向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关
向量组的线性相关与线性无关1. 线性组合设a<i, a2,…,a t匕R ,匕，k2,…,K匕R ,称匕耳十k a +…+ ka t为a^ a2,…,a t的—一个线性组合。
一k2【备注1】按分块矩阵的运算规则，匕印+k2a2+…+ k t a t=(a“ a2,…,q)亠。
这++占丿样的表示是有好处的。
2. 线性表示设aa, g R n，b R n，如果存在匕山，K R，使得b = Ka k2a2- ■■■■ k t a t则称b可由Q , a?, , a线性表示。
k2b = ki&+k2a2+■■■+k(at，写成矩阵形式，即b =(ai@, ■■■©) ■。
因此，b 可++<k t」由a,a2,…,a t线性表示即线性方程组(a i,a2,…,aj « =b有解，而该方程组有解++当且仅当r(q,a2, ,a t) ,a t,b)。
3. 向量组等价设^包，…,ad, b2,…,b s • R n，如果^总，…,耳中每一个向量都可以由匕,鸟，…,b s线性表示，则称向量组a「a2,…,a可以由向量组gp,…,b s线性表示。
如果向量组a,a2,…,a t和向量组b|,b2,…,b s可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性任何一个向量组都与自身等价。
⑵对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。
⑶传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III 等价。
证明：自反性与对称性直接从定义得出。
至于传递性，简单计算即可得到。
设向量组I为矽总，…,a r ,向量组II为b,b,…,b s，向量组III为G,Q,…,G。
t向量组II可由III线性表示，假设b j八yqC k，j =12…,s。
向量组I可由向s量组II线性表示，假设a「v X ji b j，i =1,2,…,r。
因此, j 二s s t t sa = ' X jjb j = ' X ji y kjc k = ' (.一y kj X ji)C k，i = h2，…,rj 1j k a km j T因此，向量组I可由向量组III线性表示。
向量组的线性相关与线性无关向量组的线性无关
向量组的线性相关与线性无关1、线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则,12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示就是有好处的。
２.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈,n b R ∈,如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈,使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+,写成矩阵形式,即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此,b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解,而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3、向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈,如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示,则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅与向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示,则称这两个向量组就是等价的。
向量组等价的性质:(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与ＩI 等价,则向量组II 也与I 等价。
向量组的线性相关性与线性无关性
定理3 即是说，如果已知一个向量组线性相关， 则在此基础上增加一些同维数的向量，得到的 新的向量组一定线性相关。 推论1 若某向量组含有零向量，则此向量组一定 线性相关。 定理4 设两个向量组T1：α1, α2，α3，…，αn 和T2：β1 ，β 2 ,…，β n，其中 αj = (a1j, a2j, …，a mj)T, βj = (a1j, a2j, …，a mj, a m+1,j) T, j = 1，2，…，n. 若向量组T1：α1, α2，α3，…，αn线性无关, 则向量组T2：β1 ，β 2 ,…，β n线性无关。
定理2 设 （1） 向量组α1, α2，α3，…，αm，β线性相 关； （2） 向量组α1, α2 ，α3 ，…，αm 线性无 关， 则向量β可以由α1, α2，α3，…，αm线 性表示，且表示式唯一。
证 由α1, α2，α3，…，αm，β线性相关知存 在m＋1个不全为0的常数k1，k2，k3，…，km， km+1使得 k1α1 + k2α2 + k3 α3 + … ＋km αm + km+1 β = 0, 要证明β可由α1 ，α2 ，…，αm 线性表示，只 须证明km+1≠0即可。因为若km+1≠0，则
⎛ k1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ k2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ⎜ k ⎟ ⎜0⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
所以 k1= k2 = k3 =0 。 因此，e1, e2 , e3 线性无关。 定理1 向量组α1，α2，…，αm ( m 2 ) 线 性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量 可以由其余m－1个向量线性表示。 证明：先证必要性。 因为 α1，α2，…，αm线性相关，所以存 在不全为0的m个常数k1 , k2 , … ,km使得k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0。不妨设 k1≠0, 则
向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
《线性代数》向量组的线性相关与线性无关
a11 a21
an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2n
ann
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即
例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1
0
0
0
α1
=
0
,
0
α2
=
1
,
0
α3
=
0 1
,
α4
=
k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0 ...
a1n a2n
故
β
=
(-
l1 l
)α 1
+
(-
l2 l
)α 2
+
+
(-
lm l
)α m
，
即b可由向量组a1，a2， ，am线性表示.
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表
示式是惟一的.
证明： 再证表示法惟一.
设b可表示成以下两种形式，
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.
01-向量组线性相关与线性无关的定义
向量组线性相关与线性无关的定义向量组线性相关的判定定理小结与复习回顾：向量组的线性组合定义给定向量组A：a, a, …, am ，对于任何一12m组实数k1,k2, …, km，表达式k 1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组A的一个线性组合．k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义给定向量组A：a, a, …, am 和向量b，如果存在12m一组实数λ1, λ2, …, λm，使得b= λ1a1 + λ2a2 + … + λm a m 则称向量b 能由向量组A的线性表示．引言问题1给定向量组A ，零向量是否可以由向量组A 问题A 线性表示？问题2如果零向量可以由向量组A 线性表示，线性组合的系数是否不全为零？=向量b 能由线性方程组=注意到()(,)R A R A b 向量组A线性表示Ax = b有解问题1给定向量组A ，零向量是否可以由向量组A 线性表示因此示？问题1′齐次线性方程组Ax =O 是否存在解？回答齐次线性方程组Ax = O 一定存在解．事实上，可令，则=0k k k ==="事实可令则（零向量）12m 1122+++=m m k a k a k a O "问题2 A问题如果零向量可以由向量组线性表示，线性组合的系数是否不全为零？问题2齐次线性方程组Ax= 0 是否存在非零解？问题2′A=0是否存在回答齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合零的系数不一定全等于零．设1000E ⎛⎞例()123,,01001e e e ⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎝⎠11000k ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟1122331232301000010k e k e k e k k k k k ++=++==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠若则k 1= k 2= k 3=0 ．向量组线性相关与线性无关的定义定义给定向量组A：a1, a2, …, a m ，如果存在不全为零的实数k1, k2, …, k m，使得k1a1 + k2a2 + … + k m a m=0（零向量）否则称它是线性无关的则称向量组A 是线性相关的，否则称它是线性无关的．向量组A：a1, a2, …, a m m 元齐次线性方程组Ax= 0R A) <m线性相关有非零解()也就是说向量组m 元齐次线性方程组A：a1, a2, …, a m 线性无关Ax= 0只有零解R(A) =m说明给定向量组A ，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一．若线性无关，则只有当12,,,n ααα"10n λλ==="λλλ时才有成立.向量组A ：a 1, a 2, …, a m 线性相关，通常是指m ≥2 的情形.11220n n λααα+++=" 若向量组只包含一个向量：当a 是零向量时，线性相关；当a 不是零向量时，线性无关．包含零向量的任何向量组是线性相关的.例维向量组n ()()()T n T T e e e 1,,0,0,0,,1,0,0,,0,121""""===，.,讨论其线性相关性维单位坐标向量组称为n 解),,,( 21的矩阵维单位坐标向量组构成e e e E n n "=.阶单位矩阵是n .)(01 n E R E =≠=，知由R E 即等于向量组中向量个数，故此向量组是().线性无关的作业习题四8.。
向量组的线性相关与线性无关
1 2 4 0 5 5 0 3 3 0 9 9
1 0 0 0
2 1 0 0
4 1 ， 0 0
r(A) =(a1 a2 am)秩2<3 （向量的个数） ，
所以向量组 a1，a 2，a 3 线性相关。
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例2．判断向量组 A: a1(1, 2, 0, 1)，a 2(1, 3, 0, 1)， a 3(1, 1, 1, 0)是否线性相关。
∴此向量组 线性相关
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判定向量组线性相关与线性无关的步骤：
a11 a12 a 设n个m维向量组 A： a1 ， 2 a 1m
a21 a22 a ， ， n a2m
an1 an2 anm
（1）比较向量组 A的个数n与向量的维数m
①当n＞m时，向量组 A线性相关（如例6）
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
解：
可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关； 同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关．
11
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推论1：设n个n维向量为 a11 a12 a21 a22 a1 a a ， 2 ， ， n an1 an2
1 0 0 k1 0 若 k1e1 k2 e2 k3 e3 k1 0 k2 1 k3 0 k2 0 0 0 1 k 0 3
＝0，线性相关 （2）当n=m时，计算行列式|A| =| a1 a2 an | ≠0，线性无关 （如例4，例5） ＜ n ，线性相关 （3）当n＜m时，计算r(A)=秩（ a1 a2 an ） ＝ n ，线性无关 （如例1,例2,例3 ）
向量组的线性相关与线性无关分析
向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ⎛⎫⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
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向量组的线性相关与线性无关1.线性组合设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，称1122t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+为12,,,t a a a ⋅⋅⋅的一个线性组合。
【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k kk a k a k a a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
这样的表示是有好处的。
2.线性表示设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+则称b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
1122t t b k a k a k a =++⋅⋅⋅+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k kb a a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭。
因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k ka a ab k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有解，而该方程组有解当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
3.向量组等价设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，如果12,,,t a a a ⋅⋅⋅中每一个向量都可以由12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示，则称向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅可以由向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅线性表示。
如果向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅和向量组12,,,s b b b ⋅⋅⋅可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
向量组等价的性质：(1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。
(2) 对称性 若向量组I 与II 等价，则向量组II 也与I 等价。
(3) 传递性 若向量组I 与II 等价，向量组II 与III 等价，则向量组I 与III 等价。
证明：自反性与对称性直接从定义得出。
至于传递性，简单计算即可得到。
设向量组I 为12,,,r a a a ⋅⋅⋅，向量组II 为12,,,s b b b ⋅⋅⋅，向量组III 为12,,,t c c c ⋅⋅⋅。
向量组II 可由III 线性表示，假设1tj kj k k b y c ==∑，1,2,,j s =⋅⋅⋅。
向量组I 可由向量组II 线性表示，假设1si ji j j a x b ==∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅。
因此，11111()s s t t si ji j ji kj k kj ji k j j k k j a x b x y c y x c ========∑∑∑∑∑，1,2,,i r =⋅⋅⋅因此，向量组I 可由向量组III 线性表示。
向量组II 可由I 线性表示，III 可由II 线性表示，按照上述办法再做一次，同样可得出，向量组III 可由I 线性表示。
因此，向量组I 与III 等价。
结论成立！ 4.线性相关与线性无关设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，如果存在不全为零的数12,,,t k k k R ⋅⋅⋅∈，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=则称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，否则，称12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关。
按照线性表示的矩阵记法，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关即齐次线性方程组1212(,,,)0t t k ka a a k ⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅<。
12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，即1212(,,,)0t t k ka a a k ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭只有零解，当且仅当12(,,,)t r a a a t ⋅⋅⋅=。
特别的，若t n =，则12,,,n n a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关当且仅当12(,,,)n r a a a n ⋅⋅⋅=，当且仅当12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅可逆，当且仅当12(,,,)0n a a a ⋅⋅⋅≠。
例1. 单独一个向量n a R ∈线性相关即0a =，线性无关即0a ≠。
因为，若a 线性相关，则存在数0k ≠，使得0ka =，于是0a =。
而若0a =，由于10a a ⋅==，10≠因此，a 线性相关。
例2. 两个向量,n a b R ∈线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。
因为，若,a b 线性相关，则存在不全为零的数12,k k ，使得120k a k b +=。
12,k k 不全为零，不妨假设10k ≠，则21k a b k =-，故,a b 平行，即对应分量成比例。
如果,a b 平行，不妨假设存在λ，使得a b λ=，则0a b λ-=，于是,a b 线性相关。
例3.1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，且任意1323x x x R x ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭都可以由其线性表示，且表示方法唯一。
事实上，121233100010001x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.线性相关与无关的性质(1) 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。
证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈，其中有一个为零，不妨假设0t a =，则121000100t a a a -⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=因此，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关。
(2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。
证明：设1212,,,,,,,n t s a a a R βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关。
存在不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=这样，1122120000t t s k a k a k a βββ++⋅⋅⋅++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零，因此，1212,,,,,,,t s a a a βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅线性相关。
后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。
(3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。
证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组线性无关的向量。
不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后，成为1212,,,t t a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,,,t b b b ⋅⋅⋅是同维的列向量。
令112212*********t t t t t t t a k a k a k a a a k k k b k b k b k b b b ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⋅⋅⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。
由向量组12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，可以得到120t k k k ==⋅⋅⋅==。
结论得证！(4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。
证明：设12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈为一组向量。
必要性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性相关，则存在一组不全为零的数12,,,t k k k ⋅⋅⋅，使得11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=12,,,t k k k ⋅⋅⋅不全为零，设0j k ≠，则111111j j j j t tj jk a k a k a k a a k --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-充分性 若12,,,t a a a ⋅⋅⋅中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设ja 可以表示成111,,,,,j j t a a a a -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的线性组合，则存在一组数111,,,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅，使得111111j j j j j t t a k a k a k a k a --++=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+也就是1111110j j j j j t t k a k a a k a k a --+++⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+=但111,,,1,,,j j t k k k k -+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅不全为零，因此，12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关。
【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。
(5) 若12,,,n t a a a R ⋅⋅⋅∈线性无关，n b R ∈，使得12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关，则b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示，且表示方法唯一。
证明：12,,,,t a a a b ⋅⋅⋅线性相关，因此，存在不全为零的数121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅，使得112210t t t k a k a k a k b +++⋅⋅⋅++=10t k +≠，否则10t k +=，则11220t t k a k a k a ++⋅⋅⋅+=。
由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，我们就得到120t k k k ==⋅⋅⋅==，这样，121,,,,t t k k k k +⋅⋅⋅均为零，与其不全为零矛盾！这样，11221t tt k a k a k a b k +++⋅⋅⋅+=-因此，b 可由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性表示。
假设11221122t t t t b x a x a x a y a y a y a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+，则111222()()()0t t t x y a x y a x y a -+-+⋅⋅⋅+-=由12,,,t a a a ⋅⋅⋅线性无关，有11220t t x y x y x y -=-=⋅⋅⋅=-=，即1122,,,t t x y x y x y ==⋅⋅⋅=因此，表示法唯一。
【备注3】 刚才的证明过程告诉我们，如果向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示，则表示法唯一。
事实上，向量b 可由线性无关向量组1,,t a a ⋅⋅⋅线性表示，即线性方程组1(,,)t a a x b ⋅⋅⋅=有解。
而1,,t a a ⋅⋅⋅线性无关，即1(,,)t r a a t ⋅⋅⋅=。
因此，若有解，当然解唯一，即表示法唯一。