最大线性无关向量组
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线性代数第三章第二节 向量组及其最大无关组(2014版)
极大线性无关组
等价向量组 极大线性无关组性质 向量空间的基与维数
3.2.1. 极大线性无关组
定义 对向量组A，如果在A中有r个向量 1 , 2 , , r 满足：（1）A0 :1,2 , ,r 线性无关。
（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）
那么称部分组 A0为向量组A 的一个最大（极大）线性
显
然
1
,
2
,
的
s
极
大
无
关
组
一
定
是
1 , 2 , s，1 , 2 , t
的
极
大
无
关
组
，
所
以
向量
组
1
,
2
,
可
t
由
它线性表示
即
1
,
2
,
t
可由
1
,
2
,
线性表示
s
定理咋还这 么多？烦人!
例 2 设1,2 , n 与 1, 2 , n 为两向量组，且
1 a111 a122 a1nn
2
a211
小结
１．最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性．
２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 ＝矩阵行向量组的秩
３． 关于向量组秩的一些结论：
４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换．
思考题
总结证明向量组等价的方法
如零向量组等价，但D=0.
例 4 设 1,2 , ,n是n个n维向量，证明：1,2 , ,n 线性无关 的充分必要条件是任意一个n维向量都可由它线性表示。
等价向量组 极大线性无关组性质 向量空间的基与维数
3.2.1. 极大线性无关组
定义 对向量组A，如果在A中有r个向量 1 , 2 , , r 满足：（1）A0 :1,2 , ,r 线性无关。
（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）
那么称部分组 A0为向量组A 的一个最大（极大）线性
显
然
1
,
2
,
的
s
极
大
无
关
组
一
定
是
1 , 2 , s，1 , 2 , t
的
极
大
无
关
组
，
所
以
向量
组
1
,
2
,
可
t
由
它线性表示
即
1
,
2
,
t
可由
1
,
2
,
线性表示
s
定理咋还这 么多？烦人!
例 2 设1,2 , n 与 1, 2 , n 为两向量组，且
1 a111 a122 a1nn
2
a211
小结
１．最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性．
２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 ＝矩阵行向量组的秩
３． 关于向量组秩的一些结论：
４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 阵，然后进行初等行变换．
思考题
总结证明向量组等价的方法
如零向量组等价，但D=0.
例 4 设 1,2 , ,n是n个n维向量，证明：1,2 , ,n 线性无关 的充分必要条件是任意一个n维向量都可由它线性表示。
向量组极大线性无关组概念向量组的等价向量组的秩第三
R ( , , , m ) r
特别地 完全由零向量组成的向量组,它的秩为 0。 R (e1 , e2 ,, en ) n
证
由
β 2α α , β α 2α ,
2 1 1 2 α β β , α β β , 得 5 5 5 5 12 1 于是 β 5α 2α β β . 5 5 表明：向量组 β , β , β 线性相关．
2018/11/6
1 2 线性无关
1 2 1 线性相关 1 2 2 线性相关 1 2 3 线性相关 1 2 4 线性相关
1 0 1 1 0 0 2 1 1 2 1 3 0 4 1 1 4 1 3
2018/11/6
1 1 0 1 0 0 β β β ) 2 β β 0 1 1 0 1 0 β β β ) 2 0 0 2 β β β 0 0 1 β β β ) 2
向量组关系的重要指标
一、向量组极大线性无关组概念
二、向量组的等价 三、向量组的秩
四、小结与思考
2018/11/6
一、向量组极大线性无关组概念
引例 判定向量组 1 （ 1 ， 0， 1 ）, 2 （ 2， 1 ， 1 ） , 3 （ 4， 1 ， 1 ） ,4 （ 0， 0， 0 ） 及其部分组的线性相关性． 解 (1)αi 0, i 1,3 线性无关
1 , 2 , , s 线性表示，且t>s，则向
量组 A : β1 , β 2 , , β t 线性相关． 证明从略
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例 设 β 2α α , β α 2α , β 5α 2α 则 β , β , β 线性相关．
特别地 完全由零向量组成的向量组,它的秩为 0。 R (e1 , e2 ,, en ) n
证
由
β 2α α , β α 2α ,
2 1 1 2 α β β , α β β , 得 5 5 5 5 12 1 于是 β 5α 2α β β . 5 5 表明：向量组 β , β , β 线性相关．
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1 2 线性无关
1 2 1 线性相关 1 2 2 线性相关 1 2 3 线性相关 1 2 4 线性相关
1 0 1 1 0 0 2 1 1 2 1 3 0 4 1 1 4 1 3
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1 1 0 1 0 0 β β β ) 2 β β 0 1 1 0 1 0 β β β ) 2 0 0 2 β β β 0 0 1 β β β ) 2
向量组关系的重要指标
一、向量组极大线性无关组概念
二、向量组的等价 三、向量组的秩
四、小结与思考
2018/11/6
一、向量组极大线性无关组概念
引例 判定向量组 1 （ 1 ， 0， 1 ）, 2 （ 2， 1 ， 1 ） , 3 （ 4， 1 ， 1 ） ,4 （ 0， 0， 0 ） 及其部分组的线性相关性． 解 (1)αi 0, i 1,3 线性无关
1 , 2 , , s 线性表示，且t>s，则向
量组 A : β1 , β 2 , , β t 线性相关． 证明从略
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例 设 β 2α α , β α 2α , β 5α 2α 则 β , β , β 线性相关．
第四节 向量组的极大线性无关组
故A是极大线性无关组为 1 , 2 , 4 .
n 例6 设R 中的向量组1 , 2 ,, n 线性无关,证明
向量组
1 =1 + 2 ,2 = 2 +3 ,, n1 = n1 + n , n = n +1,
当n为奇数时线性无关;当n为偶数时线性相关. 向量组1 , 2 ,, n 可以由向量组 证明： 1 0 0 0 1 具体为 1 , 2 ,, n 线性表示. 1 1 0 0 0
1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 1 1 0 1 1 1 A 0 0 1 2 1 3 0 3 0 0 0 0 0 7 3 1
13
1 0 0 0
故B的列向量极大线性无关组为 1 , 2 , 3 , 且
0 1 2 n = 1 2 n 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 nn
20
当向量组1 , 2 ,, n 线性无关时,
矩阵1 2 n 可逆,则
i T1 ,
k1i k s 2i , i 1, 2,, r. ksi
i 1 2
2
即
1
2 r
1
2
k11 k 21 s ks1
k12 k1r k22 k2 r , ks 2 k sr
r 1 2 m r r B ;
r 1 2 m r A r
由 r A r AT , 可证明A的秩等于行向量组的秩.
15
r A r. 则有 推论 设A为 m n 矩阵，
3-2 向量组的秩和最大无关组
R( A, B ) r R( A)
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一 个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组 二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关 向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明 记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一 个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组 二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关 向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明 记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),
向量组的极大线性无关组
线性无关
例1 考虑R4中的向量组
1 (1,2,1,2)T,2 (2,4,1,1)T,3 (2,4,2,4)T, 4 (1,2,2,1)T其中线性无关的 最部 多分 可组 以
包含多少个向量？
定义2.11 如 果 一 个 向 量 组 的 部 分 组 1 ,2 ,3 ,..., r
r(1,2,...,s)
注：
1 、 向 量 组 1 ， 2 ， ， s 线 性 无 关 r 1 ， 2 ， ， s ＝ s . 2 、 向 量 组 1 ， 2 ， ， s 线 性 相 关 r 1 ， 2 ， ， s s .
例
定理2.10 如 { 1 ,2 果 ,3 ,.s . } .{ ,1 ,2 ,.t} .则 .,,
例4 设矩阵
1 0 0 0
A 0 2 0 0
0 0 0 3
求A的行秩和A的列秩、A的秩。 定理2.11 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
定理2.12 矩阵的行秩与列秩相等且为矩阵的秩. 例5 将矩阵A化为等价标准形,并求r(A), 其中
1 2 1 4
A
1
1 1 2
r (1 ,2 ,3 ,..s ). r ,(1 ,2 ,.. t).,
例3 Rn中的任n意 1个向量一定线性. 相关
例：P113：21
二、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义2.14 矩 阵 A(aij)m n的 行 向 量 组 1,2,3,...,m
的 秩 称 为 矩 阵 A 的 行 秩 ;A 的 列 向 量 组 的 秩 称 为 矩 阵 A 的 列 秩 .
满 足 以 下 两 个 条 件
( 1 ) 1 ,2 ,3 ,...,r 线 性 无 关 ；
例1 考虑R4中的向量组
1 (1,2,1,2)T,2 (2,4,1,1)T,3 (2,4,2,4)T, 4 (1,2,2,1)T其中线性无关的 最部 多分 可组 以
包含多少个向量？
定义2.11 如 果 一 个 向 量 组 的 部 分 组 1 ,2 ,3 ,..., r
r(1,2,...,s)
注：
1 、 向 量 组 1 ， 2 ， ， s 线 性 无 关 r 1 ， 2 ， ， s ＝ s . 2 、 向 量 组 1 ， 2 ， ， s 线 性 相 关 r 1 ， 2 ， ， s s .
例
定理2.10 如 { 1 ,2 果 ,3 ,.s . } .{ ,1 ,2 ,.t} .则 .,,
例4 设矩阵
1 0 0 0
A 0 2 0 0
0 0 0 3
求A的行秩和A的列秩、A的秩。 定理2.11 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
定理2.12 矩阵的行秩与列秩相等且为矩阵的秩. 例5 将矩阵A化为等价标准形,并求r(A), 其中
1 2 1 4
A
1
1 1 2
r (1 ,2 ,3 ,..s ). r ,(1 ,2 ,.. t).,
例3 Rn中的任n意 1个向量一定线性. 相关
例：P113：21
二、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义2.14 矩 阵 A(aij)m n的 行 向 量 组 1,2,3,...,m
的 秩 称 为 矩 阵 A 的 行 秩 ;A 的 列 向 量 组 的 秩 称 为 矩 阵 A 的 列 秩 .
满 足 以 下 两 个 条 件
( 1 ) 1 ,2 ,3 ,...,r 线 性 无 关 ；
最大线性无关组
第十二讲 向量组的最大线性无关组一、考试内容与考试要求考试内容向量组的最大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；向量的内积；向量空间及其相关概念；n 维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；规范正交基．考试要求（1）理解向量组的最大线性无关组的概念，会求向量组的最大线性无关组；（2）理解向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩；（3）理解向量组等价的概念；（4）了解内积的概念，了解规范正交基；（5）了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念；（6）了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵．注 考研数学二、三不考向量空间等概念，对数学一的考生要求掌握向量空间的有关内容．二、知识要点引入 当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，可以用有限个解表示出来，这有限个解就是解集的基础解系，一个基础解系也就是一个最大线性无关向量组．向量组的秩：是这有限个解的个数，也就是最大无关组中向量的个数，或基础解系中解向量的个数．复习 首先简单复习本讲需要用到的一些知识。
线性表示：1122m m k k k βααα=+++L ，对12,,m k k k L 没有要求，且()(,)()R A R A b m ==<线性相关：1122m m k k k o ααα+++=L ，存在12,,m k k k L 不全为零；线性无关：1122m m k k k o ααα+++=L ，12,,m k k k L 只能全为零．n 维向量组12,,,m αααL 0,0,A m n A m n ⎧≠⎧⎪⎪⎨≠=⎪⎩⎪⎨≠⎧⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎩R(A)=m,m n 线性无关:Ax=o 有唯一零解R(A)<m,m n 线性相关：Ax=o 有非零解 1．定义定义1 设有向量组（I ）：12,,,,r m ααααL L ，满足（1）有r 个向量线性无关，不妨设向量组T ：12,,r αααL 线性无关；（2）向量组（I ）中任意1r +个向量（若有的话）都线性相关．称向量组T 是向量组（I ）的一个最大线性无关向量组（也称最大无关组或极大线性无关向量组）．最大无关组所含向量的个数r 称为向量组的秩，记作R 或12(,,,)m R αααL ．例：向量组10⎛⎫⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性相关的． 但1T ：10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭；2T ：01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭；3T ：10⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭都是线性无关，都是最大无关组．定义1有等价的描述形式如下：定义1' 设有向量组（I ）：12,,,,r m ααααL L ，满足（1）有r 个向量线性无关，不妨设向量组T ：12,,,r αααL 线性无关；（2）向量组（I ）中任一向量都能由向量组T 线性表示；称向量组T 是向量组（I ）的一个最大线性无关向量组．证明 由定义1证明定义1'．在向量组（I ）中任取一个向量α，若α在12,,r αααL 中，则α可由所在的向量组线性表示，如11001r r r αααα-=+++L ．若α不在12,,,r αααL 中，由12,,,r αααL 的线性无关性及向量组（I ）中任意1r +都线性相关性，知α可由12,,,r αααL 线性表示．由定义1'证明定义1自己证明． 2．注意（1）向量组最大无关组一般不惟一；（2）最大无关组中所含向量个数相同，即向量组的秩惟一；（3）若向量组线性无关，它的最大无关组是惟一的，就是它本身；（4）判断向量组的线性相关与线性无关性的方法：① 由Ax o =的解是有惟一零解或有非零解来判断向量组的线性相关与线性无关性： n 维向量组12,,,m αααL ⎧⎨⎩线性无关:Ax=o 有唯一零解线性相关:Ax=o 有非零解② 由向量组的秩来判断来判断向量组的线性相关与线性无关性：若12(,,,)m R m ααα<L ，向量组线性相关；若12(,,,)m R m ααα=L ，向量组线性无关．（5）矩阵的等价与向量组的等价有区别：两个矩阵的等价是它们同型且秩相等．而两个向量组的等价是它们的秩相等且能相互线性表示．但应注意，若矩阵A 与矩阵B 行（或列）等价，则A 的行（或列）向量组与B 的行（或列）向量组等价。
第3章3.3 向量组的最大线性无关组和的秩
为A的行向量组
2
r
定义1 定义1 设有两个 n维向量组
A : α 1 , α 2 , ...,α r r r r B : β 1 , β 2 , ..., β s
r
r
r
线性表示 一个向量 如果A 如果A中 每一个向量 都能由 向量组B 线性表示 r r
r 即 α 1 = k11 β 1 + k12 β 2 +... + k1 s β s r r r r α 2 = k21 β 1 + k22 β 2 +... + k2 s β s ... r... ... r r r α r = kr 1 β 1 + kr 2 β 2 +... + krs β s r
它的秩等于 等于它含有的向量个数 性质1 一个向量组线性 性质1 一个向量组线性无关 ⇔ 它的秩等于它含有的向量个数 向量组线性无 一个向量组线性 一个向量组线性相关 ⇔ 它的秩小于它含有的向量个数 7 向量组线性相 它的秩小于 小于它含有的向量个数
性质2 性质2 若向量组 A 能够由 向量组 B 线性表示， 线性表示， 则 A 的秩 ≤ B 的秩
r
r
r
⇔ ⇔
1 1 r 1 r 0 r α 1 = ,α 2 = ,α 3 2 0 1 2 1 1 解 对矩阵 r r r 1 0 A =(α1 α 2 α 3 )= 2 0 1 2
−1 −4 = −8 线性相关, 则 k = 线性相关 相关, k −1 1 1 −1 1 1 −1 3 − 4 0 − 1 − 3 0 1 ~ ~ 0 −8 0 −2 −6 0 0 k 0 1 k + 1 0 0 k − 2 k − 2 = 0, k = 2 10
2
r
定义1 定义1 设有两个 n维向量组
A : α 1 , α 2 , ...,α r r r r B : β 1 , β 2 , ..., β s
r
r
r
线性表示 一个向量 如果A 如果A中 每一个向量 都能由 向量组B 线性表示 r r
r 即 α 1 = k11 β 1 + k12 β 2 +... + k1 s β s r r r r α 2 = k21 β 1 + k22 β 2 +... + k2 s β s ... r... ... r r r α r = kr 1 β 1 + kr 2 β 2 +... + krs β s r
它的秩等于 等于它含有的向量个数 性质1 一个向量组线性 性质1 一个向量组线性无关 ⇔ 它的秩等于它含有的向量个数 向量组线性无 一个向量组线性 一个向量组线性相关 ⇔ 它的秩小于它含有的向量个数 7 向量组线性相 它的秩小于 小于它含有的向量个数
性质2 性质2 若向量组 A 能够由 向量组 B 线性表示， 线性表示， 则 A 的秩 ≤ B 的秩
r
r
r
⇔ ⇔
1 1 r 1 r 0 r α 1 = ,α 2 = ,α 3 2 0 1 2 1 1 解 对矩阵 r r r 1 0 A =(α1 α 2 α 3 )= 2 0 1 2
−1 −4 = −8 线性相关, 则 k = 线性相关 相关, k −1 1 1 −1 1 1 −1 3 − 4 0 − 1 − 3 0 1 ~ ~ 0 −8 0 −2 −6 0 0 k 0 1 k + 1 0 0 k − 2 k − 2 = 0, k = 2 10
§3.4 向量组的最大无关组与秩
2 1 1 1 2
A
(a1
,
a2
,
a3
,
a4
,
a5
)
1 4
1 6
2 2
1 2
4
4
3
6 9
7 9
思考：如何把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合？
思路1：利用P.83 定理1 的结论
向量 b 能由 向量组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
令 A0 = (a1, a2, a4) 求解 A0x = a3
注: 1. 只含零向量的向量组没有最大无关组. 规定它的秩为0.
2. 向量组{1,,m } 线性无关 R(1,,m ) = m . 3. 向量组{1,,m } 线性相关 R(1,,m ) < m .
例： 全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的一 个最大无关组及 Rn 的秩．
1 0 L
列向量组的最大无关组具体求法: 将矩阵 A 用
初等行变换化为行阶梯形矩阵 B, 即可找出 B 的最 高阶非零子式所在的列, 其对应于A 所在的列向量 就是A的列向量组的一个最大无关组.
三、向量组秩的一些结论
§3.2的定理3.6中矩阵的秩均可改为向量组的秩.
定理3.14 向量组 1, 2, , s 能由向量组 1, 2, , m 线性表示的充分必要条件是 R(1, 2, , m ) =R(1, 2, , m, 1, 2, , s) .
0
00
0
于是 Ax = 0 与 Bx = 0 ，即 x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0
x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0
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( A, B )组的秩也为 r . 又因B组的秩为 r , 故B组的最大无关组 B0 含r 个向量 , 因此B0 组也是( A, B )组的最大无关组 , 从
而( A, B )组与B0 组等价 .
由A组与( A, B )组等价，A, B )与B0等价, 推知A组 组等价， ( 与B组等价 .
注意
本例把证明两向量组 A与B等价, 转换为证明它
从而方程组 有非零解（ 有非零解（因 R( K ) ≤ s < r）， ( a1 ,, a s ) Kx = 0 有非零解， 有非零解，即(b,, br ) x = 0有非零解， 有非零解， 这与B0 组
线性无关矛盾， 不能成立， 线性无关矛盾，因此 r > s不能成立，所以 r ≤ s .
推论1 推论1
个向量都线性相关， 中的任意 n + 1个向量都线性相关， 因此向量组 E 的一个最大无关组， 是R n的一个最大无关组，且 R n的秩等于 n.
例2 设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A= 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
求矩阵A 无关组， 求矩阵 的列向量组的一个最大 无关组，并把不 属最大无关组的列向量 用最大无关组线性表示 .
等价的向量组的秩相等 .
证 设向量组 A与向量组 B的秩依次为 s和 r .
因两个向量组等价， 因两个向量组等价，即 两个向量组能相互线性 表 故 示， s ≤ r与r ≤ s同时成立 , 所以s = r .
推论2 推论2
设 C m × n = Am × s Bs × n，则 R(C ) ≤ R( A), R(C ) ≤ R( B ).
们的最大无关组 A0与B0等价 .证法一证明 B0用A0线 性表示的系数矩阵可逆 ; 证法二实质上是证明 A0与 B0都是向量组 ( A, B )的最大无关组 .
例4
已知 3 2 5 4 0 2 , (b , b ) 6 4 , ( a1 , a 2 ) = 1 2 = 5 3 1 1 3 1 9 5
证一 只要证明向量组 A能由向量组 B线性表示 .
设两个向量组的秩都为 r，并设 A组和B组 的最大无关组依次为 A0 : a1 ,, a r 和B0 : b1 ,br ,
组线性表示， 因B组能由 A组线性表示，故 B0 组能由 A0 组线性 表示， 表示，即有 r阶方阵 K r 使
(b1 ,, br ) = (a1 ,, a r ) K r
组线性无关， 因B0 组线性无关，故 R( b1 ,, br ) = r .
根据定理 2推论 2，有 R( K r ) ≥ R(b1 ,, br ) = r
但R( K r ) ≤ r，因此 R( K r ) = r .
可逆， 于是矩阵 K r 可逆，并有 (a1 ,, a r ) = (b1 ,, br ) K r ,
3 5 4 2 0 2 6 4 (a1 , a 2 , b1 , b2 ) = 1 1 5 3 3 1 9 5
3 5 4 2 0 2 6 4 (a1 , a 2 , b1 , b2 ) = 1 1 5 3 3 1 9 5 1 0 2 3
A
初等行变换
~
1 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0 0 0 0
4 3 1 3 0 0
即得
a 3 = a1 a 2 , a 5 = 4a 1 + 3a 2 3a 4
三、向量组秩的重要结论
定理２ 定理２ 设向量组 B能由向量组 A线性表示，则向 线性表示，
量组B的秩不大于向量组 A的秩. 证 设向量组 B的一个最大无关组为 B0 : b1 , , br，
1
3 1 2 5 15 10 2 6 4
5 3
r3 5r2
r4 2r2
~
1 0 0 0
1 5 3 1 3 2 0 0 0 0 0 0
r3 5r2
r4 2r2
~
1 0 0 0 1 0 0 0
1 5 3 1 3 2 0 0 0 0 0 0
无关组） 最大无关组所含向量个数r称为向量组 ; 有最大无关组， 的秩.只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定
它的秩为0.
二、矩阵与向量组秩的关系
定理１ 定理１ 矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于 量组的秩，
它的行向量组的秩 .
证 设A = (a1 , a 2 , , a m )，R( A) = r , 并设r阶子式 Dr ≠ 0.根据4.2定理 2由Dr ≠ 0知所在的 r列线性无 阶子式均为零， 又由 关； A中所有 r + 1阶子式均为零，知 A中任意 r + 1个列向量都线性相关 . 因此Dr 所在的 r列是A
证明向量组(a1 , a 2 )与(b1 , b2 )等价.
证明 要证存在 2阶方阵 X , Y , 使 (b1 , b2 ) = (a1 , a2 ) X , ( a1 , a 2 ) = (b1 , b2 )Y .
先求X . 类似于线性方程组求解 的方法 , 对增广矩
最简形矩阵： 阵(a1 , a 2 , b1 , b2 )施行初等行变换变为行 最简形矩阵：
向量组 A的一个最大无关组为 A0 : a1 , , a s , 要证 r ≤ s. 组线性表示， 因B0 组能由 B组线性表示， B组能由 A组线性
表示， 表示， A组能由 A0 组线性表示 . 故B0 组能由 A0 组线性表示 . 即存在系数矩阵 K sr = ( k ij ), 使得
k11 k1r (b1 ,, br ) = (a1 ,, a s ) k k sr s1 x1 如果r > s，则方程组 K sr = 0 (简记为 Kx = 0) x r
1 5 3 2 6 4 3 5 4 1 9 5
r1 r3
~
1 0 r1 r3 ~ 2 3
r3 + 2r1
5 3 2 6 4 3 5 4 9 5 1
r4
~3r +
1
5 3 1 1 6 4 0 2 0 5 15 10 0 2 6 4
1 1 3 2 . 0 0 0 0 0 0
~ r1 ÷ ( 1)
r1 r2
0
2
初等行变换
(a1 , a 2 , b1 , b2 )
~
1 0 0 0
0 2 1 1 3 2 0 0 0 0 0 0
即得
2 1 X = 3 2
因 X = 1 ≠ 0, 知X可逆 , 取Y = X 1 ,即为所求 .因 此向量组 a1 , a 2与b1 , b2等价.
证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,, c n ), A = (a1 ,, a s ). 而B = (bij )，
b11 b1n (c1 ,, c n ) = (a1 ,, a s ) 由 b bsn s1 的列向量组线性表示， 知矩阵C的列向量组能由 A的列向量组线性表示， 因此R(C ) ≤ R( A).
四、小结
１．最大线性无关向量组的概念： 最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性． 最大性、线性无关性． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： ２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝ 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 ＝矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论： ３． 关于向量组秩的一些结论： 一个定理、三个推论． 一个定理、三个推论． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： ４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 然后进行初等行变换． 阵，然后进行初等行变换．
即A0 组能由 B0 组线性表示 .
1
从而A组能由 B组线性表示 .
证二
设向量组 A和B的秩都为 r . 因B组能由 A组线性表示 , 故A组和B组合并而 成的向量组 ( A, B )能由A组线性表示 . 而A组是( A, B )组的部分组 , 故A组总能由
( A, B )组线性表示 . 所以( A, B )组与A组等价 ,因此
证
个向量， 设向量组 B含r个向量，则它的秩为 r ,
因A组能由B组线性表示，故 A组的秩 ≤ r， 组线性表示， 个向量线性相关， 从而A组中任意 r + 1个向量线性相关，
所以向量组B 所以向量组 满足定义1所规定的最大无关组的 条件.
例3 设向量组 B能由向量组 A线性表示 , 且它们的 秩相等， 秩相等，证明向量组 A与向量组 B等价.
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
1 0 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 4 0 ， 1 3 0 0
A
初等行变换
~
知R( A) = 3，
故列向量组的最大无关 组含 3个向量 . 2 4 三列， 而三个非零行的非零首 元在 1、、三列，
故 a1 , a 2 , a4 , 为列向量组的一个最大 无关组 .
说明
（1）最大无关组不唯一; ）
（2）向量组与它的最大无 关组是等价的 .
例1 全体n维向量构成的向量组记 作R n，求 R n的 一个最大无关组及 R n的秩 .
解 因为n维单位坐标向量构成的 向量组 E : e1 , e2 , , en
是线性无关的， 是线性无关的，又根据 4.2定理 3的结论 ( 3) 知R n
r1 r3 r3 + 2r1
r4 + 3r1
~
3 5 1 1 6 4 0 2 0 5 15 10 0 2 6 4 1 0 0 0
3 1 2 5 15 10 2 6 4 1 5 3
r2 ÷ ( 2)
~
r2 ÷ ( 2)
~
1 0 0 0
事实上
2 1 1 1 （a1 , a 2 , a 4 ) = 1 1 4 6 2 3 6 7
初等行变换
~
1 0 0 0
而( A, B )组与B0 组等价 .
由A组与( A, B )组等价，A, B )与B0等价, 推知A组 组等价， ( 与B组等价 .
注意
本例把证明两向量组 A与B等价, 转换为证明它
从而方程组 有非零解（ 有非零解（因 R( K ) ≤ s < r）， ( a1 ,, a s ) Kx = 0 有非零解， 有非零解，即(b,, br ) x = 0有非零解， 有非零解， 这与B0 组
线性无关矛盾， 不能成立， 线性无关矛盾，因此 r > s不能成立，所以 r ≤ s .
推论1 推论1
个向量都线性相关， 中的任意 n + 1个向量都线性相关， 因此向量组 E 的一个最大无关组， 是R n的一个最大无关组，且 R n的秩等于 n.
例2 设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A= 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
求矩阵A 无关组， 求矩阵 的列向量组的一个最大 无关组，并把不 属最大无关组的列向量 用最大无关组线性表示 .
等价的向量组的秩相等 .
证 设向量组 A与向量组 B的秩依次为 s和 r .
因两个向量组等价， 因两个向量组等价，即 两个向量组能相互线性 表 故 示， s ≤ r与r ≤ s同时成立 , 所以s = r .
推论2 推论2
设 C m × n = Am × s Bs × n，则 R(C ) ≤ R( A), R(C ) ≤ R( B ).
们的最大无关组 A0与B0等价 .证法一证明 B0用A0线 性表示的系数矩阵可逆 ; 证法二实质上是证明 A0与 B0都是向量组 ( A, B )的最大无关组 .
例4
已知 3 2 5 4 0 2 , (b , b ) 6 4 , ( a1 , a 2 ) = 1 2 = 5 3 1 1 3 1 9 5
证一 只要证明向量组 A能由向量组 B线性表示 .
设两个向量组的秩都为 r，并设 A组和B组 的最大无关组依次为 A0 : a1 ,, a r 和B0 : b1 ,br ,
组线性表示， 因B组能由 A组线性表示，故 B0 组能由 A0 组线性 表示， 表示，即有 r阶方阵 K r 使
(b1 ,, br ) = (a1 ,, a r ) K r
组线性无关， 因B0 组线性无关，故 R( b1 ,, br ) = r .
根据定理 2推论 2，有 R( K r ) ≥ R(b1 ,, br ) = r
但R( K r ) ≤ r，因此 R( K r ) = r .
可逆， 于是矩阵 K r 可逆，并有 (a1 ,, a r ) = (b1 ,, br ) K r ,
3 5 4 2 0 2 6 4 (a1 , a 2 , b1 , b2 ) = 1 1 5 3 3 1 9 5
3 5 4 2 0 2 6 4 (a1 , a 2 , b1 , b2 ) = 1 1 5 3 3 1 9 5 1 0 2 3
A
初等行变换
~
1 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0 0 0 0
4 3 1 3 0 0
即得
a 3 = a1 a 2 , a 5 = 4a 1 + 3a 2 3a 4
三、向量组秩的重要结论
定理２ 定理２ 设向量组 B能由向量组 A线性表示，则向 线性表示，
量组B的秩不大于向量组 A的秩. 证 设向量组 B的一个最大无关组为 B0 : b1 , , br，
1
3 1 2 5 15 10 2 6 4
5 3
r3 5r2
r4 2r2
~
1 0 0 0
1 5 3 1 3 2 0 0 0 0 0 0
r3 5r2
r4 2r2
~
1 0 0 0 1 0 0 0
1 5 3 1 3 2 0 0 0 0 0 0
无关组） 最大无关组所含向量个数r称为向量组 ; 有最大无关组， 的秩.只含零向量的向量组没 有最大无关组，规定
它的秩为0.
二、矩阵与向量组秩的关系
定理１ 定理１ 矩阵的秩等于它的列向 量组的秩，也等于 量组的秩，
它的行向量组的秩 .
证 设A = (a1 , a 2 , , a m )，R( A) = r , 并设r阶子式 Dr ≠ 0.根据4.2定理 2由Dr ≠ 0知所在的 r列线性无 阶子式均为零， 又由 关； A中所有 r + 1阶子式均为零，知 A中任意 r + 1个列向量都线性相关 . 因此Dr 所在的 r列是A
证明向量组(a1 , a 2 )与(b1 , b2 )等价.
证明 要证存在 2阶方阵 X , Y , 使 (b1 , b2 ) = (a1 , a2 ) X , ( a1 , a 2 ) = (b1 , b2 )Y .
先求X . 类似于线性方程组求解 的方法 , 对增广矩
最简形矩阵： 阵(a1 , a 2 , b1 , b2 )施行初等行变换变为行 最简形矩阵：
向量组 A的一个最大无关组为 A0 : a1 , , a s , 要证 r ≤ s. 组线性表示， 因B0 组能由 B组线性表示， B组能由 A组线性
表示， 表示， A组能由 A0 组线性表示 . 故B0 组能由 A0 组线性表示 . 即存在系数矩阵 K sr = ( k ij ), 使得
k11 k1r (b1 ,, br ) = (a1 ,, a s ) k k sr s1 x1 如果r > s，则方程组 K sr = 0 (简记为 Kx = 0) x r
1 5 3 2 6 4 3 5 4 1 9 5
r1 r3
~
1 0 r1 r3 ~ 2 3
r3 + 2r1
5 3 2 6 4 3 5 4 9 5 1
r4
~3r +
1
5 3 1 1 6 4 0 2 0 5 15 10 0 2 6 4
1 1 3 2 . 0 0 0 0 0 0
~ r1 ÷ ( 1)
r1 r2
0
2
初等行变换
(a1 , a 2 , b1 , b2 )
~
1 0 0 0
0 2 1 1 3 2 0 0 0 0 0 0
即得
2 1 X = 3 2
因 X = 1 ≠ 0, 知X可逆 , 取Y = X 1 ,即为所求 .因 此向量组 a1 , a 2与b1 , b2等价.
证 设矩阵 C和A用其列向量表示为
C = (c1 ,, c n ), A = (a1 ,, a s ). 而B = (bij )，
b11 b1n (c1 ,, c n ) = (a1 ,, a s ) 由 b bsn s1 的列向量组线性表示， 知矩阵C的列向量组能由 A的列向量组线性表示， 因此R(C ) ≤ R( A).
四、小结
１．最大线性无关向量组的概念： 最大线性无关向量组的概念： 最大性、线性无关性． 最大性、线性无关性． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： ２． 矩阵的秩与向量组的秩的关系： 矩阵的秩＝ 矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩 ＝矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论： ３． 关于向量组秩的一些结论： 一个定理、三个推论． 一个定理、三个推论． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： ４． 求向量组的秩以及最大无关组的方法： 将向量组中的向量作为列向量构成一个矩 然后进行初等行变换． 阵，然后进行初等行变换．
即A0 组能由 B0 组线性表示 .
1
从而A组能由 B组线性表示 .
证二
设向量组 A和B的秩都为 r . 因B组能由 A组线性表示 , 故A组和B组合并而 成的向量组 ( A, B )能由A组线性表示 . 而A组是( A, B )组的部分组 , 故A组总能由
( A, B )组线性表示 . 所以( A, B )组与A组等价 ,因此
证
个向量， 设向量组 B含r个向量，则它的秩为 r ,
因A组能由B组线性表示，故 A组的秩 ≤ r， 组线性表示， 个向量线性相关， 从而A组中任意 r + 1个向量线性相关，
所以向量组B 所以向量组 满足定义1所规定的最大无关组的 条件.
例3 设向量组 B能由向量组 A线性表示 , 且它们的 秩相等， 秩相等，证明向量组 A与向量组 B等价.
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
1 0 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 4 0 ， 1 3 0 0
A
初等行变换
~
知R( A) = 3，
故列向量组的最大无关 组含 3个向量 . 2 4 三列， 而三个非零行的非零首 元在 1、、三列，
故 a1 , a 2 , a4 , 为列向量组的一个最大 无关组 .
说明
（1）最大无关组不唯一; ）
（2）向量组与它的最大无 关组是等价的 .
例1 全体n维向量构成的向量组记 作R n，求 R n的 一个最大无关组及 R n的秩 .
解 因为n维单位坐标向量构成的 向量组 E : e1 , e2 , , en
是线性无关的， 是线性无关的，又根据 4.2定理 3的结论 ( 3) 知R n
r1 r3 r3 + 2r1
r4 + 3r1
~
3 5 1 1 6 4 0 2 0 5 15 10 0 2 6 4 1 0 0 0
3 1 2 5 15 10 2 6 4 1 5 3
r2 ÷ ( 2)
~
r2 ÷ ( 2)
~
1 0 0 0
事实上
2 1 1 1 （a1 , a 2 , a 4 ) = 1 1 4 6 2 3 6 7
初等行变换
~
1 0 0 0