北邮随机信号答案ch8

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随机信号分析课后习题答案

1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。

求随机变量的数学期望和方差。

解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。

北京邮电大学2016年804信号与系统考研真题参考答案

-
2 −
2 −
= 1 + F 2 ( ) d
2 −
由： + f 2 (t ) dt = 1 + F ( ) 2 d
−
2 −
则有 + fˆ 2 (t ) dt = + f 2 (t ) dt ，即可得证。
-
−
五、计算画图题
解析：（1）
（2）
+ sin2 + sin2
=Biblioteka 2 Ts2 − 2 cos 2 + 2 cos
=2 Ts
1 sin2 22 1 cos2
=2 Ts
tan

2

22
【三角公式的熟练运用】
6
邮学，北邮考研辅导领军者
十三、计算题
解析：
（1）
S2
(
)
=

1 2
F1
(
−
c
)
+
c
)
+
H
(
−
c
)
H1() 应该抵消 H ( )的影响，所以有
H1() =
H (
k
+ c )+
H (
−c )
，其中 k
为任意非零常数。
7
十一、计算题
解析：
判断稳定性即判断 H(s)的极点：
s −1 0
| SI − A |=|
|= (s −1)(s + 3) = 0
−1 s + 3
s = 1和 s = −3 位极点在右半平面。不稳定。
邮学标注：求系统函数，判断系统稳定性为常规题，应熟练掌握。

北京邮电大学《数字信号处理》习题及答案

习题1. 给定 f(t) = rect(t+2) + rect(t-2), 画出下列函数的图形。

(a) f(t)(b) g(t) = f(t-1) (c) h(t) = f(t)u(t) (d) f(t/2)2. 设 f(t) 是某一函数，a, t 0, T 为实常数，证明：(a))()()()(000t t t t f a at t f -=-δδ(b))()(1)()(000a t a f a at t f t t t -=-δδ(c))()()()(00nT t nT f TTt comb t f t tt n --+=-∑∞-∞=δ3.(a) 如 f(t) F(Ω)，证明：eeetjty j tj t f dy y F F Ω-∞∞--Ω-Ω-==*Ω⎰)(2)()()(π(b) 用（a ）的结果，证明频域卷积定理)()(21)()(2121Ω*Ω↔F Ffft t π4. 求下图中 f(t) 脉冲的傅氏变换。

5. (a) )()()(a H H -Ω=Ω*Ωδ(b) )()()(0Ω+Ω=Ω+Ω*Ω∑∑∞-∞=∞-∞=n H n H n n δ6. 设eta t f -=)(，证明脉冲序列)()(nT t nT f n -∑∞-∞=δ的傅氏变换等于aTaT aT e T e e 22cos 211---+Ω--7.(a) 证明T n n n jnT eπδ2),(1000=ΩΩ+Ω=Ω∑∑∞-∞=∞-∞=Ω-(b) 若f(t) F(Ω)，证明)()(0Ω+Ω=∑∑∞-∞=∞-∞=Ω-n F nT f Tn n jnT e习题1. 下列系统中，y(n) 表示输出，x(n) 表示输入，试确定输入输出关系是否线性？是否非移变？(a) y(n) = 2x(n) +3(b) y(n) = x 2(n)(c) ∑-∞==nm m x n y )()(2. 确定下列系统是否因果的？是否稳定的？ (a) y(n) = g(n) x(n), g(n) 有界(b) ∑-==nk n k x n y 0)()( n>n 0 (c) y(n) = x(n-n 0)(d) x(n) = a nu(n), h(n) = u(n)(e) x(n) = a n u(n), h(n) = (1/2) nu(n)3. x(n) 为输入序列， h(n) 为系统的单位取样响应序列，确定输出序列 y(n)， (a) 如图 p 2.1 (a) 所示 (b) 如图 p 2.1 (b) 所示 (c) 如图 p 2.1 (c) 所示⎪⎩⎪⎨⎧=0)(a n n h⎪⎩⎪⎨⎧=-0)(0βn n x n 的卷积 y(n) = x(n) * h(n)5. 讨论具有下列单位取样响应的线性时域离散非移变系统。

随机信号处理习题答案

随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。

解因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++= 2b st +=2.4 设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ωω+=，其中ω为常数，B A ,是相互独立且服从正态分布),0(2σN 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。

解因B A ,独立，),0(~2σN A ，),0(~2σN B 所以，2][][,0][][σ====B D A D B E A E均值 )]sin()cos([)]([)(t B t A E t X E t m X ωω+==0][)sin(][)cos(=+=B E t A E t ωω 相关函数[]))sin()cos())(sin()cos(()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++==[]1221212212sin cos sin cos sin sin cos cos t t AB t t AB t t B t t A E ωωωωωωωω+++=][sin sin ][cos cos 221221B E t t A E t t ωωωω+=)sin sin cos (cos 21212t t t t ωωωωσ+=)(cos 212t t -=ωσ2.5 已知随机过程)(t X 的均值函数)(t m X 和协方差函数)(),,(21t t t B X ϕ为普通函数，令)()()(t t X t Y ϕ+=，求随机过程)(t Y 均值和协方差函数。

北京邮电大学数字信号处理习题答案第5章18页word

FIR 数字滤波器设计本章知识点：对于一个离散时间系统∑∑=-=--=M 1n nn 1-N 0n nnz a 1z bz H )(,若分母多项式中系数0a a a M 21====Λ，则此系统就变成一个FIR 系统∑-=-=1N 0n nn z b z H )(，其中系数1-N 10b ,.b ,b Λ即为该系统的单位取样响应h ( 0 ) , h ( 1 ) ,… h ( N-1 ),且当n > N-1时，h ( n ) = 0。

FIR 系统函数H(z) 在Z 平面上有N-1个零点，在原点z=0处有N-1个重极点。

这类系统不容易取得较好的通带和阻带特性，要想得到与IIR 系统类似的衰减特性，则要求较高的H(z)阶次。

相比于IIR 系统来说，FIR 系统主要有三大突出优点：1）系统永远稳定；2）易于实现线性相位系统；3）易于实现多通带（或多组带）系统。

线性相位FIR 滤波器实现的充要条件是：对于任意给定的数值N （奇数或偶数），冲激响应h[n] 相对其中心轴21-N 必须成偶对称或奇对称，此时滤波器的相位特性是线性的，且群延时均为常数 21-=N τ。

由于h(n) 有奇对称和偶对称两种情况，h(n)的点数N 有奇数、偶数之分。

因此，h （n ）可以有4种不同的类型，分别对应于4种线性相位FIR 数字滤波器：h[n] 偶对称N 为奇数、h[n] 偶对称N 为偶数、h[n] 奇对称N 为奇数、h[n] 奇对称N 为偶数。

四种线性相位FIR 滤波器的特性归纳对比于表5.１中。

一．FIR DF 设计方法FIR DF 的设计实现不能像IIR DF 设计那样借助于模拟滤波器的设计方法来实现，其设计方法主要是建立在对理想滤波器频率特性进行不同程度逼近的基础上，主要的逼近方法有三种：窗函数法；频率抽样法；最佳一致逼近法。

1．窗函数法窗函数法是设计FIR 滤波器的最直接方法，它通过采用不同时宽的窗函数，对理想滤波器的无限长冲激响应h d (n)进行截短，从而得到系统的有限长冲激响应 h (n)，这一过程可用式5－1来描述：,021-N ||,(n)h )()()(d ⎪⎩⎪⎨⎧≤=其它＝ n n w n h n h R d （5.1）其中W R (n)是时宽为N 的窗函数。

北邮随机信分析与处理习题解答

相互独立的零均值平稳随机过程，并有相同的相关函数。证
明：Z(t) X (t) Y (t) 是广义平稳随机过程。
证明：mZ (t) E[X (t) Y(t)] E[A(t)cost B(t)sint] E[A(t)]cost E[B(t)]sin t 0cost 0sint 0
解：(1)
mX2

lim

RX
(
)
lim 2e
0

2 X
RX (0) mX2
2
因此有 rX ( )
r0 0 rX ( )d
RX
( ) mX2

2 X
e d
e 1

0

(2)
mX2

lim

(1)计算均值 mX (t)和自相关函数 RX (t1,t2)；
(2)该过程是否为平稳随机过程？
解：
mX
(t)

1 3
X (t, e1)
1 3
X (t, e2)
1 3
X (t, e3)

1 (1 sin t 3
cos t)
RX (t1,t2) E[X (t1)X (t2)] 1
3 (11 sin t1 sin t2 cos t1 cos t2 ) 1
0.9
2

解：由自相关函数的性质
由广义平稳的性质
RY (t1,t2) RY (t2,t1)
RY (0) E[Y 2(t)]为常数
2 1.3 0.4 0.9
RY

1.3 0.4
2 1.2
1.2

北邮_现代信号处理_第2章作业_答案

现代信号处理第二章作业学院：学号：班级：姓名：2.8 设一个广义平稳随机信号()x n 的自相关函数为||()0.8k x r k =，该信号通过一个系统函数为1110.8()10.9z H z z--+=-的LTI 系统，其输出为()y n 。

求()y n 的功率谱。

解：2.9 一个方差为1的白噪声激励一个线性系统产生一个随机信号，该随机信号的功率谱为54cos ()106cos x S ωωω-=- 求该系统的传输函数。

解：5001000均值频数样本均值直方图方差频次样本方差直方图2.11 (1)用MATLAB 分别产生长度为10,100和1000，均值为1，方差为2的独立同分布（IID ）高斯白噪声随机序列；(2)分别利用()101ˆ=N x n x n N μ-=∑和()()12201ˆˆ1N x x n x n N σμ-==--∑并按上述所给定的样本点数估计样本均值和样本方差；(3)对(1)、(2)进行50次重复实验，分别画出样本均值和样本方差的分布图。

(4)计算50个样本均值和样本方差的均值、方差，观察与样本点数间的关系。

(5)结合参数估计基本理论，给出你的综合分析结果。

提示：在MATLAB 中，函数randn 用于产生零均值单位方差的高斯分布；注意方差（variance ，σ2）与标准差（standard deviation ，σ）之间的联系与区别；函数hist 、histc 用于画直方图。

解：(1)N1=10; w=1+sqrt(2)*randn(1,N1); subplot(2,2,1); plot(w); N2=100;w=1+sqrt(2)*randn(1,N2); subplot(2,2,2); plot(w);N3=1000; w=1+sqrt(2)*randn(1,N3);subplot(2,2,3);plot(w);(2)10：均值：0.6450，方差：0.9399100：均值：0.8843，方差：2.10501000：均值：0.9836，方差：1.9758(3)y=zeros(1,50);z=zeros(1,50); for i=1:50 x=1+sqrt(2)*randn(1,10); y(i)=mean(x); z(i)=var(x);endsubplot(2,1,1)hist(y); xlabel('均值');ylabel('频数');title('样本均值直方图');subplot(2,1,2);hist(z);xlabel('方差');ylabel('频次');title('样本方差直方图');(4)y=zeros(1,50);z=zeros(1,50);for i=1:50x=1+sqrt(2)*randn(1,10);y(i)=mean(x);z(i)=var(x);enda=0;for i=1:50a=a+y(i);endb=a/50c=0;for i=1:50c=c+(y(i)-b).^2;endd=c/49;10：均值：0.9468，方差：0.1509100：均值：1.0095，方差：0.01891000:均值：1.0026，方差：0.0014由结果可知：点数越多，均值越来越接近1，方差越来越接近0。

随机信号分析基础课后练习题含答案

随机信号分析基础课后练习题含答案第一部分随机变量和概率分布练习题1设离散随机变量X的概率分布函数为：X0 1 2 3 4P X0.05 0.15 0.35 0.30 0.15求E(X)和D(X)。

答案1根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\sum_{i=1}^n x_i P_X(x_i) = 0 \\times 0.05 + 1\\times 0.15 + 2 \\times 0.35 + 3 \\times 0.30 + 4 \\times 0.15 = 2.25$$$$D(X)=\\sum_{i=1}^n (x_i-E(X))^2P_X(x_i) = 0.710625$$ 练习题2已知随机变量X的概率密度函数为：$$f_X(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}} & x \\geq 0 \\\\ 0 & x < 0 \\end{cases}$$求E(X)和D(X)。

答案2根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}xf_X(x)dx =\\int_{0}^{+\\infty}x\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx=3$$ $$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}x^2f_X(x)dx-(E(X))^2=\\int_{0}^{+\\infty}x^2\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx-9=\\frac{27}{4}$$第二部分随机过程练习题3设二阶矩有限的离散时间随机过程X n的均值序列为m n，自相关函数为R n(i,j)=E(X i−m i)(X j−m j)，其中 $0 \\leq i,j \\leq N$。

若m n=n2,R n(i,j)=ij(i+j)，求 $E(\\sum_{n=0}^N X_n)$。

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第 8 章习题解答
8.1 图 8.13 为二元对称信道示意图。ε 为交叉概率，即信道输入为 0(或 1)时，输出为 1(或 0)的概率，而且 ε 是一个很小的量。设先验概率相等。试求：
（1）保证总错误概率最小的判决规则；
（2） ε < 1 时的错误概率。 2
1− ε
0
0
ε
ε
1
1− ε
1
图8.13 二进制对称信道
1 π/M
exp
⎛ ⎜
−
⎝
z2 4/M
⎞ ⎟ ⎠
在 H1 为真时，
fz (z | H1) = 2
1 π/M
exp
⎛ ⎜ ⎝
−
(
z 4
− 2)2 /M
⎞ ⎟ ⎠
所以，虚警概率为
∫ PF = P(z > γ | H0 ) =
∞
γ2
1 π/M
exp
⎛ ⎜ ⎝
−
4
z /
2
M
⎞ ⎟
dz
⎠
⎛ =Q⎜
⎝
Mγ⎞ ⎟⎨ ⎩源自0,−s)],z≥s z<s
z
z
∫ ∫ f (z | H1) =
0
f (z | s, H1) f (s)ds =
b exp[−α(z − s)] f (s)ds = abz exp(−az)
0
代入似然比并化简得： z
>H1 <
H0
2、若采用贝叶斯准则，则有
γ / a η，a>0
γ = (C10 − C00 )P(H0 ) = (C10 − C00 )q (C01 − C11)P(H1) (C01 − C11) p
如果 z < 1 判 H1 成立, 否则判 H0 成立。
Pe = P(H0 )P(D1 | H0 ) + P(H1)P(D0 | H1)
∫ =
0.3
1 −1
⎡ ⎢⎣
1 2
δ
(
z
−1) +
1 δ (z 2
+1)⎤⎥⎦ dz
+ 0.7P(z
=
±1 |
H1)
=
0
8.5 在两个假设下，观测 x 都服从正态分布：
N 2σ
⎞
⎛
⎟⎟⎠ = 1− Q ⎜⎜⎝
N 2σ
⎞ ⎟⎟⎠
Pe
= P(H0 )PF
+ P(H1)PM
⎛ = Q ⎜⎜⎝
N 2σ
⎞ ⎟⎟⎠
8.3 设信号
s(t)
=
⎧⎪ A ⎨⎪⎩− A
相应的先验概率为P(H0 ) 相应的先验概率为P(H1)
且
P(H1)
=
P(H0
)
=
1 2
。现以正态噪声
N
(0,
σ
2 n
解: 由题意可知,如果 ε < 1 ,那么,如果收到”0”应该判”0”,收到”1 应该判”1”, 总得错误概率 2
为
Pe
=
P(H0 )PF
+ P(H1)PM
=
1 2
(
P(
D0
| H1) + P(D1 | H0 )) =
1 (ε + ε) = ε
2
8.2 设有两种假设，
H0:
zi = vi
i=1,2…,N
z
>H1 <
γ'
γ' = 0,1, 2"
H0
试证明错误概率为
∑ PF
=
1
−
exp(−m0
)
γ' −1 n=0
(m0 )n n!
和
∑ PM
=
exp(−m1
)
γ' −1 n=0
(m1 )n n!
画出接收机工作特性，假定 m0 = 1, m1 = 2 。
解参见《信号检测与估计学习指导和习题解答》pp110，
f (x | Hi) =
1 2π σ
⎡ exp ⎢−
⎢⎣
( x − i)2
2σ 2
⎤ ⎥, ⎥⎦
i = 0,1
且 P(H0 ) = P(H1) = 1/ 2 。该观测 x 再经过平方检波器，输出 y = ax2 。试根据 y 求出最小
错误概率准则下的判决规则。
解：根据平方检波器关系，有：
fY
( y)
=
−
2NA σ2
z
∑ z
=
1 N
N
zi
i =1
判决表达式为
− 2NAz σ2
>H1 < H0
ln η0
假定 A>0, 则
z
H >
0
<
H1
−
σ2 2NA
ln
η0
=
γ
检验统计量 z 为样本均值，为了确定判决的性能，首先需要确定检验统计量的分布，
z | H0 ~ N ( A, σ2 / N ) ， z | H1 ~ N (− A, σ2 / N ) 。
exp
⎛ ⎜
−
⎝
(z −1)2 2σ2 / N
⎞ ⎟ dz ⎠
=
⎛ Q ⎜⎜⎝
N (γ −1) ⎞ σ ⎟⎟⎠
(8.2.8)
当采用最小错误概率准则且 P(H1)=P(H0)时，η0=1，判决表达式为
z
>H1 < H0
1=γ 2
⎛ PF = Q ⎜⎜⎝
N⎞ 2σ ⎟⎟⎠
,
总的错误概率为
PD
⎛ = Q ⎜⎜⎝ −
H1: zi = 1+ vi
i=1,2…,N
其中 vi~N(0,1)，且噪声相互独立，假定 P(H0)=P(H1)，求最大后验概率准则的判决表达式，
并确定判决性能。
解两种假设下的似然函数为
∏N
f (z | H0) =
i =1
1 2πσ
exp
⎛ ⎜ ⎝
−
zi2 2σ2
⎞ ⎟ ⎠
∏N
f (z | H1) =
i =1
1 2πσ
exp
⎡⎢− ⎣
(
zi −1)2 2σ2
⎤ ⎥ ⎦
∏∏ ∑ Λ(z) =
N
i =1 N
i =1
1 2πσ
exp
⎡ ⎢⎣
−
(
zi −1)2 2σ2
1 2πσ
exp
⎛ ⎜ ⎝
−
zi2 2σ2
⎞ ⎟ ⎠
⎤ ⎥⎦
=
⎡N
exp
⎢ ⎣
σ2
⎛ ⎜⎝
1 N
N i =1
zi
−
1 2
⎞⎤ ⎟⎠⎥⎦
对数似然比为
=
2
1 ay
[
fX
(
y / a) − fX (−
y / a )]
Λ(z) = P( y | H1) = exp{− (
y/a 2σ
−
2
1)2
}
+
exp{−
(−
y / a −1)2
2σ 2
}
P(y | H0)
exp{− (
y/ 2σ
a
2
)2
}
+
exp{−
(−
y / a)2 2σ 2 }
H1
⇒
Λ(
z)
=
所以，虚警概率为
∫γ
PF = P(z < γ | H0 ) = −∞
1 2πσ2
/N
exp
⎛ ⎜ ⎝
−
(z − 2σ2
A)2 /N
⎞ ⎟ dz ⎠
⎛ = 1− Q ⎝⎜⎜
N (γ − A) ⎞ σ ⎠⎟⎟
检测概率为
∫∞
PM = P(z > γ | H1) = γ
1 2πσ2
/
N
exp
⎛ ⎜
−
⎝
(z + 2σ2
∑ ln
Λ(z )
=
N σ2
⎛ ⎜⎝
1 N
N i =1
zi
−
1 2
⎞ ⎟⎠
判决表达式为
∑ N
σ2
⎛1 ⎝⎜ N
N i =1
zi
−
1 2
⎞ ⎠⎟
>H1 < H0
ln η0
∑ 令 z
=
1 N
N
zi ，将上式整理后得
i =1
z
>H1 < H0
σ2 N
ln
η0
+
1 2
=
γ
检验统计量 z 为样本均值，为了确定判决的性能，首先需要确定检验统计量的分布，在 H0
f (z | H0)
1/2
-1
0
1/2
z
1
f (z | H1)
1/2
z
-1
0
1
解:
f
(z
|
H1)
=
1 2
z <1
图8.14 概率密度示意图
f
(z
|
H0
)
=
1 2
δ
(z
−1)
+
1 2
δ
(z
+ 1)
Λ(z) =
f (z | H1) f (z | H0)
=
⎧⎪∞
⎨ ⎪⎩
0
很显然,判决规则应该为
z <1 z =1
−
⎝
(z −1)2 2σ2 / N
⎞ ⎟ ⎠
所以，虚警概率为