大学课程-2.2-向量组的线性相关性
线性代数课件--第二节向量组的线性相关性-讲义
解 考 虑 向 量 方 程 k 1 1 k 22 k 3 3 k 44 0 ，
比 较 两 端 分 量 ， 得 齐 次 线 性 方 程 组
k1 2k2 3k3 4k4 0,
由 定 理 5 知 ， m 可 由 2 ,,m 1 线 性 表 示 ，
即 存 在 数 k2, ,km 1 ， 使 得
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定理 1 m个 n维向量 i (ai1,ai2, ,ain), i 1,2,,m
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 a21x2 am1xm 0,
a12x1
a22x2 am2xm
0,
a1nx1 a2nx2 amnxm 0
(3.2)
有非零解．
精品
线性代数课件--第二节向量组的线性相 关性
特例： (1) 包 含 零 向 量 的 向 量 组 必 线 性 相 关 ．
(2 ) 单 独 一 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 0．
(3) 两 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 它 们 的 对 应 分 量
充 分 必 要 条 件 是 其 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余m1个 向 量
线 性 表 示 ．
证明
推 论1 m个n维 向 量1,2, ,m（m2） 线 性 无 关 的
充 分 必 要 条 件 是 其 中 任 一 向 量 都 不 能 由 其 余m1个 向 量 线
性 表 示 ． 推 论 2 任 何 n 1 个 n 维 向 量 必 线 性 相 关 ． 证明 从而向量个数大于向3
向量组的线性相关性教案
向量组的线性相关性教案一、教学目标1. 理解向量组的线性相关的概念；2. 学会判断向量组线性相关的方法；3. 掌握向量组线性相关的性质和应用。
二、教学内容1. 向量组的线性相关的概念；2. 判断向量组线性相关的方法；3. 向量组线性相关的性质；4. 向量组线性相关的应用。
三、教学重点与难点1. 向量组的线性相关的概念及判断方法；2. 向量组线性相关的性质及其证明；3. 向量组线性相关在实际问题中的应用。
四、教学准备1. 教材或教学资源；2. 投影仪或黑板；3. 粉笔或教学软件。
五、教学过程1. 引入：通过实例引导学生思考向量组线性相关的概念，例如在社会经济数据分析中，如何判断一组数据是否存在线性关系。
2. 讲解：向量组的线性相关的概念，解释线性相关、线性无关的定义及判断方法。
3. 演示：通过投影仪或黑板，展示向量组线性相关的性质及其证明。
4. 练习：布置一些判断向量组线性相关的题目，让学生独立完成，并解答疑问。
5. 应用：结合实际问题，讲解向量组线性相关在解决问题中的重要性，如在优化问题、线性方程组求解等方面的应用。
7. 作业：布置一些有关向量组线性相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学反思在课后对自己的教学过程进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了向量组线性相关的概念和方法。
如有需要，可以对教学方法进行调整，以提高教学效果。
七、教学评价通过课堂讲解、练习题和实际应用，评价学生对向量组线性相关性的理解程度和应用能力。
鼓励学生积极参与课堂讨论，提高他们的思维能力和解决问题的能力。
八、教学拓展向量组的线性相关性在数学和其他领域有很多应用，可以引导学生进一步研究相关知识，如最小二乘法、线性规划等。
九、教学资源1. 教材或教学参考书；2. 相关学术论文或资料；3. 互联网资源。
十、教学时间根据课程安排，合理分配教学时间，确保学生充分理解向量组的线性相关性。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的案例，使学生更好地理解向量组的线性相关性。
2.2向量组的秩和线性相关性
故A的秩等于2，因此三个向量线性相关。
(2)记
1 0 1 1 2
2
1
0
1
0
3 1 1 1 1
容易求得r(A)=3,因此向量组线性无关。
(3) 因为ε1, ε2 ,..., εn 对应的矩阵是单位矩 阵, 从而其秩为n，故该向量组是线性无关的
例题2.3 设 1,2,3 线性无关，且
1 1 22, 2 2 23, 3 3 21
证明：1, 2 , 3 线性无关。
解：只对列向量的情形证明。记
1 0 2
A
(1,2
,3
),
B
(1,
2
,
3
),
P
2
1
0
0 2 1
据已知条件知，B=AP 而矩阵P是可逆
的，因此，r(A)=r(B)，因此 1, 2, 3
线性无关。
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
例2.4. 设有两个向量组
I: 1=[1, 1], 2=[1, 1], 3=[2, 1],
II: 1= [1, 0], 2= [1, 2].
则1=
1 2
1+
1 2
2,
2=
3 2
1
1 2
2,
3=
3 2
1+
1 2
2,
即I可以由II线性表示.
1=
1 2
1+
1 2
2+03,
2=
1 2 1
（1）1
=
0
2
=
1
3
=
1
-1
1
大学数学基础（2）mooc-向量组的线性相关性（2）
⼤学数学基础（2）mooc-向量组的线性相关性（2）数学基础(2)第三章向量第三讲向量组的线性相关性(2)主讲教师王玮副教授⼆、线性相关的性质定理12(2)1.m m m ααα≥?-向量组，，，线性相关其中⾄少有⼀个向量可由其余个向量线定1性表⽰理12(2)1.m m m ααα≥?-向量组，，，线性⽆关其中任何⼀个向量不可由其余个向推量线性表⽰论121212.m m m ααααααββααα如果向量组，，，线性⽆关，⽽向量组，，，，线性相定关，则可由向量组，，，线性表⽰，且表2⽰式唯⼀理12(2)1.m m m ααα≥?-向量组，，，线性相关其中⾄少有⼀个向量可由其余个向量线定1性表⽰理必要性12121122(2)0m m m m m k k k k k k αααααα≥+++=若向量组，，，线性相关，则存在不全为零的数，，，，使得10k ≠不妨设，11.m α-即可由其余个向量线性表⽰32123111m mk k k k k k αααα=-+-+- ? ? ?则有找等式，看系数12(2)1.m m m ααα≥?-向量组，，，线性相关其中⾄少有⼀个向量可由其余个向量线定1性表⽰理充分性1m -设向量组中⾄少有⼀个向量可由其余个向量线性表⽰，1211122111(1)0m m m m k k k k k k αααα----++++-=因此存在⼀组不全为零的数，，，，，使得12m ααα故向量组，，，线性相关.1211122111m m m m m m k k k k k k ααααα----=+++不妨设可以由其余个向量线性表⽰，即存在⼀组数，，，，使得12(2)1.m m m ααα≥?-向量组，，，线性⽆关其中任何⼀个向量不可由其余个向推量线性表⽰论121212.m m m ααααααββααα如果向量组，，，线性⽆关，⽽向量组，，，，线性相定关，则可由向量组，，，线性表⽰，且表2⽰式唯⼀理121211220m m m m k k k k k k k k αααβαααβ++++=证由，，，，线性相关知：存在不全为零的数，，，，，使得①k ≠1211220m m m k k k k k k ααα+++=否则，①变为存在不全为零的数，，，，使得12m ααα这与向量组，，，线性⽆关⽭盾. 12120m mk k k k kkkβααα≠=----，12m βααα即可由向量组，，，线性表⽰.找等式，看系数下⾯证明表⽰法唯⼀121212.m m m ααααααββααα如果向量组，，，线性⽆关，⽽向量组，，，，线性相定关，则可由向量组，，，线性表⽰，且表2⽰式唯⼀理1122m m l l l βααα=+++假设，111222()()()0m m m l l l µαµαµα-+-++-=两式相减得121122m m ml l l αααµµµ===由向量组，，，线性⽆关知，，，得证1122m m βµαµαµα=+++，121211*********.,,,(3)(A ),,,0(B ),,,(C ),,,(D ),,,s s s ss s s n s n k k k k k k ααααααααααααααα≤≤+++≠维向量组线性⽆关的充要条件是存在⼀组不全为零的数，使中任意两个向量都线性⽆关中存在⼀个向量，它不能由其余向量线性表⽰中任意⼀个向量都不能⽤其余向量线性表⽰【典型例题】D(A )(B )(C ).、、是此向量组线性⽆关的必要条件，但不充分条件12112212,,,0,,,.(D ).s s ss k k k k k k αααααα+++=解向量组线性⽆关的定义是关系式，只能在全为零时才成⽴对照这⼀定义知，只有正确√1231232.(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(,,).,,.a b c αααββααα====判断下列命题是否正确：设向量组则⼀定可由线性表⽰，且表达式唯⼀121212,,,,,,,,,,,,.m m m ααααααββααα向量组线性⽆关，⽽向量组线性相关则可由线性表⽰且表⽰法唯⼀数学基础(2)第三章向量第三讲向量组的线性相关性(2)END。
2-2向量组线性相关性
α 4能由 α 1 , α 2 , α 3线性表示， α 3不能由 α 1 , α 2 , α 4 线性表示。
2 向量组的秩
深化向量组线性相关性的概念, 深化向量组线性相关性的概念, 建立向量组秩的概念 等价向量组 定义
设
( I) α 1 , α 2 ,⋯ , α s
(II) β1 , β 2 ,⋯ , β t
另证
I能由 II线性表示 , 又由例1知 II能 由 I线性表示 ,
故 I和 II 等价 .
∴ 秩 (II) = 秩 (I) = n
∴ n 个向量 α 1 , ⋯ , α n 线性无关 .
3.用初等行变换求秩、极大无关组和线性表示 3.用初等行变换求秩、极大无关组和线性表示
一揽子方法 回忆 阶梯阵： 1. 非零行线性无关 ;
∵ α 1 , α 2 , α 3 线性无关 ,
2 ∴ 0 1 3 5 − 1 − 1 x = 0 1 3
2 3 5 1 1 3 1 1 3 A = 0 − 1 − 1 → 0 - 1 - 1 → 0 1 1 ⇒ x = 0 1 1 3 0 1 - 1 0 0 − 2
线性相关 .
由定义 , n维向量组 α1 ,⋯ , α s 线性相(无 )关 ⇔ n × s齐次方程组 x1α1 + ⋯ + xsα s = 0有非零解 ( 只有零解 ).
例1 证明 n阶单位矩阵 I 的 n 个列向量 e1 , e2 , ⋯ , en 线性 无关，并且任一维向量都能由 e1 , e2 , ⋯ , en 线性表示.
证
由观察知:
α1 = −2β1 + β 2 , α 2 = − β1 + β 2 , α 3 = −3β1 + 2β 2 . β1 = −α1 + α 2 , β 2 = 3α 2 − α 3 (或 β1 = 2α 2 − α 3 , β 2 = 2α 3 − 3α1等)
线性代数-向量组的线性相关性-文档资料
[1,2,1], [2,4,0]线性无关。
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21
性质 3 含有零向量的向量组一定线性相关。
证明： 设1,2 ,,m 是向量组， i 0 (i {1,2,, m})
则： 01 02 0i1 1i 0i1 m 0
]
3
1
,
2
,
线性无关.
3
{PAGE}
17
三、有关向量组线性相关性的若干性质
性质 1
只含一个向量的向量组线性相关的充分必要条 件是它为零向量，
即只含一个向量的向量组线性无关的充分必要 条件是它为非零向量。
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18
性质 2
仅含两个向量的向量组线性相关的 充分必要条件是其对应分量成比例。
{PAGE}
{PAGE}
5
【例 1】设 1 2 3 0T ，1 1 2 1 0T ， 2 3 0 1 1T 。问 能否由1,2线性表示？
1 3 1
解：设
x11
x22，则 x1
2
1
x2
0 1
2 ，即 3
0
1
0
1 3
1
2
1
0 1
x1 x2
2
，此方程组无解，所以
3
不能由1 , 2
19
证明：
设 [a1,a2 ,,an ], [b1,b2 ,,bn ]，则
, 线性相关
存在不全为零的常数k1, k2，使k1 k2 0
k1ai k2bi 0,i 1,2,,n，（不妨设k1 0）
ai
k2 k1
bi
,i
1,2 , , n
{PAGE}
20
例1
[1,2,0], [2,4,0]线性相关；
第二章 第二讲 向量组的线性相关性(2013-3-21)
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
向量组线性相关
k1 k3 0 k1 k2 0 , k1 k2 k3 0,
k2 k3 0
向量组b1 ,b2 , b3线性无关.
§2 向量组的线性相关性
证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1
b1
,
b2
,
b3
a1
,
a2
,
a3
1 0
记作B=AK.
1 1
01
设BX=O,以B=AK代入,
例
1
1 1
,
2
2 2
,
21
2
0
0
,
则1
,
线性相关。
2
§2 向量组的线性相关性
例
1
1 0
,
2
0 2
,
要使k11
k2 2
0 0
,
当且仅当k1
0, k2
0时成立，则1
,
线性无关。
2
说明:只含一个向量a的向量组, 当a=0时是线性相关的,当a≠0时是线性无关的.
说明:包含零向量的向量组是线性相关的.
§2 向量组的线性相关性
例
1 0 0
a1
0
,
a2
1
,
a3
0
,线性无关，
0 0 1
1 0 0 1
a1
0 0
,
a2
1 0
,
a3
0 1
,
a4
11线性相关，
1 1 0 0
11
00
1 0
0 1
，即a4
a1
a2
a3，且表达式唯一。
§2 向量组的线性相关性
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任务:
推广
(n 维列向量之集合)
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a11x1 a12 x2 a1n xn b1
引例2.
a 21x1 a 22 x2 a 2n xn b2
(1)
am1x1 am2 x2 amn xn bm
(1)
2) e1 (1, 0, 0)T , e2 (0, 1, 0)T , e3 (0, 0, 1)T
解. 1) 解法1. 设 k1 1 k 2 2 k33 0, 即
2 4 2 0
k1
31
k2
2 5
k3 源自41 0 0
2k1 4k2 2k3 0 k1 2k2 k3 0 3k1 5k2 4k3 0
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2k1 4k2 2k3 0 k1 2k2 k3 0 3k1 5k2 4k3 0
a11 k1 a12k2 a1sks 0
a21
k1
a22k2
a2 s k s
0
an1 k1 an2k2 ansks 0
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利用定义10’易知:
① 1, ,s线性相关
齐次线性方程组 k1 1
kss 0 有非零解。
a11 a12
R( A)
s,
其中A为系数矩阵：A
a21
a22
②1, ,s线性无关
an1 an2
a1s
a2s
.
ans
齐次线性方程组 k1 1 kss 0 只有零解。
R(A) s
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方法1: 对矩阵 (1 , 2 , , s ) 作初等行变换
§2.2 向量组的线性相关性
一. n 维向量的概念及线性运算 二. 向量空间 三. 向量的线性相关性
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引例1. 在空间解析几何中
向量 (a1 , a2 , a3) (b1 , b2 , b3) (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3) ( a1 , a2 , a3)
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例中结论可推广至判断一般向量组的线性相关性
设
1
a11
a21
,
2
a12
a22
,
an1
an2
a1s
,
s
a2 s
,
ans
而式子 方程组.
k1 1 k2 2 kss 0 对应一个齐次线性
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定义10 对向量组 1, 2, ,s , 若其中有一个向量
可由向量组中其余向量线性表出, 则称此该向量组线 性相关; 否则，称该向量组线性无关.
任何包含零向量的向量组必线性相关！
两个向量线性相关等价于它们成比例！
两个三维向量线性相关等价于它们共线！
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e1
0
,
e2
1
,
0
0
0
, en
0
称为
n
维单位坐标向量.
1
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任何n维向量均可由n个单位向量
线性表出
e1, e2, , en
零向量可由任何向量组线性表出
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定义9 给定两个 n 维向量组
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24
1，2，3 1 2
35 故对应的齐次方程组
2 第一、二行成比例
1
0
4
k1 1 k 2 2 k33 0
有非零解, 1, 2,3 线性相关
k1
321
k2
4 2 5
k3
421
0 0 0
向量组 线性无关 则其任何部分组必无关 (整体无关则部分必无关)
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定理1 设 1, 2, ,r 和1, 2, , s 是两个向量组，
如果
1) 向量组 1, 2 , ,r 可以经 1, 2, , s
线性表出；
2）r s
，
那么向量组 1,2 ,,r 必线性相关.
命题1 n 维向量组 1, 2, ,s (s 2) 线性相关
存在不全为 0 的实数 k1, k2, … , ks , 使
k11 k 2 2 k s s 0 证: “ ”. 由线性相关的定义, 设 i可由其余向量线性
表示, 即存在k1, …, ki-1, ki+1, … , ks , 使
(k1 k2 k3)1 (k2 k3)2 k33 0
因 1,2 ,3 线性无关，所以
k1 k2 k3 0 k2 k3 0 k3 0
方程组只有零解:
k1 k2 k3 0
因此 1 2, 2 3, 3 1 线性无关。
100
0 0 0
1 0 0
系数矩阵为
A
0
1
0
0 0 1
得 R( A) 3, e1, e2 , e3 线性无关。
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解法2. 利用行列式.
100 e1, e2, e3 0 1 0 1 0
001
根据克拉默法则, 齐次方程组
秩1, 2, ,s
小于s 时, 等于s 时,
线性相关 线性无关
方法2:当向量维数 n = 向量个数 n 时, 利用行列式
1, 2, ,n
= 0 , 线性相关 0, 线性无关
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有用的结论 1. 向量组中部分向量线性相关
其部分组线性相关 (部分相关则整体必相关)
例1. ( XOY坐标面)
都是向量空间 所谓封闭: 是指在集合 V 中可以进行加法及数乘运算.
具体地说，就是：若 V , V , V ; 若 V, R, V.
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三. 线性相关性
1. 线性相关与线性无关
两个向量α,β之间最简单的关系是成比例。即存在
a11 a21
a12 a1n a22 a2n
b1 b2
am1 am2 amn bm
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一. n 维向量及其线性运算
定义1. n 个数 a1 , a2 , , an 组成的有序数组称为n 维
向量, a i 称为向量的第 i 个分量 .
若 II中每一向量都能由向量组 I 线性表出, 则称向量 组 II 能由向量组 I 线性表出;
若两个向量组 互相线性表出, 则称二向量组等价. 等价关系的性质: 1) 反身性: 向量组与自身等价;
2) 对称性: 向量组A与B等价 向量组B与A等价
3) 传递性: 向量组A与组B等价, 向量组B与组C等价
a11
a12
令
1
a21
,
2
a22
,
a1m
b1
, m
a2m
,
b2
an1
an2
anm
bn
则线性方程组可表示为
i k11 k i1 i1 k i1 i1 k s s
故有
k11 k i1 i1 (1) i k i1 i1 k s s 0
“ ” 设有不全为 0 的实数 k1, k2, … , ks , 使
k11 k 2 2 k s s 0
k1 e1 k 2e2 k 3e3 0 只有零解, e1, e2 , e3 线性无关。
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例3. 设 1 1, 2 1 2, 3 1 2 3 且1,2 ,3
线性无关,证明向量组 1, 2, 3 线性无关. 证: 设 k11 k22 k33 0 则
(1,2 ,
x1
,
m
)
xm
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(1,2 ,
x1
,
m
)
xm
也可表示为向量形式 x11 x22 xmm
方程组有解等价于：
向量β可由向量组α1 , α2 , …, αm线性表出.
1, 2,3
2
A 1
3
4 2 5
2 r 1 4
10
0 1
31
0 0 0
由行标准型得：R( A) 3， 1, 2 ,3 线性相关。
线性相关问题归结为上述齐次线性方程组 是否有非零解的问题
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解法2. 利用行列式
2k1 4k2 2k3 0 k1 2k2 k3 0 3k1 5k2 4k3 0