向量组的线性有关性归纳

第四章 向量组的线性相关性

§1 n 维向量概念

一、向量的概念

定义1 n 个有次序的数12,,

,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数

i a 称为第i 个分量.

注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()

12,,

,n a a a a =,出可以写成一列的形式

12n a a a a ⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.

注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.

解 12v v -(1,1,

0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-

12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-

(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-

(0,1,2)T =

定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。

§2 向量组的线性相关性

一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,

,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量

1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,

,m k k k 称为这个线性组合的系数.

定义4 给定向量组A :12,,

,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,

,m λλλ,使得

1122m m a a a b λλλ=++

+

则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.

注1任一个n 维向量12

n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

都可由n 维单位向量组12,,

,n e e e 线性表示:

1122n n a a a a e e e =++

+ .

注2向量b 可由向量组A :12,,

,n a a a 线性表示（充要条件）

⇔方程组1122n n a a a x x x b ++

+=有解

m n A x b ⨯⇔=有解

()(,)R A R A b ⇔=

注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β

由向量12,,,n a a a 线

性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。 二、向量组的等价 1、定义

定义5 设有两个n 维向量组12:,,

,m A a a a ,12:,,

,l B b b b ,若向量组B 中每个向量都可由向量组A 线

性表示,则称向量组B 可由向量组A 线性表示;若向量组A 与向量组B 可以互相线性表示,则称这两个向量组等价.

注1 向量组的等价是一种等价关系,即向量组的等价具有: 自反性、对称性、传递性. 2、向量组等价的条件 定理1向量组12:,,

,l B b b b 可由向量组12:,,,m A a a a 线性表示⇔存在矩阵K ,使B AK =.

证明 由于一个向量b 可由向量组A 线性表示可等价地表示成方程1122m m a a a b k k k =+++,那么若向量

组B 可由组A 线性表示,则对组B 的任意向量j b 有

1122j j j mj m b k k k ααα=+++1212,,,),j j

m mj k k k ααα⎛⎫

⎪ ⎪=

⎪ ⎪⎝⎭

（1,2,

,j s =

⇔ ()()

1212,,,,,,m s b b b a a a =112111222212

s s m m ms k k k k k k k k k ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

⇔ B AK =.

注2 称矩阵()m s ij K k ⨯=为这个线性表示的系数矩阵或表示矩阵. 推论1 向量组12:,,

,l B b b b 可由向量组12:,,,m A a a a 线性表示

⇔存在矩阵K ,使B AK = ⇔矩阵方程AX B =有解 ⇔()(,)R A R A B =

推论2向量组12:,,

,m A a a a 与向量组12:,,,l B b b b 等价()()(,)R A R B R A B ==.

例3 设121231321311011,,,,1110213120a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

,证明向量组12,a a 与向量组123,,b b b 等价.

解

132131

32131

101102111(,)~111020

00001

31200

0000A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--

⎪

⎪= ⎪ ⎪

⎪

⎪

-⎝⎭⎝⎭

()(,)2R A R A B ∴==

2131

021

020********~~1022

130

00120120000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---

⎪

⎪

⎪= ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

()2R B ∴=()()(,)2R A R B R A B ∴=== ∴ 向量组12,a a 与向量组123,,b b b 等价.