圆的认识二
圆的认识(二)知识点总结
圆的认识(二)知识点总结一、圆的对称性。
1. 轴对称性。
- 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。
圆有无数条对称轴。
- 例如，我们可以将一个圆形纸片沿着任意一条通过圆心的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这就体现了圆的轴对称性。
2. 中心对称性。
- 圆也是中心对称图形，对称中心为圆心。
- 把一个圆绕着圆心旋转任意一个角度后，都能与原来的图形重合。
在圆形的转盘游戏中，转盘绕着圆心旋转后，其位置虽然改变了，但形状和大小不变，这就是圆的中心对称性的体现。
二、弧、弦、圆心角的关系。
1. 定义。
- 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
例如在圆O中，∠ AOB的顶点O 是圆心，所以∠ AOB是圆心角。
- 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A、B为端点的弧记作overset{frown}{AB}。
- 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。
例如在圆O中，线段AB是弦，若AB经过圆心O，则AB是直径。
2. 关系定理。
- 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
- 例如，在圆O中，如果∠ AOB=∠ COD，那么overset{frown}{AB}=overset{frown}{CD}，AB = CD。
3. 推论。
- 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
- 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
三、圆周角。
1. 定义。
- 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
例如在圆O中，∠ACB的顶点C在圆上，且AC、BC都与圆相交，所以∠ ACB是圆周角。
2. 圆周角定理。
- 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
- 例如，在圆O中，弧overset{frown}{AB}所对的圆周角∠ ACB和圆心角∠ AOB，则∠ ACB=(1)/(2)∠ AOB。
圆的认识(二)教案
圆的认识（二）教案《圆的认识（二）》教学内容：北京师范大学版小学数学六年级第1卷第6页教学目标1．通过折纸活动，探索并发现圆是轴对称图形，理解同一个圆里半径和直径的关系。
2.进一步了解轴对称图形的特点，实现圆的对称性。
3．在折纸找圆心、验证圆是轴对称图形等活动，发展空间观念。
教学重难点：教学重点：了解同一圆的半径相等，同一圆半径与直径的关系，体验圆的对称性。
教学难点：在折纸的过程中体会圆的特征。
教具、学具教学准备：罗盘多媒体课件。
学生准备：圆纸、尺子、圆规教学过程一、创设情景，提出问题梁亮在CD的帮助下画了一个圆圈，然后剪出一张圆形的纸。
圆圈的中心在哪里？他很快就找到了。
你能查出来吗？2、自主学习、小组探究1．引导学生开展折纸活动，找到圆心。
（1）自己动手找到圆心。
（2）报告并交流在小组中找到圆心的过程，并说出你的想法。
引导生回答：对折的折痕就是直径，两条直径相交于一点，这一点就是圆心。
三、汇报交流，评价质疑1．在折纸中发现圆是对称图形请拿出一些圆圈，把它们叠在一起。
你发现了什么？与同龄人交流。
导游学生回答说：把圆圈对折，它正好重合。
圆是一个轴对称图形，直径为的直线是圆的对称轴，圆有无数的对称轴；在同一圆中，直径的长度是两个半径的总和。
2．引导学生用字母表示一个圆的直径与半径的关系。
引导生回答：d=2r或r=d/2。
设计意图：通过折纸活动，引导学生进一步了解同一圆的等半径特征，以及圆的轴对称性与同一圆的半径和直径之间的关系。
4、抽象概括、总结与推广1．说一说学过的图形中哪些是轴对称图形？你能画出它们的对称轴吗？正方形：4条长方形：2条等腰三角形：1条等边三角形：3条圆：无数条完成教科书第7页的“尝试”设计意图：引导学生对已学过的轴对称图形进行整理，进一步理解轴对称图形的特征，在对比中发现这些轴对称图形的不同点，突出圆具有很好的轴对称性。
2．要求学生剪出书本第7页“做一做”的三幅图，沿中心点a转动，同学们发现了什么？设计意图：引导学生在活动中体验图形的旋转对称性，圆圈是任意旋转对称图形。
《圆的认识(二)》圆
感谢您的观看。
圆与三角形
圆与多边形的关系也十分密切。多边形的内角平分线将多边形分成两个部分，一部分是凸多边形，另一部分是凹多边形。这些线段将多边形分成多个三角形，每个三角形都与圆有关。
圆与多边形
圆的面积和周长是数学竞赛中常见的题目类型。通过求解圆的面积和周长，可以考察学生的数学运算能力和对几何图形的掌握程度。
圆与多边形的关系在数学竞赛中也有广泛的应用。例如，求解多边形的内角平分线长度、判断多边形是否为凸多边形等题目都需要利用圆的知识。
微观结构
生物学和材料科学中，细胞和原子等微观结构往往呈现出圆形或近圆形的形状。对这些形状的研究有助于理解生命的本质和材料的性能。
06
CHAPTER
展，圆的应用也将更加广泛和创新，如建筑设计、艺术创作等。
圆的数学理论的发展
随着数学研究的深入，圆的性质和理论也将得到更加深入的研究和发展。
电路板设计
在摄像机和望远镜中，镜头的形状通常是圆的，以确保图像的清晰度和视野的广阔度。
镜头设计
计算机使用的硬盘和光盘等存储介质采用圆形设计，以最大化存储空间并确保数据的稳定性和可靠性。
磁盘存储
天体运动
天体物理学中的行星和卫星的运动轨迹通常被描述为圆形或椭圆形的路径。对圆形的研究有助于理解天体的运动规律和宇宙的演化。
古代数学家的研究
在微积分学中，圆是一个重要的概念。圆的面积和周长的计算方法被广泛应用，例如在物理学、工程学和社会科学等领域。
微积分学中的圆
圆是几何学中一个基本图形，圆的性质和定理是几何学的重要内容。从圆的定义和性质出发，可以引出许多重要的几何定理和问题。
圆与几何学
圆的内接三角形和外切三角形是圆中常见的三角形。这些三角形与圆有密切的联系，如三角形的内心和外心与圆的半径有关。
圆的认识(二)(教案)北师大版六年级上册数学
教案：圆的认识（二）北师大版六年级上册数学一、教学目标1. 知识与技能：理解圆的半径和直径的概念，掌握圆的特征，能识别圆的半径和直径，并学会用圆规画圆。
2. 过程与方法：通过观察、实验、推理等活动，培养学生的空间观念和几何直观能力，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对圆的探究兴趣，培养学生合作交流、积极参与的意识和习惯，感受数学与生活的紧密联系。
二、教学内容1. 圆的半径和直径的概念2. 圆的特征3. 圆的画法三、教学重点与难点1. 教学重点：圆的半径和直径的概念，圆的特征，圆的画法。
2. 教学难点：理解圆的半径和直径的概念，掌握圆的特征，学会用圆规画圆。
四、教具与学具准备1. 教具：圆规、直尺、圆卡片、多媒体课件。
2. 学具：圆规、直尺、练习本、彩笔。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生关注圆，激发学生对圆的探究兴趣。
2. 新课导入：介绍圆的半径和直径的概念，引导学生观察、实验，发现圆的特征。
3. 深入探究：引导学生通过小组合作，探讨圆的画法，总结圆的画法步骤。
4. 实践操作：学生动手用圆规画圆，巩固圆的画法。
5. 总结提升：通过实例，让学生感受圆在实际生活中的应用，提高学生的几何直观能力。
6. 课堂小结：回顾本节课所学内容，引导学生总结圆的半径和直径的概念，圆的特征及画法。
六、板书设计1. 圆的半径和直径的概念2. 圆的特征3. 圆的画法七、作业设计1. 课内练习：完成练习册上的相关习题，巩固圆的半径和直径的概念，圆的特征及画法。
2. 课外拓展：观察生活中的圆，思考圆在实际生活中的应用，并举例说明。
八、课后反思本节课通过观察、实验、推理等活动，让学生掌握了圆的半径和直径的概念，圆的特征及画法。
在教学过程中，注重培养学生的动手操作能力和解决问题的能力，激发学生对圆的探究兴趣。
但在教学过程中，也存在一些不足之处，如对学生的个别辅导不够，部分学生对圆的画法掌握不够熟练。
《圆的认识(二)》黄冈小状元
圆的认识（二）基础训练1.填一填。
（1）把圆沿任何一条直径对折，它的两边可以（），这说明圆是（）图形，它有（）条对称轴。
（2）正方形有（）条对称轴，长方形有（）条对称轴，等边三角形有（）条对称轴，等腰梯形有（）条对称轴。
（3）把一张圆形纸片至少对折（）次，就可以找到它的圆心。
（4）把2个大小不同的圆拼成组合图形，至少有（）条对称轴，最多有（）条对称轴。
2.选一选。
（将正确答案的序号填在括号里）（1）下面各图形中，（）一定是轴对称图形。
A.三角形B.梯形C.圆D.平行四边形（2）下列图形中，对称轴条数最多的是（）。
A. B. C. D.3.下面的图形是轴对称图形吗画出轴对称图形的两条对称轴。
4.与同桌合作，量一量，填一填。
（1）图中是固体胶的侧面，它的直径是（）mm。
（2）照样子找一个其他圆形物体，测量它的直径并记录下来，想一想，如何减少测量误差5.图中圆的位置发生了什么变化（1）从位置C向_____平移_____个方格到位置B，再向_____平移_____个方格到位置A。
（2）从位置C向_____平移_____个方格到位置D，再向_____平移_____个方格到位置E。
（3）从位置B到位置F，可以怎样平移6.如图，在长方形中有大小相等的4个圆，已知这个长方形的长是20 cm，圆的直径是多少厘米长方形的周长是多少厘米趣味作业7.用硬纸板做成下面三种图形，然后沿着中心点O转动，你发现了什么参考答案1.（1）完全重合轴对称无数（2）4 2 3 1（3）2（4）1 无数2.（1）C（2）D3.都是轴对称图形画对称轴略4.（1）26（2）测量与记录略多测几次求平均值5.（1）左 6 左 5（2）下 3 左 3（3）从位置B向下平移2个方格，再向左平移3个方格到位置F。
（答案不唯一）÷4＝5（cm）（20＋5）×2＝50（cm）7.略。
北师大版数学六年级上册《圆的认识(二)》课件
欢迎来到北师大版数学六年级上册《圆的认识(二)》课件，让我们一起探索圆 形的神奇之处！
什么是圆？
1 定义
圆是平面内所有到圆心距离都相等的点的集 合。
2 应用
圆形的独特性质使其具有广泛的应用，如在 建筑、设计、艺术等领域，以及数学和科学 研究中。
圆的基本要素
圆心和半径
圆心是圆上所有点的平均点， 半径是圆心到圆上任意一点的 距离。
直径的概念
直径是圆上任意两点之间的距 离，等于半径的二倍。
同心圆的意义
同心圆是指多个圆心相同但半 径不同的圆。
圆的内切和外接问题
内切圆和外接圆
内切圆是指与一个多边形相切的 圆，而外接圆是指完全包围多边 形的圆。
弦的概念
弦是两个圆上的点之间的线段， 也是两个切线之间的线段。
在同一个圆中，相交于同一弧的两个弦
所对应的两个圆心角互为补角。
3
公式应用
使用正弦定理、余弦定理、面积公式等 来解决各种圆形问题。
正多边形和圆形的关系
正多边形内接圆和外接 圆
正多边形可以由内接圆和外 接圆产生，圆心分别在多边 形内部和外部。
余弦定理的运用
余弦定理可用于求解正多边 形边长、面积、内角等问题。
面积和周长的比例
正多边形的面积和周长之比 可以用来查找各种不同大小 的正多边形之间的关系。
圆锥和圆柱的特性
1
圆锥和圆柱的定义
圆锥是由一条射线围绕着一个不在该射线上的点旋转形成的几何体，而圆柱则由 矩形绕着一条线旋转形成。
2
中心角和侧面积பைடு நூலகம்
圆锥的中心角是以圆锥的中心为顶点的角，侧面积是除了底面和顶面以外上下平 行面积的总和。
第二课时：圆的认识(二)
第二课时：圆的认识（二）1. 圆的特性回顾在上一节的课程中，我们学习了一些关于圆的基本概念和特性。
回顾一下：•圆是由一条闭合曲线组成的，它的每个点到圆心的距离都相等。
•圆的直径是通过圆心的两个点之间的距离，它的长度是圆的半径的两倍。
•圆的周长是圆上任意两点之间的弧长，它的值等于直径乘以π（pi），即周长 = 直径× π。
•圆的面积是圆内部的所有点构成的区域，它的值等于半径的平方乘以π，即面积 = 半径² × π。
2. 圆上的弧2.1 弧长我们已经知道，圆的周长就是圆上任意两点之间的弧长。
那么如何计算弧长呢？通常情况下，我们可以使用下面的公式来计算弧长：弧长 = 弧度 × 半径其中，弧度是度数除以180再乘以π所得到的值。
例如，一个90度的弧对应的弧度就是90/180 × π = π/2。
2.2 弧度制与度数制的转换在数学中，我们使用两种不同的角度制度：度数制和弧度制。
度数制是最常见的，我们使用的角度单位是度；而弧度制是数学中常用的一种角度量度方式，我们使用弧度作为单位。
我们可以通过以下公式进行度数制与弧度制之间的转换：弧度 = 度数× π/180度数 = 弧度× 180/π例如，将 60 度转换为弧度，可以使用60 × π/180 = π/3。
3. 圆的面积与周长计算3.1 圆的周长计算在前面的回顾中，我们已经知道圆的周长等于直径乘以π。
我们可以使用如下的公式计算圆的周长：周长 = 直径× π3.2 圆的面积计算同样地，在前面的回顾中，我们已经知道圆的面积等于半径的平方乘以π。
我们可以使用如下的公式计算圆的面积：面积 = 半径² × π4. 圆与其他几何图形的关系4.1 圆与正多边形的关系在数学中，正多边形指的是所有边和角都相等的多边形。
圆可以看作是一个具有无限多边形的正多边形，因为圆上的任意一条弧都可以看作是无限多个边的集合。
《圆——圆的认识(二)》数学教学PPT课件(4篇)
互动新授
沿任意一条直 径对折，都能 完全重合。
互动新授
我发现圆有很多条对称 轴，每条直径都是它的 一条对称轴。
将圆沿直径对折，正 好完全重合。圆是轴 对称图形。
互动新授
二.找轴对称图形的对称轴
我们学过的图形中哪些是轴对称图形？有几条对称轴？ 做一做，填一填。
图形名称 正方形 长方形 等腰三角形 平行四边形等腰梯形 圆
圆有无数条对称轴。
我们学过的图形中哪些是轴对称图形？ 有几条对称轴？做一做，填一填。
图形 名称
有几条 对称轴
正 长 等腰 平行 等腰 方形 方形 三角形四边形 梯形
圆
4条 2条 1条 0条 1条 无数
你有办法找到一个圆的圆心吗？ 把圆对折，再对折就能找到圆心。
请找出下面各图的对称轴，与同伴进行交流。
（ √） 8.圆有无数条对称轴。（ √ ）
2 剪下附页图1的圆、正方形和等边三角形，标出中 心点A，并将各个图形分别与下面相对应的图形重
合，然后沿中心点A转动图形，你发现了什么？
周长：9.42+9.42=18.84cm
这个图形的周长指的是 大圆周长的一半加上两 个小圆周长的一半的和。
可以先算大圆周 长的一半，再算 小圆周长的一半。
练习巩固
1、妙想要为半径是3cm的圆形小镜子围一圈丝带，她现在有 18cm长的丝带，估一估，够吗？
C=πd ，圆形小镜子的直径 是3×2=6cm。 π 的值是
你有什么发现？
本节目标
1．通过折纸活动，探索并发现圆是轴对称图形、有无数条对称轴，体会圆的对称性。 2．在验证圆是轴对称图形和折纸找圆心等活动中，发展空间观念。 3．能用圆的知识解释生活中的简单现象，感受数学与生活密切相关。
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学习目标：
1、通过折纸活动，进一步理解轴 对称图形的特征，体会圆的对称性。 2、理解同一个圆中半径与直径的 关系； 3、在折纸找圆心、验证圆是轴对 称图形等活动中，发展空间观念。
判断下面的说法是否正确
1.两端都在圆上的线段,叫做直径. ( ×
)
2.圆心到圆上任意一点的距离都相等. ( ∨ ) 3.半径为2厘米的圆比直径为3厘米的圆大 ( ∨ )
5.在一个边长为6厘米的正方形里画一个最 大的圆,这个圆的直径是( 6 )厘米
判断对错
1.直径等于半径的2倍.( × )
2.三角形是轴对称图形.( × ) 3.一个圆的直径是6厘米,那么它的半 径是3厘米.( ∨ ) 4.平行四边形是轴对称图形.( × )
填写表格
半径 3厘米 2厘米 1.8分 0.35米 10厘米
正方形
等腰梯形
等腰三角形
我们学过的图形中哪些是轴对称图形？有几条对称轴？ 做一做，填一填。
图形名称 正方形长方形等腰三角形平行四边形等腰梯形 圆 有几条对称轴 4条 2条 1条 0条 1条 无数
分别画出下面两组图形的所有对称轴
请找出下面各图的对称轴，与同伴进行交流。
4条
4条
6条
6条
1.下面的图形是轴对称图形吗？画出轴对称图形的2条对称轴。
4.所有圆的半径都相等. ( × )
5.画圆时,圆规两脚间的距离是半径的长度 ( ∨ )
6.在同一个圆里,所有直径的长度都相等 ( ∨ )
7.在同一个圆里,半径是直径的一半 ( ∨ )
8.两条半径可以组成一条直径 ( × )
1、半径、直径关系
半径、直径关系:
在同一个圆里，半径与直径长度有什么关系？
⑶从位置A到位置F，可以怎样平移？
想一想
剪下附页1和下面完全相同的圆、正方形和等边三角 形，标出中心点A，并将各个图形分别与下面相对应的图 形重合，然后沿中心点A转动图形，你发现了什么？
A
A
A
无论圆旋转多少 度都与原图形重 合，所以圆有很 好的旋转不变性.
正方形旋转90° 与原图形重合
等边三角形旋转 120°与原图形重合
2.在同一个圆里，直径的长度是半 径的2倍，可以表示为d＝2r或r＝ d÷2
2.小组合作，量一量，填一填。
⑴1元硬币的直径是 25 mm。 ⑵1角硬币的直径是 19 mm。 ⑶5角硬币的直径是 20.5 mm。
3.图中圆的位置发生了什么变化？
⑴从位置A向 平移 个方格到位置B，再向 平移 个 方格到位置C。
⑵从位置C向 平移 个方格到位置D，再向 平移 个 方格到位置E。
（r）
米
直径d 6厘米 4厘米 3.6分米 0.7米 20厘米
填表
r(分米) 0.36
0.9
4.6
d(分米） 0.72 1.8
9.2
我会填
1. r＝0.65分米 2. d＝8分米 3. d＝12.88米
d＝（ 13 ）厘米 r＝( 4 )分米 r＝( 6.44 )米
这节课重点：
1.圆是轴对称图形，对称轴是直径 所在的直线，有无数条对称轴。
r•
r
do
半径、直径关系:
在同一个圆里，半径与直径长度有什么关系？
r r
•r do
半径、直径关系:
在同一个圆里，半径与直径长度有什么关系？
r
• o
r r
半径、直径关系:
在同一个圆里，半径与直径长度有什么关系？
r
•
d=r+r
do
r
d=2r
r=
d 2
1、半径、直径关系
在同一个圆里， d=2r
r=
d 2
判断下面图形是不是轴对称图
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
判断下面图形是不是轴对称图
(1)
(2)
(3)
√
×
×
(4) ×
(5) √
(6) √
(7) √
(8) √
(9) √
× (10)
√ (11)
2、圆的特征
合作探究:
拿出自己准备好的圆,折一折,你发现了什么?
动脑筋：
5厘米
正方形边长= 5 cm
30厘米
圆的直径= 15 cm 长方形的宽= 15 cm
h a
4厘米
三角形底= 8 cm 高=4cm
3厘米
小圆直径= 3 cm 小圆半径= 1.5 cm
我能行
1.圆是( 轴对称 )图形,(直径所在的直线)是圆 的对称轴，有( 无数 )条对称轴。
4.长方形有( 2 )条对称轴,正方形有 ( 4 )条对称轴
发现： 两个半圆重合
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图 形能完全重合，这个图形是轴对称图形。把折
痕所在的直线叫做对称轴。
圆是轴对称图形，并且圆有无数条对称轴， 圆的对称轴是直径所在的直线。
判断下列图形有几条对称轴并画出下面图形的对称轴ຫໍສະໝຸດ 等边三角形长方形正方形
菱形
等腰三角形
等腰梯形
等边三角形
长方形