江苏省镇江市镇江一中2020届高三期初考试数学试卷(原卷版)
江苏省镇江第一中学2023-2024学年高三上学期期初阶段学情检测数学试卷及参考答案
江苏省镇江第一中学阶段检测试题高三数学考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b>>二．多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A ．f (x )在区间(－2,3)上有2个极值点B ．f ′(x )在x ＝－1处取得极小值C ．f (x )在区间(－2,3)上单调递减D ．f (x )在x ＝0处的切线斜率小于0他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为13三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．16.已知函数f (x )＝e x 2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是__________四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知集合12324x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22440,B x x x m m =-+-≤∈R ．（1）若3m =，求A B ；（2）若存在正实数m ，使得“x A ∈”是“x B ∈”成立的，求正实数m 的取值范围．从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝a e x －x ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)试讨论函数f (x )的单调性．答案一、单选题1、C2、B3、B4、D5、C6、C7、B8、D 二、多选题9、BCD 10、ABC 11、 BC 12、BC 四、填空题13、28 14、27 15、36 16、－∞，e 24.答案详解一、单选题A ．{}2,1,0,1−−B ．{}0,1,2C ．{}2−D ．2A ．－112B ．112C ．－28D ．28所以含5x 项的系数是()2282C 112−= 故选:B3．（203-4）某单位为了了解办公楼用电量y （度）与气温x （C °）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程2y x a =−+，当气温为3C −°时，预测用电量为（ ） 气温x （C °）18 13 10 －1用电量y （度） 24 34 38 64A ．68度B ．66度C ．28度D ．12度A ．24B ．144C ．48D ．96【答案】D【分析】先安排数学，将物理和化学捆绑，与其余三门课程进行排序，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有2种， 物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑，与语文、英语、生物三门课程进行排序，有2424A A 48=种排法.由分步乘法计数原理可知，共有24896×=种不同的排法. 故选：D.5．(109-3)已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1,,E F 是线段11B D 上的动点且1EF =，则三棱锥A BEF −的体积为（ ）f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.6·f (20.6)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 218·flog 218，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．a >c >b D ．c >a >b答案 B解析 因为函数f (x )在R 上满足f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )是偶函数， 令g (x )＝xf (x )，则g (x )是奇函数，g ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )，由题意知，当x ∈(－∞，0]时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，所以g (x )在(－∞，0]上单调递减， 又g (x )是奇函数，所以g (x )在R 上单调递减， 因为20.6>1,0<ln 2<1，log 218＝－3<0，所以log 218<0<ln 2<1<20.6，又a ＝g (20.6)，b ＝g (ln 2)，c ＝g log 218， 所以c >b >a .思维升华 (1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )；8．（193-7）已知随机事件A ，B ，C 满足()01P A <<，()01P B <<，()01P C <<，则下列说法错误的是（ ）二、多选题9（电子3-1）1．(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A．f(x)在区间(－2,3)上有2个极值点B．f′(x)在x＝－1处取得极小值C．f(x)在区间(－2,3)上单调递减D．f(x)在x＝0处的切线斜率小于0答案BCD解析根据f′(x)的图象可得，在(－2,3)上，f′(x)≤0，∴f(x)在(－2,3)上单调递减，∴f(x)在区间(－2,3)上没有极值点，故A错误，C正确；由f′(x)的图象易知B正确；根据f′(x)的图象可得f′(0)<0，即f(x)在x＝0处的切线斜率小于0，故D正确．11．（115-3）如图，AB 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的一点，N 为SA 的中点，则圆O 上存在点M 使（ ）A ．MN SC ∥B ．//MN 平面SBC C ．SM AC 丄D ．AM ⊥平面SBC【答案】BC【分析】利用反证法的思想可判断AD 不成立，通过面面平行可判断B ，通过线面垂直可判断C. 【详解】假设存在点M 使//MN SC ，所以,,,M N S C 四点共面， 又因为A SN ∈，所以A ∈面MNSC ，易得点,,A M C 为面MNSC 和面ABC 的公共点， 所以,,A M C 三点共线，与题意矛盾， 故不存在点M 使//MN SC ，即A 错误；过O 作//OM BC ，交劣弧AC 与点M ，连接ON ， 由于,N O 分别为,SA AB 的中点，所以//ON SB ，由于OM ⊄面SBC ，ON ⊄面SBC ，所以//OM 面SBC ，//ON 面SBC ， 又因为OM ON O = ，所以面//OMN 面SBC ， 由于MN ⊂面OMN ，所以//MN 面SBC ，即B 正确； 点M 的位置同选项B ，由于AB 为直径，所以AC BC ⊥，即AC OM ⊥, 由圆锥易得SO AC ⊥，SO OM O ∩=， 所以AC ⊥面SOM ，所以AC SM ⊥，即C 正确；请点击修改第II卷的文字说明四、填空题16、（电子3-例3跟踪2）(2)(2022·哈师大附中模拟)已知函数f (x )＝e xx 2＋2k ln x －kx ，若 x ＝2 是函数 f (x ) 的唯一极值点，则实数 k 的取值范围是__________ .－∞，e 24 解析 由题意，f (x )＝e xx 2＋2k ln x －kx (x >0)，f ′(x )＝x －2x ·e x x 2－k ，令f ′(x )＝0得x ＝2或k ＝e xx 2，令φ(x )＝e xx 2(x >0)，∴φ′(x )＝e x (x －2)x 3，∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )min ＝φ(2)＝e 24，又当x →＋∞时，φ(x )→＋∞， ∴若φ(x )＝k 无实数根，则k <e 24，∵当k ＝e 24时，φ(x )＝k 的解为x ＝2，∴实数k 的取值范围是－∞，e 24.三、解答题17. 已知集合12324x Ax=≤≤，{}22440,B x xx m m =−+−≤∈R ．（1）若3m =，求A B ；（2）若存在正实数m ，使得“x A ∈”是“x B ∈”成立的 ，求正实数m 的取值范围．从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答． 【答案】（1）[2,5]A B − （2）答案见解析 【解析】【分析】（1）分别求解两个集合，再求并集；（2）若选①，则A 是B 的真子集．若选②，则B 是A 的真子集,根据集合的包含关系，列不等式，即可求解m 的取值范围. 【小问1详解】[]12322,54xA x =≤≤=−因0m >，则()(){}[]220,2,2B x x m x m m R m m =−−−+≤∈=−+ ． 当3m =时，[1,5]B −，所以[2,5]A B − ． 【小问2详解】选① 因“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集．所以[)002244,253m m m m m m m ∞>>−≤−⇒≥⇒∈+ +≥≥．经检验“=”满足．所以实数m 的取值范围是[4,)+∞．选② 因为“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件 所以B 是A 的真子集．所以(]002240,3253m m m m m m m >>−≥−⇒≤⇒∈ +≤≤，经检验“=”满足．所以实数m 的取值范围是(0,3]．18．(电子2-9)已知函数f (x )＝a e x －x ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)试讨论函数f (x )的单调性． 解 (1)因为a ＝1，所以f (x )＝e x －x ，则f ′(x )＝e x －1， 所以f ′(1)＝e －1，f (1)＝e －1，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －(e －1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x .(2)因为f (x )＝a e x －x ，a ∈R ，x ∈R ， 所以f ′(x )＝a e x －1，当a ≤0时，f ′(x )＝a e x －1<0，则f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－ln a ，当x <－ln a 时，f ′(x )<0，当x >－ln a 时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减， 在(－ln a ，＋∞)上单调递增，综上，当a ≤0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减；当a >0时， f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．19．某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不爱吃甜食”且“无蛀牙”的有50人.有22×列联表：有蛀牙 无蛀牙 总计 爱吃甜食 不爱吃甜食 总计(1)根据已知条件完成如图所给的22×列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”∴()0m a <，即()()1210ln g x g x a +<−，得证．【点睛】关键点点睛：第二问二小问，由()()12g x g x +ln 8a a a =−+，综合应用分析法、函数思想转化为证明()0m a <在()0,4a ∈上恒成立，再利用导数研究单调性判断即可.。
2020届江苏省镇江市高三上学期期中数学试题(解析版)
2020届江苏省镇江市高三上学期期中数学试题一、填空题1．设全集{}=1,2,3,4,5U ，若集合{}3,4,5A =，则U C A =__________. 【答案】{}1,2【解析】利用补集定义直接求解即可． 【详解】∵全集{}=1,2,3,4,5U ，集合{}3,4,5A =，∴{1}2U C A ==，， 故答案为{}1,2． 【点睛】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用． 2．命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定是__________. 【答案】2210x R x x ∀∈-+<，【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“2,210x R x x ≥∃∈-+”的否定命题：2210x R x x ∀∈-+<，， 故答案为：2210x R x x ∀∈-+<，． 【点睛】本题主要考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3．函数()lg(3)f x x =-______________． 【答案】[)2,3-【解析】根据对数的真数大于零，偶次根下大于等于零，即可得答案。
【详解】解：由题意得3020x x ->⎧⎨+≥⎩解得：23x -≤< ，故答案为：[)2,3- 【点睛】本题考查定义域，属于基础题。
4．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【答案】6π【解析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积． 【详解】根据扇形的弧长公式可得362l ππαr ==⨯=， 根据扇形的面积公式可得1126622S lr ππ==⋅⋅=，故答案为6π． 【点睛】本题主要考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题． 5．设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.【答案】3π【解析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果. 【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴=又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.6．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = ． 【答案】1【解析】试题分析：由函数()ln(f x x x =为偶函数⇒函数()ln(g x x =为奇函数，(0)ln 01g a a ==⇒=．【考点】函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数()ln(f x x x =为偶函数转化为 函数()ln(g x x =为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取(0)ln 01g a a ==⇒=．7．已知,B ,C ()222A kx kx kx k Z πππ≠+≠+≠+∈, 则“A B C π++=”是tan tan tan tan tan tanC A B C A B ++="的___________________条件 (请在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空) ． 【答案】充分不必要【解析】由A B C π++=，得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；反之， 由tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，得,A B C n n Z π++=∈．然后结合充分必要条件的判定得答案． 【详解】解：若A B C π++=， 则A B C π+=-，又,,,2A B C k k Z ππ≠+∈ ,tan()tan()A B C π∴+=- ，tan tan tan 1tan tan A BC A B+∴=-- ，tan tan tan +tan tan tan A B C A B C ∴+=-， tan tan tan tan tan tan A B C A B C ∴++=；若tan tan tan tan tan tan A B C A B C ∴++=，则()()tan tan tan +tan tan tan 1tan tan tan A B C A B C A B C ∴+=-=--，依题意，()1tan tan 0A B -≠,tan tan tan 1tan tan A BC A B+∴=--,tan()tan()A B C ∴+=-,,A B n C n Z π+=-∈∴ ,A B C n n Z π++=∈∴∴“A B C π++=”是tan tan tan tan tan tanC A B C A B ++="的充分不必要条件．故答案为：充分不必要． 【点睛】本题考查两角和与差的正切函数，着重考查充分必要条件的判定，考查转化思想与推理证明能力，属于中档题．8．设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____． 【答案】【解析】【详解】 设00(,)P x y .对y ＝e x求导得y ′＝e x，令x ＝0，得曲线y ＝e x在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线斜率为－1，由02011x x y x ==-=-'，得01x =，则01y =，所以P 的坐标为(1，1)． 【考点】导数的几何意义． 9．函数21()|1|ln 2f x x x =-++的零点个数为________________． 【答案】3【解析】令2()|1|(2)g x x x =->-，()ln(2)(2)h x x x =+>-，画出草图，并判断(0)g 和(0)h 的大小即可得出答案。
江苏省镇江市2020-2021学年度第一学期高三年级期中检测数学试题(word版)
2020—2021学年度第一学期期中检测试题高三数学一、单项选择题∶本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数5i 34i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A.()3,4 B.()4,3- C.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 2.已知集合{}1,0,1A =-，{}132,x x B y y x +==-∈Z ，则A B =（ ）A.{}1,0,1-B.{}1,1-C.{}1,0-D.{}0,1 3.已知点51,3tan 6P π⎛⎫- ⎪⎝⎭是角θ终边上一点，则cos θ的值为（ ）A.12 C.12- D. 4.在边长为2的等边ABC △中，,BD DC AP PD ==，则BP AC ⋅的值为（ ）A.1-B.12- C.1 D.525.将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A 、B 、C 、D 四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A 班，丁不能分配到B 班，则共有分配方案的种数为（ ）A.10B.12C.14D.246.直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在同一球面上，且2AB AC ==，90BAC ∠=︒，1AA =，则该球的表面积为（ ）A.40πB.32πC.10πD.8π7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”.设直线l 交抛物线214y x =于,A B 两点，若,OA OB 恰好是Rt OAB △的“勾”“股”（O 为坐标原点），则此直线l 恒过定点（ ）。
江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期期中质量检测数学试卷(含解析)
镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷2024.11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则的元素个数为A．1B．2C．3D．42．设复数，则的虚部是A．1B．C．i D．3．等比数列的各项均为正数，若，，则A．588B．448C．896D．2244．已知向量，，则向量在上的投影向量为A．B．C．D．5．已知，函数在上没有零点，则实数的取值范围A．B．C．D．6．已知为第一象限角，且，则A．9B．3C．D．7．设无穷等差数列的公差为，其前项和为．若，则“有最小值”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．在中，角，，的对边分别为，，若，则的最小值为AB．CD．{}1,2,3,4A=(){}2|log12B x x=-≤A B21i izi--=+z1-i-{}na1237a a a++=4322a a a=+789a a a++= a=()1,1b=-a b+=ab11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,2-()2,2-11,22⎛⎫-⎪⎝⎭a∈R()()e,0,ln1,0x a xf xx a x⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩R a()0,+∞()1,+∞[){}1,0+∞(){}1,0+∞θtan tan03⎛⎫++=⎪⎝⎭πθθ1cos21cos2+=-θθ1319{}na d nnS1a<nS0d≥ABC△A B C a b c22BC BC AB=⋅cos A1213二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则A ．是偶函数B ．的最小正周期为C ．的最大值为D ．在上单调递增10．已知函数的导函数为A ．只有两个零点B ．C ．是的极小值点D ．当时，恒成立11．如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则A ．存在，使得B ．当时，存在，使得平面C ．当，时，四面体D ．当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为________米．，答案保留整数）()cos sin f x x x =⋅()f x ()f x π()f x 12()f x 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π()()2(1)44f x x x =--+()f x '()f x ()()4f x f x -'='1x =()f x 0x ≥()0f x ≥SO SAB △C AB 2AC CB =SM SC = λ(01,01)SN SB =<<<<μλμ()0,1∈λBC AM ⊥23=μ()0,1∈λ//AM ONC 13=λ23=μSAMN AN SC ⊥57=μED A D 45︒ED B D 60︒E 30︒ 1.7≈13．已知数列是单调递增数列，其前项和为（，为常数），写出一个有序数对________，使得数列是等差数列．14．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为________；若，则数列的通项公式为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在锐角三角形中，角，，所对的边分别是，，，已知．（1）求的值；（2）若，求的值．16．（15分）已知函数，．（1）求证：直线既是曲线的切线，也是曲线的切线；（2）请在以下三个函数：①；②；③中选择一个函数，记为，使得该函数有最大值，并求的最大值．17．（15分）已知，数列前项和为，且满足；数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数，使得数列是等差数列？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由；（3）求使得不等式成立的的最大值．18．（17分）在四棱锥中，，，平面，，分别为，的中点，．{}n a n 2n S An Bn =+A B (),A B =R ()g x ()212y g x =+-()g x ()*123211111n n a g g g g n n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N {}n a ABC △A B C a b c cos 3cos22A A +=-cos A 23b c =sin C ()21f x x x =+-()e x g x =1y x =+()y f x =()y g x =()()f x g x +()()f x g x ⋅()()f xg x ()yh x =()h x *n ∈N {}n a n n S 21n n S a =-{}n b 12b =112n nb b +=-{}n a λ1n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭λλ2n n nb a ≥n P ABCD -90ABC ACD ∠=∠=︒30BCA CDA ∠=∠=︒PA ⊥ABCD E F PD PC 1AB =（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离；（3）若二面角．19．（17分）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．PAC ⊥AEF 2PA =F ACE A PD C --PA ()ln f x ax x x =-1a =()f x 1x >()1f x <-a *n ∈N ()111ln 11nni i n i ==>+>+∑镇江市2024~2025学年度第一学期高三期中质量检测数学试卷答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C 【解析】，共3个元素，选C ．2．【答案】B 【解析】，虚部为，选B ．3．【答案】B 【解析】，∴，∴或（舍），选B ．4．【答案】D 【解析】，∴在上的投影向量，选D ．5．【答案】D 【解析】时，无解，∴或；时，无解，∴则，选D ．6．【答案】C 【解析】，∴，，选C ．7．【答案】A 【解析】“有最小值”“”，∴“有最小值”是“”的充分不必要条件选A ．8．【答案】A 【解析】，∴，∴，∴ ，选A ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】AC 【解析】为偶函数，A 对．，∴为奇函数，B 错．，C 对．，，在单调递增，单调递减，D 错．10．【答案】ABD 【解析】，或3，在单调递减，单调递{|15}B x x =<≤{}2,3,4A B = 21(1)2122i i i z ii ---====-+1-4322a a a =+22q q =+2q =1-()6678912372448a a a a a a q ++=++=⨯=222282212a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+= 1a b ⋅=a b 2111,222||a b b b b ⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭0x ≤e x a =0a ≤1a >0x >()ln 1x a +=-0a ≥(){}1,0a ∈+ ∞tan tan 03⎛⎫++= ⎪⎝⎭πθθ3=πθ111cos21211cos2312-+==-+θθn S ⇔0d >n S 0d ≥22BC BC AB =⋅ 22cos a BC AB B =-⋅222222222a c b a ac a c b ac +-=-⋅=--+2222a b c =-22222222211132222cos 222b c b c b c b c a A bc bc bc ⎛⎫+--+ ⎪+-⎝⎭===≥=()f x ()()()()cos sin cos sin |f x x x x x f x +=++=-=-πππ()f x ()11sin cos sin222f x x x x ≤=≤0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π()1sin cos sin22f x x x x ==()f x 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ()()()3130f x x x =--='1x =()f x (),1-∞()1,3增，单调递减，，，∴有且仅有两个零点，A 对．关于对称，B 对．是极大值点，C 错．时，，恒成立，D 对．11．【答案】BCD 【解析】，则与不可能垂直，若，则面，则，则面矛盾，A 错．对于B ，取中点，则，过作交于点，此时为中点，则面平面，∴平面，对．对于D ，如图建系，，，， ，，，，∴，∴，D 对．时，，时，到平面的距离是到平面距离的，其中表示到平面的距离，是到平面距离，，C 对，选BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】31 【解析】如图，，，，设，则，，，，∴．13．【答案】（1，0）【解析】，为等差数列，即可以是．()3,+∞()()14f x f ==极大值()()30f x f ==极小值()f x ()f x '2x =1x =0x ≥()00f =()0f x ≥BC AC ⊥BC AM BC AM ⊥BC ⊥SAC BC SA ⊥BC ⊥SAB SN P //AP ON P //PM CN SC M M SC //APM ONC //AM ONC B ()0,A -()B ()0,0,6S (),66N -μ()6AN =+-μ()C 6)SC =- 0AN SC ⋅=6636360+-+=μμ57=μ23=μ23ASN SAB S S =△△13=λM SAB C SAB 1311213333M SAN SAN SAB V S h S h -='=⋅⋅△△h 'M SAB h C SAB 22122113627939932M SAN ABS SAB S ABC V S h S h --==⋅==⨯⨯⨯⨯=△△45DAC ∠=︒60DBC ∠=︒30EBC ∠=︒20AB =BC x =CE x =DC DC AC =20x =+x =31DE ==1A =0B =n =(),A B ()1,014．【答案】 【解析】关于对称，则∴，则关于对称，（第一空），∴，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1），∴，而为锐角三角形，，∴．（2），∴，∴，．16．【解析】（1）设与切于，，∴∴切线方程为，令 此时在处的切线方程为，即是的切线 联立，∴，∴在处的切线为∴也是的切线．（2）①中时，，显然无最大值．若选②，，，在上单调递减；上单调递增，上单调递减，时，且，，，∴．若选③， 在上单调递增；上单调递减；上单调递增 时，且，，，∴．17．【解析】（1）①，②，②-①，∴，而，∴∴成首项为1，公比为2的等比数列，∴．（2）假设存在，∴42n a n =+()212y g x =+-()0,0()()2122120g x g x -+-++-=()()12124g x g x -++=()g x ()1,21221111n n a g g g n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2121111n n n a g g g n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()212444421n n a n +=++⋅⋅⋅+=+共个42n a n =+()2cos 32cos 12A A +-=-26cos cos 10A A +-=()()2cos 13cos 10A A +-=ABC △cos 0A >1cos 3A =()12sin 3sin 2sin 3sin 2sin 3sin 3B C A C C C C C ⎫=⇒+=⇒⋅+=⎪⎪⎭7sin C C =tan C =sin C =1y x =+()e x g x =()00,e x P x ()e x g x '=0e x k =()000e e x x y x x =-+00e 10x x =⇒=()e x g x =0x =1y x =+1y x =+()g x 211y x y x x =+⎧⎪⎨=+-⎪⎩200x x =⇒=()f x 0x =1y x =+1y x =+()f x x →+∞()h x →+∞()h x ()()21e x h x x x =+-()()()()()22121e 2e 21e x x x h x x x x x x x x =-++-=--+=-+-'()h x (),2--∞()2,1-()1,+∞x →-∞()0h x <()0h x →()1e h =e 0>max ()e h x =()21e xx x h x +-=()()()22212e 1e 3e e x x x x x x x x x h x -='-+--=()h x (),0-∞()0,3()3,+∞x →+∞()0h x <()0h x →()01h =10>max ()1h x =21n n S a =-1121n n S a ++=-1122n n n a a a ++⇒=-12n n a a +=1121a a =-110a =≠{}n a 12n n a -=()1111111212n n n n n n nb b b b b b b --=-=---------λλλλλλ为常数，∴ 解得，∴存在使成等差数列，且公差为1．（3）由（2）知，∴ ∴令， ∴在上单调递减，注意到，，∴时，，∴．18．【解析】（1）证明：∵平面，∴，又∵，∴ ，∴平面，又∵，分别为，的中点 ∴，∴平面，∵平面，∴平面平面（2）如图建系∵，，，∴，，，∴，，，，∴，，，，设平面的一个法向量，∴，∴到平面的距离．（3）仿（2）建系，设，∴，，，，设平面和平面的一个法向量分别为，∴，显然二面角平面角为锐角，∴∴，即．()()()()()2221212121n n n n n n n n n b b b b b b b b b ---+-+==⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦λλλλλλ()121221==--+λλλλ1=λ1=λ11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭()11111n n n b =+-⋅=-11n b n =+122112121212n n n n n n n ---+⎛⎫+≥⇒+≥⇒≥ ⎪⎝⎭212n n n c -+=1121210222n n n n n n n n c c +---++--=-=<{}n c *n ∈N 4514c =>5618c =<5n ≥51n c c ≤<max 4n =PA ⊥ABCD PA CD ⊥90ACD ∠=︒CD AC ⊥PA AC A = CD ⊥PAC E F PD PC //EF CD EF ⊥PAC EF ⊂AEF AEF ⊥APC 1AB =30BCA CDA ∠=∠=︒90ABC ACD ∠=∠=︒2AC =BC =4AD =CD =()0,2,0A ()0,0,0C ()D ()0,2,2P )E()0,1,1F ()0,2,0CA =)CE =ACE (,,)n x y z = (201,0,0y n y z =⎧⇒=++= ()0,1,1CF = F ACE CF n d n⋅==PA m =(0,2,)P m (0,0,)AP m =()2,PD m =-- ()CD = APD PDC ()1111,,n x y z =()2222,,n x y z = ()11111020mz n y mz =⎧⎪⇒=⎨--=⎪⎩ ()22222200,,20z mz n m ⎧--=⎪⇒=-⎨=⎪⎩A PD C --1212cos n n n n ⋅=== θ2m =2PA =19．【解析】（1）时，，，令当时，，单调递减；当时，，单调递增．（2）对恒成立对恒成立而，，当时，，∴．（3）先证右边，证只需证：，由（1）知当时，（当且仅当时取“=”）∴，令，∴此时右边得证再证左边：易知时，，∴∴，∴，左边得证！综上：不等式得证！1a =()ln f x x x x =-()lnf x x '=()01f x x ='⇒=01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x '>()f x ()1f x <-1x ∀>1ln 1ln x ax x x a x x -⇒-<-⇒<1x ∀>10ln x x x->1x >x →+∞10ln x x x-→0a ≤⇔()()()11ln 1ln ln ln 1ln 2ln11ni n n n n i =<+-+--+⋅⋅⋅+-+∑()11ln 1ln ln1n n n n n +<+-=+1a =()ln 1f x x x x =-≥-1x =1ln 1x x ≥-11n x n +=>11ln 111n n n n n +>-=++()()11ln2ln1ln3ln2ln 1ln ln 11ni n n n i =<-+-+⋅⋅⋅++-=++∑1x >11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭1122<=1ln n n +<()ln 1ln n n >+-()()1ln2ln1ln3ln2ln 1ln ln 1ni n n n =>-+-+⋅⋅⋅++-=+。
2019-2020学年江苏省镇江市高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年江苏省镇江市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1,2，3，5，8}，则∁U A=______ ．2.命题“∃x∈R，x2−4x+4<0”的否定是 _____________．3.函数f(x)=2√x+2+lg(1−2x)的定义域是______ ．4.已知扇形的周长是10，面积是4，则扇形的圆心角的弧度数为：5.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(0)=______．6.若函数是偶函数，则实数a的值为________．7.已知：A+B=π4，且A≠π2+kπ，B≠π2+kπ，k∈Z，则(1+tanA)(1+tanB)=______ ．8.设函数f(x)=e x sin x的图像在点(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行，则m=____.9.函数的零点个数为____________．10.已知ab>0 , a+b=5，则2a+1+1b+1的最小值为__________．11.定义在(0,π2)的函数的最大值为__________12.已知α∈(π2,π),sinα=35,则tan(π4−α)=__________．13.已知函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．14.函数f(x)=|2x+a|+x−a，x∈R的最小值为3，则a的值为______ ．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知函数(1)求f(x)的最小正周期．(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最小值及以及取得最小值时x的集合．16.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若a+2b=2ccosA．(Ⅰ)求角C；(Ⅱ)已知△ABC的面积为√3，b=4，求边c的长．17.已知函数g(x)=f(x)+x(x∈R)为奇函数．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若x>0时，f(x)=log2x，求当x<0时，函数g(x)的解析式．18.已知函数f(x)是定义在[−e,0]∪(0，e]上的奇函数，当x∈[−e,0)时，有f(x)=ax−ln(−x)(其中e为自然对数的底，a∈R)．(1)求函数f(x)的解析式．(2)试问是否存在实数a，使得当x∈(0,e]时，f(x)的最大值是2？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．19.如图，在半径为40cm的半圆(O为圆心)形铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，C，D在圆周上．(1)设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示为x的函数，并写出定义域(2)应怎样截取，才能使矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？20.已知函数f(x)=x2−ax−aln x(a∈R)．(1)若函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥−x33+5x22−4x+116．-------- 答案与解析 --------1.答案：{4,6，7，9，10}解析：解：∵全集U ={n ∈N|1≤n ≤10}，A ={1,2，3，5，8}， ∴∁U A ={4,6，7，9，10}． 故答案为：{4,6，7，9，10}． 利用补集定义直接求解．本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2.答案：∀x ∈R ，x 2−4x +4≥0解析： 【分析】此题考查特称命题的否定，考查全称命题与特称命题的否定关系，考查计算能力． 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：命题“∃x ∈R ，x 2−4x +4<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2−4x +4≥0”. 故答案为∀x ∈R ，x 2−4x +4≥0．3.答案：(−2,12)解析： 【分析】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，是基础题． 根据函数成立的条件即可求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则{x +2>01−2x >0，即{x >−2x <12，即−2<x<12，∴函数的定义域为(−2,12)，故答案为：(−2,12).4.答案：解析：【分析】本题是基础题，考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，考查计算能力，是高考中常见的题型．【解答】解：设扇形的弧长为：l半径为r，所以2r+l=10，所以l=2，r=4，所以扇形的圆心角的弧度数是，故答案为．5.答案：32解析：解：根据函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象，可得14⋅2πω=7π12−π3，∴ω=2，再根据五点法作图可得2⋅7π12+φ=2π，求得φ=5π6，∴f(x)=3sin(2x+5π6)，∴f(0)=3sin5π6=32，故答案为：32．由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f(0)的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．6.答案：−1解析：本题主要考查函数的奇偶性及对数运算，是基础题．由偶函数定义得出等式求出a的值即可．【解答】解：因为函数f(x)是偶函数，所以f(−x)=f(x)，即lg(1−x)+lg(1−ax)=lg(1+x)+lg(1+ax)，也即lg(1−x)(1−ax)=lg(1+x)(1+ax)所以1+ax2−(a+1)x=1+ax2+(a+1)x，所以(a+1)=0，故a=−1．故答案为−1．7.答案：2解析：解：∵A+B=π4，且A≠π2+kπ，B≠π2+kπ，k∈Z，∴tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=tan45°=1∴tanA+tanB+tanAtanB=1∴(1+tanA)(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB=2故答案为：2．根据正切的两角和公式，利用tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=1可求得tanA+tanB+tanAtanB的值，代入(1+tanA)(1+tanB)答案可得．本题主要考查了两角和与差的正切函数．注意对两角和与差公式的变形利用．8.答案：−1解析：【分析】本题属于利用导数求某点处的曲线方程，考察了对导数的几何意义的理解．首先要判定点是否满足曲线，而后求导求出切线方程的斜率，切线方程与直线x+my+l=0平行，故斜率相等．属中等题．【解答】解：点(0,0)满足曲线f(x)，对f(x)求导：f′(x)=e x sinx+e x cosx；过(0,0)的切线方程斜率为：f′(0)=1；∴切线方程为：y−0=1×(x−0)⇒y=x；由直线x+my+l=0，则y=−1m x−1m∵切线方程与直线x+my+l=0平行；∴−1m=1解得m=−1．故答案为−1．9.答案：4【分析】本题考查函数的零点与方程的根，由f(x)=0得|lgx|=sinx，分别作出两个函数的图象，根据图象的交点个数进行判断即可.属基础题目．【解答】解：令f(x)=0得|lgx|=sinx，作出y=|lgx|与y=sinx的函数图象，如图所示：由图象可以知道两图象有4个交点，所以f(x)共有4个零点.故答案为4．10.答案：3+2√27解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于一般题．由已知得a+1+b+1=7，然后利用基本不等式求解即可．【解答】解：因为ab>0 , a+b=5，所以a+1+b+1=7，a>0，b>0所以2a+1+1b+1=17(a+1+b+1)(2a+1+1b+1)=17(3+2(b+1)a+1+a+1b+1)≥17(3+2√2(b+1)a+1×a+1b+1)=3+2√27，当且仅当a+1=√2(b+1)时取等号，所以2a+1+1b+1的最小值为3+2√27．故答案为3+2√27．11.答案：3√3【分析】本题考查了利用导函数研究其单调性，求其最大值的问题．属于基础题．利用导函数研究其单调性，求其最大值．【解答】解：函数f(x)=8sinx−tanx，那么：f′(x)=8cosx−1cos2x =8cos3x−1cos2x，令f′(x)=0，得：cosx=12∵x∈(0,π2)，∴x=π3.当x∈(0,π3)时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(0,π3)上是单调增函数．当x∈(π3,π2)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(π3,π2)上是单调减函数．∴当x=π3时，函数f(x)取得最大值为3√3，故答案为3√3.12.答案：7解析：由题意知tanα=sinαcosα=−34，tan(π4−α)=tanπ4−tanα1+tanπ4tanα=1−(−34)1+1⋅(−34)=7.13.答案：解：依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x−a=0，即2x=a必有一个根，此时0<a≤1；当x>0时，方程有两个不等的实根，即方程x2−3ax+a=0有两个不等的正实根，于是有，由此解得a>49．因此，满足题意的实数a需满足即．故答案为．解析：本题考查函数的零点与方程根的关系，分段函数性质，考查了分析能力和转化能力，属于中档题．要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x−a=0必有一个根，当x>0时，方程有两个不等的实根，根据指数函数的性质和一元二次方程根的分布即可求出a的范14.答案：−2解析：解：∵f(x)=|2x+a|+x−a={−x−2a,x<−a2 3x,x≥−a2故函数f(x)在区间(−∞,−a2]上为减函数，在区间[−a2,+∞)上为增函数，故当x=−a2时，函数f(x)=|2x+a|+x−a取最小值−32a故−32a=3解得a=−2故答案为：−2利用零点分段法，将函数f(x)的解析式化为分段函数，进而根据一次函数的图象和性质，求出函数的最值，进而可得a的值．本题考查的知识点绝对值函数，分段函数的单调性和最值，其中分析出原函数的单调性及最值点是解答的关键．15.答案：解：f(x)=cos2x−2sinxcosx−sin2x=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)，(1)T=π；(2)∵0≤x≤π2,∴π4≤2x+π4≤54π，当2x+π4=π⇒x=38π，∴x=38π时，f(x)有最小值−√2．故x的集合{3π8}．解析：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的最值的求法，先把函数化简为y= Asin(wx+ρ)或y=Acos(wx+ρ)的形式再解题，为基础题．(1)先根据三角函数的二倍角公式化简为y=√2cos(2x+π4)，再由T=2π2可得答案．(2)先根据x的范围确定2x+π4的范围，再由余弦函数的性质可求出最小值．16.答案：解：(Ⅰ)由正弦定理有sinA+2sinB=2sinCcosA，有sinA+2sin(A+C)=2sinCcosA，得sinA+2sinAcosC=0．由0<A<π，得sinA>0，有cosC=−12，由0<C <π，得C =2π3．(Ⅱ)△ABC 的面积为12absinC =√3． 又b =4，sinC =√32，∴a =1．由余弦定理得：c 2=1+16−2×1×4×(−12)=21． ∴c =√21．解析：本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的三角函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．(Ⅰ)已知等式利用正弦定理和两角和的正弦公式化简、整理并结合已知条件，可确定出C 的度数； (Ⅱ)由题意，根据三角形面积公式，求出边a ，再由余弦定理即可求出边c ．17.答案：解：(1)∵函数g(x)=f(x)+x(x ∈R)为奇函数，∴g(−x)=−g(x)， 即f(−x)−x =−f(x)−x ， 即f(−x)=−f(x) 则函数f(x)是奇函数； (2)∵x <0，∴−x >0， 则f(−x)=log 2(−x)， ∵函数f(x)是奇函数，∴f(−x)=log 2(−x)=−f(x)， 即f(x)=−log 2(−x)，x <0，则g(x)=f(x)+x =x −log 2(−x)，x <0故当x <0时，函数g(x)的解析式为g(x)=x −log 2(−x)，x <0．解析：(1)根据函数奇偶性的定义进行判断； (2)根据函数奇偶性的性质即可求g(x)的解析式．本题主要考查函数奇偶性的判断，和函数奇偶性的应用，利用定义法是解决本题的关键．18.答案：解：(1)当x ∈(0,e]时，−x ∈[−e,0)，则f(−x)=a(−x)−lnx ，又f(x)是奇函数，故f(x)=−f(−x)=ax +lnx ， 故f(x)={ax −ln(−x),−e ≤x <0ax +lnx,0<x ≤e ；(2)当x ∈(0,e]时，f(x)=ax +lnx ， f′(x)=a +1x =ax+1x，①当a ≥0时，f′(x)>0，f(x)在区间(0,e]递增，故函数f(x)在区间(0,e]上的最大值是f(e)=ae +1=2，故a =1e >0满足题意；②当−1a ≥e ，即−1e ≤a <0时，f′(x)=a +1x ≥−1e +1x ≥−1e +1e =0，故f(x)在(0,e]递增，此时f(x)在区间(0,e]的最大值是f(e)=ae +1=2，则a =1e >0，不满足条件=1e ≤a <0；③当a <−1e 时，可得f(x)在区间(0,−1a ]递增，在区间[−1a ,e]递减，故x =−1a 时，f(x)max =f(−1a )=−1+ln(−1a )，令f(−1a )=2，得a =−1e 3>01e ，不满足条件，综上a =1e 时，函数f(x)在区间(0,e]上的最大值是2．解析：(1)设x ∈(0,−e]，则−x ∈[−e,0)，故f(−x)=−ax −ln(x)，根据函数的奇偶性求出此时的解析式，即可得到函数在定义域内的解析式；(2)假设存在实数a 满足条件，通过讨论a 的范围，利用函数的单调性求出函数的最小值，解出a 的值即可．本题考查对数函数的单调性和特殊点，函数的奇偶性，利用导数研究函数得最值，体现了分类讨论的数学思想，确定函数的最小值，是解题的难点和关键．19.答案：解：(1)AB =2OA =2√402−x 2=2√1600−x 2，∴y =f(x)=2x√1600−x 2，x ∈(0,40)．(2)y 2=4x 2(1600−x 2)≤4×(x 2+1600−x 22)2=16002，即y ≤1600，当且仅当x =20√2时取等号．∴截取AD =20√2时，才能使矩形材料ABCD 的面积最大，最大面积为1600cm 2．解析：(1)AB =2OA =2√1600−x 2，可得y =f(x)的解析式．(2)平方利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)f′(x)=2x −a −a x ，由题意可得f′(1)=0，解得a =1．经检验，a =1时f(x)在x =1处取得极值，所以a =1．(2)证明：由(1)知，f(x)=x 2−x −ln x ，令g(x)=f(x)−(−x 33+5x 22−4x +116)=x 33−3x 22+3x −ln x −116，由g′(x)=x2−3x+3−1x =x3−1x−3(x−1)=(x−1)3x(x>0)，可知g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)=0，所以f(x)≥−x33+5x22−4x+116成立．解析：本题考查了函数的极值，考查不等式的证明以及导数的应用，是一道中档题．(1)求出函数的导数，求出a的值，检验即可；(2)令g(x)=f(x)−(−x33+5x22−4x+116)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．。
2023-2024学年江苏省镇江市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省镇江市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x 2+2x ﹣3＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣3，2）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（﹣∞，2）2．已知复数z 满足(1−2i)z =2+i ，则|z |＝（ ） A ．15B ．√55C ．1D ．√53．已知△ABC 中，点G 为△ABC 所在平面内一点，则“AB →+AC →−3AG →=0”是“点G 为△ABC 重心”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知x ，y 均为正数，且2x+6y=1，则3x +y 最小值为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．245．已知函数f （x ）＝sin （x +θ）．甲：函数y ＝f （x ）图象一个最高点和相邻的最低点距离为√π2+4；乙：函数f （x ）为偶函数；丙：当x ＝π时，函数f （x ）取得极值；丁：函数y ＝f （x ）图象的一个对称中心为（π，0）．甲、乙、丙、丁四人对函数f （x ）的论述中有且只有两人正确，则实数θ的值为（ ） A ．kπ2(k ∈Z) B ．k π（k ∈Z ） C ．2k+12π(k ∈Z)D ．2k π（k ∈Z ）6．棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为α，两相邻侧面所成的二面角为大小为β，则（ ） A ．α＜π4B ．β＞2π3C ．α＜β＜2αD ．β＝2α7．已知0＜α＜β＜π2，a ＝sin 3β﹣sin 3α，b ＝3ln sin β﹣3ln sin α，c ＝3sin β﹣3sin α．则下列选项正确的是（ ） A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b8．等比数列{a n }中，a 1012＝1，a 1011＞a 1012，则满足(a 1−1a 1)+(a 2−1a 2)+⋯+(a n −1a n)＞0的最大正整数n 为（ ） A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列结论正确的是（ ） A ．若a ＞b ＞c ＞0，则ca＞cbB ．若a ＞b ＞c ＞0，则b+ca+c＞baC ．若a ，b 为正数满足a +b ＝1，则2a−b ＞12D ．若a ，b 为正数，则a+b 2≥2ab a+b10．已知函数f （x ）＝﹣x 3+x +1的导函数为f ′（x ），两个极值点为α，β，则（ ） A ．f （x ）有三个不同的零点 B ．α+β＝0C ．f （α）+f （β）＝1D ．直线y ＝x +1是曲线y ＝f （x ）的切线11．已知等差数列{a n }中，a 1＝100，公差d ＝﹣3，前n 项和为S n ，则（ ） A ．数列{Sn n}为等差数列 B ．当n ＝34时，S n 值取得最大 C ．存在不同的正整数i ，j ，使得S i ＝S jD ．所有满足a i +a j ＝101（i ＜j ）的正整数i ，j 中，当i ＝17，j ＝18时，a i a j 值最大12．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝2，空间点P 满足AP →=λ1AB →+λ2AC →+λ3AA 1→，则（ ） A ．当λ1=λ2=λ3=12时，P 为正方形B 1BCC 1对角线交点 B ．当λ1+λ2+λ3＝2时，P 在平面A 1BC 内 C ．当λ3＝1时，三棱锥P ﹣ABC 的体积为2√33D ．当λ1＝λ3，且λ1+λ2＝1时，有且仅有一个点P ，使得AP ⊥BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a →=(3，1)，b →=(1，0)，c →=(1，2)，若c →⊥(a →+mb →)，则m ＝ ．14．已知三个互不相等的一组实数a ，b ，c 成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数a ，b ，c 为 ．15．半径为r 的球O 内有一圆锥，该圆锥的高为32r ，底面圆周在球O 的球面上，则球O 的体积与该圆锥的体积之比为 ．16．海岛上有一座高塔，高塔顶端是观察台，观察台海拔1000m ．在观察台上观察到有一轮船该轮船航行的速度和方向保持不变．上午11时，测得该轮船在海岛北偏东60°，俯角为30°处11时20分测得该轮船在海岛北偏西60°，俯角为60°处，则该轮船的速度为 m /h ，再经过 分钟后，该轮船到达海岛的正西方向．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|22−x≥1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣m2+1＜0}．（1）若m＝2，求（∁R A）∩B；（2）若_____，求实数m的取值范围．在以下两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；②A∩B＝B．18．（12分）设函数f(x)=log3(9x−k⋅3x−3)，其中k为常数．（1）当k＝2时，求f（x）的定义域；（2）若对任意x∈[1，+∞），关于x的不等式f（x）≥x恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，cosCsin(A+π6)−sinCsin(A−π3)=12．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且AC＝1，求△ABC周长的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}对任意n∈N*满足a n+1=3a n1+2a n．（1）如果数列{a n}为等差数列，求a1；（2）如果a1=3 2；①是否存在实数λ，使得数列{1a n−λ}为等比数列？如果存在，请求出所有的λ，如果不存在，请说明为什么？②求数列{a n}的通项公式．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形，PD⊥底面ABCD．（1）若平面PDB⊥平面PBC，证明：BC⊥BD；（2）若四边形ABCD是正方形，PD＝DC＝3，点M在棱PC上，且满足PM＝2MC，点N是棱PB上的动点，问：当点N在何处时，直线PD与平面DMN所成角的正弦值取最大值．22．（12分）已知函数f(x)=lnx−ax+1．（1）若函数f（x）存在两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，不等式ke f(x1)+f(x2)−4+lnkx1+x2−2≥0恒成立，求实数k的最小值，并求此时a的值．2023-2024学年江苏省镇江市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x 2+2x ﹣3＜0}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣3，2）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（﹣∞，2）解：因为A ＝{x |log 2x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x 2+2x ﹣3＜0}＝{x |﹣3＜x ＜1}， 所以A ∪B ＝{x |﹣3＜x ＜2}． 故选：A ．2．已知复数z 满足(1−2i)z =2+i ，则|z |＝（ ） A ．15B ．√55C ．1D ．√5解：由(1−2i)z =2+i ，得：|1−2i||z|=|2+i|，所以|z|=1，即|z |＝1． 故选：C ．3．已知△ABC 中，点G 为△ABC 所在平面内一点，则“AB →+AC →−3AG →=0”是“点G 为△ABC 重心”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：依题意AB →+AC →−3AG →=AG →+GB →+AG →+GC →−3AG →=GA →+GB →+GC →=0→， 则G 是△ABC 重心，即充分性成立； 若G 是△ABC 重心时，GA →+GB →+GC →=0→，可得GA →+GB →+GC →=AG →+GB →+AG →+GC →−3AG →=AB →+AC →−3AG →=0→， 所以AB →+AC →−3AG →=0→，必要性成立， 故选：C ．4．已知x ，y 均为正数，且2x +6y=1，则3x +y 最小值为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24解：因为x ，y 均为正数，且2x+6y=1，所以3x +y =(3x +y)(2x +6y )=6+18xy +2yx +6≥12+2√18x y ⋅2yx =12+2√36=24，当且仅当18x y=2y x，即x ＝4，y ＝12时等号成立，所以3x +y 最小值为24．故选：D ．5．已知函数f （x ）＝sin （x +θ）．甲：函数y ＝f （x ）图象一个最高点和相邻的最低点距离为√π2+4；乙：函数f （x ）为偶函数；丙：当x ＝π时，函数f （x ）取得极值；丁：函数y ＝f （x ）图象的一个对称中心为（π，0）．甲、乙、丙、丁四人对函数f （x ）的论述中有且只有两人正确，则实数θ的值为（ ） A ．kπ2(k ∈Z) B ．k π（k ∈Z ） C ．2k+12π(k ∈Z)D ．2k π（k ∈Z ）解：对于甲，f （x ）＝sin （x +θ），f （x ）图象一个最高点和相邻的最低点距离为√π2+4，正确； 对于乙，f （x ）为偶函数，则θ=π2+kπ，k ∈Z ； 对于丙，x ＝π处取极值，π+θ=π2+kπ，k ∈Z ，故θ=−π2+kπ，k ∈Z ； 对于丁，f （x ）的一个对称中心（π，0），由π+θ＝k π，k ∈Z ，得θ＝﹣π+k π，k ∈Z ； 乙丙条件相同，有且仅有两个正确，则甲丁正确，故θ＝k π，k ∈Z ． 故选：B ．6．棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为α，两相邻侧面所成的二面角为大小为β，则（ ） A ．α＜π4B ．β＞2π3C ．α＜β＜2αD ．β＝2α解：设正四棱锥的棱长为2，连AC ，BD 相交于O ，取AB ，PD 的中点E ，F ，连FO ，PE ，EO ，AF ，CF ， 由正四棱锥且棱长都相等可知，PO ⊥面ABCD ， PE ⊥AB ，EO ⊥AB ，AF ⊥PD ，CF ⊥PD ，由题意及二面角平面角的定义可得：∠PEO ＝α，∠AFC ＝β， 又CF =AF =PE =2×√32=√3，PO =√2，OC =√2，OE ＝1， 则tanα=√21=√2，tan β2=OC OF =√2√PO −PF=√2，又α，β2∈(0，π2)，∴α=β2，即β＝2α． 故选：D ．7．已知0＜α＜β＜π2，a ＝sin 3β﹣sin 3α，b ＝3ln sin β﹣3ln sin α，c ＝3sin β﹣3sin α．则下列选项正确的是（ ） A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解：由于0＜α＜β＜π2，∴0＜sin α＜sin β＜1，a ﹣c ＝sin 3β﹣3sin β﹣（sin 3α﹣3sin α）， 令f （x ）＝x 3﹣3x ，x ∈（0，1），f ′（x ）＝3（x +1）（x ﹣1）＜0，∴f （x ）在（0，1）单调递减，所以f （sin α）＞f （sin β），∴a ﹣c ＜0，∴a ＜c ． c ﹣b ＝3（sin β﹣ln sin β）﹣3（sin α﹣ln sin α）， 令g （x ）＝3（x ﹣lnx ），x ∈（0，1）， g ′(x)=3(x−1)x＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，g （sin α）＞g （sin β）， ∴c ﹣b ＜0， ∴c ＜b ， ∴a ＜c ＜b ． 故选：A ．8．等比数列{a n }中，a 1012＝1，a 1011＞a 1012，则满足(a 1−1a 1)+(a 2−1a 2)+⋯+(a n −1a n)＞0的最大正整数n 为（ ） A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024解：根据题意，等比数列{a n }中，设其公比为q ， 则数列{1a n}是首项为1a 1，公比为1q的等比数列，等比数列{a n }中，若a 1012＝1，则a 1q 1011＝1，变形可得a 1=1q 1011，又由a 1011＞a 1012，则0＜q ＜1，故（a 1−1a 1）+（a 2−1a 2）+……+（a n −1a n）＝（a 1+a 2+……+a n ）﹣（1a 1+1a 2+⋯⋯+1a n）=a 1(1−q n )1−q −1a 1(1−1q n )1−1q=1−q n q 1011(1−q)−q 1012−n (1−q n )1−q ，若(a 1−1a 1)+(a 2−1a 2)+⋯+(a n −1a n )＞0，即1−q n q 1011(1−q)−q 1012−n (1−q n )1−q ＞0，又由0＜q ＜1，则1−q n 1−q＞0，则有1q 1011−q 1012﹣n ＞0，变形可得：q 2023﹣n ＜1，而0＜q ＜1，必有n ＜2023，故最大正整数n 为2022． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列结论正确的是（ ） A ．若a ＞b ＞c ＞0，则ca＞cbB ．若a ＞b ＞c ＞0，则b+ca+c＞baC ．若a ，b 为正数满足a +b ＝1，则2a−b ＞12D ．若a ，b 为正数，则a+b 2≥2ab a+b解：∵ca −c b=c(b−a)ab，且a ＞b ＞c ＞0，∴ca ＜cb，A 错．∵b+c a+c−b a=a(b+c)−b(a+c)a(a+c)=ab+ac−ab−bc a(a+c)=(a−b)ca(a+c)＞0，∴b+ca+c＞ba，B 对．∵a +b ＝1，则b ＝1﹣a ，a ∈（0，1），2a−b =2a−(1−a)=22a−1∈(12，2)，C 对． ∵a ＞0，b ＞0，（a +b ）2≥4ab ，∴a+b 2≥2ab a+b，D 对．故选：BCD ．10．已知函数f （x ）＝﹣x 3+x +1的导函数为f ′（x ），两个极值点为α，β，则（ ） A ．f （x ）有三个不同的零点 B ．α+β＝0C ．f （α）+f （β）＝1D ．直线y ＝x +1是曲线y ＝f （x ）的切线解：由函数f （x ）＝﹣x 3+x +1，可得f ′（x ）＝﹣3x 2+1，令f ′（x ）＝0，解得x =±√33，当x ∈(−∞，−√33)时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈(−√33，√33)时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈(√33，+∞)时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；所以，当x =−√33时，函数f （x ）取极小值为f(x)极小值=f(−√33)=1−2√39＞0， 当x =√33时，函数f （x ）取极大值为f(x)极大值=f(√33)=1+2√39＞0， 且两个极值点之和为0，所以B 正确；又由当x →+∞时，f （x ）＜0，且函数连续不间断，所以函数f （x ）在(√33，+∞)上有且仅有一个零点，所以A 不正确；由f(α)+f(β)=1−2√39+1+2√39=2，所以C 错误； 当x ＝0时，可得f ′（0）＝1，f （0）＝1，所以曲线y ＝f （x ）在点（0，1）处的切线方程为y ＝x +1，所以D 正确． 故选：BD ．11．已知等差数列{a n }中，a 1＝100，公差d ＝﹣3，前n 项和为S n ，则（ ）A ．数列{Snn }为等差数列B ．当n ＝34时，S n 值取得最大C ．存在不同的正整数i ，j ，使得S i ＝S jD ．所有满足a i +a j ＝101（i ＜j ）的正整数i ，j 中，当i ＝17，j ＝18时，a i a j 值最大 解：S n =n ⋅100+n(n−1)2(−3)=−32n 2+2032n ，S n n =−32n +2032∴{Snn }是公差为−32的等差数列，A 对．y =−32x 2+2032x ，对称轴x =2036离对称轴最近的整数34，若n ＝34时，S n 取得最大，B 对． y =−32x 2+2032x ，对称轴x =2036，不可能有i ，j 使得S i ＝S j ，C 错． a n ＝100+（n ﹣1）（﹣3）＝﹣3n +103，a i +a j ＝101，∴i +j ＝35， a i a j ＝（﹣3i +103）（﹣3j +103）＝（﹣3i +103）[﹣3（35﹣i ）+103] ＝（﹣3i +103）（3i ﹣2） ＝﹣9i 2+315i ﹣206， 令y ＝﹣9x 2+315x ﹣206，对称轴x =352，所以i ＝17，j ＝18时，a i a j 值最大，D 对． 故选：ABD ．12．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝2，空间点P 满足AP →=λ1AB →+λ2AC →+λ3AA 1→，则（ ） A ．当λ1=λ2=λ3=12时，P 为正方形B 1BCC 1对角线交点 B ．当λ1+λ2+λ3＝2时，P 在平面A 1BC 内 C ．当λ3＝1时，三棱锥P ﹣ABC 的体积为2√33D ．当λ1＝λ3，且λ1+λ2＝1时，有且仅有一个点P ，使得AP ⊥BC解：对A 选项，∵AP →=12AB →+12AC →+12AA 1→=AD →+12AA 1→，∴DP →=12AA 1→，∴P 为正方形B 1BCC 1对角线交点，∴A 选项正确；对B 选项，∵当λ1＝λ2＝0，λ3＝2时，AP →=2AA 1→，P ∉平面A 1BC ，∴B 选项错误； 对C 选项，当λ3＝1时，AP →=λ1AB →+λ2AC →+AA 1→，∴A 1P →=λ1AB →+λ2AC →， ∴P ∈平面A 1B 1C 1，S △ABC =12×2×2×√32=√3， ∴V P−ABC =13×√3×2=2√33，∴C 选项正确；对D 选项，建系如图，则A （√3，0，0），B （0，﹣1，0），C （0，1，0），A 1（√3，0，2），λ2＝1﹣λ1，AP →=λ1AB →+(1−λ1)AC →+λ1AA 1→=（−√3，1﹣2λ1，2λ1，），BC →=(0，2，0)，∴AP →⋅BC →=2(1−2λ1)=0，∴λ1=12，∴P 为正方形B 1BCC 1对角线交点，P 点唯一，∴D 选项正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a →=(3，1)，b →=(1，0)，c →=(1，2)，若c →⊥(a →+mb →)，则m ＝ ﹣5 ． 解：因为a →=(3，1)，b →=(1，0)，c →=(1，2)，所以a →⋅c →=3×1+1×2=5，b →⋅c →=1×1+0×2=1， 因为c →⊥(a →+mb →)，所以c →⋅(a →+mb →)=a →⋅c →+mb →⋅c →=0， 即5+m ＝0，解得m ＝﹣5． 故答案为：﹣5．14．已知三个互不相等的一组实数a ，b ，c 成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数a ，b ，c 为 ﹣4，2，﹣1（答案不唯一） ． 解：﹣4，2，﹣1成等比数列，而﹣4，﹣1，2成等差数列， ∴a ，b ，c 可取﹣4，2，﹣1．故答案为：﹣4，2，﹣1．（答案不唯一）．15．半径为r 的球O 内有一圆锥，该圆锥的高为32r ，底面圆周在球O 的球面上，则球O 的体积与该圆锥的体积之比为329．解：圆锥顶点为P ，底面圆心为O 1，则PO 1=32r ，OO 1=12r ，所以圆锥底面半径为√r 2−(12r)2=√32r ，球体积43πr 3，圆锥体积13⋅34πr 2⋅32r =38πr 3，所以球O的体积与该圆锥的体积之比为43πr 338πr 3=329．故答案为：329．16．海岛上有一座高塔，高塔顶端是观察台，观察台海拔1000m ．在观察台上观察到有一轮船该轮船航行的速度和方向保持不变．上午11时，测得该轮船在海岛北偏东60°，俯角为30°处11时20分测得该轮船在海岛北偏西60°，俯角为60°处，则该轮船的速度为 1000√39 m /h ，再经过 10 分钟后，该轮船到达海岛的正西方向．解：设轮船上午11时位于A ，11：20位于B ，OM 为观察台，OM ＝1000，BM 与底面AOB 所成角∠MBO ＝60°， ∴BO =1000√3=1√3，AM与底面AOB所成角∠MAO＝30°，∴AO=1000√3m=√3km，∴AB2=13+3−21√3√3×(−12)=133，∴AB=√133km，从A到B的时间t=13ℎ，∴v船=√133×3=√39km/ℎ=1000√39m/ℎ，延长AB与x轴交于E点，设∠ABO＝θ，∴√3sinθ=√13√32，可得sinθ=33213，∴sinα＝sin（θ﹣30°）=33213×√32−5213×12=4413=113，在△BOE中，BE12=1√31√13，可得BE=√1323，∴还需时间t=1323139=16ℎ=10min．故答案为：1000√39，10．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A={x|22−x≥1}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣m2+1＜0}．（1）若m＝2，求（∁R A）∩B；（2）若_____，求实数m的取值范围．在以下两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答①“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；②A∩B＝B．解：（1）m＝2时，A中：22−x ≥1可得x2−x≥0，∴0≤x＜2，故A＝{x|0≤x＜2}，B 中：解x 2﹣2x ﹣3＜0可得﹣1＜x ＜3， ∴B ＝{x |﹣1＜x ＜3}， ∴∁R A ＝{x |x ＜0或x ≥2}，∴（∁R A ）∩B ＝{x |﹣1＜x ＜0或2≤x ＜3}；（2）若选①，若 x ∈A 是 x ∈B 的充分不必要条件，则A ⊆B ， 而B 中：x 2﹣2x ﹣（m ﹣1）（m +1）＝（x +m ﹣1）（x ﹣m ﹣1）＜0， 显然m ≠0，否则B ＝∅．当m ＞0时，B ＝{x |1﹣m ＜x ＜m +1}， ∴{1−m ＜01+m ≥2，解得m ＞1， 当m ＜0时，B ＝{x |m +1＜x ＜1﹣m }， ∴{m +1＜01−m ≥2，解得m ＜﹣1， 综上m 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 若选②：∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， 若 m ＝0，则B ＝∅，符合．若m ＞0，则B ＝{x |1﹣m ＜x ＜m +1}， ∴{1−m ≥−11+m ≤2m ＞0，0＜m ≤1，若m ＜0，则B ＝{x |m +1＜x ＜1﹣m }， ∴{1+m ≥−11−m ≤2m ＜0，解得﹣1≤m ＜0，综上：实数m 的取值范围为[﹣1，1]．18．（12分）设函数f(x)=log 3(9x −k ⋅3x −3)，其中k 为常数． （1）当k ＝2时，求f （x ）的定义域；（2）若对任意x ∈[1，+∞），关于x 的不等式f （x ）≥x 恒成立，求实数k 的取值范围． 解：（1）当k ＝2时，函数f(x)=log 3(9x −2⋅3x −3)，要使函数有意义，只需要：9x ﹣2•3x ﹣3＞0⇒（3x +1）•（3x ﹣3）＞0⇒3x ＜﹣1或3x ＞3， ∵3x ＞0，∴3x ＞3，即函数的定义域为（1，+∞）， （2）∵f(x)=log 3(9x −k ⋅3x −3)，∴9x−k ⋅3x−3＞0⇒k ＜9x−33x =3x −33x ，∵x ∈[1，+∞）∴3x ∈[3，+∞）⇒3x −33x ∈[2，+∞)∴k 的取值范围是（﹣∞，2）， 又log 3(9x −k ⋅3x −3)≥x 恒成立，可得9x ﹣k •3x ﹣3≥3x 恒成立，∴k +1≤9x−33x =3x −33x ，∴k +1≤(3x −33x )min=2， 即k ≤1，故实数k 的取值范围是（﹣∞，1]．19．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，cosCsin(A +π6)−sinCsin(A −π3)=12． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且AC ＝1，求△ABC 周长的取值范围． 解：（1）由条件得cosC ⋅cos(A −π3)−sinCsin(A −π3)=12， 得cos(C +A −π3)=12，则cos(π−B −π3)=12， 所以cos(B +π3)=−12． 因为0＜B ＜π，所以π3＜B +π3＜4π3，所以B +π3=2π3，得B =π3． （2）在△ABC 中由正弦定理得b sinB=a+c sinA+sinC=√3，所以：a +c =2√3+sin(A +π3)]=2√3+12sinA +√32cosA) =2√3(32sinA +√32cosA)=2√3⋅√3sin(A +π6)=2sin(A +π6)， 因为△ABC 为锐角三角形，则{0＜A ＜π20＜π−A −π3＜π2，得π6＜A ＜π2， 所以π3＜A +π6＜2π3，即√32＜sin(A +π6)≤1，得√3＜a +c ≤2， 故△ABC 周长的取值范围为(1+√3，3]．20．（12分）已知数列{a n }对任意n ∈N *满足a n+1=3an1+2a n．（1）如果数列{a n }为等差数列，求a 1； （2）如果a 1=32；①是否存在实数λ，使得数列{1a n−λ}为等比数列？如果存在，请求出所有的λ，如果不存在，请说明为什么？②求数列{a n }的通项公式． 解：（1）由a n+1=3a n1+2a n ，可得a 2=3a 11+2a 1，a 3=3a 21+2a 2=9a 11+2a 11+6a 11+2a1=9a 11+8a 1， 因为{a n }成等差数列，可得a 1+9a 11+8a 1=6a 11+2a 1，当a 1＝0时，a n ＝0符合条件． 当a 1≠0时，1+91+8a 1=61+2a 1，整理得4a 12−5a 1+1=0，解得a 1=14或a 1＝1，当a 1＝1时，a n ＝1符合条件；当a 1=14时，a 2=12，a 3=34，此时a 4=3×341+2×34=910， a 3﹣a 2≠a 4﹣a 3，不满足{a n }为等差数列，舍去， 综上可得，a 1＝0或a 1＝1． （2）①当a 1=32时，1a n+1=1+2a n3a n =13a n+23，假设存在这样的λ，则1a n+1−λ=13(1a n−λ)，即1a n+1=13a n+23λ，所以23λ=23，解得λ＝1，所以1a n+1−1=13(1a n−1)，又因为1a 1−1=−13≠0，所以数列{1a n−1}成首项为−13，公比为13的等比数列，故存在实数λ＝1符合题意． ②由①知：1a n−1=−13⋅(13)n−1=−(13)n，所以a n =11−(13)n=3n3n−1． 21．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为平行四边形，PD ⊥底面ABCD ． （1）若平面PDB ⊥平面PBC ，证明：BC ⊥BD ；（2）若四边形ABCD 是正方形，PD ＝DC ＝3，点M 在棱PC 上，且满足PM ＝2MC ，点N 是棱PB 上的动点，问：当点N 在何处时，直线PD 与平面DMN 所成角的正弦值取最大值．（1）证明：如图，∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ，过D 作DE ⊥PB 于点E ，平面PDB ⊥平面PBC ，平面PDB ∩平面PBC ＝PB ，DE ⊂平面PBD ，故DE ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，故DE ⊥BC ，PD ，DE ⊂平面PBD ，PD ∩DE ＝D ， 故BC ⊥平面PBD ，BD ⊂平面PBD ， 故BC ⊥BD ；（2）解：由题，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设PN ＝λPB ，λ∈[0，1]，PD ＝DC ＝AD ＝3，故D （0，0，0），P （0，0，3）， 而PM ＝2MC ，M （0，2，1），B （3，3，0），则DP →=(0，0，3)，PB →=(3，3，−3)，PN →=(3，3，−3)，DN →=DP →+PN →=(3λ，3λ，3−3λ)，DM →=（0，2，1），设平面DMN 的一个法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DN →=0n →⋅DM →=0，即{3λx +3λy +(3−3λ)z =02y +z =0，取y ＝λ得到n →=（2﹣3λ，λ，﹣2λ）， 设PD 与平面DMN 所成角为θ， sinθ=|DP →⋅n →||DP →|⋅|n →|=6λ3⋅√(2−3λ)2+λ+4λ=2λ√14λ−12λ+4，sin θ最大时，考虑λ∈(0，1]，sinθ=2√4λ2−12λ+14，令1λ=t ，t ∈[1，+∞)，sinθ=√4t 2−12t+14，当t =32时，sin θ最大，此时λ=23，PN =23PB ，即N 为PB 上靠近B 的三等分点时，直线PD 与平面DMN 所成角的正弦值最大． 22．（12分）已知函数f(x)=lnx −ax+1． （1）若函数f （x ）存在两个不同的极值点x 1，x 2，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，不等式ke f(x 1)+f(x 2)−4+ln kx 1+x 2−2≥0恒成立，求实数k 的最小值，并求此时a 的值．解：（1）函数f(x)=lnx −ax+1的定义域为（0，+∞）， 且f ′(x)=1x +a (x+1)2=x 2+(2+a)x+1x(x+1)2，因为函数f （x ）存在两个不同的极值点x 1，x 2， 所以x 2+（2+a ）x +1＝0有两个不等的正根x 1，x 2，所以{Δ=(2+a)2−4＞0x 1+x 2=−(2+a)＞0x 1x 2=1＞0，解得a ＜﹣4，故实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣4）．（2）∵f(x 1)+f(x 2)−4=lnx 1−ax 1+1+lnx 2−ax 2+1−4=−a(x 1+x 2)+2a (x 1+1)(x 2+1)−4=−a(2+a)+2a1−(2+a)+1−4=−a −4，又不等式ke f(x 1)+f(x 2)−4+ln kx 1+x 2−2≥0恒成立，∴ke −a−4+lnk−a−4≥0恒成立，令﹣a ﹣4＝t ，∴t ＞0， ∴ke t +ln kt≥0对∀t ＞0恒成立， 即e t +lnk +lnk ﹣lnt ≥0对∀t ＞0恒成立， 即e t +lnk +t +lnk ≥t +lnt ＝lnt +e lnt 对∀t ＞0恒成立， 令g （x ）＝e x +x ，则g （x ）在R 上单调递增，由g （t +lnk ）≥g （lnt ），所以t +lnk ≥lnt ，则lnk ≥lnt ﹣t ， 令h （t ）＝lnt ﹣t ，（t ＞0），则ℎ′(t)=1t −1=1−tt ，所以当0＜t ＜1时h ′（t ）＞0，当t ＞1时h ′（t ）＜0， 所以h （t ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 所以h （t ）max ＝h （1）＝﹣1，∴lnk ≥（lnt ﹣t ）max ＝﹣1，∴k ≥1e，∴k 的最小值为1e，此时t ＝1，则a ＝﹣5．。
镇江市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷(含答案)
江苏省镇江市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷姓名一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}22log 1,230,A x x B x x x A B =<=+-=⋃=则 （ ） A ．(3,2)-B．C ．(0,2)D ．2．已知复数(12)2,z i z i z -=+=满足则 （ ） A ．15B．C ．1D ．3．已知ABC G ABC ∆∆中，点为所在平面内一点，则“30AB AC AG +-=uu u r uu u r uuu r r”是“G ABC ∆点为重心”的A ．充分不必要条件B．C ．充要条件D ．4．已知26,13x y x y x y+=+均为正数，且，则的最小值为 （ ） A ．12B．C ．20D ．5．已知函数()sin().()f x x y f x θ=+=甲：函数数()f x 为偶函数；丙：当()x f x π=时，函数取得极值；丁：函数()y f x =图象的一个对称中心为(,0)π.甲、乙、丙、丁四人对函数()f x 的论述中有且只有两人正确，则实数θ的值为 （ ）A ．()2k k Z π∈ B． C ．1()2k k Z π+∈ D ． 6．棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为α，两相邻侧面所成的二面角大小为β，则（ ）A ．4πα<B．C ．2αβα<<D ．7．已知330,sin sin ,3ln sin 3ln sin ,3sin 3sin 2a b c παββαβαβα<<<==-=-则下列选项正确的是A ．b c a >>B．C ．b a c >>D ．（ ）8．等比数列{}10121011101212121111,,()()()0n n na a a a a a a a a a =>-+-++->中，则满足L 的最大整数n 为 A ．2021B．C ．2023D ．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列结论正确的是 （ ） A ．若0,c ca b c a b>>>>则B ．C ．若1,1,22a ba b a b ⋅+=>为正数满足则 D ．若2,,2a b aba b a b+≥+为正数则10．已知函数3()1()f x x x f x αβ'=-++的导函数为，两个极值点为，，则 （ ）A ．()f x 有三个不同的零点B ．C ．()()1f f αβ+=D ．的切线11．已知数列{}11003,n n a a d n S ==-中，，公差前项和为，则 （ ） A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．当值取得最大C ．存在不同的正整数,i j i j S S =，使得D ．值最大12．在正三棱柱111112312,ABC A B C AB AA P AP AB AC AA λλλ-===++中，已知空间点满足uu u r uu u r uu u r uuu r，则（ ）A ．当1231112P B BCC λλλ===时，为正方形对角线交点B ．当C ．当313P ABC λ=-时，三棱锥的体积为D ．当1312,1P AP BC λλλλ=+=⊥且时，有且仅有一个点，使得三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．已知向量(3,1),(1,0),(1,2),()=a b c c a mb m ===⊥+若，则r r r r r r.14．已知三个互不相等的一组实数,,a b c 成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数,,a b c 为 .15．半径为32r O r O O 的球内有一圆锥的高为，底面圆周在球的球面上，则求的体积与该圆锥的体积之比为 .16．海岛上有一座高塔，高塔顶端是观察台，观察台海拔1000m .在观察台上观察到有一轮船，该轮船航行的速度和方向保持不变，上午11时，测得该轮船在海岛北偏东060，俯角为030处，11时20分测得该轮船在海岛北偏西060，俯角为060处，则该轮船的速度为 /m h ，再经过 分钟后，该轮船到达海岛的正西方向.四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知集合{}2221210.2A x B x x x m x ⎧⎫=≥=--+<⎨⎬-⎩⎭，集合（1）若2()R m C A B =⋂，求；（2）若 ，求实数m 的取值范围.在以下两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答 . ①“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；②.A B B ⋂=18．设函数3()log (933)x x f x k k =-⋅-，其中为常数.（1）当2()k f x =时，求的定义域；（2）若对任意[1,)()x x f x x k ∈+∞≥，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.19．在1,,cos sin()sin sin().632ABC A B C a b c C A C A ππ∆+--=中，角，，对边分别， （1）求B ；（2）若1ABC AC ABC ∆=∆为锐角三角形，且，求周长的取值范围.20．已知数列{}13.12nn n na a n N a a *+∈=+对任意满足（1）如果数列{}n a 为等差数列，求1a ；（2）如果132a =，①是否存在实数λ，使得数列1n a λ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列？如果存在，请求出所有的λ，如果不存在，请说明为什么？②求数列{}n a 的通项公式.21．如图，四棱锥.P ABCD PD ABCD -⊥的底面为平行四边形，底面 （1）若平面PDB PBC BC BD ⊥⊥平面，证明：； （2）若四边形32ABCD PD DC M PC PM MC N PB ===是正方形，，点在棱上，且满足，点是棱上的动点，问：当点N PD DMN 在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.22．已知函数()ln .1a f x x x =-+ （1）若函数()f x 存在两个不同的极值点12,x x a ，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，不等式12()()412ln02f x f x kke k x x +-+≥+-恒成立，求实数的最小值，并求此时a 的值.镇江市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷姓名一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}22log 1,230,A x x B x x x A B =<=+-=⋃=则 （ A ） A ．(3,2)-B．C ．(0,2)D ．2．已知复数(12)2,z i z i z -=+=满足则 （ C ） A ．15B．C ．1D ．3．已知ABC G ABC ∆∆中，点为所在平面内一点，则“30AB AC AG +-=uu u r uu u r uuu r r”是“G ABC ∆点为重心”的A ．充分不必要条件B．C ．充要条件D ．4．已知26,13x y x y x y+=+均为正数，且，则的最小值为 （ D ） A ．12B．C ．20D ．5．已知函数()sin().()f x x y f x θ=+=甲：函数数()f x 为偶函数；丙：当()x f x π=时，函数取得极值；丁：函数()y f x =图象的一个对称中心为(,0)π.甲、乙、丙、丁四人对函数()f x 的论述中有且只有两人正确，则实数θ的值为 （ B ）A ．()2k k Z π∈ B． C ．1()2k k Z π+∈ D ． 6．棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为α，两相邻侧面所成的二面角大小为β，则（ D ）A ．4πα<B．C ．2αβα<<D ．7．已知330,sin sin ,3ln sin 3ln sin ,3sin 3sin 2a b c παββαβαβα<<<==-=-则下列选项正确的是A ．b c a >>B．C ．b a c >>D ．（ A ）8．等比数列{}10121011101212121111,,()()()0n n na a a a a a a a a a =>-+-++->中，则满足L 的最大整数n 为 A ．2021B．C ．2023D ．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列结论正确的是 （ BCD ） A ．若0,c ca b c a b>>>>则B ．C ．若1,1,22a ba b a b ⋅+=>为正数满足则 D ．若2,,2a b aba b a b+≥+为正数则10．已知函数3()1()f x x x f x αβ'=-++的导函数为，两个极值点为，，则 （ BD ）A ．()f x 有三个不同的零点B ．C ．()()1f f αβ+=D ．的切线11．已知数列{}11003,n n a a d n S ==-中，，公差前项和为，则 （ ABD ） A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．当值取得最大C ．存在不同的正整数,i j i j S S =，使得D ．值最大12．在正三棱柱111112312,ABC A B C AB AA P AP AB AC AA λλλ-===++中，已知空间点满足uu u r uu u r uu u r uuu r，则（ ACD ）A ．当1231112P B BCC λλλ===时，为正方形对角线交点 B ．当 C ．当32313P ABC λ=-时，三棱锥的体积为D ．当1312,1P AP BC λλλλ=+=⊥且时，有且仅有一个点，使得三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．已知向量(3,1),(1,0),(1,2),()=a b c c a mb m ===⊥+若，则r r r r r r3- .14．已知三个互不相等的一组实数,,a b c 成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数,,a b c 为 4,2,1-- .15．半径为32r O r O O 的球内有一圆锥的高为，底面圆周在球的球面上，则求的体积与该圆锥的体积之比为329. 16．海岛上有一座高塔，高塔顶端是观察台，观察台海拔1000m .在观察台上观察到有一轮船，该轮船航行的速度和方向保持不变，上午11时，测得该轮船在海岛北偏东060，俯角为030处，11时20分测得该轮船在海岛北偏西060，俯角为060处，则该轮船的速度为 100039 /m h ，再经过 10 分钟后，该轮船到达海岛的正西方向.四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知集合{}2221210.2A x B x x x m x ⎧⎫=≥=--+<⎨⎬-⎩⎭，集合（1）若2()R m C A B =⋂，求；（2）若 ，求实数m 的取值范围.在以下两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答 . ①“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；②.A B B ⋂=17．解：（1）22,12m A x=≥-中：18．设函数3()log (933)x xf x k k =-⋅-，其中为常数.（1）当2()k f x =时，求的定义域；（2）若对任意[1,)()x x f x x k ∈+∞≥，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．解：（1）32()log (9233)x x k f x ==-⋅-时，，19．在1,,cos sin()sin sin().632ABC A B C a b c C A C A ππ∆+--=中，角，，对边分别， （1）求B ；（2）若1ABC AC ABC ∆=∆为锐角三角形，且，求周长的取值范围.19．解：（1）有条件得1cos cos()sin sin(A )332C A C ππ---=，20．已知数列{}13.12nn n na a n N a a *+∈=+对任意满足（1）如果数列{}n a 为等差数列，求1a ；（2）如果132a =，①是否存在实数λ，使得数列1n a λ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列？如果存在，请求出所有的λ，如果不存在，请说明为什么？②求数列{}n a 的通项公式.20．解：（1）112112311211933129,6121218112a a a a a a a a a a a a +====+++++，21．如图，四棱锥.P ABCD PD ABCD -⊥的底面为平行四边形，底面 （1）若平面PDB PBC BC BD ⊥⊥平面，证明：； （2）若四边形32ABCD PD DC M PC PM MC N PB ===是正方形，，点在棱上，且满足，点是棱上的动点，问：当点N PD DMN 在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.21．证明：（1）PD ABCD ⊥底面Q ，22．已知函数()ln .1a f x x x =-+ （1）若函数()f x 存在两个不同的极值点12,x x a ，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，不等式12()()412ln02f x f x kke k x x +-+≥+-恒成立，求实数的最小值，并求此时a 的值.22．解：（1）2221(2)1()0(1)x(1)a x a x f x x x x +++'=+==++，。
江苏省镇江中学2020届高三上学期期中调研试题(强化班)数学试题 含答案解析
江苏省镇江中学2020届高三年级第一学期期中调研试题数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}(3)0x x x -<，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A I B ＝ ． 答案：{1，2} 考点：集合的运算解析：因为集合A ＝{}(3)0x x x -<， 所以A ＝(0，3)，又B ＝{﹣1，0，1，2，3}， 所以A I B ＝{1，2}． 2．i 是虚数单位，复数15i1i--＝ ． 答案：2i 3-+ 考点：复数解析：2215i (15i)(1i)5i 4i 164i2i 31i (1i)(1i)1i 2--+--+-====-+--+-． 3．函数y =的定义域为 ．答案：(1，2]考点：函数的定义域解析：由题意得：12log (1)010x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩，则21x x ≤⎧⎨>⎩，故原函数的定义域为(1，2]．4．已知α是第二象限角，其终边上一点P(x)，且2cos 3α=-，则x 的值为 ．答案：﹣2考点：三角函数的定义解析：由α终边上一点P(x，得2cos 3α==-，解得：24x =，α是第二象限角，所以x 的值为﹣2．5．右图是一个算法流程图，则输出的i 的值为 ．答案：3考点：程序框图解析：第一次，S ＝400，不满足退出的循环条件，i ＝1； 第二次，S ＝800，不满足退出的循环条件，i ＝2； 第三次，S ＝1200，不满足退出的循环条件，i ＝3；第四次，S ＝1600，满足退出的循环条件．故输出的i 的值为3．6．若同时抛掷两枚骰子，则向上的点数之差的绝对值为3的慨率是 ． 答案：16考点：古典概型解析：同时抛掷两枚骰子，基本事件总数为36，其中向上的点数之差的绝对值为3的事件数为6，故P ＝636＝16． 7．若正四棱锥的底面边长为22，侧面积为422，则它的体积为 ． 答案：8考点：棱锥体积解析：设四棱锥为P —ABCD ，底面ABCD 的中心为O 取CD 中点E ，连结PE ，OE ，则PE ⊥CD ，OE ＝2， ∵S 侧面＝4S △PCD ＝4×12×CD ×PE ＝422， ∴PE ＝11，PO ＝3，∴正四棱锥体积V ＝12222383⨯⨯⨯=．8．设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若3a ＝5，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a ＝ ． 答案：21n -考点：等差数列的通项公式解析：∵1S ，5S ，7S 成等差数列，∴25S ＝1S ＋7S ，即314107a a a =+故3331027()a a d a d =-++，又3a ＝5，求得d ＝2， ∴n a ＝5(3)2n +-＝21n -． 9．在△ABC 中，B ＝4π，BC 边上的高等于13BC ，则cosA ＝ ．答案：10-考点：余弦定理解析：设BC 边上的高AD 为x ，则a ＝BC ＝3x ，BD ＝x ，CD ＝2x ，故c ＝ABx ，b ＝AC＝，由余弦定理得：cosA ＝2222b c a bc +-22210-．10．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，则21x y xy++的最小值为 ．答案：5 考点：基本不等式解析：212323232()()55x y x y x y y xx y xy xy x y x y x y+++++==+=++=++≥当且仅当1x y =+=⎪⎩时取“＝”．11．已知a ∈R ，设函数2, 1(), 1x x ax a x f x ae x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 ． 答案：1e≤a ≤4 考点：函数与不等式（恒成立问题）解析：分两部分完成，第一部分20x ax a -+≥对1x ≥恒成立，第二部分0xae x -≥对1x <恒成立．（1）先20x ax a -+≥对1x ≥恒成立，当x ＝1时，符合题意；当x ＞1时，参变分离得：211211x a x x x ≤=-++--，因为1121x x -++-≥4，当x ＝2时取“＝”，故上式恒成立时a ≤4； （2）再解0xae x -≥对1x <恒成立，参变分离得：x x a e ≥，令()x x p x e =，1()0xxp x e -'=>，故()p x 单调递增， ∴1()(1)x x p x p e e=<=要使0xae x -≥对1x <恒成立，则a ≥1e．综上所述，a 的取值范围为1e≤a ≤4．12．在△ABC 中，已知(4AB AC -u u u r u u u r )⊥CB u u u r，则sinA 最大值等于 ．答案：35考点：余弦定理，平面向量数量积与向量垂直，基本不等式解析：∵(4AB AC -u u u r u u u r )⊥CB u u u r∴(4AB AC -u u u r u u u r )·CB u u u r＝0∵CB u u u r ＝AB AC -u u u r u u u r，代入上式，并化简得：24AB 5AB AC AC 0-⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，故2245cos A 0c bc b -+=，得2244cos A 0555b c b cbc c b+==+>， 由同角三角函数关系式，可知sinA 最大时，cosA 最小，由44cos A 555b c c b =+≥，当且仅当b ＝2c 时取“＝”， 此时sinA 最大值等于35．13．已知实数1a ，2a ，3a ，4a 满足1230a a a ++=，2142420a a a a a +-=，且1a ＞2a ＞3a ，则4a 的取值范围是 ． 答案：(12+-，12) 考点：不等式与不等关系，一元二次方程与一元二次不等式 解析：∵1230a a a ++=，1a ＞2a ＞3a ， ∴1a ＞0，1a ＞2a ＞﹣1a ﹣2a ，得21112a a -<<∵2142420a a a a a +-= ∴22441(1)a a a a =- 当4a ＝1时，显然不符题意；当4a ≠1时，224141a a a a =∈-(12-，1)，解得12+-＜4a＜12， 故4a 的取值范围是(12+-，12)． 14．已知2()(ln )(ln )f x ax x x x x =+--恰有三个不同零点，则a 的取值范围为 ．答案：(1，221e e e e-+-)考点：函数与方程解析：令()0f x =，变形得：2ln ln ()(1)(1)0x xa a x x+---=， 令ln xt x=，得2(1)(1)0t a t a +---=， 发现ln x t x =，21ln xt x-'=， 当0＜x ＜e ，0t '>，ln x t x =在(0，e )上单调递增；当x ＞e ，0t '<，ln xt x =在(e ，+∞)上单调递增，且ln x t x =＞0．且ln x t x =在x ＝e 时有最大值1e．当2(1)(1)0t a t a +---=有唯一根或无解时，原方程最多两解，不符题意； 当2(1)(1)0t a t a +---=有两根时，1t t =或2t t =，规定12t t <，要使原方程有三个解，则直线1y t =，2y t =与ln xy x=的交点恰有三个， 即转化为2(1)(1)0t a t a +---=的两根10t ≤，210t e<<，则22(1)4(1)0(1)011(1)(1)0a a a a a ee ⎧⎪-+->⎪--≤⎨⎪⎪+--->⎩，解得1＜a ＜221e e e e -+-． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，∠BAD ＝90°，且AB ＝2AD ＝2DC ＝2PD ，E 为PA 的中点．（1）证明：DE ∥平面PBC ； （2）证明：DE ⊥平面PAB ．证明：（1）设PB 的中点为F ，连结EF 、CF ，EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC ，------2分 ，且EF ＝DC ＝12AB ． 故四边形CDEF 为平行四边形，-----4分 可得ED ∥CF------5分又ED ⊄平面PBC ，CF ⊂平面PBC ，-------6分 故DE ∥平面PBC --------------7分注：（证面面平行也同样给分）（2）因为PD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥PD 又因为AB ⊥AD ，PD I AD ＝D ，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ----11分ED ⊂平面PAD ，故ED ⊥AB ．-------12分又PD ＝AD ，E 为PA 的中点，故ED ⊥PA ；---------13分PA I AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以ED ⊥平面PAB ----------14分 16．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ﹣b )sinA ＝(b ＋c )(sinC ﹣sinB)．（1）求角C 的值； （2）若cos(B ＋6π)＝13，求sinA ．17．（本题满分14分）已知a ，b 为实数，函数2()1f x x a x b =---． （1）已知a ≠0，讨论()y f x =的奇偶性；（2）若b ＝1，①若a ＝2，求()f x 在x ∈[0，3]上的值域；②若a ＞2，解关于x 的不等式()f x ≥0．18．（本题满分16分）在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC＝120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD＝60°，路宽AD＝27米，设灯柱高AB＝h(米)，∠ACB＝θ(30°≤θ≤45°)．（1）求灯柱的高h(用θ表示)；（2）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．19．（本题满分16分）对于给定的正整数k ，若正项数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-+--+++++L L 2()k n a =，对任意的正整数n (n ＞k )总成立，则称数列{}n a 是“G(k )数列”．（1）证明：正项等比数列{}n a 是“”；（2）已知正项数列{}n a 既是“G(2)数列”，又是“G(3)数列”，①证明：{}n a 是等比数列；②若21a qa =，N q *∈，且存在N t *∈，使得2134t t a a ++-为数列{}n a 中的项，求q的值．20．（本题满分16分）已知函数321()13f x x ax bx =+++(a ，b ∈R)． （1）若b ＝0，且()f x 在(0，+∞)内有且只有一个零点，求a 的值；（2）若a 2＋b ＝0，且()f x 有三个不同零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由；（3）若a ＝1，b ＜0，试讨论是否存在0x ∈(0，12)U (12，1)，使得01()()2f x f =．。
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江苏省镇江市镇江一中2020届高三期初考试
数学试卷 2019．9
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知集合A ＝{}2x x <，B ＝{﹣2，0，1，2}，则A
B ＝ ． 2．已知i 是虚数单位，则复数212i (2i)2i
++-对应的点在第 象限． 3．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2）分别为：9.4，9.2，10.0，10.6，10.8，则这组样本数据的方差为 ．
4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ．
5．在区间[﹣1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x ﹣5)2
＋y 2＝9相交”发生的概率为 ．
6．已知函数ln 20()0
x x f x x a x ->⎧=⎨+≤⎩，，，若(())f f e ＝2a ，则实数a ＝
． 第4题 7．若实数x ，y ∈R ，则命题p ：69x y xy +>⎧⎨
>⎩是命题q ：33x y >⎧⎨>⎩的 条件．（填“充分不
8．已知函数1(12)31()21
x a x a x f x x --+<⎧=⎨≥⎩，，的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 9．若a ＝21.4，b ＝80.2，c ＝2log 41
()2-，则a ，b ，c 的大小关系是 （用“＞”连接）．
10．已知函数()f x 是定义在[2﹣a ，3]上的偶函数，在[0，3]上单调递减，且2()5
a
f m --＞2(22)f m m -+-，则实数m 的取值范围是 ．
11．已知P 是曲线211ln 42y x x =
-上的动点，Q 是直线324y x =-上的动点，则PQ 的最小值为 ．
12．若正实数m ，n ，满足226m n m n
+++=，则mn 的取值范围为 ． 13．若关于x 的方程222(1)1+40x x x ax ---=恰有4个不同的正根，则实数a 的取值范围是 ．
14．设()f x '和()g x '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()f x '·
()g x '＜0在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性相反．若函数31()2(0)3
f x x ax a =
->与()g x
=
2x 2bx +在区间(a ，b )上单调性相反，则b ﹣a 的最大值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分14分）
己知集合A ＝{}2320x x x -+≤，集合B 为函数22y x x a =-+的值域，集合C ＝{
x }240x ax --≤．命题p ：A B ≠∅，命题q ：A ⊆C ．
（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；
（2）若命题p 且q 为真命题，求实数a 的取值范围．
16．（本小题满分14分） 已知函数2()(0)1
x f x x x =>+． （1）求证：函数()f x 在(0，+∞)上为增函数；
（2）设2()log ()g x f x =，求函数()g x 的值域；
（3）若奇函数()h x 满足x ＞0时()()h x f x =，当x ∈[2，3]时，(log )a h x -的最小值为43
-
，求实数a 的值．
17．（本小题满分14分） 已知函数1()212
x x f x =+-． （1）解关于x 的不等式()(2)f x f x ≥；
（2）若对任意x ∈R ，不等式[()1](2)12k f x f x +<+恒成立，求实数k 的取值范围．
18．（本小题满分16分）
设函数()(1)()f x x x x a =--(a ∈R)，()f x 的取得极值时两个对应点为A(α，()f α)，B(β，()f β)，线段AB 的中点为M ．
（1）如果函数()f x 为奇函数，求实数a 的值，并求此时()f α·()f β的值；
（2）如果M 点在第四象限，求实数a 的取值范围．
19．（本小题满分16分）
下图1是一座斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图2所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60 m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21：4，且点P 对两塔顶的视角为135°．
（1）求两索塔之间桥面AC 的长度；
（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问：两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．
20．（本小题满分16分）
已知函数()x
f x e =，()
g x ax b =+，a ，b ∈R ． （1）若(1)0g -
=，且函数()g x 的图象是函数()f x 图象的一条切线，求实数a 的值； （2）若不等式2
()f x x m >+对任意x ∈(0，+∞)恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）若对任意实数a ，函数()()()F x f x g x =-在(0，+∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．。