三角函数的值域
三角函数值域和定义域
三角函数值域和定义域英文回答：The domain and range of trigonometric functions depend on the specific function being considered. Let's start with the sine function (sin(x)). The domain of sine is all real numbers, as it can take any angle as an input. However, the range of sine is limited to values between -1 and 1. This is because the sine function oscillates between these two values as the angle increases or decreases. For example, sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0, sin(3π/2) = -1, and so on.Moving on to the cosine function (cos(x)), its domain and range are also all real numbers. The cosine function also oscillates between -1 and 1, but it starts at 1 when the angle is 0. For example, cos(0) = 1, cos(π/2) = 0,cos(π) = -1, cos(3π/2) = 0, and so on.Next, we have the tangent function (tan(x)). The domainof tangent is all real numbers except for the values where the cosine function equals zero. This is because tangent is defined as the ratio of sine to cosine, and division by zero is undefined. Therefore, the values where cosine is zero (e.g., π/2, 3π/2, etc.) are excluded from the domain of tangent. The range of tangent is all real numbers, as it can take any value depending on the angle. For example,tan(0) = 0, tan(π/4) = 1, tan(π/2) is undefined, tan(π) = 0, and so on.Moving on to the cosecant (csc(x)), secant (sec(x)), and cotangent (cot(x)) functions, their domains and ranges are similar to their reciprocal functions (sine, cosine, and tangent). The only difference is that their domains exclude the values where the sine, cosine, or tangent functions equal zero, respectively.中文回答：三角函数的定义域和值域取决于具体的函数。
三角函数的定义域、值域
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
三角函数定义域和值域
三角函数定义域和值域sinx,cosx的定义域为R,值域为〔-1,1〕；tanx的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为R；cotx的定义域为x不等于kπ,值域为R；y=a·sinx+b·cosx+c的值域为[c-√a²+b²,c+√a²+b²）]。
三角函数（也叫做“圆函数”）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。
三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。
更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
sinx,cosx的定义域为R,值域为〔-1,1〕tanx的定义域为x不等于π/2+kπ，值域为Rcotx的定义域为x不等于kπ,值域为Ry=a·sinx+b·cosx+c的值域为[c-√a²+b²,c+√a²+b²）]三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图像单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字一，连结顶点三角形。
向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，变成锐角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。
和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。
条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。
公式顺用和逆用，变形运用加巧用；一加余弦想余弦，一减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。
三角函数的值域
通 过 变 形 可 得 ： f ( x) = 1 a2 + b2 sin (2x + j ) ， 所 以 最 大 值 为 1 a2 + b2 = 1 ， 即
2
2
2
a2
+ b2
= 1 ①，再利用
f
æp çè 3
ö ÷ø
=
3 可得： - 1 a -
4
4
3b= 4
3
②，通过①②可解得：
4
ìa íîb
= =
例
4：设函数
f
(x)
=
sin x
+
cos 2x
，若
x
Î
éêë-
p 6
,
p 2
ù úû
，则函数
f
( x) 的最小值是______
思路：同例 4 考虑将解析式中的项统一，cos 2x = 1 - 2sin2 x = 1 - 2 sin x 2 ，进而可将 sin x
作为一个整体，通过换元来求值域。
解： f ( x) = sin x + cos 2x = sin x + 1 - 2 sin x 2
三角函数。观察可得 cos x 次数较低，所以不利于转化，而 sin2 x,cos 2x 均可以用 cos x 进
( ) ( ) 行表示，确定核心项为 cos x ，解析式变形为 y = cos x -
1 - cos2 x
-
2cos2 x - 1
7 +，
4
化简后为
y
=
- cos2
x
+
cos x
+
7 4
=
cos
三角函数值域求解题技巧
三角函数值域求解题技巧解题步骤：1. 确定三角函数的定义域。
三角函数的定义域通常是整个实数集或者某个区间。
例如，对于正弦函数sin(x)，它的定义域为整个实数集，而对于余弦函数cos(x)，它的定义域为整个实数集。
确定了三角函数的定义域之后，我们可以确定其值域的范围。
2. 确定三角函数的周期。
三角函数通常是周期函数，其周期可以根据函数的图像或公式推导得到。
例如，正弦函数的周期是2π，即sin(x+2π) = sin(x)。
通过确定周期，我们可以推导出三角函数的值在一个周期内的变化规律。
3. 分析三角函数的图像。
通过绘制三角函数的图像，我们可以直观地看到它的变化规律，从而确定值域。
根据三角函数图像的特点，可以得到以下结论：- 正弦函数的值域在[-1,1]之间，即sin(x) ∈ [-1,1]。
- 余弦函数的值域在[-1,1]之间，即cos(x) ∈ [-1,1]。
- 正切函数的值域是整个实数集，即tan(x) ∈(-∞,∞)。
- 反正弦函数的值域在[-π/2,π/2]之间，即arcsin(x) ∈ [-π/2,π/2]。
- 反余弦函数的值域在[0,π]之间，即arccos(x) ∈[0,π]。
- 反切函数的值域在(-π/2,π/2)之间，即arctan(x) ∈(-π/2,π/2)。
4. 利用三角函数的性质。
三角函数具有一些特殊的性质，可以用来求解值域。
下面列举一些常用的性质：- 正弦函数的值域是闭区间[-1,1]。
- 余弦函数的值域是闭区间[-1,1]。
- 在同一周期内，正弦函数和余弦函数在相同的x值处取到最大值和最小值。
- 反正弦函数的值域是闭区间[-π/2,π/2]。
- 反余弦函数的值域是闭区间[0,π]。
- 反切函数的值域是开区间(-π/2,π/2)。
通过利用这些性质，结合函数的定义域、周期和图像，可以求解三角函数的值域。
范例：1. 求sin(2x)的值域。
首先确定sin(2x)的定义域，由于正弦函数的定义域是整个实数集，因此sin(2x)的定义域也是整个实数集。
三角函数的解析式与值域
三角函数的解析式与值域三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
本文将介绍三角函数的解析式以及它们的值域。
一、正弦函数sin(x)正弦函数是最基本的三角函数之一，它的解析式为sin(x)，其中x 为自变量。
正弦函数的值域是[-1, 1]，即sin(x)的取值范围在-1到1之间。
二、余弦函数cos(x)余弦函数是正弦函数的补函数，它的解析式为cos(x)，其中x为自变量。
余弦函数的值域也是[-1, 1]，与正弦函数的值域相同。
三、正切函数tan(x)正切函数的解析式为tan(x)，其中x为自变量。
然而，正切函数的值域却是无界的，也就是说正切函数的取值可以是任意的实数。
四、其他三角函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还存在其他的三角函数，如反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
这些函数的解析式分别为asin(x)，acos(x)和atan(x)，其中x为自变量。
对于反正弦函数和反余弦函数，它们的值域是[-π/2, π/2]，即函数值在这个区间内取值。
反正切函数的值域是(-π/2, π/2)，也就是说函数值在开区间(-π/2, π/2)内取值。
五、三角函数的周期性值得注意的是，正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期为2π。
也就是说，当x增加2π或减少2π时，正弦函数和余弦函数的取值会重复。
正切函数的周期为π，当x增加π或减少π时，正切函数的取值会重复。
六、三角函数的图像三角函数的图像通常用单位圆来表示。
单位圆是以原点为中心、半径为1的圆。
正弦函数的图像在单位圆上表示为点的纵坐标，而余弦函数的图像在单位圆上表示为点的横坐标。
七、三角函数的应用三角函数在数学和物理等领域有广泛的应用。
它们可以用于描述周期性现象，如电流的变化和音波的波动等。
另外，三角函数还被应用于三角恒等式的证明和解三角方程等问题。
总结：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的解析式和值域有所不同。
- 正弦函数的解析式为sin(x)，值域为[-1, 1]；- 余弦函数的解析式为cos(x)，值域为[-1, 1]；- 正切函数的解析式为tan(x)，值域为实数集。
三角函数定义域和值域公式大全
三角函数定义域和值域公式大全三角函数是一类重要的数学函数，它们一般以三角形周长与其边长中间的比例作为函数变量。
在这个意义上，它们本质上是对三角形的一种抽象。
三角函数的定义域和值域是数学学习的重要课题，它们是三角函数的基础概念。
由于三角函数定义域和值域一般不能用一般形式来描述，所以有必要通过一些具体的公式将其定义出来并相互表达。
首先，要解释三角函数定义域，我们必须先了解它们的定义。
它们都是由一个给定角度的三角形周长和角度边长之间的比例来定义的。
比如，正弦函数sine（θ）可以表示为三角形的角度θ和其相应的角度边长之间的比，即sinθ=y/1。
既然已经知道了三角函数的定义，那么它们的定义域也就可以明确了。
三角函数的定义域就是它们被定义的范围。
比如，正弦函数的定义域就是-π/2到π/2，这个范围内的所有角度都可以用正弦函数的定义进行计算。
此外，三角函数还有另一个重要的概念就是值域。
值域是指三角函数计算出来的结果所在的范围。
比如，正弦函数的值域就是-1到1，所有角度在定义域内的正弦函数计算结果都在-1到1这个范围内。
接下来，我们就要给出具体的表达式来表示三角函数定义域和值域的公式。
首先，正弦函数的定义域和值域可以分别表示为：定义域：-π/2/2值域：-1 sinθ 1其次，余弦函数的定义域和值域也可以表示为：定义域：-π值域：-1 cosθ 1此外，正切函数也有其特定的定义域和值域，它们可以表示为：定义域：-π/2/2值域：-∞ tanθ最后，反正弦函数也具有定义域和值域，它们可以表示为：定义域：-1 x1值域：-π/2 arcsinx/2以上就是三角函数定义域和值域的公式大全，它们可以根据不同的函数类型进行更加精确的表述。
以上的公式都是通用的，但在实际应用中也会有少量的不同，所以在使用时应该注意比较。
在进行三角函数计算时，了解三角函数定义域和值域的公式是非常重要的，它们可以作为计算的基础，使得计算更加准确可靠。
三角函数的反函数与域的限制
三角函数的反函数与域的限制三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在解决实际问题时，我们经常需要求解三角函数的反函数。
本文将探讨三角函数的反函数以及相关的域的限制。
一、正弦函数的反函数正弦函数是一种周期函数，其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
当我们需要求解正弦函数的反函数时，需要限制函数的定义域在[-π/2, π/2]范围内。
这是因为在这个范围内，正弦函数是单调递增的，可以确保反函数的存在性。
二、余弦函数的反函数余弦函数也是一种周期函数，其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
与正弦函数类似，求解余弦函数的反函数时，需要限制函数的定义域在[0, π]范围内。
在这个范围内，余弦函数是单调递减的，反函数存在且唯一。
三、正切函数的反函数正切函数是一种奇函数，其定义域为实数集，值域为(-∞, +∞)。
然而，正切函数并不是一个双射函数，即不是一个一一对应的函数。
因此，我们无法直接定义正切函数的反函数。
为了解决这个问题，我们可以对正切函数进行限制，使其成为一个一一对应的函数。
通常，我们将正切函数的定义域限制在(-π/2,π/2)范围内，这样可以确保正切函数在这个范围内是单调递增的。
然后，我们可以定义正切函数在这个范围内的反函数，通常称为反正切函数或者切函数。
这个函数的定义域为(-∞, +∞)，值域为(-π/2, π/2)。
四、其他三角函数的反函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，其他三角函数如余割、正割和余切等也存在反函数。
这些函数的定义域和值域的限制方式与正弦函数、余弦函数和正切函数类似，通过限制定义域使得函数成为一一对应的函数，从而定义其反函数。
总结：三角函数的反函数与域的限制密切相关。
通过限制函数的定义域，我们可以确保函数是一一对应的，从而定义其反函数。
在求解三角函数的反函数时，需要注意函数的单调性，确保反函数的存在性和唯一性。
通过本文的讨论，我们了解了三角函数的反函数与域的限制的相关知识。
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三角函数值域问题的一些常见类型和解题方法。
一． 基本型：或 cos y a x b =+解决策略：利用sinx 和cosx 的有界性,即sin 1x ≤和cos 1x ≤三、形如22sin sin cos cos y a xb x x x =++ 型的函数解决策略：通过降幂再转化为sin()y A x ωϕ=+ 来求解例3.求 22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 的值域解： 212sin cos 2cos y x x x =++ sin 2cos 22)24x x x π=++=++1sin(2)14x π-≤+≤ 所以所求函数的值域为2⎡⎣ 四、反比例型：形如 sin sin a x b y c x d+=+ 或cos cos a x b y c x d+=+解决策略：用反表示法，再利用有界性或数形结合。
例4、求函数1sin 2cos xy x-=-的值域方法一 解：由1sin 2cos x y x-=- 得 2cos 1sin y y x x -=-解：x R∈ 2sin(3y x π=+）[]sin()113x π∴+∈- ，∴函数的值域为分析：引入辅助角，再利用正弦函数的有界性sin y a x b =+1≤分析：利用 sinx 的有界性1sin 1x -≤≤ 解： 12sin 13x ∴-≤+≤ []2sin 113y x ∴=+- 函数的值域为，2sin 1y x =+例1.求 值域。
sin cos y a x b x c=++),tan bx c aϕϕ=++=y 其中二、形如 引入辅助角转化为基本型解决策略：例2、求函数sin y x x=+[]22-，sin cos 12x y x y ∴-=-)12tan x y y ϕϕ-=-=其中sin()x ϕ∴-=sin()1x ϕ-≤1≤22(12)1y y ∴-≤+ 2434003y y y -≤∴≤≤方法二 解：此函数看做过定点A （2，1）和动点B （cosx,sinx ）的直线的斜率。
如图所示 因为点B 的轨迹是单位圆当直线和圆相切时斜率取最值设直线方程为1(2)y k x -=- 即1kx y -+由于直线与圆相切 1= 解得k=0或k=43所以函数1sin 2cos x y x -=-的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦五、二次型，形如 2sin sin y a x b x c =++解决策略：转化为二次函数在有限闭区间上的值域问题 例5、求函数22sin cos 1sin x xy x=+的值域分析：切勿忽略了函数的定义域中，要求分母不为零解：y 22sin (1sin )1sin x x x-=+且 sin 1x ≠- 2112(sin )22y x ∴=--+1sin 1x -≤≤ 142y ∴-<≤ 所以函数的值域为14,2⎛⎤- ⎥⎝⎦六、形如sin sin ay x x=+型的函数 解决策略：此类问题一般联想基本不等式，若不能用基本不等式，则可以利用函数的单调性加以解决 例6、求函数22sin cos 1sin x xy x-=+ 的值域分析：化同名三角函数式解：2sin sin 11sin x x y x+-=+ 21sin 1sin x x =+-+令1sin tx =+则 02t <≤ 2y t t =-由于2y t t=-在02t <≤时是增函数 所以函数的值域为(],1-∞七、解析式中同时出现了sin cos sin cos x x x x +和 解决策略：借助换元法，转化为二次型 例7.求函数sin cos sin cos y x x x x =++ 的值域 分析：借助换元法，转化为二次函数求值域解：设sin cos t x x t ⎡=+∈⎣则21sin cos 2t x x -= 原函数转化为2221111(1)12222t y t t t t -=+=+-=+- 112t y ⎡∈∴-≤≤⎣ 所以函数的值域为11,2⎡-⎢⎣ 总之三角函数求值域问题，体现了数学的转化思想1.通过三角函数的等价变形，将给定的函数转化为sin()y A x b ωϕ=++的形式2.通过化简及换元将给定的函数转化为二次函数在有限闭区间上的值域问题。
典例精析：例1. 求函数2sin 1sin 3)(+-=x x x f 的最大值和最小值。
解：令f(x)=y,则21sin 3y x y+=-，而sinx ∈[-1,1] 于是－1≤213y y+-≤1 所以 －4≤y ≤23例2．已知cosx+cosy=31，求cosx －sin 2y 的最大值和最小值。
解：cosx －sin 2y ＝cosx-(1-cos 2y)=cos 2y-cosy-23=(cosy-12)2-1112∵-1≤cosx =31-cosy ≤1 又-1≤cosy ≤1∴2cos 13y -≤≤∴cosx －sin 2y 的最大值为49，最小值为－1112例3．已知函数)0( cos sin 32sin2)(2≠++-=a b a x x a x a x f 的定义域为[0，2π]，值域为[－5，1]，求常数a 、b 的值。
解：6π)+2a+b∵x ∈[0，2π] 则72666x πππ≤+≤，于是1sin(2)126x π-≤+≤当a>0时，315a b b +=⎧⎨=-⎩，即25a b =⎧⎨=-⎩ 当a<0时，351a b b +=-⎧⎨=⎩，即21a b =-⎧⎨=⎩例4．求函数x x a x f 2cos sin 42)(--=的最大值和最小值。
解：f(x)=2-4asinx-(1-2sin 2x)=2sin 2x-4asinx+1 =2(sinx-a)2+1-2a 2设sinx=t,-1≤t ≤1,f(x)=g(t)=2(t-a)2+1-2a 2当a<-1时，f(x)的最大值为g(1)＝3-4a, f(x)的最小值为g(－1)＝3＋4a.当-1≤a ≤1时，f(x)的最小值为g(a)＝1-2a 2, f(x)的最大值为g(－1)或g(1)(其中之一).当a>1时，f(x)的最大值为g(-1)＝3+4a, f(x)的最小值为g(1)＝3-4a.*例5．已知0<α，β<2π，且sin βcsc α=cos(α+β),α+β≠2π,求tan β的最大值。
解：sin sin βα＝cos α·cos β－sin α·sin β (1sin α+sin α)sin β= cos α·cos β tan β=2sin cos 1sin ααα⋅+=22sin cos 2sin cos αααα⋅+=2tan 2tan 1αα+=112tan tan αα+≤此时tan α即tan四、巩固练习：1．当-2π≤x ≤2π时，函数sinx+3cosx 的（D ）A ．最大值是1，最小值是-1B ．最大值是1，最小值是-21 C ．最大值是2，最小值是-2 D ．最大值是2，最小值是-1 2．函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为（A ）A ．1+2B ．2-1 C ．2D ．23．函数xx y cos sin 21++=的最大值是（B ）A ．22-1 B ．1+22 C ．1-22 D ．-1-224．函数f(x)=sin(πx+θ)cos(πx+θ)在x=2时取得最大值，则θ的一个值为（ B ）A ．45π- B ．43π- C ．47π D ．2π5．函数x x y cos 3sin +=在区间[0，2π]上的最小值为12,在区间[-2π，π]上的值域为6.函数sin 21x y =+的最大值是 3 ，最小值是32。
7．函数2tan 2tan 3y x x =-+的值域是 [2,+∞）。
8．已知函数R x x x x y ∈++= , 1cos sin 232cos 21 （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）求函数y 的单调增区间。
解：（1）11cos 2sin 212222x xy +=⋅++＝15sin(2)264x π++当2x+6π=2π+2k π，即x=6π+k π(k ∈Z)时，y 取最大值。
∴|,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）－2π＋2k π≤2x+6π≤2π＋2k π，,36x k k ππππ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z) 9．若2c o s 2s i n 220m m θθ+--<对θ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围。
解：1-sin 2θ＋2msinθ-2m-2<0 ∴m(2sin θ -2)< sin 2θ＋1 若sin θ＝1，0＜2恒成立。
若sin θ≠1，2sin θ-2<0 ∴2sin 12sin 2m θθ+>-右边＝2(sin 1)2(sin 1)22(sin 1)θθθ-+-+-＝－12(1sin 2)21sin θθ-+--≤1∴m>110．设214sin 2cos )(--+=a x a x x f （0≤x ≤2π）.(1)用a 表示f (x )的最大值M (a )； （2）当M (a )=2时，求a 的值。
解：（1）f(x)=-sin 2x+asinx －4a+12=221(sin )2442a a a x --+-+∵0≤x ≤2π ∴0≤sinx ≤1①0≤2a ≤1 0≤a ≤2, M(a)=21442a a -+②2a >1 a>2 , M(a)=M(1)= 3142a -③2a <0,a<0, M(a)=M(0)= 142a -+21442a a -+ 0≤a ≤2 ∴M(a)= 3142a - a>2142a -+ a<0 (2) 当21442a a -+＝2时，则a=3或-2（舍）当3142a -＝2时，则a=103当142a -+＝2时，则a=－6综上：a=103或a=－6。