3-2-1 向量组的线性相关性
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向量组的线性相关性(3)
(iv) +()=0
(ⅴ) 1= (ⅵ) 结合律：(kl)=k(l) (ⅶ) 数的分配律： (k+l)=k +l (ⅷ) 矩阵的分配律： k(+)=k +k . 所有n维列(行)向量的全体, 对其上所定义的加法和乘数两种运算, 构成了一 个n维线性空间, 或称向量空间.
在解析几何中, 曾引进向量的数量积
定理3.1 正交向量组必线性无关. 证 设1, 2,…, m是正交向量组,有一组数k1, k2,…, km使
k11+k22 + …+kmm=0 用i与上式两边做内积, 得
ki(i, i )=0 由于i≠0, 所以[i, i]>0, 因此, ki＝0 (i＝1, 2,…,m). 所以,向量组1, 2,…, m线性无关.
解 设 =k11+k22+k33 , 即
(2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)
于是有
kk11kk23
2 1
k2 k3 1
解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 =1223
所以向量可由向量组, 2, 3线性表示.
表示式也可写成
1
(1， 2，3 ) 2 即
1
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn 称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表 示, 当与都是列向量时, 有
[, ]=T=T 内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
为向量和的夹角.
(ⅴ) 1= (ⅵ) 结合律：(kl)=k(l) (ⅶ) 数的分配律： (k+l)=k +l (ⅷ) 矩阵的分配律： k(+)=k +k . 所有n维列(行)向量的全体, 对其上所定义的加法和乘数两种运算, 构成了一 个n维线性空间, 或称向量空间.
在解析几何中, 曾引进向量的数量积
定理3.1 正交向量组必线性无关. 证 设1, 2,…, m是正交向量组,有一组数k1, k2,…, km使
k11+k22 + …+kmm=0 用i与上式两边做内积, 得
ki(i, i )=0 由于i≠0, 所以[i, i]>0, 因此, ki＝0 (i＝1, 2,…,m). 所以,向量组1, 2,…, m线性无关.
解 设 =k11+k22+k33 , 即
(2,1,0,1)=(k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)
于是有
kk11kk23
2 1
k2 k3 1
解得: k1=1, k2=2, k3=1. 即 =1223
所以向量可由向量组, 2, 3线性表示.
表示式也可写成
1
(1， 2，3 ) 2 即
1
定义3.2 设有n维向量=(a1,a2,…,an)T, =(b1,b2,…,bn)T, 令
[, ]=a1b1+a2b2+…+anbn 称[, ]为向量与的内积.
内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数. 内积也可以用矩阵运算表 示, 当与都是列向量时, 有
[, ]=T=T 内积具有下列性质(其中, , 为n维向量, k为实数):
为向量和的夹角.
3-2向量组的线性关系
19
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
向量组的线性相关性
证明
（略）
(1)
1 , 2 , n线性无关
1 1
齐次线性方程组 x 只有零解 r ( , , ) n
1 2 n
x2 2 xn n 0
a11
当m=n时
a12 a1n
a21 a22 a2 n 0 an1 an 2 ann
思考题
试证明 : (1) 一个向量 线性相关的充要条件是 0； ( 2) 一个向量 线性无关的充要条件是 0； ( 3) 两个向量 ， 线性相关的充要条件是
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 , y , 使 x
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关性的概念
定义4
给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不 k1 1 k2 2 km m 0
全为零的数k1 , k2 ,, km 使
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
1 2 3 4 2 3
这与a , a , a 线性无关矛盾，故结论成立.
2 3 4
四、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
向量组的线性相关性
m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有只有非零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩<=向量的个数 m ．．
二、线性相关性的判定
定理4 向量组a1, a2, …, am 线性相关的充分 必要条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, …, am) 的 秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要 条件是R(A)=m.
作业 P110 3（1），4，10，11（1）
说明 （1）向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关
当且仅当k1=k2= … =km=0时， k1a1 + k2a2 + … + kmam =0 才成立.
一、线性相关性的概念
（2）若向量组只包含一个向量a： a线性相关 a=0 a线性无关 a≠0
（3）含两个向量的向量组：a1, a2 线性相关 a1, a2 的分量对应成比例 几何意义：两向量共线
从而向量组 b1, b2, b3 线性无关．
二、线性相关性的判定
例3 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关．
证四 转化为矩阵的秩的问题．
1 0 1
已知
(b1
,
b2
,
b3
k1a1 k2a2 kmam 0.
一、线性相关性的概念
因k1, k2, …, km中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
a1
k2 k1
a2
k3 k1
a3
二、线性相关性的判定
定理4 向量组a1, a2, …, am 线性相关的充分 必要条件是它所构成的矩阵A=(a1, a2, …, am) 的 秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要 条件是R(A)=m.
作业 P110 3（1），4，10，11（1）
说明 （1）向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关
当且仅当k1=k2= … =km=0时， k1a1 + k2a2 + … + kmam =0 才成立.
一、线性相关性的概念
（2）若向量组只包含一个向量a： a线性相关 a=0 a线性无关 a≠0
（3）含两个向量的向量组：a1, a2 线性相关 a1, a2 的分量对应成比例 几何意义：两向量共线
从而向量组 b1, b2, b3 线性无关．
二、线性相关性的判定
例3 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1，
试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关．
证四 转化为矩阵的秩的问题．
1 0 1
已知
(b1
,
b2
,
b3
k1a1 k2a2 kmam 0.
一、线性相关性的概念
因k1, k2, …, km中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
a1
k2 k1
a2
k3 k1
a3
3-1,2n维向量及其运算向量组的线性相关性资料
e1,e2,…,en线性表示.
a (a1,a2, ,an )T , e1 (1,0, ,0)T ,
e2 (0,1, ,0)T , ,en (0,0, ,1)T
a1 1 0
a2
a1
0
a2
1
an
注：（1）对任意的向量 , 存在唯一的零向量 o, 使得 o
（2）对任意的向量 , 存在唯一的负向量 , 使得 ( ) o
（3） 0 0; (1) ; 0 0. （4）如果 0, 则 0或 0
n 维向量的实际意义
k11 k22 kmm 0
11k1 21k 2
齐次线性方程组
12k
1
22
k
2
1nk1 2nk 2
有非零解
m1k m 0, m2k m 0,
mnk m 0,
定理1 设有n个n维向量i (ai1, ai2 , ain ), (i 1,
10 2
1 2 4 0
15 7
故向量组线性相关.
例4 已知向量组1,2,3 线性无关,b1 1 2,
b2 2 3,b3 3 1,试证b1,b2,b3线性无关.
证 设有k1, k2, k3使
k1b1 k2b2 k3b3 0
即 k（1 1 2） k2 (2 3) k3(3 1) 0,
整理得线性方程组
a11k1 a21k2 am1 km 0,
3-2向量组的线性相关与线性无关
的线性组合 解 设存在四个数 x1 , x2 , x3 , x4 ，使得
β = x1α1 + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4
即
1 1 1 1 1 2 1 1 −1 =x +x −1 + x3 + x4 1 2 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 1
亦即（ x1 + x 3 )α 1 + ( x1 + x 2 )α 2 + ( x 2 + x 3 )α 3 = 0, 线性无关， 因 α 1，α 2，α 3 线性无关，故有
x 1 + x 3 = 0, x 1 + x 2 = 0, x + x = 0. 2 3
1 0 1 由于 1 1 0 = 2 ≠ 0 0 1 1
全为零的数 k1 , k 2 ,L , k m 使 r r r r k1α 1 + k 2α 2 + L + k mα m = 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 是线性相关的，否则称它线性无关． 1. α 1 , α 2 , L , α n 线性无关 ⇔ 只有当 k1 = L = k n = 0时 ,
才有 k1α 1 + k 2α 2 + L + k nα n = 0 成立 .
2. 对于任一向量组 , 不是线 性无关就是线性相关 .
3.向量组只包含一个向量α 时, 若α = 0 则 α 线性相关, 若α ≠ 0, 则 α 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向 量组, 它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例 .
3-2向量的线性相关性
T T T
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
x1b1ห้องสมุดไป่ตู้ x2b2 x3b3 0
即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （ 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, 方程组只有零解1 x2 x3 0， x x1 x 2 0, 所以向量组 1 , b2 , b3线性无关 b . x x 0. 2 3
有解；
定义２ 设 有 两 个 向 量 组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组 中 的 每 个 向 量 都 能 向 量 组 线 性 表 示 ， 则 由 A 称 向 量 组 能 由 向 量 组 线 性 表 示. 若 向 量 组 与 向 B A A 量 组B能 相 互 线 性 表 示 ， 则 这 两 个向量组等价, 称
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
构成一个m n矩阵
1T T 2 B T m
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
x1b1ห้องสมุดไป่ตู้ x2b2 x3b3 0
即 x1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0, （
亦即 x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, （ 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, 方程组只有零解1 x2 x3 0， x x1 x 2 0, 所以向量组 1 , b2 , b3线性无关 b . x x 0. 2 3
有解；
定义２ 设 有 两 个 向 量 组 A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s .
若B组 中 的 每 个 向 量 都 能 向 量 组 线 性 表 示 ， 则 由 A 称 向 量 组 能 由 向 量 组 线 性 表 示. 若 向 量 组 与 向 B A A 量 组B能 相 互 线 性 表 示 ， 则 这 两 个向量组等价, 称
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
第二章 第二讲 向量组的线性相关性(2013-3-21)
1 2 s
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
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第二节 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是一个最难掌握的 内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给 定 向 量 组A :1,2 ,,m ,如 果 存 在 不
全 为 零 的 数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
其 中p为 实 数 。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试 证 向 量 组1 , 2 , 3
线性无关。
证 设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21am1a12 a22am2a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构
（2）对 任 意 的n维 向 量 a1 , a2 ,, an ，
向 量 组1 , 2 ,, m ,线 性 相 关 。
证 1 设有数c1 , c2 ,, cn使得
c11 c2 2 cn n 0
由向量的数乘与加法运算性质有
c1, c2 ,, cn 0,0,,0
于是c1
c2
cn
0,因此
1
,
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
注意
1.
若
1
,
2
,,
线
m
性
无
关,
则
只
有
当
c1 c2 cm 0时, 才 有
c11 c2 2 cm m 0 成 立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
称n维 向 量 组
1 1，0，，0 2 0,1，，0
n 0，0，，1
为n维 单 位 向 量 组
例1 试 证:（1） n维 单 位 向 量 组 线 性 无 关
11 1
12 2
1n n
1
21 1
22 2
2n n
2
a x a x a x b m1
1
m2
2
mn
n
m
x x x b 1
1
2
2
n
n
Ax b
x x x b 1 1 2 2 n n
未知数 系数
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
注意：i是列向量(i 1,2,, n)!
线性方程组的行向量表示
相关性判定定理
定理2.1 向量组1,2 ,,m m 2线性相关
的 充 要 条 件 是 这 个 向 量组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由其余m 1个向量线性表示。
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 2 2 m1 m1
故 11 22 m1 m1 1am 0 因 1 , 2 ,, m1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 ,2 ,,m线性相关. 必要性 设 1 ,2 ,,m 线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm 0.
因k1 , k2 ,, km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
2
,,
线性相关。
n
2 显然存在不全为零的数a1 , a2 ,, an和 1使得 a11 a2 2 an n (1) 0
因此1, 2 ,, n , 线性相关。
例2 讨 论 下 列 向 量 组 线 性 相关 性
（1）1 1，2，0， 2 2,1,1 （2）1 1， 1，1， 2 2,1,1, 3 1,4, p
分 组(即 由 该 向 量 组 的 一 部 分向 量 所 组 成 的 集 合)线 性 相 关 ， 则 该 向 量 组 也线 性 相 关 。
定理2.2' 若n维向量组1, 2 ,, m m 2线性无
关，则其任意部分组也线性无关。
定 理2.3 若n维 向 量 组1 , 2 ,, m线 性 无 关 ，
而 向 量 组1 , 2 ,,m , 线 性 相 关 ， 则能 由
1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
m .
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
定理2.1' 向量组1,2 ,,m m 2线性无关
的 充 要 条 件 是 这 个 向 量组 中 的 任 何 向 量 都 不 能
由其余m 1个向量线性表示。
定理2.2 若n维向量组1,2 ,,m m 2有一个部
因向量组
1
,
2
,
线性无关，故有
3
x1 x3 0
x1
x2
0
x2
x3
0
由于系数行列式
101
1 1 0 20
011
因此齐次方程组*只有零解x1 x2 x3 0,所以
向
量
组1
,
2
,
线
3
性
无
关
。
注意
1. 如果一个向量组只包含一个零向量，则该
向量组是线性相关。 2. 如果一个向量组只包含一个非零向量，则
该向量组是线性无关。
3. 如果一个向量组包含一个零向量，则该向 量组是线性相关。
4.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组,它 线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 两 向 量 的 分量 对 应 成 比 例 ， 几 何 意义 是 两 向 量 共 线 ； 三 个 向量 相 关 的 几 何 意 义 是 三向 量 共 面.
m
总之，一个含有有限个向量的向量组可构成一个 矩阵。反之，一个矩阵可以看成是有限个行向量所 构成所构成的向量组，也可以看成是有限个列向量 所构成所构成的向量组。矩阵与向量组在形式上能 够相互转化,因此可用矩阵讨论向量组的有关问题。
线性方程组的向量表示
a x a x a x b a x a x a x b
成 的 矩 阵, i 称 为 矩 阵A的 第i个 行 向 量 。
一个含有有限个向量的向量组，总可以看成 是由一个矩阵的全体行向量所构成。
m n矩阵A有m个n维行向量，同时又有n个 m维列向量
a1 j
j
a2 j
amj
从 而A可 记 为
j 1,2,, n
1
A
2
或
A 1, 2,, n
向量组的线性相关性是一个最难掌握的 内容，需下苦功夫学好。
一、n维向量组的线性相关性
m个具有相同维数的向量称为向量组。
定义2.1 给 定 向 量 组A :1,2 ,,m ,如 果 存 在 不
全 为 零 的 数c1 , c2 ,, cm使
c11 c2 2 cm m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 当向量组线性无关时，也称该向量组为线性无关 （向量）组，简称无关组
其 中p为 实 数 。
例3
设
向
量
组
1
,
2
,
线
3
性
无
关
，
1
1
2,
2 2 3 , 3 3 1 , 试 证 向 量 组1 , 2 , 3
线性无关。
证 设有数x1 , x2 , x3使得
即 x11 x2 2 x3 3 0
x11 2 x2 2 3 x3 3 1 0 x1 x3 1 x1 x2 2 x2 x3 3 0
1
,
2
,
,
唯
m
一
地
线
性
表
示
。
向量组与矩阵
n维行向量组 i ai1 , ai2 ,, ain ，(i 1,2,, m), 可以
构成一个矩阵
a
11
a
A
21am1a12 a22am2a1 j a2 j
amj
a
1n
1
a2n
amn
2
m
A称
为
由n维
行
向
量
组1
,
2
,,
所
m
构
（2）对 任 意 的n维 向 量 a1 , a2 ,, an ，
向 量 组1 , 2 ,, m ,线 性 相 关 。
证 1 设有数c1 , c2 ,, cn使得
c11 c2 2 cn n 0
由向量的数乘与加法运算性质有
c1, c2 ,, cn 0,0,,0
于是c1
c2
cn
0,因此
1
,
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
注意
1.
若
1
,
2
,,
线
m
性
无
关,
则
只
有
当
c1 c2 cm 0时, 才 有
c11 c2 2 cm m 0 成 立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是线性相关.
称n维 向 量 组
1 1，0，，0 2 0,1，，0
n 0，0，，1
为n维 单 位 向 量 组
例1 试 证:（1） n维 单 位 向 量 组 线 性 无 关
11 1
12 2
1n n
1
21 1
22 2
2n n
2
a x a x a x b m1
1
m2
2
mn
n
m
x x x b 1
1
2
2
n
n
Ax b
x x x b 1 1 2 2 n n
未知数 系数
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
注意：i是列向量(i 1,2,, n)!
线性方程组的行向量表示
相关性判定定理
定理2.1 向量组1,2 ,,m m 2线性相关
的 充 要 条 件 是 这 个 向 量组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由其余m 1个向量线性表示。
证明 充分性
设 a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如 am）
能由其余向量线性表示. 即有
am 11 2 2 m1 m1
故 11 22 m1 m1 1am 0 因 1 , 2 ,, m1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 ,2 ,,m线性相关. 必要性 设 1 ,2 ,,m 线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm 0.
因k1 , k2 ,, km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
2
,,
线性相关。
n
2 显然存在不全为零的数a1 , a2 ,, an和 1使得 a11 a2 2 an n (1) 0
因此1, 2 ,, n , 线性相关。
例2 讨 论 下 列 向 量 组 线 性 相关 性
（1）1 1，2，0， 2 2,1,1 （2）1 1， 1，1， 2 2,1,1, 3 1,4, p
分 组(即 由 该 向 量 组 的 一 部 分向 量 所 组 成 的 集 合)线 性 相 关 ， 则 该 向 量 组 也线 性 相 关 。
定理2.2' 若n维向量组1, 2 ,, m m 2线性无
关，则其任意部分组也线性无关。
定 理2.3 若n维 向 量 组1 , 2 ,, m线 性 无 关 ，
而 向 量 组1 , 2 ,,m , 线 性 相 关 ， 则能 由
1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
m .
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
定理2.1' 向量组1,2 ,,m m 2线性无关
的 充 要 条 件 是 这 个 向 量组 中 的 任 何 向 量 都 不 能
由其余m 1个向量线性表示。
定理2.2 若n维向量组1,2 ,,m m 2有一个部
因向量组
1
,
2
,
线性无关，故有
3
x1 x3 0
x1
x2
0
x2
x3
0
由于系数行列式
101
1 1 0 20
011
因此齐次方程组*只有零解x1 x2 x3 0,所以
向
量
组1
,
2
,
线
3
性
无
关
。
注意
1. 如果一个向量组只包含一个零向量，则该
向量组是线性相关。 2. 如果一个向量组只包含一个非零向量，则
该向量组是线性无关。
3. 如果一个向量组包含一个零向量，则该向 量组是线性相关。
4.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组,它 线 性 相 关 的 充 要 条 件 是 两 向 量 的 分量 对 应 成 比 例 ， 几 何 意义 是 两 向 量 共 线 ； 三 个 向量 相 关 的 几 何 意 义 是 三向 量 共 面.
m
总之，一个含有有限个向量的向量组可构成一个 矩阵。反之，一个矩阵可以看成是有限个行向量所 构成所构成的向量组，也可以看成是有限个列向量 所构成所构成的向量组。矩阵与向量组在形式上能 够相互转化,因此可用矩阵讨论向量组的有关问题。
线性方程组的向量表示
a x a x a x b a x a x a x b
成 的 矩 阵, i 称 为 矩 阵A的 第i个 行 向 量 。
一个含有有限个向量的向量组，总可以看成 是由一个矩阵的全体行向量所构成。
m n矩阵A有m个n维行向量，同时又有n个 m维列向量
a1 j
j
a2 j
amj
从 而A可 记 为
j 1,2,, n
1
A
2
或
A 1, 2,, n