2-7 向量组的线性相关性(第八次)
向量组的线性相关性
证明
（略）
(1)
1 , 2 , n线性无关
1 1
齐次线性方程组 x 只有零解 r ( , , ) n
1 2 n
x2 2 xn n 0
a11
当m=n时
a12 a1n
a21 a22 a2 n 0 an1 an 2 ann
思考题
试证明 : (1) 一个向量 线性相关的充要条件是 0； ( 2) 一个向量 线性无关的充要条件是 0； ( 3) 两个向量 ， 线性相关的充要条件是
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 , y , 使 x
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关性的概念
定义4
给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不 k1 1 k2 2 km m 0
全为零的数k1 , k2 ,, km 使
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
1 2 3 4 2 3
这与a , a , a 线性无关矛盾，故结论成立.
2 3 4
四、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
线性相关性基本定理
这与 α1，α2，…，αm 线性无关矛盾，此矛盾说明 km+1 ≠ 0 。 从而有 km k1 k2 1 2 m km 1 km 1 km 1
再证表示式的唯一性。设有两个表示式
β =λ1 α1 + λ2α2 + … + λmαm
β = k1α1 + k2α2 + … + kmαm
k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0
不妨设 k1 ≠ 0，从而有
k3 km k2 1 2 3 m k1 k1 k1
即 α1能由其余的 m-1个向量线性表示。
例2
设 αT = ( a1 , a2 , … , an ) , e1T = ( 1, 0, … , 0 ),
例1 n 维向量组
1 0 0 0 1 0 e1 ,e2 , ,en 0 0 1
称为 n 维单位坐标向量组，试讨论它的线性相关性。
显然，α1，α2，α3 线性无关，所以齐次线性方程组
x1α1 + x2α2 + x3α = 0
仅有零解。
二、线性相关性的判定
定理4 向量组 α1，α2，… ，αm线性相关的充分必要条 件是它所构成矩阵 A = ( α1，α2，… ，αm ) 的秩小于向量个 数 m；向量组线性无关的充分必要条件是 R(A) = m。
e2T = ( 0, 1, … ,0 ),… ,enT= ( 0, 0, …, 1) , 讨论向量组的线性 相关性。 解 显然
αT = a1e1T +a2e2T + … + anenT
西北工业大学《线性代数》课件-第四章 向量组的线性相关性
b
b2
bm
三、两向量相等
设向量
α (a1, a2 ,, ak )
β (b1, b2 ,, bl )
则
α β k l 且 ai bi
(i 1,2,, k)
四、零向量
分量都是0的向量称为零向量，记做 0，即
0 (0,0,,0).
五、向量的线性运算
⒈ 加法 设
α (a1, a2 ,, an )
2 2 2 ( )2
几何解释：三角形两边 之和大于第三边
α
β
α β
⒊ 夹角 设 与 是n维非零向量，则其夹角定义为
arccos [ , ]
arccos
a1b1 a2b2 anbn
a12 a22 an2 b12 b22 bn2
(0 )
定义的合理性：由不等式 (5) α, β α β
2
➢ 非零向量单位化
设 0 ，单位化向量
0
则有 0 1且 0与 同向.
九、小结
1. n维向量的定义； 2. n维向量的运算规律；
§4.2 向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关
1. 线性组合 定义4.6 设 ,1,2,,m均为n维向量，若有一组 数 k1, k2 ,, km ，使得
⑶ 数量积：a b a b cos
bx
(a
x
,
a
y
,
az
)
by bz
axbx a yby azbz
向量内积及 与模,夹角关系
矩阵乘积表示
可用作内积定义
⑷ 模： a aa
模的定义
三维向量全体构成的集合,称为三维向量空间.记做 R3
解析几何
向量
向量组的线性相关性
所以向量组 b1 ,b2 ,b3
2013年6月14日6时11分
线性无关.
例 8 已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关. 证三： 令A (a1 , a2 , a3 ), B (b1 , b2 , b3 ), B AK 令Bx 0, 即AKx 0 1 0 1 1 1 0 , Kx 0 K 因a1 , a2 , a3 线性无关
k1a1 k2a2 kmam 0 则称向量组 A 是线性相关的. ()
设有向量组
否则，称它是线性无关的. 也就是，只有当 才能使(＊)式成立， k1 k2 L L km 0 时， 则称向量组 A 是线性无关的.
2013年6月14日6时11分
说明：
线性相关
则x1 x2 x3 0, 所以向量组 E 线性无关.
2013年6月14日6时11分
定理1
向量组 A: a1 , a2 ,……, am 线性相关
x1a1 x2a2 xmam 0
Ax 0有非零解
其中矩阵 A = ( a1 , a2 ,……, am ).
有非零解.
证明向量组 b1 =a1 + a2 , b2 = a2 + a3 , b3 = a3 + a1 也线性无关. 证二：令A (a1 , a2 , a3 ), B ( b1 , b2 , b3)
则B AK， 其中
K 2, K是可逆方阵,
R( B) R( AK ) R( A) 3,
K 2, R( K ) 3, x 0
线性代数习题答案第四章
线性代数习题答案第四章第四章线性相关性与线性无关性线性代数是数学中的重要分支，它研究向量空间及其上的线性变换。
在线性代数的学习过程中，理解线性相关性与线性无关性是非常重要的一部分。
本文将针对线性代数习题第四章中的相关问题进行讨论和解答。
一、线性相关性与线性无关性的定义在开始解答具体问题之前，我们先来回顾一下线性相关性与线性无关性的定义。
定义1：对于向量组V={v1,v2,...,vn}，如果存在一组不全为零的实数c1,c2,...,cn，使得c1v1+c2v2+...+cnvn=0，则称向量组V是线性相关的；否则，称向量组V是线性无关的。
定义2：如果向量组V中的任意一组向量都是线性无关的，则称向量组V是极大线性无关的。
根据以上定义，我们可以通过求解线性方程组来判断向量组的线性相关性与线性无关性。
二、线性相关性与线性无关性的判断1. 问题一已知向量组V1={(-1,2,1), (2,-4,2), (3,-6,3)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
解答：我们可以将向量组V1写成矩阵形式，即：A = [(-1,2,1), (2,-4,2), (3,-6,3)]然后，我们将矩阵A进行行变换，得到行阶梯形矩阵：B = [(-1,2,1), (0,0,0), (0,0,0)]由于矩阵B中存在一行全为零的情况，因此向量组V1是线性相关的。
2. 问题二已知向量组V2={(1,1,1), (1,2,3), (1,3,6)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
解答：同样地，我们将向量组V2写成矩阵形式：A = [(1,1,1), (1,2,3), (1,3,6)]进行行变换，得到行阶梯形矩阵：B = [(1,1,1), (0,1,2), (0,0,0)]由于矩阵B中不存在一行全为零的情况，因此向量组V2是线性无关的。
3. 问题三已知向量组V3={(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)}，判断该向量组的线性相关性与线性无关性。
向量的线性相关性及其应用
向量的线性相关性及其应用一、引言向量(linear vector)是线性代数中一个重要的概念。
在物理、数学以及经济等领域都有广泛的应用。
本文将深入探讨向量的线性相关性及其应用，为读者展开一个全新的世界。
二、向量的定义与线性相关性向量通常由对应的有序数列表示，例如：$\vec{v}=(v_1,v_2,v_3,...,v_n)$，其中$n$为该向量的维度。
在这里我们着重介绍三维向量的线性相关性。
定义：给定向量空间$V$中的$n$个向量$\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_n}$，如果存在一组不全为0的系数$c_1,c_2,...,c_n$使$$c_1\vec{v_1}+c_2\vec{v_2}+...+c_n\vec{v_n}=\vec{0}$$则称$\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_n}$是线性相关的，否则称它们是线性无关的。
三、线性相关性的判断接下来我们将介绍两种判断线性相关性的方法1.行列式判断法判断向量$\vec{v_1}=(a_1,b_1,c_1),\vec{v_2}=(a_2,b_2,c_2),\vec{v_3}=(a_3,b _3,c_3)$是否线性相关，先将三个向量组成一个矩阵：$$ A =\begin{bmatrix}a_1 & b_1 & c_1\\a_2 & b_2 & c_2\\a_3 & b_3 & c_3\end{bmatrix}$$计算矩阵$A$的行列式$\mid A\mid$，如果$\mid A\mid=0$，则三个向量线性相关，否则线性无关。
2.列向量线性组合法该方法适用于任意维度的向量$V$中，以三维向量为例，判断向量$\vec{v_1}=(a_1,b_1,c_1),\vec{v_2}=(a_2,b_2,c_2),\vec{v_3}=(a_3,b _3,c_3)$是否线性相关，可以先将它们写成列向量的形式：$$\vec{v_1}=\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\c_1\end{bmatrix},\vec{v_2}=\begin{bmatrix}a_2\\b_2\\c_2\end{bmatrix},\vec{v_3}=\begin{bmatrix}a_3\\b_3\\c_3\end{bmatrix}$$然后设有一组不全为0的系数$d_1,d_2,d_3$，满足$$d_1\vec{v_1}+d_2\vec{v_2}+d_3\vec{v_3}=\vec{0}$$则可以写出下列线性方程组：$$\left\{\begin{aligned}a_1d_1+a_2d_2+a_3d_3&=0\\b_1d_1+b_2d_2+b_3d_3&=0\\c_1d_1+c_2d_2+c_3d_3&=0\end{aligned}\right.$$如果方程组有一组不全为0的解，则三维向量$\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}$线性相关，否则线性无关。
向量相关性的几种证明方法
目 录
开 题 报 告 1
Several Proof Methods of Vector Relevance 2
Key words: Linear correlation; Linear independence; Proof method 2
日 期：2019年3月22日
曲靖师范学院教务处制
向量相关性的几种证明方法
摘 要
向量线性相关性在高等代数以及相关数学领域是一块重要的学习内容，其反映的是数域P上的n维向量空间中向量的关系，与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换等有着十分紧密的联系。其中证明向量线性相关性难度较大，向量组线性相关性的概念相对于是比较抽象的，所以在证明的时候容易出现命题混淆的情况，证明其线性相关性的方法也有多种，虽然方法各有不同，但是都是归于其线性相关性。证明其中向量组线性相关性的时候，首先要从理解线性相关和线性无关的概念下手，才能进一步掌握向量组线性相关，线性无关的相关性质和证明方法。在这篇文章中我主要阐述了证明向量组线性相关性的几种常用方法，线性相关的定义，矩阵的秩等，列出多个例子来归纳并阐述上述方法。
附件3
曲靖师范学院本科毕业论文（设计）
开 题 报 告
论文题目：向量线性相关性的几种证明方法
作 者：李苏蓉 学号：2015111112
学 院：数学与统计学院 年级：2015级
学 科：理工科 专业：数学与应用数学
指导教师：李国发 职称：
向量组之间的等价由以下性质：
关键词：线性相关；线性无关；证明方法
Several Proof Methods of Vector Relevance
向量的线性相关性及其应用
向量的线性相关性及其应用摘 要:线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对学生来说是很难理解的。
向量的相关性所反映的是在数域上的n 维向量空间中向量之间的关系。
文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的几种方法。
同时给出了线性相关性的一些应用。
关键词:线性相关；线性无关；线性组合；极大无关组；坐标变换；过渡矩阵一． 向量线性相关性及线性组合的基本概念1． 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是数域F 上n 维向量空间中向量之间的关系。
在两个向量之间, 最简单的关系是成比例,即是否有一数k 使得k αβ=,而在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合。
所谓线性组合,就是如果有数域F 中的数12,s k k k , 使得β =1122s s k k k ααα++ ,那么向量β称为向量组12,,s ααα的一个线性组合,或说β可以由向量组12,,s ααα线性表示。
特别地,零向量是任一向量组的线性组合。
于是,就引出了线性相关和线性无关的定义:定义1：对s 个n 维向量12,,s ααα ,若存在一组不全为零的数12,s k k k ,使得1122s s k k k ααα++=0 ,则称向量组12,,s ααα线性相关; 否则称向量组12,,s ααα线性无关 。
即没有不全为0的数,使1122s s k k k ααα++= 0 ,就称为线性无关。
定义2：对于向量组12,,s ααα 和向量β,如果存在s 个数12,s k k k 使得1122s s k k k ααα++=β则称向量β是向量组12,,s ααα的线性组合二． 关于线性相关性的几种判定1.利用定义来判断或证明, 这种方法的证明思路直观,也是证明向量线性相关时最常用的一种方法。
具体步骤是： ⑴可令1122s s k k k ααα++= 0 ,其中12,s k k k 为常数;⑵ 把上式展开整理, 解相应的齐次线性方程组; ⑶ 若12,s k k k 不全为0 , 则原向量组12,,n ααα 线性相关; 若12,s k k k 全为0 ,则原向量组12,,n ααα 线性无关2.从逻辑解释上理解我们把线性相关解释为“多余”，线性无关解释为“没有多余”。
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组a1，a2 ， ，am线性表示.
例1．设 a1=(1, 0, 0)，a2=(0, 1, 0)，a3=(0, 0, 1)， b=(2, -1, 1)，
则b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合. 因为 2a1-a2 + a3 =2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)+(0, 0, 1) =(2, -1, 1)= b ， 即 b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合，也就是说b可由
线性相关性判定方法
一般方法，用于m 个n维向量组的情形. 一般可通过定义或 判定定理等进行判定，特别当利用定义时可使用观察法.
特殊方法，用于n 个n维向量组的情形. 可通过行列式判定.
一般方法（举例） 例6. 讨论下列向量组的线性相关性.
1 0 2 1 2 4 α1 = , α = , α = 1 2 1 3 3 1 3 5
亦即向量方程只有零 解： k1=k2=k3=0.
所以，线性方程组有非零解， 从而，向量组a1, a2, a3, a4,线 性相关.
解题要点：找向量方程的 非零解.
例9．设向量组a1，a2，a3线性无关，令 b1=a1+a2，b2=a2+a3，
b3=a3+a1 .试证向量组b1，b2，b3也线性无关. (拆项重组法)
证明：设有一组数k1 ,k2 ,k3 ,使 k1b1+ k2b2+k3 b3 =o， 即 整理得 k1(a1+a2)+ k2(a2+a3)+k3 (a3+a1)=o， (k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=o . k1 + x2 + k3 = 0 k1 + k2 + x3 = 0 ， k1 + k2 + k3 = 0
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 + + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
其中,
a1 j a2 j a j = , j = 1, 2,..., n ; a mj
特殊方法（举例） 例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1 0 0 0 0 1 0 0 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = 0 0 1 0 0 0 0 1
亦即
k1 0 0 0 k1 0 0 k 0 + k2 + 0 + = 2 = 0 , 0 0 k3 0 k3 0 0 0 0 0 k k 4 4
2.7
向量组的线性相关与线性无关
1.线性组合与线性表示
2.线性相关与线性无关 3.线性相关性判定定理
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam，
a11 a21 x1+ a m1
即 或
a12 a22 x2+ + am
2
a1n a2n xn = amn
b1 b2 bm
a1 x1 + a2 x2 +
x1 a1 + x2 a2 +
+ an xn = b,
b1 b2 b= . b m
即存在一组不全为零的数
k1 = 2, k2 = 1, k3 = -1,
使得
k1α1 + k2α2 + k3α3 = o, 所以向量组a1, a2, a3,线性相关.
特殊方法（推导）
对于n个n维向量组成的向量组a1，a2， ，an，设有一组数 k1，k2， ，kn，使 k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
2 = , k3 0 0 k 4
即只有当k1=k2=k3=k4=0时，上 式才成立，所以向量组a1, a2,
a3, a4,线性无关.
特殊方法（举例） 例8. 讨论下列向量组的线性相关性.
1 0 3 2 1 2 1 -4 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = 1 1 0 -3 2 3 1 -7
因该方程组的系数行列式
1 1 1 2 0 2 1 3 3 2 1 -4 =0, 0 -3 1 -7
解: 对于向量组a1, a2, a3, a4,设有
一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立
k1α1 + k2α2 + k3α3 + k4α4 = o ,
即方程组
1 0 3 2 0 1 2 1 -4 0 k1 +k +k +k = , 1 2 1 3 0 4 -3 0 2 3 1 -7 0
③判断上面关于k1, k2, , kn方程组(2)有无非零解?
a11 a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
+ an1kn = 0 + an 2 k n = 0 (2) + ann k n = 0
即行列式 D =
a12 a1n
= 0?
核心问题！
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
组a1，a2 ， ，am线性表示.
例2．任何一个n维向量a=(a1, a2, , an)都是n维向量组
e1=(1, 0, , 0)，e2=(0, 1, , 0)， ，en=(0, 0, , 1)的线性组合. 这是因为a=a1e1+ a2e2+ + an en . 注：向量组 e1，e2， ，en称为 n 维单位（或基本）向量组 .
练习：讨论下列向量组的线性 相关性，其中：
1 0 2 6 α1 = , α2 = , α3 = , α4 = . 0 1 2 6
解: 对于向量组，显然有
即
α3 = 2α1 + α2 , 2α1 + 1α2 + (-1)α3 = o,
a11 D= a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann (=)0 .
特殊方法（解题步骤）
①设有一组数k1，k2， ，kn，使 k1a1+k2a2+ + knan=o 成立.
(1)
②通过向量的线性运算,将(1)式化为如下齐次方程组
a11k1 + a21k2 + an1 0 a11 a21 a k +a k + a a a 0 22 2 k1 12 + k2 22 + ... + kn n 2 = 或 12 1 ... ... ... ... 0 a a a 1n 2n nn a1n k1 + a2 n k2 +
k1 0 从而得 k 0
证: 对于向量组a1, a2, a3, a4,设有
一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立
k1α1 + k2α2 + k3α3 + k4α4 = o ,
即
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 k1 +k +k +k = , 0 2 0 3 1 4 0 0 0 0 0 1 0
a1，a2 ，a3线性表示.
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
பைடு நூலகம் ，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam，
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam，
则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量
组a1，a2 ， ，am线性表示.
+ xn an = b.
7.2 线性相关与线性无关 (Linear dependent & Linear independent)
定义2 设有n维向量组a1，a2， ，am，如果存在一组 不全为零的数 k1，k2， ，km，使 k1a1+k2a2+ + kmam=o 成立，则称向量组a1，a2， ，am线性相关，否则，即只有 当k1，k2， ，km全为0时 k1a1+k2a2+ + kmam=o 才成立，则称向量组a1，a2， ，am线性无关.