3_2_2向量组线性相关性的判定案例

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线性代数课件--第二节向量组的线性相关性-讲义

1(1 ,2 ,3 ,4 ),2(2 ,2 ,0 ,0 ),3(3 ,0 ,3 ,0 ),4(4 ,0 ,0 ,4 )．
解考虑向量方程 k 1 1 k 22 k 3 3 k 44 0 ，
比较两端分量，得齐次线性方程组
k1 2k2 3k3 4k4 0,
由定理 5 知， m 可由 2 ,,m 1 线性表示，
即存在数 k2, ,km 1 ，使得
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定理 1 m个 n维向量 i (ai1,ai2, ,ain), i 1,2,,m
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 a21x2 am1xm 0,
a12x1
a22x2 am2xm
0,
a1nx1 a2nx2 amnxm 0
(3.2)
有非零解．
精品
线性代数课件--第二节向量组的线性相关性
特例： (1) 包含零向量的向量组必线性相关．
(2 ) 单独一个向量线性相关的充分必要条件是 0．
(3) 两个向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量
充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余m1个向量
线性表示．
证明
推论1 m个n维向量1,2, ,m（m2）线性无关的
充分必要条件是其中任一向量都不能由其余m1个向量线
性表示．推论 2 任何 n 1 个 n 维向量必线性相关．证明从而向量个数大于向3

3-2向量的线性相关性-精选文档

任意n维向量可由n维基则本单位向量组“线性表 a a a 1 1 22 nn示”.
( a , a , , a ), 1 2 n
T k ( ka , ka , , ka ) 1 2 n .

1 12 2
T n n
可以根据向量加法定义向量与的差: ( ) , 即
(a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )T .
这两种运算满足以下八条运算规律: 设
a1j b 1 b2 a2j j 1 ,n ; 若令 j , , 2, b a m mj
x11 x2 2 xn n .
——方程组的向量形式
向量与矩阵
向量加法、数乘两种运算,称为向量的线性运算.
向对一般的线性方程组：量 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 与 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 方程 am1 x1 am2 x2 amn xn bm 组
k k ... k
11 22 ss
例2 线性表示、线性组合的例： 0 0 (1) o0 1 2 s 零向量是任意向量组的 “线性组合”. (2)
1 0 0 1 1 2 s 向量组中任意向量可以
(3) 若
a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 A 设 a m 1 a m 2 a x 1 n 1 a x 2 n , 2 , x a x m n n b 1 b 2 . b m

向量组线性相关性判定

安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院〔系〕数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何奉献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.作者签名：日期：导师签名：日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法〔安阳师范学院数学与统计学院河南安阳 455002〕摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。

所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的假设干方法.关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法.2.1 n 维向量的定义〔一维、二维、三维向量，推广到n 维向量〕定义： n 个有次序的数12,a ,,a n a 所组成的数组12(a ,a ,)n a 或12(a ,a ,)T n a 分别称为n n个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律.全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间〔或线性空间〕.例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间.有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ⨯矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组112212122212(a )(a )(a )n n m m mn a a a a a a 111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎦⎣111122122212,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎛⎛⎫⎫⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎭⎭⎭⎝⎝⎝3.2.1 线性组合与线性表示设12:a ,a ,,a m A 是一向量组, 表达式1122m m k a k a k a +++称为向量组A 的一个线性组合, 其中12,k ,,k m k 是一组实数, 称为这个线性组合的系数.如果向量b 是向量组A 的线性组合1122m m b a a a λλλ=+++则称向量b 能由向量组A线性表示.例如，任一n 维向量，都可以由n 维基向量线性表示.例1. 设向量组)()()()(12341,0,1,b 1,1,1,b 3,1,1,b 5,3,1,T T T Tb =-==-=试判断4b 是否可由123,b ,b b 线性表示？如果可以的话，求出一个线性表示式.解设一组数123,k ,k ,k 使4112233,b k b k b k b =++即有())(123231235,3,13,k ,k .TTk k k k k k =+++-+-由向量相等的定义可得线性方程组1232312335,k 3,k 1.k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪-+-=⎩该方程组的一个解为1232,k 3,k 0.k === 于是41223,b b b =+即4b 由123,b ,b b 线性表示. 定理1 向量b 能由向量组12:a ,a ,,a m A 线性表示的充分必要条件是矩阵12(a ,a ,)m A a =与矩阵12(a ,a ,,b)m B a =的秩相等, 即(A)R(B)R =..向量组线性相关的定义定义 1 向量组12:a ,a ,,a (m 2)m A ≥线性相关⇔在向量组A 中至少有一个向量能由其余1m -个向量线性表示.定义2 给定向量组12:a ,a ,,a m A ，m 个数12,k ,,k ,m k 构造11220,m m k a k a k a +++= ()*如果存在不全为零的数12,k ,,k ,m k 使()*式成立，称向量组A 是线性相关的, 否则称它线性无关. 这两个定义是等价的. 证明如下：如果向量组A 中有某个向量(不妨设m a )能由其余1m -个向量线性表示, 即有121,,,,m λλλ-使112211,m m m a a a a λλλ--=++于是112211(1)a 0.m m m a a a λλλ--+++-=因为121,,,,1m λλλ--不全为0, 所以向量组A 线性相关.反过来，如果向量组A 线性相关，则有11220,m m k a k a k a +++=其中12,k ,,k m k 不全为0, 不妨设10k ≠, 于是12211()(k ),m m a a k a k =-++即1a 能由2,,a m a 线性表示.例2 判断向量组123(2,1,3,1),(4,2,5,4),(2,1,4,1)ααα=-=-=--是否线性相关.解：可取123,,χχχ为未知数，建立以下方程式 1122330,χαχαχα++=看它是否有123,,χχχ的不全为零的解.这是向量等式，按各个分量分别写出方程，就成为以下方程组1231231231232420,20,3540,40.χχχχχχχχχχχχ++=⎧⎪---=⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩ 前面的含向量的方程组有无非零解等价于这个方程组有无非零解.可以用消元法解这个方程组.它有无线多解，当然有非零解，故123,,ααα线性相关.特别的一组解，可取为123(,,)(3,1,1),χχχ=--即12330ααα--=或3123.ααα=- 定理2向量组12a ,a ,,a m 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵12(a ,a ,)m A a =的秩小于向量个数m ; 向量组线性无关的充分必要条件是(A)m R = 这是因为,向量组12:a ,a ,,a m A 线性相关11220m m x a x a x a ⇔+++= 即A x =0有非零解(A)m.R ⇔<向量组12a ,a ,,a m 线性无关12(a ,a ,,a )m.m R ⇔=例3 证明n 维单位坐标向量组12(1,0,,0),e (0,1,,0),,e (0,0,,1)T T T n e ===线性无关.12,k ,,k ,n k 使得11220,n n k e k e k e +++=根据向量线性运算的定义可以得到 12(k ,k ,,k )(0,0,,0),T T n =从而120.n k k k ====所以12,e ,,e n e 是线性无关的.另证我们利用定理，设向量组12,e ,,e n e 构成的矩阵为12(,e ,,e ),n I e =I 是n (I)n,R =即(I)R 等于向量组中向量的个数，所以由定理2知向量组I 是线性无关的.例 4 已知向量123(1,1,1),a (0,2,5),a (2,4,7)T T T a ===讨论向量组123,a ,a a 及向量组12a ,a 的线性相关性.解对矩阵123(a ,a ,a )施行初等行变换使它变成行阶梯形矩阵，就可以同时看出矩阵123(a ,a ,a )及12(a ,a )的秩，再利用定理2就可以得出结论.易知123(a ,a ,a )23,R =<向量组123a ,a ,a 线性相关；12(a ,a )2,R =向量组12a ,a 线性无关.〔1〕含零向量的向量组必线性相关.线性无关的向量组中一定不含零向量. 〔2〕一个向量α线性相关0.α⇔=一个向量α线性无关⇔0α≠.(3)两个非零向量12,αα线性相关12.k αα⇔=两个向量12,αα线性无关⇔它们不成比例. (4)向量组有一部分线性相关，则全体线性相关. 向量组全体线性无关，则每一部分线性无关. 假设向量组12:a ,a ,,a m A 线性相关, 则向量组121B:a ,a ,,a ,a m m +也线性相关. 反之, 假设向量组B 线性无关, 则向量组A 也线性无关.结论可表达为: 一个向量组假设有线性相关的部分组, 则该向量组线性相关. 一个向量组假设线性无关, 则它的任何部分组都线性无关. 性质〔4〕说明：这是因为, 记12(a ,a ,,a )m A =,121(a ,a ,,a ,a )m m B +=,有(B)R(A)1R ≤+.假设向量组A 线性相关, 则有(A)R m <，从而(B)R(A)1 1.R m ≤+<+ 因此向量组B 线性相关. (5) 个数大于维数时，必线性相关.个数等于维数时，看行列式.m 个n 维向量组成的向量组, 当维数n 小于向量个数m 时一定线性相关. 特别地, 1n +个n 维向量一定线性相关. 这是因为, m 个n 维向量12a ,a ,,a m 构成矩阵12(a ,a ,,a ),n m m A ⨯= 有R(A)n.≤假设n m <则R(A)n m,≤< 故m 个向量12a ,a ,,a m 线性相关.(6)设向量组12:a ,a ,,a m A 线性无关, 而向量组12B:a ,a ,,a ,m b 线性相关, 则向量b 必能由向量组A 线性表示, 且表示式是唯一的. 这是因为, 记12(a ,a ,,a )m A =,12(a ,a ,,a ,b)m B =,有(A)(B)m 1,m R R =≤<+即有(B)R(A).R m ==因此方程组有唯一解12(a ,a ,,a )x m b =即向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.给定向量组123:,,,,,m A a a a a 如果存在不全为零的数123,,,,,m k k k k 使得11220m m k a k a k a +++=成立，则称向量组A 是线性相关的.否则，如果不存在不全为零的数123,,,,,m k k k k 使得11220m m k a k a k a +++=成立，也就是说，只有当123,,,,m k k k k 全部为0时，11220m m k a k a k a +++=才成立，则称向量组A 是线性无关的.例5 设向量组123,,a a a 线性无关，判断向量组112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+的线性相关性.解设一组数123,,,k k k 使1122330,k b k b k b ++=则有 112223331()()()0,k a a k a a k a a +++++= 即131122233()()()0.k k a k k a k k a +++++= 因为向量组123,,a a a 线性无关，所以1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 该方程组的系数行列式20,D =≠故方程组只有零解1230,k k k ===所以向量组123,,b b b 线性无关.例6 判断向量组)()()()(12341,0,1,b 1,1,1,b 3,1,1,b 5,3,1TTTTb =-==-=的线性相关性. 解设一组数1234,,,,k k k k 使112233440,k b k b k b k b +++=比较上式两端向量的对应分量，可得齐次线性方程组12342341234350,30,0.k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪++=⎨⎪-+-+=⎩该方程组的一个非零解为12342,3,0,1,k k k k ====-故向量组1234,,,b b b b 线性相关. 5.2 利用向量组内向量之间的线性关系判定定理3 向量组123:,,,,m A a a a a 线性相关的充要条件是向量组A 中至少有一个向量可以由其余1m -个向量线性表示. 定理4 向量组12,,,m a a a 线性无关，而12,,,,m a a a β线性相关β⇒可由12,,,m a a a 线性表示且表达方式唯一. 定理 5 假设向量组12,,,m a a a 有一部分向量组线性相关⇒向量组12,,,m a a a 线性相关.与此等价的一个说法为：向量组12,,,m a a a 线性无关⇒向量组12,,,m a a a 的任一部分向量组线性无关.例7 已知123,,ααα线性无关，234,,ααα线性相关，问：〔1〕4α能否由123,,ααα线性表示？〔2〕1α能否由234,,ααα线性表示？解〔1〕由123,,ααα线性无关23,αα⇒线性无关，又由234,,ααα线性相关4α⇒能由23,αα线性表示且表达方式唯一，所以存在数23,k k 使得422334122330k k k k ααααααα=+⇔=++，故4α能由123,,ααα线性表示.1α能由234,,ααα表示，则存在数123,,λλλ，使得1122334,αλαλαλα=++又由〔1〕4α能由23,αα线性表示，所以1α能由23,αα线性表示，所以123,,ααα线性相关，与已知矛盾，故1α不能由234,,ααα线性表示. 5.3 利用向量组的秩进行判定12,,,,m ααα其秩记为12(,,,)m R ααα，由极大无关组的定义和秩的定义可得：假设向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；假设向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的.例8 判断向量组123(2,2,1,1,4),(2,1,2,0,3),(1,2,2,4,2)T T T ααα=-=-=--的线性相关性. 解构造35⨯矩阵并作初等行变换可见3rankA =，故123,,ααα线性无关.5.4 利用反证法进行判定在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知定义、定理、公理相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成立.例9 设向量组12,,,m ααα中任一向量i α不是它前面1i -个向量的线性组合，且0i α≠，证明向量组12,,,m ααα线性无关.证明〔反证法〕假设向量组12,,,m ααα线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得：11220m m k k k ααα+++=， (1)由此可知0m k ≠，由上式可得1122111()m m m mk k k k αααα--=-+++即m α可以由它前面1m -个向量线性表示，这与题设矛盾，因此0m k =，于是(1)式转化为1122110m m k k k ααα--+++=.类似于上面的证明可得1220,m m k k k --====(1)式转化为110k α=.但10α≠，所以10k =这与12,,,m k k k 不全为零的假设相矛盾，因此向量组线性无关.例10 设A 为n 阶矩阵，α为n 维列向量，假设0A α≠，但20A α=. 证明：向量组,A αα线性无关. 证明：用反证法.假设向量组,A αα线性相关，由于0A α≠，从而0α≠，则A α可由α线性表出，设为(0)A k k αα=≠否则0α=，于是22()()0A A A A k kA k ααααα====≠，这与已知20A α=矛盾，因此向量组,A αα线性无关. 例11 设12,,,n ααα是一组n 维向量，已知单位坐标向量12,,,n εεε可被它们线性表出，证明：12,,,n ααα线性无关.证明：法1 〔反证法〕假设12,,,n ααα线性相关，则至少有一i α可由其他j α线性表示〔不妨设n α可由121,,,n ααα-线性表示〕.由题设，12,,,n εεε可由12,,,n ααα线性表示，从而可由121,,,n ααα-线性表示，而任一n 维向量均可由12,,,n εεε线性表示，因而也可由121,,,n ααα-n 维向量构成的向量集合n R 的秩小于n ，这与nR 的秩等于n 矛盾，故12,,,n ααα线性无关.法 2 设12,,,n ααα的秩为r ，则,r n ≤而12,,,n εεε的秩为.n 由题设，12,,,n εεε可由12,,,n ααα线性表出，因此n r ≤，故.r n =5.5 利用齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组，需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定.对于各分量都给出的向量组12,,,m ααα，假设以12[,,,]m A ααα=为系数矩阵的齐次线性方程组0AX =只有零解向量，则此向量组12:,,,m A ααα是线性相关的.例12 证明向量组123(2,1,0,5),(7,5,4,1),(3,7,4,11)T T T ααα==--=--线性相关.证明：以123,,ααα为系数向量的齐次线性方程组是 1122330,x x x ααα++= 即1231232312327305704405110x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪--=⎩ 利用矩阵的行初等变换将方程组的系数矩阵A 化为行阶梯型矩阵，由行阶梯型矩阵可知，()23,R A =<即齐次线性方程组有非零解，所以向量组123,,ααα线性相关.例13 12(,,,),1,2,,.i i i in a a a i n α==证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n ααα线性无关.证明：设11220,n n k k k ααα+++=得到线性方程组111212112122221122000n n n n n n nn n a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩由于系数行列式的转置行列式0ij a ≠，故齐次线性方程组只有零解，从而12,,,n ααα线性无关.5.6 利用矩阵的秩进行判定设向量组12:,,,m A ααα是由m 个n 维列向量所组成的向量组，则向量组A 的线性相关性可由向量组A 所构成的矩阵12(,,,)m A ααα=（1）当()R A m =时，则向量组12:,,,m A ααα是线性无关的. （2）当()R A m <时，则向量组12:,,,m A ααα是线性相关的.例14 设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,),T T T t ααα=== 问当t 为何值时，向量组123,,ααα线性相关，并将3α表示为1α和2α的线性组合. 解：利用矩阵的秩有[]123111111111,,12301201213021005A t t t ααα==→→--可见，当5t =时，向量组123,,ααα线性相关，并且有111101012012,000000A =→所以3122ααα=-+.利用矩阵的秩与利用齐次线性方程组的解进行判定的出发点不同，但实质上是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵，从而求出向量组的秩，即系数矩阵的秩，然后再作出判定.例15 断向量组123(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2)ααα=-=-=-的线性相关性. 解：以123,,ααα为行向量构成矩阵A ，并进行初等行变换化为行阶梯形2131134213421342312031200101060101061342213105530000A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则()23R A =<向量的个数，故向量组线性相关.例16 向量组1234,,,αααα线性无关，则以下线性无关的向量组是〔〕12233441122334411223344112233441(),,,;(),,,;(),,,;(),,,.A B C D αααααααααααααααααααααααααααααααα+++++++-----++--分析对于抽象给出的向量组，判断或证明其线性相关与线性无关常采用以下方法：〔1〕定义法先设11220,s s k k k ααα+++=然后对其作恒等变形，即用某个矩阵同乘该式，或对该式拆项重新组合等12,,,s k k k 能够不全为零还是必须全是0，从而得知12,,,s ααα是线性相关还是线性无关.〔2〕利用矩阵的秩. 要论证12,,,s ααα线性相关或线性无关，可将其构造成矩阵A ，利用rankA s <或rankA s =来说明.〔3〕利用有关结论，特别是等价向量组有相同秩的结论.〔4〕反证法.解法1 观察可知12233441()()()()0αααααααα+-+++-+=，()A 线性相关. 12233441()()()()0αααααααα-+-+-+-=，()C 线性相关；12233441()()()()0αααααααα+-++-+-=，()D 线性相关. 由排除法可知应选()B .法2 对()B ，设112223334441()()()()0k k k k αααααααα++++++-=，拆项重组为 141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα-++++++=由1234,,,αααα线性无关知 1412233400k k k k k k k k -=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ ，由于系数行列式100111002,01100011-=所以方程组只有零解12340,k k k k ====从而()B (),(),()A C D 均线性相关. 5.7 利用行列式的值进行判定假设向量组12:,,,m A ααα是由m 个n 维列向量所组成的向量组，且向量组A 所构成的矩阵12(,,,)m A ααα=，即A 为m 阶方阵，则（1）当0A =时，则向量组12:,,,m A ααα是线性相关的. （2）当0A ≠时，则向量组12:,,,m A ααα是线性无关的.假设向量组12:,,,m A ααα的个数m 与维数n 不同时，则（1）当m n >时，则向量组12:,,,m A ααα是线性相关的.（2）当m n =时，转化为上述来进行判定，即选取m 个向量组成的m 维向量组，假设此m维向量组是线性相关的，则添加分量后，得到的向量组也是线性相关的. 例17 已知123(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7)ααα===试讨论123,,ααα的线性相关性. 证明：令123(,,)A ααα=则1021240157A ==，所以123,,ααα线性相关.行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解，然后再对向量组的线性相关性作出判定，所以能应用行列式值进行判定的向量组，也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定.例18 已知向量组123:,,A ααα是线性无关的，且有112223331,,b b b αααααα=+=+=+，证明向量组123,,b b b 线性无关.证明：设有123,,,x x x 使得1122330x b x b x b ++=即 112223331()()()0x x x αααααα+++++= 整理为 131122233()()()0x x x x x x ααα+++++=因123,,ααα是线性无关的，所以131223000x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩由于此方程组的系数行列式10111020011=≠故方程组只有零解1230x x x ===，所以向量组123,,b b b 线性无关.例19 已知向量组1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,9)t t αααα===-+=+线性相关，试求t 的值.分析对于具体给出的向量组，判断其线性相关与线性无关常采用以下方法：（1）先由定义写出11220s s x x x ααα+++=，再根据向量组相当写出齐次线性方程组；假设该齐次线性方程组有非零解〔即无穷多解〕，则向量组线性相关；假设该齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关.（2）排成矩阵12(,,,)s A ααα=〔列向量时〕或12s A ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭〔行向量时〕，求A 的秩；假设rankA s <时，向量组线性相关；假设rankA s =时，向量组线性无关.（3）对于n 个n 维向量，可同上将其排成矩阵A ，用0A =是否成立来判断12,,,n ααα是否线性相关.（4）利用线性相关的有关结论，如“部分相关，则整体相关”等来判定. 解 1t =-或2-.法1 123410231023102311350112011211210120010124902260002A t t t t t t αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+--+ ⎪ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1t =-或2t =-时，123434,,,,rankA αααα=<线性相关.法2 10231135(1)(2)11211249t t t t =++-++ 1t =-或2t =-时行列式为0.6.结论通过以上讨论，我们了解到向量组的线性相关与线性无关的判定较难理解.实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了向量组的线性相关的判定，线性无关的判定也就没有问题了.由以上可以看出，在熟练地理解和掌握了向量组线性相关的定义、定理的基础上，灵活地应用上述几种方法，证明向量组线性相关与线性无关的难点即可获得突破.参考文献[1] 王鄂芳,石生明.高等代数[M].高等教育出版社,2003.[2] 徐仲,陆全.高等代数[M].西北工业大学出版社,2009.[3]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京大学出版社，2002.[4]肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法[J].伊犁师范学院学报〔自然科学版〕，3〔2008〕:58-59[5]罗秀芹，董福安，郑铁军，关于向量组的线性相关性的学习探讨[J].高等代数研究，9〔2005〕：18-19[6]杨燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定[J].山西农业大学学报〔自然科学版〕，3〔2005〕[7][J].广东石油化工学院学报，2〔2012〕:68-69[8][J].考试周刊，33〔2013〕:57-58[9]牛少彰，刘吉佑，线性代数[M].北京：北京邮电大学出版社，2004.[10]钱吉林，高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.[11]杨子胥，高等代数习题集〔上〕〔修订版〕[M].济南：山东科学技术出版社，2001[12]钱志强，线性代数教与学参考[M].北京：中国致公出版社，2002.Methods to determine the correlation between the linear vector groupHou xuling(School of Mathematics and Statistics, Anyang Normal University,Anyang,Henan,455002) Abstract:Correlation between linear vector is a cornerstone in linear algebra, in which on the basis of derivation and derived from our many other theories. So skillfully master the method to determine the linear dependence of vector group, so that we can have a better understanding of other theoretical knowledge. In this paper, the linear relationship between the homogeneous solution of linear equations, the matrix rank, determinant between vectors in vector value and known conclusions knowledge in vector group by determining the linear correlation, and then sum up some methods of determination of linear vector correlationKey words:Vector group The linear correlation Linear independence Judging method。

32向量组的线性相关与线性无关(二)详解

解: (4) 由定理3.2.3知,5个四维向量必定线性相关.
13
例.证明：若 , , 线性无关, 则 , , 也线性无关
证:设 k1( ) k2( ) k3( ) O (*) (目标: ki = 0)
则
(k1 k3 ) (k1 k2 ) (k2 k3 ) O
7
3.2.3向量组的线性相关性的判定
1.向量组线性相关的条件: 设向量组
α1
a11 a21
an1
,
α2
a12 a22
an2
,
, αm
a1m a2m
anm
,
它线性相关还是线性无关,取决于齐次线性方程组
k1α1 k2α2 kmαm 0
a11x1 a12x2 a1m xm 0
(3-14)
只有零解. 考虑 β1, β2, β3相对应的齐次线性方程组
a11x1 a21x2 a31x3 0
aa1123
x1 x1
a22 x2 a23x2
a32 x3 a33 x3
0 0
(3-15)
aa1154
x1 x1
a24 x2 a25 x2
a34 x3 a35 x3
0 0
方程组(3-14)的每一个解都是方程组(3-15)的解.而方程组(3-14)
(3) α1 1, a, a2, a3 T , α2 (1,b,b2,b3)T , α3 (1, c, c2, c3)T ,
α4 (1, d, d 2, d 3)T,其中a,b,c,d各不相同. (4) α1 ( 2, 3, 4, 1)T , α2 ( 2, 1, 4, 0)T , α3 ( 1, 3, 0, 1)T ,
即： a1, a2 ,, am 线性无关

线性代数向量组的线性相关性应用案例1-刘杨

案例一：在系统能控性判断及结构分解中的应用O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC中国大学MO O C中国大学M OO COO C 中国大学M O O C 中国大学M OO C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C⚫能控性是从控制角度表征系统结构的一个基本特性，对于系统控制问题的研究具有基本的重要作用。

⚫给定飞行器、车辆等系统，在基于期望性能指标进行控制器的设计分析之前，必须对其内在的能控性进行判断，进而对不完全能控系统进行结构分解以判断其不能控子空间的稳定性。

O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C◼系统能控性定义及判据◼能控性的系统结构分解O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C➢直观讨论考虑一个系统, 输入和输出构成系统的外部变量, 状态属于反映运动行为的系统内部变量。

3-2-2向量组的线性相关性的判定

a11k1 a12 k2 a1s k s 0 a k a k a k 0 21 1 22 2 2s s a k a k a k 0 ns s n1 1 n 2 2 b1k1 b2 k2 bs k s 0
即, 表示式是唯一的.
设
a11 a21 as1 a12 a22 as 2 1 , 2 , , s a1n a2 n asn
a s1 a11 a21 a a a 12 22 s2 1 , 2 , , s asn a1n a2 n b b b 1 2 s
证明由已知, 存在不全为零的数k1,k2 , …,kr, l ,使
k11+k22+ …+krr+l =0 若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β α1 α2 αr
k1 l k2 l kr l
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr 则有: 所以: (k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=k+ …+kss=0, 故 k1=k2= …=kr=0 所以1, 2,…, s 线性无关.
不妨设k10, 则有: α1
k2 k1
α2 α3 αs
k3 k1 ks k1
充分性:不妨设1可由2, …,s线性表示, 即存在一组数k2,,…,ks使: 1=k22+ …+kss , 于是有 1+k22+ …+kss =0

3-2向量组的线性相关性

向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m
例3 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵为
是n阶单位矩阵
E(e1 e2 en)
由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量组中向量个数所
以此向量组是线性无关的
Henan Agricultural University
(1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示
证明 (1)因为a2 a3 a4线性无关所以a2 a3也线性无关
又a1 a2 a3线性相关所以a1能由a2 a3线性表示
(2) 用反证法假设a4能由a1 a2 a3线性表示而由(1)知a1能由a2 a3线性表示因此a4能由a2 a3线性表示这与a2 a3 a4线性无关矛盾
所以R(a1 a2 b1)R(a1 2) 从而方程组有解即b1可由a1 a2线
性表示且存在x12 x21 使2a1a2b1 ❖定理1
向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是矩阵A(a1 a2 am)与矩阵B(a1 a2 am b)的秩相等即R(A)R(B)
Henan Agricultural University
反之若向量组B线性无关则向量组A也线性无关
这是因为记A(a1 a2 am) B( a1 a2 am am1) 有 R(B)R(A)1
若向量组A线性相关则有R(A)m 从而 R(B)R(A)1m1
因此向量组B线性相关
Henan Agricultural University
(5)m个n维向量组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关特别地 n1个n维向量一定线性相关

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