββ−+−=0，所以1β，2β，3β，4β线性相关。
3、设n 维向量β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，证明表示式唯一的充分必要条件是1α，2α，…，m α线性无关。
证明：β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，则()()1212,,,,,,,m m R R ααααααβ=""（必要性）若β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示式唯一，则有()()1212,,,,,,,m m R R m ααααααβ==""，所以1α，2α，…，m α线性无关（因为向量组的秩等于向量的个数）。
线性代数练习题四(向量组的线性相关性(1)
线性代数练习题四（向量组的线性相关性）一、填空题1、设向量组123,,ααα线性相关，则向量组112233,,,,,αβαβαβ一定线性 .（填相关或无关）2、n 阶可逆矩阵A 的列向量组为12,,,n ααα，则12(,,,)n R ααα= .3、设A 是45⨯矩阵，且()3R A =，则线性方程组0AX =解空间的维数为 .4、向量组123(1,0),(1,1),(0,1)T T T ααα=-==的最大无关组为 .5、设向量组123(2,1,3,0),(1,2,0,2),(0,5,3,4),T T T ααα=-=-=-4(1,3,,0)T t α=-，则t = 时，该向量组线性相关.6、设n 维单位向量组12,,,n e e e 可由向量组12,,,s a a a 线性表示，则向量个数s 与n 的关系为 .7、已知12,(1,2,3),3A αβαβ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭，则()R A = . 8、设方程组0Ax =以12(1,0,2),(0,1,1)T T ξξ==-作为基础解系，则系数矩阵A = .二、选择题1、设123451*********,,,,217254214010ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则该向量组的最大无关组是（ ）1231241251245(),,(),,(),,(),,,A B C C ααααααααααααα2、设矩阵(),0ij m n A a Ax ⨯==仅有零解的充分必要条件是（ ）()()()()的行向量组线性无关的行向量组线性相关的列向量组线性无关的列向量组线性相关A AB AC AD A3、向量组12,,,s ααα的秩为r ，则下列叙述不正确的是（ ）1212121212(),,,(),,,,,,(),,,(),,,1s s ss s A r B r C r D r ααααααααααααααα+中至少有个向量的部分组线性无关中任意个线性无关的部分组与可互相线性表示中个向量的部分组皆线性无关中个向量的部分组皆线性相关4、设0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组，则有（ ）()0()0()0()0若仅有零解，则有唯一解若有非零解，则有无穷多解若有无穷多解，则仅有零解若有无穷多解，则有非零解A Ax Ax bB Ax Ax bC Ax b AxD Ax b Ax ========5、设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）()()()()必要非充分条件充分非必要条件充分必要条件无关条件A B C D6、向量组12,,,s ααα线性无关的充要条件是（ ）A 12,,,s ααα都是非零向量B 12,,,s ααα中任意两个向量对应分量不成比例 C 12,,,s ααα中有一部分向量线性无关D 任一向量均不可由其余向量线性表示7、若m n ⨯矩阵A 的m 个行向量线性无关，则()R A （ ）A mB n CmD n ><==8、下列命题中错误的是（ ） A 初等变换不改变矩阵的秩B 若n 阶方阵A 可逆，则A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积C 若AA O *=，且()1R A =，则()0(2)R A n *>>D 0Ax =的解向量的线性组合仍是0Ax =的解向量三、解答题与证明题1、已知向量组123412533113,,,,53111471a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求此向量组的秩和一个最大无关组2、已知向量组1231322,1,332a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，问 （1）c 为何值时，该向量组线性无关？ （2）c 为何值时，该向量组线性相关？3、求解非齐次线性方程组1234123412342132344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩4、已知线性方程组121312311x x x x x ax x b+=⎧⎪-=⎨⎪++=⎩，问（1）常数,a b 取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？ （2）当方程组有无穷多解时，求出其通解.5、设A 为34⨯矩阵，()2R A =，且非齐次线性方程组Ax b =的三个解为123124115,,0132411ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求（1）齐次线性方程组0Ax =的通解； （2）非齐次线性方程组Ax b =的通解.6、求向量组1234(2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)T T TTαααα====的最大线性无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。
线性代数习题册(第四章 向量组的线性相关性参考答案)
r4 − r2
0
5
2
0 0 2
0
0
2
8
6
r2
−
r3Leabharlann 0506 6
2
2
1 2 r2
0 0
0 0
1 0
2
4
3 1
0
0
1
0 →
0 0
6 1 0 0
0 0 1 0
3 2 5 3 0
4 4 5 1 0
注：整体无关，部分无关。
14. 设三阶行列式=D = aij 0 ，则（ A ）. ( A) D 中至少有一个行向量是其余行向量的线性组合；
(B) D 中每一个行向量都是其余行向量的线性组合；
(C ) D 中至少有两个行向量线性相关；
(D) D 中每一个行向量都线性相关.
分析：行列式为零，所以构成行列式的矩阵的行向量组一定线性相关，故至少有一个行向 量可以由其他行向量线表示，从而知（A）是正确的。
β=3 α3 + α4 的秩为（ C ）.
( A) 1
(B) 2
(C ) 3
(D) 4
1 0 0
分析：
(
β1
,
β
2
,
β
3
)
=
(α1
,α
2
,
α
3
,
α
4
)
1 0
1 1
0
1
0 0 1
1 0 0 1 0 0
⇒
R ( β1 ,
线性代数 向量组线性相关性的判别定理
3.α1 = ( 2,3,1,0) , α 2 = (1,2,5,7 ) , α 3 = ( 5,8,7,7 ) ,
T T T
2 3 解 Q α 1 , α 2 , α 3构成矩阵 A = 1 0
T
T
3.α1 = ( 2,3,1,0) ,α2 = (1,2,5,7) ,α3 = ( 5,8,7,7) ,
T T T
1 2 5 7
5 8 , 7 7
T
可求得r ( A) = 2 < 3, ∴α1 , α 2 , α 3线性相关
T
4.α1 = (1,0,0,2) ,α2 = ( 0,1,0,1) ,α3 = ( 0,0,1,4)
T T
解.Q e1 = (1,0,0) , e2 = ( 0,1,0 ) , e3 = ( 0,0,1) 线性无关 T T T ∴α1 = (1,0,0,2 ) , α 2 = ( 0,1,0,1) , α 3 = ( 0,0,1,4 ) 线性无关
3.3线性相关性的判别定理 线性相关性的判别定理
内容：4个定理 内容： 个定理
定理1 定理1
若 向量组 A：α1 , α 2 ,L , α r 线性相关, 则向量组
B : α1 , L, α r , α r +1 L , α m 也线性相关.(部分相关，则整体相关） 反言之, 若向量组B 线性无关, 则 向量组A也线性无关 .
证明 Q向量组 A：α1 , α 2 ,L, α r 线性相关,
∴ ∃不全为零的数 k1 , k 2 , L , k r ，使得k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r = 0 即为 k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r + 0α r +1 + L + 0α m = 0 k1 , k 2 ,L , k r ,0 L 0为m个不全为零的数 ∴向量组B : α1 , L , α r , α r +1 L , α m 也线性相关. 向量组B 的向量组是线性相关的向量组。 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性的证明向量组的线性相关性是考试的重点，经常是以解答题和客观题的形式来考查.2008年和2009年连续两年以证明题的形式考查了向量组的线性相关性。
向量组线性相关性的证明主要用到的方法是定义和秩.一、定义法.利用定义法证明向量组1,,s αα的线性相关性，应先设11s s k k ++=0αα，再根据已知条件通过恒等变形(重组、同乘)转化为齐次线性方程组，讨论1,,s k k 是否全为0，从而得到结论.对于向量组1,,s αα，若存在不全为0的数1,,s k k 使上式成立，则1,,s αα线性相关；若上式当且仅当10s k k ===时才成立，则1,,s αα线性无关． 二、秩.(1)1,,s αα线性相关⇔1(,,)s r s <αα； 1,,s αα线性无关⇔1(,,)s r s =αα． 特别地，n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性相关⇔12,,,0a a a n =；n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性无关⇔12,,,0a a a n ≠．(2)利用“三秩相等”，经常将向量组的秩转化为矩阵的秩.用秩的时候经常用到下面几个定理：①()(),()()r r r r ≤≤AB A AB B .②若m n r =n ⨯A ()，则()()r r =AB B .③若m n n s ⨯⨯=A B O ，则()()r r n +≤A B .【例1】设A 是n 阶矩阵，123,,ααα是n 维列向量，且1≠0α，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα证明123,,ααα线性无关．【分析】对112233k k k ++=0ααα，如何证明系数1230k k k ===呢？先仔细分析已知条件，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα其实就是12132(3),(3)2,(3)2,-=-=-=0A E αA E ααA E αα这启发我们应用3-A E 左乘112233k k k ++=0ααα来作恒等变形．【证明】设 112233k k k ++=0ααα， ① 用3-A E 左乘①式，有112233(3)(3)(3),k k k -+-+-=0A E αA E αA E α即 213222k k +=0αα． ②再用3-A E 左乘②式，可得21322(3)2(3),k k -+-=0A E αA E α即314k =0α．由1≠0α，故必有30k =；将其代入②式得212k =0α，故有20k =；再将其代入①式得11k =0α，故有10k =，所以123,,ααα线性无关．【评注】用定义法证明向量组的线性相关性时，需要作恒等变形，最常用的两种变形方法是拆项重组和同乘(等式两端同乘以同一个矩阵)．【例2】已知四维列向量123,,ααα线性无关，(1,2,3,4)i i =β为非零向量，且与123,,ααα均正交，求向量组1234,,,ββββ的秩.【解析】123,,ααα均正交，即0(,1,2,3,4)αβT j i i j ==.以123,,T T T ααα为行向量作为矩阵123A αααT T T =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1234,,,ββββ为列向量作为矩阵()1234,,,B ββββ=，则AB O =.利用矩阵秩的性质得到()+()4A B r r ≤.123,,ααα线性无关，则()3A r =，从而()1B r ≤(1,2,3,4)i i =β为非零向量，则()1B r ≥,得到()=1B r ，即1234(,,,)1r =ββββ.。
《线性代数》 向量组的线性相关性精选习题及解答
3
4．基 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a2 ,L , ar ∈V ，且满足
① a1 , a2 ,L , ar 线性无关； ② V 中任何一向量都可由 a1 , a2 ,L , ar 线性表示，那
5 ． 定 理 2 向 量 组 b1,b2 ,L,bl 能 由 向 量 组 a1, a2,L, am 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是
R(a1, a2 ,L, am ) = R(a1,L, am , b1,L, bl ) .
4.2.4 线性方程组的解的结构
1．对齐次线性方程组
AX = 0
⎛ a11
的坐标. 4.2.6 基变换公式与坐标变换公式
1．设向量组 a1, a2 ,L, an 与 b1, b2 ,L, bn 是 V 的两组基，且有
(b1, b2 ,L, bn ) = (a1, a2 ,L, an ) A
其中
⎛ a11 a12 L a1n ⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜
a21 M
a22 M
L
a2n
⎟ ⎟
α1, α2 , α3 线性表示 β .
解：设 β = x1α1 + x2α2 + x3α3 ，即
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜⎜1⎟⎟
x1
+
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
x2
+
⎜ ⎜
3 ⎟⎟
x3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎜⎝ 9⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠
2020-2021学年线性代数之向量组的线性相关性例题
0
0,知
1, 2 , 3线性无关,
从而
1
,
2
,
线性无关.
3
001
又 A 组 秩为 3, 则 1,2 ,3 为 A 组 的一个极大无关组 .
例3：求向量组1 1, 2, 3T,2 2, 1, 3T,3 1, 7, 6T,4 2, 6, 0T
的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表出 .
由1, 2 ,3 线性无关, 有
k1 k3 0
101
k1 k2 0 D 1 1 0 2 0 k1 k2 k3 0
k2 k3 0
011
则结论成立.
例2：设向量组
1,
2
,
线性相关,
3
向量组
2
,
3
,
线性无关,证明(1)
4
1能
由 2 ,3 线性表出; (2) 4不能由 1, 2 ,3 线性表出 .
1 0 0
1 3 2
0 0
0 0
0 0
由 R(A) R(B) R(A, B) 2, 则 1,2 ,3 与 1, 2 等价 .
§5. 向量的内积与正交性
1 1 1
例1：设 1
1, 2
1
,3
1,
把这组向量规范正交化.
1
1
1
解: (1) 正交化.取
1 1,
2
2
1 , 2 1, 1
1 5, 6, 5, 9T , 2 4, 4, 3, 5T , 证明向量组1,2 ,3 与 1, 2 等价 .
证明: 设 A (1,2 ,3), B (1, 2 )
2 3 5 5 4 1 1 0 5 3
(
向量组的线性相关性线性代数习题集-5页word资料
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性一．选择题1．n 维向量s ααα,,,Λ21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ]（A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k αααΛ（B ）s ααα,,,Λ21中任何)(s j j ≤个向量线性相关（C ）设),,,(s A αααΛ21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解（D ）设),,,(s A αααΛ21=，A 的行秩 ＜ s.2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则[ C ]（A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示（C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示二．填空题：1． 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα 则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 24． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式 0abc ≠三．计算题：1． 设向量()11,1,1T αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T βλλ=，试问当λ为何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？（3）β不能由321ααα,,线性表示？线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第三节 向 量 组 的 秩一．选择题：1．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ]（A ）14433221αααααααα++++,,, （B ）14433221αααααααα----,,,（C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,,2．设向量β可由向量组m ααα,,,Λ21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,,Λ线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m Λ，则 [ B ]（A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示（B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示（C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示（D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示3．设n 维向量组s ααα,,,Λ21的秩为3，则[ C ]（A ）s ααα,,,Λ21中任意3个向量线性无关 （B ）s ααα,,,Λ21中无零向量（C ）s ααα,,,Λ21中任意4个向量线性相关 （D ）s ααα,,,Λ21中任意两个向量线性无关4．设n 维向量组s ααα,,,Λ21的秩为r ，则[ C ]（A ）若s r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,,Λ21线性表示（B ）若n s =，则任何n 维向量都可用s ααα,,,Λ21线性表示（C ）若n r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,,Λ21线性表示 （D ）若n s >，则n r =二．填空题：1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2，则t = 32．已知向量组),,,(43211=α，),,,(54322=α，),,,(65433=α，),,,(76544=α，则该向量组的秩为 22． 向量组T a ),,(131=α，T b ),,(322=α，T ),,(1213=α，T ),,(1324=α的秩为2， 则a = 2 b = 5三．计算题：1．设T ),,,(51131=α，T ),,,(41122=α，T ),,,(31213=α，T ),,,(92254=α，T d ),,,(262=β（1）试求4321αααα,,,的极大无关组（2）d 为何值时，β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式 3． 已知3阶矩阵A ，3维向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量组2,,x Ax A x 线性无关。
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线性代数
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§3.3 向量组的线性相关性
k1 k3 0 k1 k2 0 k k 0 2 3
1 0 1
系数行列式 D 1 1 0 2 0 0 1 1 克莱默 只有零解 k1 k2 k3 0 法则 a1 a2 , a2 a3 , a3 a1也线性无关.
行列式法
线性代数
§3.3 向量组的线性相关性
0 1 2
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§3.3 向量组的线性相关性
例4 标准单位向量组 : T T T e1 1,0,,0 , e2 0,1,,0 ,, en 0,0,,1
讨论其线性相关性 .
解：A (e1 , e2 ,, en ) En
第三章 线性方程组与向量组的 线性相关性
§3.3 向量组的线性相关性
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§3.3
向量组的线性相关性
一.定义
设组A : a1 , a2 ,, am , 如果存在一组不全为零 的 数k1 , k2 ,, km使， k1a1 k2a2 km am 0 则称组A 线性相关，否则称它线性无关．
a1 j a1 j a a 2j 2j a j bj a nj a sj
则（1）如果 a1 , a2 ,am 线性相关，则 b1 , b2 ,bm 也线性相关。 （2）如果 b1 , b2 ,bm 线性无关，则 a1 , a2 ,am 也线性无关。
R( E ) n .
即R( E )等于向量组中向量个数 ，此向量组 是线性无关的 .
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§3.3 向量组的线性相关性
Th3 组 A：a1 ,, am 线性相关, 则 组 B : a1 ,, am , am1 也线性相关
反之, 组B 线性无关, 则组A也线性无关 . A是B的 B : a1 ,, am , am 1 ,, as 部分组： A : a1 ,, am
几何意义 : 是两向量共线； 三个向量相关的几何意 义是三向量共面 . (4)n个n维标准单位向量组 e1 , e2 ,, en线性无关 k1e1 k2e2 knen 0 k1 kn 0 ( k1 , k2 ,, kn )T (0,0,,0)T
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§3.3 向量组的线性相关性
充分性
a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如a1 ）能 设
a1 k2a2 km am
由其余向量线性表示.
故
( 1)a1 k2a2 km am 0
1, k2 ,, km 这 m个数不全为0，
故 a1 , a2 ,, am 线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
Th2 组A : a1 , a2 ,, am线性相关 A (a1 , a2 ,, am ) 的秩小于向量个数m 即R( A) m 组A : a1 , a2 ,, am线性无关 R( A) m .
存在不全为零的数 k1 ,, km ,0 向量组B : a1 ,, am , am 1线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
Th4 设组A : a1 , a2 ,, am线性无关 ,而组B : a1 ,, am , b
则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使 k1a1 k2a2 km am 0.
不妨设 k1 0,则有
km k2 k3 a1 a2 a3 am . k1 k1 k1 即 a1 能由其余向量线性表示.
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0 1 2
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§3.3 向量组的线性相关性
推导: 设 a1 ,, am 线性相关，
存在不全为零的数 k1 ,, km , 使 k1a1 k2a2 km am 0
即k1a1 k2a2 km am 0am1 0
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§3.3 向量组的线性相关性
B : , ,..., 能由向量组A : a , a ,..., a cor1.设向量组
1 2 n
1
2
m
线性表示，如果向量组 B 线性无关，则 m n .
秩法
cor n维n个向量组 a1 ,, an线性相关 a1 , ,, an 0
行列式法
线性无关 a1 , ,, an 0
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2 1 0 例3 讨论a1 1 ，a2 2 ，a3 1 线性相关性 0 1 2 2 1 0 1 2 1 秩法 解：法１ A (a1 , a2 , a3 ) 1 2 1 ~ 2 1 0 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 阶梯形矩阵 ~ 0 3 2 ~ 0 1 2 R( A) 3 0 1 0 0 4 2 a1 , a2 , a3线性无关 2 1 0 法２ a1 , a2 , a3 1 2 1 4 0 a1 , a2 , a3线性无关
线性相关, 则 b 必能由组A线性表示, 且表示式 是唯一的.
证: 因A组线性无关，有 R( A) m;
又因B组线性相关，有 R( B ) m 1.
而R( A) R( B )
所以m R( B) m 1，即有R( B) m. 由R( A) R( B) m, 知方程组Ax b 有唯一解，
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§3.3 向量组的线性相关性
二.线性相关性的判定
Th1 组a1 , a2 ,, am ( m 2)线性相关 其中至少 有一个向量可由其余 m 1向量线性表示 a , a , , a 证明: 必要性 设 1 2 m 线性相关，
m n时成立, 将式（1）代入（2）， k k 就可得到齐次方程组
11 12
k k
21
m1
k k
22
m2
k x k x k x
1n 2n mn
1
2
n
0
有非零解，从而向量组 线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
2 1 0 例1 讨论a1 1 ，a2 2 ，a3 1 线性相关性 0 1 2 解：设一组数 k1 , k2 , k3 , 使k1a1 k2a2 k3a3 0 2 1 0 0 k1 1 k2 2 k3 1 0 0 1 2 0 2 1 0 2k1 k2 0 k1 2k2 k3 0 系数行列式 D 1 2 1 4 0 k 2k 0 0 1 2 2 3 a1 , a2 , a3线性无关 . 只有零解 k1 k2 k3 0
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§3.3 向量组的线性相关性
例2 已知向量组a1 , a2 , a3 线性无关 , 证明a1 a2 , a2 a3 , a3 a1也线性无关. 证：设一组数k1 , k2 , k3使 k （ （ （ 1 a1 a2 ) k 2 a2 a3 ) k 3 a3 a1 ) 0 亦即 （ k1 k3 )a1 (k1 k2 )a2 (k2 k3 )a3 0, a1，a2，a3线性无关，有
即向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一 .
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§3.3 向量组的线性相关性
Th5 n 维向量组 a1 , a2 ,am 同时去掉相应的n s 个
分向量后得到
s
维向量组 b1 , b2 ,bm , 其中
j 1,2 m ,
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3a1 a2 0 0b1 0b2 0
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§3.3 向量组的线性相关性
*
(1) 单独一个零向量线性相关, 1 0 0 单独一个非零向量线性无关 0a 0
(2)含零向量的向量组是线性相关 . 0a1 1 0 0am 0 ( 3) a1 , a2线性相关 分量对应成比例
线性无关 只有当k1 km 0时, 才有 k1a1 km am 0 成立 .
1 3 a1 , a2 2 6 1 2 b1 , b2 2 1
m n
k1 n k2n (1) k mn
要证存在不全为零的数 x1 , x 2 ,..., xn 使