2-2 向量组的线性相关性
《线性代数》教学课件—第4章 向量线性相关 第二节 向量组的线性相关性
9 6
,
有 3 = 21 - 2 , 4 = 1 + 22 , 所以向量组 1,
2 , 3 , 4 线性相关, 其几何意义为: 该向量组所
对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的
四个平面交于同一条直线. 如图 4.3 .
2x+3y+z=4 3x+8y-2z=13 x-2y+4z=-5 4x-y+9z=-6
x
O M1
图 4.2
M3 a3 RM3 (0,2,2) ,
3y
向量组 a1 , a2 , a3
线性相关,因为
2a1 - a2 - a3 = 0.
(3) 4 维向量组线性相关的几何意义 设有 4 维向量组
2
1
3
4
1T
3
1 4
, 2T
2
45
,
T 3
8
132
, 4T
1
在直线 y =2x 上取三点M1, M2 , M3 , 作三个向量:
6y
5
M3(3,6)
4 3
M2(2,4)
2 1
M1(1,2)
O 123456 x
图 4.1
a1 OM1 (1,2) ,
a2 OM2 (2,4) ,
a3 OM3 (3,6) ,
显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.
证明 向量证组明A 线向性量相组关A, 线等性价相于关齐,次等线价性于齐次线
方程组 方程组 x1a1 + x2a2 x+1a··1·+ x2maa2m+=··0·,+即xmAaxm = 0, 即 Ax = 0
向量组的线性相关性
证明
（略）
(1)
1 , 2 , n线性无关
1 1
齐次线性方程组 x 只有零解 r ( , , ) n
1 2 n
x2 2 xn n 0
a11
当m=n时
a12 a1n
a21 a22 a2 n 0 an1 an 2 ann
思考题
试证明 : (1) 一个向量 线性相关的充要条件是 0； ( 2) 一个向量 线性无关的充要条件是 0； ( 3) 两个向量 ， 线性相关的充要条件是
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 , y , 使 x
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关性的概念
定义4
给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不 k1 1 k2 2 km m 0
全为零的数k1 , k2 ,, km 使
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
1 2 3 4 2 3
这与a , a , a 线性无关矛盾，故结论成立.
2 3 4
四、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
大学课程-2.2-向量组的线性相关性
任务:
推广
(n 维列向量之集合)
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a11x1 a12 x2 a1n xn b1
引例2.
a 21x1 a 22 x2 a 2n xn b2
(1)
am1x1 am2 x2 amn xn bm
(1)
2) e1 (1, 0, 0)T , e2 (0, 1, 0)T , e3 (0, 0, 1)T
解. 1) 解法1. 设 k1 1 k 2 2 k33 0, 即
2 4 2 0
k1
31
k2
2 5
k3 源自41 0 0
2k1 4k2 2k3 0 k1 2k2 k3 0 3k1 5k2 4k3 0
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2k1 4k2 2k3 0 k1 2k2 k3 0 3k1 5k2 4k3 0
a11 k1 a12k2 a1sks 0
a21
k1
a22k2
a2 s k s
0
an1 k1 an2k2 ansks 0
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利用定义10’易知:
① 1, ,s线性相关
齐次线性方程组 k1 1
kss 0 有非零解。
a11 a12
R( A)
s,
其中A为系数矩阵：A
a21
a22
②1, ,s线性无关
an1 an2
a1s
a2s
.
ans
向量组的线性相关性
T 1 T 2 T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
3
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 1 , 2 ,, m , 组 构成一个n m矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
b12 b22 ks2
b1n b2 n k sn
19
同时，C的行向量组能由 的行向量组线性表示 A B , 为这一表示的系数矩阵 ：
1T a11 T 2 a 21 T a m m1
矩阵K m s ( kij )称为这一线性表示的系数矩阵.
此时有 B
18
AK
若C mn Ams Bsn，则矩阵C的列向量组能由 矩阵A的列向量组线性表示， 为这一表示的系数 B 矩阵：
b11 b21 （ c1 , c 2 ,, c n ) 1 , 2 ,, s ) （ b s1
(3) R( A ) m R( A ) m） （ ，即矩阵 A的秩小于 （等于）向量组所含向量的个数 m
1 0 0 0 10
2 1 1 3 r3 r2 1 3 5 r4 3r2 3 5 11 0 3
2 r 3r 3 1 1 1 3 r r 2 3 0 1 1 r 2r 3 4 0 2 2 0 3
1 0 0 0
1 0 0 0
2 r3 ( 1 ) 1 1 3 2 0 2 2 0 2 2 0 3
向量组等价、线性相关性
方程组线性组合 方程组有解 方程组由方程组表 示方程组等价（同解）
R (A ) R (B ) R (A ,B )
n
方程组 A: ajixi bj(j1,2, m), 有解 i1 常数项列向量可由未知数的系数列向量组线性表示
增广矩阵与系数矩阵的列向量组等价
两个方程组等价（同解）
P80.19、证明
b R(A)1存在非零列向量a 及非零行向量 T ，
使得 A abT .
证
" "
R(A)1A
1
1 O
O O
可逆矩阵P,Q,
1
A PO1
其中
1
O
1
O O
0 0
1
0
0
A
P
1、 一 个 向 量 可 由 向 量 组 A : 1 ,2 ,,m 线 性 表 示 ，
存 在 数 k 1 ,k 2 ， ,k m ,使 得 k 11 k 22 k mm
方 程 组 x 1 1 x 2 2 x m m 有 解
R(A)R(B).其 A 中 (a 1 ,a 2 , ,a m )B,A
1
7
,
其标准型
2
1
F
0
0
0 1 0
0
0
,
0
R(A) 2 R(F) 2
但
R(A,F)3
A
R
F
3
所以 A F , 但其列、行组都不等价
反之 设 有 n 维 向 量 组 A : 1 ,2 , m 及 B : 1 ,2 , l ,
3-2-2向量组的线性相关性的判定
即, 表示式是唯一的.
设
a11 a21 as1 a12 a22 as 2 1 , 2 , , s a1n a2 n asn
a s1 a11 a21 a a a 12 22 s2 1 , 2 , , s asn a1n a2 n b b b 1 2 s
证明 由已知, 存在不全为零的数k1,k2 , …,kr, l ,使
k11+k22+ …+krr+l =0 若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β α1 α2 αr
k1 l k2 l kr l
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr 则有: 所以: (k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=k+ …+kss=0, 故 k1=k2= …=kr=0 所以1, 2,…, s 线性无关.
不妨设k10, 则有: α1
k2 k1
α2 α3 αs
k3 k1 ks k1
充分性:不妨设1可由2, …,s线性表示, 即存在一组 数k2,,…,ks使: 1=k22+ …+kss , 于是有 1+k22+ …+kss =0
第二章 第二讲 向量组的线性相关性(2013-3-21)
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
向量组的线性相关性与线性无关性
向量组的线性相关性与线性无关性在线性代数中，向量组是指由一组向量所组成的集合。
而向量组的线性相关性与线性无关性则是研究向量组内向量之间的关系，是线性代数中的重要概念之一。
一、线性相关性线性相关性是指存在一组不全为零的实数或复数使得向量组中的向量可以通过线性组合得到零向量。
换句话说，如果存在不全为零的实数或复数c1，c2，...，cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组v1，v2，...，vn是线性相关的。
举个例子来说，考虑一个二维向量组{(1, 2), (2, 4)}，我们可以发现这两个向量是线性相关的，因为存在一个实数c，使得c(1, 2) + (2, 4) = (0, 0)。
实际上，这两个向量是共线的，它们的方向相同，只是长度不同。
二、线性无关性线性无关性是指向量组中的任意向量不能由其他向量线性表示出来。
换句话说，如果对于向量组v1，v2，...，vn中的任意一个向量vi，都不存在一组实数或复数c1，c2，...，cn（其中ci≠0），使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = vi，则称向量组v1，v2，...，vn是线性无关的。
继续以上面的例子来说，考虑一个三维向量组{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}，我们可以发现这三个向量是线性相关的。
实际上，第三个向量可以由前两个向量线性表示出来：(3, 6) = 3(1, 2) + 0(2, 4)。
因此，这三个向量是线性相关的。
三、线性相关性与线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。
如果一个向量组是线性相关的，那么它就不是线性无关的；反之亦然。
换句话说，线性相关性与线性无关性是两个互斥的概念。
在实际应用中，我们经常需要判断一个向量组的线性相关性或线性无关性。
这对于解方程组、求解特征值等问题都有着重要的意义。
四、判断线性相关性与线性无关性的方法判断一个向量组的线性相关性或线性无关性有多种方法，其中最常用的方法是通过求解线性方程组来判断。
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２－２ 向量组的线性相关性一、线性组合、线性表出及其与线性方程组的关系例2.5［Ｐ８７ 不管］定义2.4［Ｐ８７ －６行至Ｐ８８ １行］ｎ维向量α１，α２，…，αｍ的一个线性组合，线性组合的系数；向量β可由向量组α１，α２，…，αｍ线性表出（线性表示），线性表出的系数。
例（补）设β＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３），αｉ＝（ａｉ１，ａｉ２，ａｉ３），ｉ＝１，２，３，那么β可由α１，α２，α３线性表出⇔向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝β有解α１ α２ α３⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322311323322221121331221111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 有解。
此时，线性方程组有唯一解⇔β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法唯一； 线性方程组有无穷多解⇔β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法不唯一。
例[结论]：向量组β1，β2，…，βｍ中每一个向量βi 均可由该向量组线性表出。
证明：βI ＝０β１＋…＋０βｉ－１＋１βｉ＋０βｉ＋１＋…＋０βｍ，ｉ＝１，２，…，ｍ。
作业：Ｐ１１２：１９（１）用定理做，（２）除用定理做外，还可用观察法做。
二、线性相关、线性无关及其与齐次线性方程组解的关系：对每一个向量组α１，α２，…，αｍ，总有０α１＋０α２＋…＋０αｍ＝０。
所有向量组的共性。
定义２．５：设α１，α２，…，αｍ是一组ｎ维向量，如果存在一组不全为零的常数ｋ１，ｋ２，，ｋｍ，使得ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０ （２．６） 则称向量组α１，α２，…，αｍ是线性相关的；否则，称为线性无关的。
即如果有 ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０成立，则必有ｋ１＝ｋ２＝…＝ｋｍ＝０，则称α１，α２，…，αｍ是线性无关的。
例［Ｐ８８：１１行－２３行］ 对于向量组ξ１＝（１，１，０），ξ２＝（１，２，０），ξ３＝（１，３，１） 令 ｘ１ξ１＋ｘ２ξ２＋ｘ３ξ３＝０，即 ⎪⎩⎪⎨⎧==++=++003203321321x x x x x x x ，解得：ｘ１＝ｘ２＝ｘ３＝０，所以ξ１，ξ２，ξ３线性无关。
例２．８［Ｐ９２］讨论向量组α１，α２，α３的线性关系：α１＝（１，－２，３，４），α２＝（－１，０，２，－２），α３＝（－１，－２，７，０）。
解：令 ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝０ （２．１１）即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=--=--024072302202132131321x x x x x x x x x x ， Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----024*********→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----4201050420111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--210210210111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000210101， 通解为：⎩⎨⎧-=-=32312x x x x （ｘ３为自由未知量）， 令ｘ３＝－１，得该齐次线性方程组的一个非零解：ｘ１＝１，ｘ２＝２，ｘ３＝－１。
于是有：α１＋２α２－α３＝０，所以α１，α２，α３线性相关。
定理：设αｉ＝（ａｉ１，ａｉ２，…，ａｉｎ），ｉ＝１，２，…ｍ，那么α１，α２，…，αｍ线性相关（线性无关）⇔齐次向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋…＋ｘｍαｍ＝０有非零解（只有零解）⇔对应齐次线性方程组有非零解（只有零解）： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111m mn n n m m m m x a x a x a x a x a x a x a x a x a 。
例２．９［Ｐ９４－９５ 了解］作业：Ｐ１１１：４（５）课内， ５读题， ７读题。
Ｐ１１３：３（２）课内Ｐ１１４：４（１）读题关于向量组线性相关性的常用结论：１、例２．６［Ｐ８９－９０］称以下ｎ个ｎ维向量（ｉ）εｉ＝（０，…，０，１，０，…，０），ｉ＝１，２，…，ｎ，为ｎ维单位向量组。
证明： ε１，ε２，…，εｎ线性无关，而且每一个ｎ维向量α＝（а１，а２，…，аｎ），有α＝а１ε１＋а２ε２＋…＋аｎεｎ。
证明：令 ｋ１ε１＋ｋ２ε２＋…＋ｋｎεｎ＝０，即ｋ１（1，0，…，0）＋ｋ２（0，1，0，…，0）＋…＋ｋｎ（0，…，0，1）＝０即（ｋ１，ｋ２，…，ｋｎ）＝（０，０，…，０），所以ｋ１＝ｋ２＝…＝ｋｎ＝０，ε１，ε２，…，εｎ线性无关。
α＝（а１，а２，…，аｎ）＝（а１，0，…，0）＋（0，а２，0，…，0）＋…＋（0，…，0，аｎ）＝ａ１（1，0，…，0）＋ａ２（0，1，0，…，0）＋…＋ａｎ（0，…，0，1）＝а１ε１＋а２ε２＋…＋аｎεｎ。
２、含零向量的向量组线性相关。
即，线性无关向量组不含零向量。
证明：设向量组α１，α２，…，αｍ中，α１＝０，则有不全为零的数１，０，…，０使１·α１＋０·α２＋…＋０·αｍ＝０，所以α１，α２，…，αｍ线性相关。
３、一个向量α线性相关⇔α＝０；一个向量α线性无关⇔α≠０。
证明：必要性：如果α线性相关，则存在常数ｋ≠０，使ｋα＝０，故⇔α＝０。
充分性：如果⇔α＝０，则有１·α＝０，所以α线性相关。
４、定理２．１［Ｐ９０书］逆否定理：向量组α１，α２，…，αｍ（ｍ≥２）线性无关⇔这ｍ个向量中的每一个向量都不能由其余的ｍ－１个向量线性表出。
证明：［Ｐ９０：１４行至－４行掌握］思考题：［Ｐ９７］（１），（２）。
作业：［课内讲］Ｐ１１１：３（４）４（１）、（２）Ｐ１１３：３（１）５、两个ｎ维向量线性相关⇔它们对应分量成比例；即：两个ｎ维向量线性无关⇔它们对应分量不成比例。
证明：［Ｐ９０：－３行至Ｐ９１：５行书］必要性：设α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ），β＝（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）线性相关，则其中一个向量可由另一个线性表出，不妨设α＝ｋβ，即（ａ１，ａ２，…，ａｎ）＝ｋ（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）＝（ｋｂ１，ｋｂ２，…，ｋｂｎ），即α与β对应分量成比例。
充分性：如果α＝（ａ１，ａ２，…，ａｎ）与β＝（ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ）对应分量成比例，即（ａ１，ａ２，…，ａｎ）＝（ｋｂ１，ｋｂ２，…，ｋｂｎ），即α＝ｋβ，所以α，β线性相关。
作用：判断两个向量构成的向量组线性性质的简便方法。
作业：Ｐ１１１：４（３）线性相关、线性无关的几何解释［Ｐ９１：－１５行至Ｐ９２图２．４了解］６、例２．１１［Ｐ９５：１４－１６行改变说法］设向量组α１，α２，…，αｍ线性无关，添加向量β后，α１，α２，…，αｍ，β线性相关，则β可由α１，α２，…，αｍ线性表出，而且表示法唯一。
证明：［Ｐ９５：１７行－Ｐ９６：８行 掌握］作业：Ｐ１１１： ４（４） １１Ｐ１１４： ５（２）７、定理２．２［Ｐ９６］如果一个向量组的某个部份向量组线性相关，那么该向量组线性相关；即：如果一个向量组线性无关，那么它的每一个部份向量组都线性无关。
证明：［Ｐ９６：１３－１８行］作业：Ｐ１１１： ３（３） ９Ｐ１１３：１（２）Ｐ１１４：３（４）Ｐ２１９：２（４）８、定理２．３：［Ｐ９６：－８行至－７行］推论：［Ｐ９７：－９行至－７行］线性无关向量组的“延长”向量组也线性无关。
即：线性相关向量组的“缩短”向量组也线性相关。
（不证明，会用）例： （ａ１ １ ａ２ ０ ａ３ ａ４）（ｂ１ ０ ｂ２ １ ｂ３ ｂ４）例： （１ ２ ３ ４ ５ ６ ）（２ ４ ６ ８ １０ １２）对比性质７和性质８，不要混淆。
作业：Ｐ１１１： ３（２）９、Ｐ９８ 思考题（３）： 即Ｐ１１７：－８行至－７行 推论 设Ａ是ｎ阶方阵，那么Ａ的行（列）向量组线性无关⇔A ≠０；Ａ的行（列）向量组线性相关⇔A ＝０。
证明：设 β１ β２ … βｎＡ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211nααα 21 令ｘ１β１＋ｘ２β２＋ …＋ｘｎβｎ＝０ ①①对应的ｎ×ｎ齐次线性方程组的系数矩阵为Ａ，于是β１ β２ … βｎ线性无关⇔①只有零解⇔A ≠０。
令n n y y y ααα+++ 2211＝０ ②②对应的ｎ×ｎ齐次线性方程组的系数矩阵为ＡＴ，于是α１，α２，…，αｎ线性无关⇔②只有零解⇔T A ≠０⇔A ≠０。
例：证明：α１＝（１，２，３），α２＝（４，５，６），α３＝（０，０，２）线性无关。
证明：用α１，α２，α３为行向量，得方阵Ａ，A ＝200654321＝２5421＝－６≠０，所以α１，α２，α３线性无关。
作业：Ｐ１１１： ８。
１０（了解）例２．９［Ｐ９５：７－１１行］主对角线上元素全非零的上三角矩阵的行（列）向量组线性无关。
证明：设Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a a a a a 00022211211，其中ａｉｉ≠０，ｉ＝１，２，…，ｎ。
A ＝nn a a a 2211≠０，据性质９，得Ａ的行（列）向量组线性无关。
１１（了解）例２．１０［Ｐ９５］设Ａ是有ｒ个非零行的阶梯形矩阵，则Ａ的ｒ个非零行线性无关；含有首非零元的ｒ个列也线性无关。
证明：设首非零元所在列为ｊ１，ｊ２，…，ｊｒ。
取Ａ的前ｒ行和ｊ１，ｊ２，…，ｊｒ列，得一个ｒ阶子矩阵如下：Ａｒ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡r r r rj j j j j j a a a a a a 00022111221，其中r rj j j a a a ,,,2121 均不等于零。
据例２．９知，Ａｒ的行（列）向量组线性无关，于是作为它们的延长向量组，Ａ的ｒ个非零行线性无关；含有首非零元的ｒ个列也线性无关。
例２．７［Ｐ９２］设向量组α１，α２，α３线性无关，又β１＝α１－α２，β２＝２α１＋α２＋３α３，β３＝３α１＋α２＋２α３ 讨论向量组β１，β２，β３的线性相关性。
解：令 ｘ１β１＋ｘ２β２＋ｘ３β３＝０，即ｘ１（α１－α２）＋ｘ２（２α１＋α２＋３α３）＋ｘ３（３α１＋α２＋２α３）＝０ 即（ｘ１＋２ｘ２＋３ｘ３）α１＋（－ｘ１＋ｘ２＋ｘ３）α２＋（３ｘ２＋２ｘ３）α３＝０ 已知α１，α２，α３线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++023003232321321x x x x x x x x ，因为230111321-＝230430321＝200430321-－６≠０，所以ｘ１＝ｘ２＝ｘ３＝０，所以β１，β２，β３线性无关。
作业：Ｐ１１１： ６（１）、（２）、（３）；Ｐ１１４： ５（１）。