线性代数 向量组的线性相关性
《线性代数(修订版)》教学课件 3.4 向量组的线性相关性
,α3
1 3
,
试讨论它的线性相关性.
解法一 对向量组的矩阵 A = (α1,α2 ,α3 ) 施行初等 行变换，将其化成行阶梯形：
1 2 3 1 2 3
A
=
(α1
,
α2
,
α3
)
=
2 3
4 5
1 3
0 0
0 1
5
6
,
0 0 5
可见 R( A) 从而向量组 α1,α2 ,α3 线性无关.
§ 3.4
向量组的线性相关性
3.4.1 线性相关与线性无关
定义 给定向量组 A : α1, α2 , , αn , 若存在不全为零 的数 k1, k2 , , kn , 使
k1α1 k2α2 knαn 0
则称向量组 线性相关；若当且仅当 k1 k2 kn 0,
时上式才成立，则称向量组 线性无关. 注：任一向量组，不是线性相关就是线性无关.
A 0.
向量组 α1,α2 , ,αn 线性无关
A 0.
R( A) n R( A) n
向量组的线性相关性与齐次线性方程组 的解及矩阵的秩三者之间的联系.
设 n 个n 维向量 α1,α2 , ,αn ,
它所构成的方阵为 A = (α1,α2 , ,αn ),
向量组 α1,α2 , ,αn 线性相关（线性无关）
定理
设向量组α1,α2 , ,αn构成的矩阵为A (α1,α2 ,
则向量组线性相关的充要条件是 R(A) n; 向量组线性无关的充要条件是 R(A) n.
,αn ),
证明 由定义，向量组线性相关，即存在不全为零的
数 x1, x2 , , xn , 使得 x1α1 x2α2 xnαn = 0, 即方程 组 Ax 0有非零解，当且仅当R(A) n;
线性代数-向量组的线性相关性-文档资料
[1,2,1], [2,4,0]线性无关。
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21
性质 3 含有零向量的向量组一定线性相关。
证明： 设1,2 ,,m 是向量组， i 0 (i {1,2,, m})
则： 01 02 0i1 1i 0i1 m 0
]
3
1
,
2
,
线性无关.
3
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17
三、有关向量组线性相关性的若干性质
性质 1
只含一个向量的向量组线性相关的充分必要条 件是它为零向量，
即只含一个向量的向量组线性无关的充分必要 条件是它为非零向量。
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18
性质 2
仅含两个向量的向量组线性相关的 充分必要条件是其对应分量成比例。
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5
【例 1】设 1 2 3 0T ，1 1 2 1 0T ， 2 3 0 1 1T 。问 能否由1,2线性表示？
1 3 1
解：设
x11
x22，则 x1
2
1
x2
0 1
2 ，即 3
0
1
0
1 3
1
2
1
0 1
x1 x2
2
，此方程组无解，所以
3
不能由1 , 2
19
证明：
设 [a1,a2 ,,an ], [b1,b2 ,,bn ]，则
, 线性相关
存在不全为零的常数k1, k2，使k1 k2 0
k1ai k2bi 0,i 1,2,,n，（不妨设k1 0）
ai
k2 k1
bi
,i
1,2 , , n
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20
例1
[1,2,0], [2,4,0]线性相关；
线性代数 向量组的线性相关性
分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使,02211=+++s s k k k αααΛ (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s Λ线性相关, 而向量组s ααα,,,21Λ线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21Λ线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββαααΛΛ向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使,02211=+e e λλ也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ 即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 (E01) n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21ΛΛΛΛ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,,Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛ 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例 4 (E02) 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩，利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见，,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2） 因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 (E03) 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 (1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α; (2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
线性代数42-向量组的线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如 矩 a 1 A 阵 a 2(ai)jm n有 a j n个 m 维 a n 列向量
a11 a12 a1j a1n
A
a21
a22 a2j a2n
am1 am2 amj amn
向量 a 1,a 2 ,组 ,a n 称为 A 的 矩列 阵 .向
b j k 1 j1 k 2 j2 k m m j
k1 j
（ 1 , 2 ,
, m
)
k2 j
,
kmj
从而
k11 k12
（ b1,b2,,bs) （1,2,,m)
k21
k22
km1 km2
k1s k2s kms
矩阵 Kms (kij)称为这一线性 数表 矩.示 阵的
1T 2T mT
a11
a21
am1
a12 a22 am2
a1s a2s
12TT
a ms sT
设矩阵A经初等行变换变 B，成则B的每个行 向量都是 A的行向量组的线性，组即合B的行向量 组能由A的行向量组线性.表由示初等变换可逆性 可知，A的行向量组能B的 由行向量组线性表示 于是A的行向量组B与 的行向量组等. 价
1 k k 1 2 2 k k 1 3 3 k k m 1 m .
即 1 能由其余向量线性表示.
证毕.
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个是方其程余方程的线性组 合时，这个方程就余是的多，这时称方程各组（ 个方程）是线性相；关当的方程组中没有方多余 程，就称该方程组个（方各程）线性无关线（或 性独立. ）
线性代数--向量组线性相关性
第四章 向量组的线性相关性§4.1 向量及其运算1．向量：个数构成的有序数组, 记作n n a a a ,,,21L ),,,(21n a a a L =α, 称为维行向量．n –– 称为向量i a α的第i 个分量R ∈i a –– 称α为实向量（下面主要讨论实向量） 零向量 )0,,0,0(L =θ；负向量 ),,,()(21n a a a −−−=−L α 2．线性运算：),,,(21n a a a L =α, ),,,(21n b b b L =β相等：若, 称),,2,1(n i b a i i L ==βα=．加法：=+βα),,,(2211n n b a b a b a +++L数乘：),,,(21n ka ka ka k L =α减法：=−βα=−+)(βα),,,(2211n n b a b a b a −−−L 3．算律：),,,(21n a a a L =α,),,,(21n b b b L =β,),,,(21n c c c L =γ(1) αββα+=+ (5) αα=1(2) )()(γβαγβα++=++ (6) αα)()(l k l k =(3) αθα=+ (7) βαβαk k k +=+)((4) θαα=−+)( (8) αααl k l k +=+)(4．列向量：个数构成的有序数组, 记作, n n a a a ,,,21L ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a M 21α或者, 称为维列向量．T 21),,,(n a a a L =αn 零向量： 负向量： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000M θ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−n a a a M 21)(α 5．内积：设实向量),,,(21n a a a L =α, ),,,(21n b b b L =β, 称 实数n n b a b a b a +++=L 2211],[βα为α与β的内积． 算律：),,,(21n a a a L =α,),,,(21n b b b L =β,),,,(21n c c c L =γ(1) ],[],[αββα=(2) ],[],[βαβαk k = （为常数）k (3) ],[],[],[γβγαγβα+=+(4) θα≠时, 0],[>αα；θα=时, 0],[=αα． (5)],[],[],[2ββααβα⋅≤证(5) R ∈∀t , 由0],[≥++βαβαt t 可得0],[],[2],[2≥++t t βββααα ⇒≤0Δ0],[],[4],[42≤⋅−ββααβα],[],[],[2ββααβα⋅≤⇒6．范数：设实向量α, 称实数],[ααα=为α的范数．性质：(1) θα≠时, 0>α；θα=时, 0=α．(2) αα⋅=k k )R (∈∀k(3) βαβα+≤+(4) βαβα−≤−证(3) ],[],[2],[],[2βββαααβαβαβα++=++=+()2222βαββαα+=++≤7．夹角：设实向量θα≠,θβ≠, 称 βαβαϕ],[arccos= )π0(≤≤ϕ为α与β之间的夹角． 正交：若0],[=βα, 称α与β正交, 记作βα⊥．(1) θα≠,θβ≠时, βα⊥2π=⇔ϕ； (2) θα=或θβ=时, βα⊥有意义, 而ϕ无意义．单位化：若θα≠, 称ααα10=为与α同方向的单位向量．§4.2 向量组的线性相关性1．线性组合：对n 维向量α及m αα,,1L , 若有数组使m k k ,,1L 得m m k k ααα++=L 11, 称α为m αα,,1L 的线性组合,或称α可由m αα,,1L 线性表示．例1 , , , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1011β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1112β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1133β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1354β 判断4β可否由321,,βββ线性表示?解 设3322114ββββk k k ++=，比较两端的对应分量可得, 求得一组解为．故 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−321111110311k k k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=135⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡120321k k k 3214120ββββ++=, 即4β可由321,,βββ线性表示．[注] 取另一组解时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡032321k k k 3214032ββββ++=． 2．线性相关：对n 维向量组m αα,,1L , 若有数组不全m k k ,,1L 为0, 使得 θαα=++m m k k L 11, 则称向量组m αα,,1L 线性相关；否则，称为线性无关．线性无关：对维向量组n m αα,,1L , 仅当数组全m k k ,,1L 为0时, 才有 θαα=++m m k k L 11, 称向量组m αα,,1L 线性无关；否则，称为线性相关．[注] 对于单个向量α：若θα=, 则α线性相关；若θα≠, 则α线性无关．例2 判断例1中向量组4321,,,ββββ的线性相关性． 解 设θββββ=+++44332211k k k k , 比较对应分量可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−0001111311053114321k k k k 即0=Ax ．因为未知量的个数是4, 而4rank <A , 所以0=Ax 有非零解, 由定义知4321,,,ββββ线性相关．例3 已知向量组321,,ααα线性无关, 证明向量组211ααβ+=, 322ααβ+=, 133ααβ+= 线性无关．证 设 θβββ=++332211k k k , 则有θααα=+++++332221131)()()(k k k k k k 因为321,,ααα线性无关, 所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k , 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110011101321k k k 系数行列式 02110011101≠=, 该齐次方程组只有零解．故321,,βββ线性无关．例4 判断向量组 )0,,0,0,1(1L =e , )0,,0,1,0(2L =e , … ,)1,0,,0,0(L =n e 的线性相关性．解 设 θ=+++n n e k e k e k L 2211, 则有⇒=θ),,,(21n k k k L 只有0,,0,021===n k k k L 故线性无关．n e e e ,,,21L 例5 设向量组m ααα,,,21L 两两正交且非零, 证明该向量组线性无关．证 设 θααα=+++m m k k k L 2211, 两端与i α作内积可得 ],[],[],[],[11i i m m i i i i k k k αθαααααα=++++L L 当j i ≠时, 0],[=j i αα, 于是有⇒=0],[i i i k αα只有0=i k )(θα≠i Q上式对于m i ,,2,1L =都成立, 故m ααα,,,21L 线性无关．3．判定定理定理1 向量组)2(,,,21≥m m αααL 线性相关⇔其中至少有一个向量可由其余1−m 个向量线性表示．证 必要性．已知m ααα,,,21L 线性相关, 则存在m k k k ,,,21L 不全为零, 使得 θααα=+++m m k k k L 2211．不妨 设, 则有 01≠k m m k k k k ααα)()(12121−++−=L ． 充分性．不妨设m m k k ααα++=L 221, 则有θααα=+++−m m k k L 221)1(因为不全为零, 所以m k k ,,,)1(2L −m ααα,,,21L 线性相关．定理2 若向量组m ααα,,,21L 线性无关, βααα,,,,21m L 线性相关, 则β可由m ααα,,,21L 线性表示, 且表示式唯一．证 因为βαα,,,1m L 线性相关, 所以存在数组不k k k m ,,,1L 全为零, 使得 θβαα=+++k k k m m L 11．若, 则 0=k θαα=++m m k k L 11, 从而有0,,01==m k k L 矛盾! 故, 从而有 0≠k m m kk k k ααβ)()(11−++−=L ．下面证明表示式唯一：若 m m k k ααβ++=L 11, m m l l ααβ++=L 11 则有 θαα=−++−m m m l k l k )()(111L因为m ααα,,,21L 线性无关, 所以0,,011=−=−m m l k l k L ⇒m m l k l k ==,,11L 即β的表示式唯一．定理3 r αα,,1L 线性相关⇒)(,,,,,11r m m r r >+ααααL L线性相关．证 因为r αα,,1L 线性相关, 所以存在数组不全为r k k ,,1L 零, 使得 θαα=++r r k k L 11, 即θαααα=++++++m r r r k k 00111L L数组不全为零, 故0,,0,,,1L L r k k m r r αααα,,,,,11L L +线性相关．推论1 含零向量的向量组线性相关．推论2 向量组线性无关⇒任意的部分组线性无关．课后作业：习题四 1, 2, 3, 4, 5定理4 设m i a a a in i i i ,,2,1,),,,(21L L ==α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m A αααM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a L M M M L L 212222111211 (1) m ααα,,,21L 线性相关m A <⇔rank ；(2) m ααα,,,21L 线性无关m A =⇔rank ．证 设 θααα=+++m m k k k L 2211比较等式两端向量的对应分量可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00021212221212111M M L M M M L L m mn n n m m k k k a a a a a a a a a 即 0T =x A ．由定理3.5可得：m ααα,,,21L 线性相关0T =⇔x A 有非零解m A <⇔T rank m A <⇔rankn m 推论1 在定理4中, 当=时, 有(1) n ααα,,,21L 线性相关0det =⇔A ；(2) n ααα,,,21L 线性无关0det ≠⇔A ．n m 推论2 在定理4中, 当<时, 有(1) m ααα,,,21L 线性相关A ⇔中所有的阶子式；m 0=m D (2) m ααα,,,21L 线性无关⇔A 中至少有一个阶子式m 0≠m D ．推论3 在定理4中, 当时, 必有n m >m ααα,,,21L 线性相关．因为m n A <≤rank , 由定理4(1)即得．推论4 向量组：1T m i a a a ir i i i ,,2,1,),,,(21L L ==α向量组：2T m i a a a a in r i ir i i ,,2,1,),,,,,(1,1L L L ==+β若线性无关, 则线性无关．1T 2T 证 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×m r m A αααM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=r m m m r r a a a a a a a a a L M M M L L 212222111211 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×m n m B βββM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++n m r m r m m n r r n r r a a a a a a a a a a a a L L M M M M L L L L 1,121,222111,1111 线性无关1T m A =⇒rank是A B 的子矩阵m A B =≥⇒rank rank⇒=⇒m B rank 2T 线性无关定理5 划分, 则有[]n m n m A βββαααL M 2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×(1) 中某个A ⇒≠0r D A 中“所在的”个行向量线性无关；r D r中“所在的”r 个列向量线性无关．A r D (2) 中所有中任意的r 个行向量线性相关； A A D r ⇒=0 中任意的个列向量线性相关．A r 证 只证“行的情形”：(1) 设位于的行, 作矩阵, 则有r D A r i i ,,1L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=×r i i nr B ααM 1 r i i r B αα,,rank 1L ⇒=线性无关．(2) 任取中个行, 设为行, 作矩阵,A r r i i ,,1L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=×r i i nr B ααM 1 则有r i i r B αα,,rank 1L ⇒<线性相关．[注] 称m ααα,,,21L 为的行向量组A 称n βββ,,,21L 为的列向量组A §4.3 向量组的秩与最大无关组1．向量组的秩：设向量组为T , 若(1) 在T 中有r 个向量r ααα,,,21L 线性无关；(2) 在T 中任意个向量线性相关．1+r （如果有个向量的话）1+r 称r ααα,,,21L 为向量组T 的一个最大线性无关组,称为向量组T 的秩, 记作 秩r r T =)(．[注](1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0．(2) 秩r T =)(时, T 中任意个线性无关的向量都是T 的r 一个最大无关组．例如, , , , 的秩为2． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=011α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=102α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=113α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=224α 21,αα线性无关21,αα⇒是一个最大无关组31,αα线性无关31,αα⇒是一个最大无关组定理6 设, 则1rank ≥=×r A n m (1) 的行向量组（列向量组）的秩为；A r (2) 中某个中所在的r 个行向量（列向量）A A D r ⇒≠0r D 是的行向量组（列向量组）的最大无关组．A 证 只证“行的情形”：A r A ⇒=rank 中某个0≠r D , 而中所有 A 01=+r D 定理5中所在的r 个行向量线性无关A ⇒r D 中任意的A 1+r 个行向量线性相关由定义：的行向量组的秩为, 且中所在的r 个行向A r A r D 是的行向量组的最大无关组．A 例6 向量组T ：, , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=2011β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0232β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=1123β, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5324β求T 的一个最大无关组．解 构造矩阵[]4321ββββ=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=510231202231 求得⇒=2rank A 秩2)(=T矩阵中位于1,2行1,2列的二阶子式A 022031≠= 故21,ββ是T 的一个最大无关组．[注] T 为行向量组时, 可以按行构造矩阵．A 定理7n m n m B A ××,(1) 若, 则“的列”线性相关（线性无关）B A 行→A k c c ,,1L 的充要条件是“B 的列”线性相关（线性无关）； k c c ,,1L (2) 若, 则“的行”线性相关（线性无关）B A 列→A k r r ,,1L 的充要条件是“B 的行”线性相关（线性无关）． k r r ,,1L 证 (1) 划分[]n n m A αααL 21=×, []n n m B βββL 21=× 由可得 B A 行→[][]k k c c c c ββααL L 11行→ 故方程组 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0011M M L k c c x x k αα 与方程组 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0011M M L k c c x x k ββ 同解．于是有 k c c αα,,1L 线性相关011=+ 存在不全为0, 使得⇔k x x ,,1L +k c k c x x αL α 存在不全为0, 使得⇔k x x ,,1L 011=++k c k c x x ββL ⇔k c c ββ,,1L 线性相关同理可证(2)．[注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵A B ,当阶梯形矩阵B 的秩为时, r B 的非零行中第一个非零元素所在的个列向量是线性无关的．r 例如：求例6中向量组T 的一个最大无关组．构造矩阵[]4321ββββ=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=510231202231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→936031202231行B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000031202231行 ⇒==2rank rank B A 秩2)(=TB 的1,2列线性无关的1,2列线性无关A ⇒21,ββ⇒是T 的一个最大无关组 例7 向量组T ：,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=31111α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=15312α,, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−=21233c α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=c 10624α 求向量组T 的一个最大无关组．解 对矩阵[]4321αααα=A 进行初等行变换可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−−=c c A 2131015162312311⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−−−−→67401246041202311c c 行 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−→2900070041202311c c 行B c =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−→2000070041202311行 (1) ：2≠c 4rank rank ==B AB 的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关 A ⇒ 故4321,,,αααα是T 的一个最大无关组；(2) ：2=c 3rank rank ==B AB 的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关 A ⇒ 故321,,ααα是T 的一个最大无关组．[注] 当m ααα,,,21L 为行向量组时, 为列向量组． T T 2T 1,,,mαααL 若矩阵[]T T 2T 1m A αααL = 的列向量组的一个最大无关 组为, 则是行向量组T T ,,1r c c ααL r c c αα,,1L m ααα,,,21L 的 一个最大无关组．课后作业：习题四 7,8 （理解、记忆定理1～7）。
向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
线性代数：3.2 向量的线性相关性
,
是线性无关的.
n
例：判断向量组
1 1, a, a2, a3 ,2 1, b, b2, b3 , 4 1, c, c2, c3 ,4 1, d, d 2, d 3
线性相关还是线性无关。（a, b, c, d各不相同）
考虑齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 ax1 bx2 cx3 dx4 0 a2 x1 b2 x2 c2 x3 d 2 x4 0 a3 x1 b3 x2 c3 x3 d 3 x4 0 其系数行列式是范德蒙德行列式
即齐次线性方程组有非零解，
所以向量 1,2 ,3 线性相关。
而向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
例： 已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关,
1 1 2, 2 2 3,3 3 1
试证 : 1 , 2 , 3线性无关.
证明: 设 k11 k2 2 k3 3 0 k1(1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 1 ) 0
设 k11 k22 l11 l22
两式相减得
kmm lmm
（k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m 0
因为1,2 ,,m线性无关，
所以系数k1 l1 0, k2 l2 0,, km lm 0, 于是有ki li , i 1, 2, , m.
k11 k22 kmm 0
不妨设ki 0，于是
i
k1 ki
1
ki 1 ki
i 1
ki 1 ki
i 1
即i可由其余m-1个向量线性表示。
km ki
m
（充分性）设i可由其余m 1个向量线性表示， 即i l11 li1 i1 li1 i1 lmm
于是l11 l i1 i1 (1) i l i1 i1 lm m 0
线性代数-向量组的线性相关性
下面举例说明定理的应用.
例１ n 维向量组
e1 = (1,0,,0)T ,e2 = (0,1,,0)T ,，en = (0,0,,1)T
称为n维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成 的矩阵 E = (e1, e2 ,, en )
是n阶单位矩阵. 由 E = 1 ≠ 0，知R(E) = n. 即R(E)等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此 向量组是线性无关的 .
亦即（ x1 + x3 )α1 + ( x1 + x2 )α 2 + ( x2 + x3 )α 3 = 0,
因α1，α 2，α 3线性无关，故有
x1 + x3 = 0, x1 + x2 = 0,
x2 + x3 = 0.
由于此方程组的系数行 列式 1 01 1 1 0 =2≠0 011
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，所以向量组 b1 ,b2 ,b3线性无关.
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
(1) 若向量组 A：α1,α2 ,,αm 线性相关,则 向量组 B :α1,,α m ,α m+1 也线性相关.反言之,若向
量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 .
证明 （1）记A = (a1,, am ), B = (a1,, am , am+1 )，有 R(B) ≤ R( A) + 1.若向量组A线性相关,则根据定理 2，有R( A) < m，从而R(B) ≤ R( A) + 1 < m + 1,因此, 根据定理 2知向量组 B线性相关 .
说明 结论（2）是对增加一个分量（ 即维数增加1 维）而言的，若增加多 个分量,结论也成立.
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解对矩阵 施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵 及 的秩，利用定理2即可得出结论.
易见， 故向量组 线性相关.向量组 线性无关.
例5判断下列向量组是否线性相关:
解对矩阵 施以初等行变换化为阶梯形矩阵:
秩 所以向量组 线性相关.
例6证明：若向量组 线性无关,则向量组 亦线性无关.
3.判断向量组
是否线性相关.
⑤两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线,三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.
二、线性相关性的判定
定理1向量组 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.
定理2设有列向量组 则向量组 线性相关的充要条件是:是矩阵 的秩小于向量的个数 .
推论1 个 维列向量组 线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵 的秩等于（小于）向量的个数 .
定理4若向量组 线性相关,而向量组 线性无关,则向量 可由 线性表示且表示法唯一.
定理5设有两向量组
向量组B能由向量组A线性表示,若 ,则向量组B线性相关.
推论5向量组B能由向量组A线性表示,若向量组B线性无关,则
推论6设向量组A与B可以相互线性表示:
注:①当且仅当 时，(1)式成立,向量组 线性无关;
②包含零向量的任何向量组是线性相关的;
③向量组只含有一个向量 时，则
（1） 的充分必要条件是 是线性无关的；
（2） 的充分必要条件是 是线性相关的；
④仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例.
第三节 向量组的线性相关性
分布图示
★线性相关与线性无关★例1★例2
★证明线性无关的一种方法
线性相关性的判定
★定理1★定理2
★例3★例4★例5★例6
★定理3★定理4
★定理5★例7
★内容小结★课堂练习
★习题3-3
内容要点
一、线性相关性概念
定义1给定向量组 如果存在不全为零的数 使
(1)
则称向量组 线性相关,否则称为线性无关.
证设有一组数 使
（1）
成立，整理得
由 线性无关，故
（2）
因为 故方程组（2）仅有零解.即只有 时（1）式才成立.
因而向量组 线性无关.
例7(E03)设向量组 线性相关,向量组 线性无关,证明
(1) 能由 线性表示;
(2) 不能由 线性表示.
证明（1）因 线性无关，故 线性无关，而 线性相关，从而 能由 线性表示；
不难验证 因此 是3个线性相关的3维向量.
例2设有二个2维向量: 如果他们线性相关,那么存在不全为零的数 使
也就是
即
于是 这同 不全为零的假定是矛盾的.因此 , 是线性无关的二个向量.
例3(E01) 维向量组
称为 维单位坐标向量组,讨论其线性相关性.
解 维单位坐标向量组构成的矩阵
是 阶单位矩阵.
由 知 即 等于向量组中向量的个数,故由推论2知此向量是线性无关的.
（2）用反证法.假设 能由 线性表示，而由（1）知 能由 线性表示，因此 能由 表示，这与 线性无关矛盾.证毕.
课堂练习
1.试证明:
(1)一个向量 线性相关的充要条件是 ;
(2)一个向量 线性无关的充分条件是 ;
(3)两个向量 线性相关的充要条件是 或者 （两式不一定同时成立）。
2.判断向量组
是否线性相关.
推论2 个 维列向量组 线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵 的行列式不等于（等于）零.
注:上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.
推论3当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时,此向量组必线性相关.
定理3如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.
推论4线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.