向量组的线性相关与线性无关
向量组地线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭M 。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭M 有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1. 线性组合设a<i, a2,…,a t匕R ,匕，k2,…,K匕R ,称匕耳十k a +…+ ka t为a^ a2,…,a t的—一个线性组合。
一k2【备注1】按分块矩阵的运算规则，匕印+k2a2+…+ k t a t=(a“ a2,…,q)亠。
这++占丿样的表示是有好处的。
2. 线性表示设aa, g R n，b R n，如果存在匕山，K R，使得b = Ka k2a2- ■■■■ k t a t则称b可由Q , a?, , a线性表示。
k2b = ki&+k2a2+■■■+k(at，写成矩阵形式，即b =(ai@, ■■■©) ■。
因此，b 可++<k t」由a,a2,…,a t线性表示即线性方程组(a i,a2,…,aj « =b有解，而该方程组有解++当且仅当r(q,a2, ,a t) ,a t,b)。
3. 向量组等价设^包，…,ad, b2,…,b s • R n，如果^总，…,耳中每一个向量都可以由匕,鸟，…,b s线性表示，则称向量组a「a2,…,a可以由向量组gp,…,b s线性表示。
如果向量组a,a2,…,a t和向量组b|,b2,…,b s可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性任何一个向量组都与自身等价。
⑵对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。
⑶传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III 等价。
证明：自反性与对称性直接从定义得出。
至于传递性，简单计算即可得到。
设向量组I为矽总，…,a r ,向量组II为b,b,…,b s，向量组III为G,Q,…,G。
t向量组II可由III线性表示，假设b j八yqC k，j =12…,s。
向量组I可由向s量组II线性表示，假设a「v X ji b j，i =1,2,…,r。
因此, j 二s s t t sa = ' X jjb j = ' X ji y kjc k = ' (.一y kj X ji)C k，i = h2，…,rj 1j k a km j T因此，向量组I可由向量组III线性表示。
向量组的线性相关与线性无关向量组的线性无关
向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示就是有好处的。
２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。
第二节向量组的线性相关性与线性无关性
注意： 对线性无关这个概念的理解，要多多思 考。或许有同学这样认为：α1，α2，…，αm线性无 关是指当系数k1，k2，…，km全为0时，有k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0。实际上，这种看法是错误的。 大家想一想，当系数k1 ，k2 ，…，km全为0时 ， k1α1 + k2 α2 + …+ km αm 当然是零向量, 这与α1， α2，…，αm线性相关或线性无关没有任何联系。
写成向量的形式就是
a11 a12 a a 21 22 k1 k2 a a m,1 m,2 a1n a 2n kn 0 a m,n
写成分量的形式就是 a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n a m 1,1k1 a m 1,2 k 2 a m 1,n k n 0 取其前面m个方程，即 a11k1 a12 k 2 a1n k n 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2n n a m,1k1 a m,2 k 2 a m,n k n 0
定义2 设α 1 ，α 2 ，…，α m是一组n维向量， 如果存在m个不全为0的常数k1，k2，…，km使得 k1 α 1 + k2 α 2 + … + km α m = 0，则称向量组 α 1 ，α 2 ，…，α m线性相关(linearly dependent)；否则，称向量组α 1，α 2，…，α m 线性无关。
注： 类似可以证明，若一个向量组仅由α ，β ， γ 三个向量构成，则 α ， β ， γ 线性相关的充要条件 是α ，β ，γ 共面。 上述定义2是通过否定线性相关来给出线性无关的 定义，下面我们将用肯定的表述来说明线性无关这个 概念。为此，我们先检查线性相关的定义。称 α 1 ， α 2 ，…， α m 线性相关是指存在不全为 0 的 m 个常数 k1 ， k2 ，…， km 使得 k1 α 1 + k2 α 2 + … + km α m = 0 , 这即是说：以k1，k2，…，km为未知数的方程（实际上， 若按向量的分量来看，这是一个方程组）： k1 α 1 + k2 α 2 + … +km α m = 0 有非零解（ k1 ， k2 ，…，km）。
向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
01-向量组线性相关与线性无关的定义
向量组线性相关与线性无关的定义向量组线性相关的判定定理小结与复习回顾：向量组的线性组合定义给定向量组A：a, a, …, am ，对于任何一12m组实数k1,k2, …, km，表达式k 1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组A的一个线性组合．k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义给定向量组A：a, a, …, am 和向量b，如果存在12m一组实数λ1, λ2, …, λm，使得b= λ1a1 + λ2a2 + … + λm a m 则称向量b 能由向量组A的线性表示．引言问题1给定向量组A ，零向量是否可以由向量组A 问题A 线性表示？问题2如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？=向量b 能由线性方程组=注意到()(,)R A R A b 向量组A线性表示Ax = b有解问题1给定向量组A ，零向量是否可以由向量组A 线性表示因此示？问题1′齐次线性方程组Ax =O 是否存在解？回答齐次线性方程组Ax = O 一定存在解．事实上，可令，则=0k k k ==="事实可令则（零向量）12m 1122+++=m m k a k a k a O "问题2 A问题如果零向量可以由向量组线性表示，线性组合的系数是否不全为零？问题2齐次线性方程组Ax= 0 是否存在非零解？问题2′A=0是否存在回答齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合零的系数不一定全等于零．设1000E ⎛⎞例()123,,01001e e e ⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠11000k ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟1122331232301000010k e k e k e k k k k k ++=++==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠若则k 1= k 2= k 3=0 ．向量组线性相关与线性无关的定义定义给定向量组A：a1, a2, …, a m ，如果存在不全为零的实数k1, k2, …, k m，使得k1a1 + k2a2 + … + k m a m=0（零向量）否则称它是线性无关的则称向量组A 是线性相关的，否则称它是线性无关的．向量组A：a1, a2, …, a m m 元齐次线性方程组Ax= 0R A) <m线性相关有非零解()也就是说向量组m 元齐次线性方程组A：a1, a2, …, a m 线性无关Ax= 0只有零解R(A) =m说明给定向量组A ，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一．若线性无关，则只有当12,,,n ααα"10n λλ==="λλλ时才有成立.向量组A ：a 1, a 2, …, a m 线性相关，通常是指m ≥2 的情形.11220n n λααα+++=" 若向量组只包含一个向量：当a 是零向量时，线性相关；当a 不是零向量时，线性无关．包含零向量的任何向量组是线性相关的.例维向量组n ()()()T n T T e e e 1,,0,0,0,,1,0,0,,0,121""""===，.,讨论其线性相关性维单位坐标向量组称为n 解),,,( 21的矩阵维单位坐标向量组构成e e e E n n "=.阶单位矩阵是n .)(01 n E R E =≠=，知由R E 即等于向量组中向量个数，故此向量组是().线性无关的作业习题四8.。
向量组的线性相关与线性无关
1 2 4 0 5 5 0 3 3 0 9 9
1 0 0 0
2 1 0 0
4 1 ， 0 0
r(A) =(a1 a2 am)秩2<3 （向量的个数） ，
所以向量组 a1，a 2，a 3 线性相关。
判定定理 首页 上页 返回 下页 结束 铃
例2．判断向量组 A: a1(1, 2, 0, 1)，a 2(1, 3, 0, 1)， a 3(1, 1, 1, 0)是否线性相关。
∴此向量组 线性相关
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判定向量组线性相关与线性无关的步骤：
a11 a12 a 设n个m维向量组 A： a1 ， 2 a 1m
a21 a22 a ， ， n a2m
an1 an2 anm
（1）比较向量组 A的个数n与向量的维数m
①当n＞m时，向量组 A线性相关（如例6）
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
解：
可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关； 同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关．
11
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推论1：设n个n维向量为 a11 a12 a21 a22 a1 a a ， 2 ， ， n an1 an2
1 0 0 k1 0 若 k1e1 k2 e2 k3 e3 k1 0 k2 1 k3 0 k2 0 0 0 1 k 0 3
＝0，线性相关 （2）当n=m时，计算行列式|A| =| a1 a2 an | ≠0，线性无关 （如例4，例5） ＜ n ，线性相关 （3）当n＜m时，计算r(A)=秩（ a1 a2 an ） ＝ n ，线性无关 （如例1,例2,例3 ）
向量组的线性相关与线性无关
定义１ 给定向量组A :1,2 , ,m，对于任何一
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这 个线性组合的系数.
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
容易验证 x=1, y=1, z= -1是上述方程的一组非零解 即存在一组不全为零的数 1，1，－1使
1 1 (1) 0
所以 , , 线性相关
例3 已知向量组1,2 ,3 线性无关, b1 1 2 ,
b2 2 3 , b3 3 1, 试证b1, b2 , b3线性无关.
证 设有x1, x2 , x3使
若向量组A线性无关，则向量组B也线性无关。 说明 增加方程个数相当于向量 j ( j 1, 2,L m)
增加分量，但向量组所含向量的个数不变
由于线性方程组的解与方程组中方程的次 序无关，由此我们得到如下命题
命题2 设有两个向量组
A : j (a1 j , a2 j ,L anj )T ( j 1, 2,L m), B : j (ap1 j , ap2 j ,L , apn j )T ( j 1, 2,L m),
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 量共面.
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方 程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线 性独立）.
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例2 讨论向量组 1, 1, 1T 0, 2, 5T 1, 3, 6T 的线性相关性
解 假设存在 x, y, z，使得
x y z 0
即 ( x z, x 2 y 3z, x 5 y 6z)T (0, 0, 0)T
1
x1 x2 x3 x4 1
x1
5 4
,
x2
1 4
,
x3
1 4
,
x4
1 4
5 4
1
1 4
2
1 4
3
1 4
4
三、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
a1 x1 a2 x2
an
xn
b
即线：性b方能程用组a1，x1aa12，x，2a2an线性表xna示n
§3.2 向量组的线性相关与 线性无关
一、线性组合的概念
定义１ 给定m 1个n维向量，1,2, ,m， 若存在一组实k1数1k1，kk22，2,km，使km得m向量 称是向量组1，2， ，m的一个线性组合 ， 或称可以由向量组1，2， ，m线性表示
2
1
0
0
0
例如：
5 3
,
1
0 0
因
1，
2，
线性无关，故有
3
x1 x3 0, x1 x2 0,
x2 x3 0.
1 01 由于 1 1 0 2 0
011
故方程组只有零解 x1 x2 x3 0， 所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关 .
例5 把向量 (1, 2,1,1)T 表示成向量组1 (1,1,1,1)T 2 (1,1, 1, 1)T 3 (1, 1,1, 1)T 4 (1, 1, 1,1)T 的线性组合
,
2
1 0
,
3
0 1
,
4
0
0
0
0
0
0
1
2 1 0 0 0
有
5
2
0
5
1
3
0
0
0
3 0 0 1 0
0
0
0
0
1
即 =21 5 2 3 3 0 4
所以， 是 1, 2 , 3 ,4 的线性组合， 或 可以由 1, 2 , 3 ,4 线性表示。
1x 0 y 1z 0 1x 2 y 3z 0 1x 5 y 6z 0
容易验证 x=1, y=1, z= -1是上述方程的一组非零解
即存在一组不全为零的数 1，1，－1使
1 1 (1) 0
所以 , , 线性相关
例3 已知向量组1,2 ,3 线性无关, b1 1 2 ,
b 有解.
二、线性相关性的概念
定义2 给定向量组 A :1,2 , ,m ,如果存在不
全为零的数 k1, k2 , , km使
k11 k22
kmm
0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
1. 1,2, ,n线性无关 只有当k1 kn 0时,
才有 k11 k22 knn 0成立 . 2. 对于任一向量组 ,不是线 性无关就是线性相关 .
解 设存在一组数 k1 , k2 ,L , kn ，使得
k11 k2 2 L kn n 0
按照向量的数乘、加法运算可得
(k1 , k2 ,L , kn )T (0, 0, L , 0)T
根据向量相等的定义，即有
k1 k2 L kn 0
所以 1 , 2 ,L , n线性无关
对于任意给定的n维向量 (a1 , a2 , L , an )T
解 设存在四个数 x1 , x2 , x3 , x4 ，使得 x11 x22 x33 x44
1 1 1 1 1
即
2
1
x1
1
1
x2
1
1
x3
1 1
x4
1
1
1
1
1
1
1
解得 所以
x1 x2 x3 x4 1
x1
x2
x3
x4
2
x1
x2
x3
x4
若向量组A线性无关，则向量组B也线性无关。
由于线性方程组的解与方程组中方程的次 序无关，由此我们得到如下命题
命题2 设有两个向量组
A : j (a1 j , a2 j ,L anj )T ( j 1, 2,L m), B : j (ap1 j , ap2 j ,L , apn j )T ( j 1, 2,L m),
3.向量组只包含一个向量 时,若 0则 线性相关, 若 0,则 线性无关.
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对于含有两个向量的向 量组,它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例.
线性相关性在线性方程组中的应用 结论向量组A线性相关 齐次线性方程组
x11 x22 xmm 0,即 Ax 0有非零解. 其中A (1,2 , m ), x (x1, x2 , , xm )T ,
0 (0,0, ,0)T
向量组A线性无关 齐次线性方程组
x11 x22 xmm 0只有零解.
显然，如果齐次线性方程只有零解，则对 该方程增加若干方程后仍有零解，由此我们得 到如下命题
命题1 设有两个向量组
A: j (a1 j ,a2 j ,L arj )T ( j 1, 2,L m), B : j (a1 j , a2 j ,L arj , ar1, j ,L anj )T ( j 1, 2,L m),
b2 2 3 , b3 3 1, 试证b1, b2 , b3线性无关.
证 设有x1, x2 , x3使
x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
其中 p1 p2 L pn 是1, 2,L , n这n个自然数的某个确 定的排列，则向量组A与B的线性相关性相同。
例1
证明
12
n
维单位坐标向量组
(1,0, ,0)T (0,1, ,0)T
n(0,0,
,1)T
线表性示无成关1；, 并2将,L任,意nn维的向线量性(组a1合, a2 , L , an )T