向量组的线性相关性
4.3-向量组的线性相关性
β , β ,⋯, β
T 1 T 2
T n
2/23
定义1 定义1 对于给定的一组m n维向量组成 个 的向量组 A: a1, a2 , ⋯, am, 对任何一组实数 c1, c2 , ⋯, cm, 向量
c1a1 + c2a2 +⋯+ cmam
的一个线性组合 线性组合. 称为向量组 A的一个线性组合
4个3维向量一定线性相关 维向量一定线性相关， 解：4个3维向量一定线性相关，故 线性相关． α1,α2 ,α3,α4线性相关．
22/23
作业
习题4－ 习题 －3 1（2） （ ） 4（2） （ ） 6 8 9 （1），（ ） ），（3） ），（
23/23
T
讨论它的线性相关性． 讨论它的线性相关性．
10/23
解 设 k1e + k2e2 +⋯+ knen = 0 1 即
(1)
T
( k1, k2 ,⋯, kn )
T
= ( 0,0,⋯,0)
于是必有 k1 = k2 =⋯= kn = 0. 全为零时， ) 即只有当 k1, k2 ,⋯ kn , 全为零时，(1)式才成立 线性无关. 所以向量组 e , e2 ,⋯, en 线性无关 1
c1, c2 , ⋯, cm 称为这个线性组合的系数 称为这个线性组合的系数.
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给定向量组 A： 1, a2 , ⋯, am 和向量 b， a 如果存在一组数
第二节 向量组的线性相关性
定理四 任意n+1个n维向量都是线性相关的.
[证]设n+1个n维向量为: 1=(a11,a12,,a1n) 2=(a21,a22,,a2n)
n=(an1,an2,,ann) n+1=(an+1,1,an+1,2,,an+1,n)
构造向量组: 1=(a11,a12,,a1n,0) 2=(a21,a22,,a2n,0)
故1,2,,n线性无关
例5 讨论向量组1=(1,1,1),2=(0,2,5), 3=(1,3,6)的线性相关性,若线性相关,试写
出其中一向量能由其余向量线性表示的表
达式.
解: 若有k1,k2,k3,使k11+k22+k33=0
即k1(1,1,1)+k2(0,2,5)+k3(1,3,6)=(0,0,0)
k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0 即(k1+ k3)1+(k1+k2)2+(k2+ k3)3=0 由已知1,2,3线性无关,则
k1 k3 0 1 0 1
k1 k2 0 1 1 0 =2 0
k2 k3 0 0 1 1
齐次方程组只有零解: k1=k2=k3=0
1+2,2+3,3+1线性无关.
若r维向量组1,2,,m线性无关,则r+1维 向量组1,2,,m也线性无关.
[证]反证法
若1,2,,m线性相关
即有不全为零的数k1,k2,,km,使
k11+k22++kmm=0
即 k1(a11,a12,,a1r,a1,r+1)+ k2(a21,a22,,a2r,a2,r+1)+ +km(am1,am2,,amr,am,r+1)=(0,0,,0)
向量组的线性相关性
证明
（略）
(1)
1 , 2 , n线性无关
1 1
齐次线性方程组 x 只有零解 r ( , , ) n
1 2 n
x2 2 xn n 0
a11
当m=n时
a12 a1n
a21 a22 a2 n 0 an1 an 2 ann
思考题
试证明 : (1) 一个向量 线性相关的充要条件是 0； ( 2) 一个向量 线性无关的充要条件是 0； ( 3) 两个向量 ， 线性相关的充要条件是
k或者 k , 两式不一定同时成立 .
思考题解答
证明 （１）、（２）略． （３）充分性 , 线性相关, 存在不全为零的数 , y , 使 x
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关性的概念
定义4
给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不 k1 1 k2 2 km m 0
全为零的数k1 , k2 ,, km 使
则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当
例１ n 维向量组 T T T e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n 维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
的矩阵 解 n维单位坐标向量组构成 E (e1 , e2 , , en ) 是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R( E ) n.
1 2 3 4 2 3
这与a , a , a 线性无关矛盾，故结论成立.
2 3 4
四、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； ２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） ３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点）
4.3 向量组的线性相关性
证 （方法1） 设 B 1, 2,L n , 且
有数x1,x2,…,xn，使得 x11 x22 L xnn 0,
即
x1
1, 2,L
,
n
x2
M
0,
xn
右边等式两边同时左乘矩阵A，得
ABx 0, 即 Ex 0, 所以 x 0, 即 x1 x2 L xn 0, 故由定义可知，
0
0
1
证 令 A (1,2,L ,n ),
则A恰为单位矩阵E，故R(A)=n。 根据判定定理，单位向量组线性无关。
例8
已知向量组 , ,
1
2
3
线性无关， 1
1
2
, ,
2
2
3
3
3
1
证明向量组 , ,
1
2
3
也线性无关.(典型考题,典型方法）
证明：（方法 1: 根据定义) 设有数k1,k2,k3,使得
则称向量组A 线性相关，否则称它线性无关。
当且仅当k1 k2 L ks =0时，
表达式 k11 k22 L kss 0成立。
定理2
线性相关和无关的判定定理
1,2 ,L ,s 线性无关
x11 x22 L xss 0 仅有零解
对矩阵 A=(1,2,L ,s ), R( A) 向量的个数s.
例2 零向量是任何一个同维向量组的线性组合
Q 0 01 02 L 0m
线性表示的表示系数可以是零
例3 向量组中的任何一个向量都是该向量组的线性组合。
i 01 02 L 1i L 0m
例4 对如下向量
(0,1,2)T ,1 (1,1,0)T ,2 (0,1,1)T ,3 (3, 4,0)T ,
线性代数-向量组的线性相关性-文档资料
[1,2,1], [2,4,0]线性无关。
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21
性质 3 含有零向量的向量组一定线性相关。
证明： 设1,2 ,,m 是向量组， i 0 (i {1,2,, m})
则： 01 02 0i1 1i 0i1 m 0
]
3
1
,
2
,
线性无关.
3
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17
三、有关向量组线性相关性的若干性质
性质 1
只含一个向量的向量组线性相关的充分必要条 件是它为零向量，
即只含一个向量的向量组线性无关的充分必要 条件是它为非零向量。
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18
性质 2
仅含两个向量的向量组线性相关的 充分必要条件是其对应分量成比例。
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5
【例 1】设 1 2 3 0T ，1 1 2 1 0T ， 2 3 0 1 1T 。问 能否由1,2线性表示？
1 3 1
解：设
x11
x22，则 x1
2
1
x2
0 1
2 ，即 3
0
1
0
1 3
1
2
1
0 1
x1 x2
2
，此方程组无解，所以
3
不能由1 , 2
19
证明：
设 [a1,a2 ,,an ], [b1,b2 ,,bn ]，则
, 线性相关
存在不全为零的常数k1, k2，使k1 k2 0
k1ai k2bi 0,i 1,2,,n，（不妨设k1 0）
ai
k2 k1
bi
,i
1,2 , , n
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20
例1
[1,2,0], [2,4,0]线性相关；
4.2向量组的线性相关性
向量组的线性相关性向量组线性相关与线性无关的概念向量组线性相关性的判别向量组线性相关性的有关结论向量组线性相关与线性无关的概念()1122*0ααα，m m k k k +++=定义：给定向量组，12:,,,αααm A 如果存在一组不全为零的实数,12,,,m k k k 使得则称向量组是线性相关的.A 则称向量组是线性无关的.A 仅当时式才成立，120m k k k ====()*例：向量组，1231111, 5, 1281ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭123320,ααα--=线性相关.123,,αααn 维单位坐标向量121000100,0,,0001e e e ，n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122e e e n nk k k +++12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭000⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性无关.12,,,e e e n 10,n k k ⇔===例：考虑只有一个向量的向量组，α如果，0α=则对任意常数都有,0k ≠0α=k 所以当时是线性相关的；0α=如果，0α≠所以当时是线性无关的.0α≠则仅当常数时才有,0k =0α=k则.2121αα=-λλ存在不全为零的实数，12,λλ不防设，10≠λ维向量组线性相关，12,αα例：n 11220.αα+=λλ使得线性相关的分量对应成比例.12,αα12,αα⇔例：向量组12301240,5,4,509710ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.含零向量的向量组必线性相关.0，k ≠对任意1230000.0αααk ⋅+⋅+⋅+⋅=均有向量组线性相关性的判别如何判断它的线性相关性？1212(,,,)m m k k k ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭0A .β=0A 给定向量组，12:,,,αααm A 考虑等式，1122m m k k k ααα+++=0β元线性方程组有非零解m=0Ax12(,,,)mααα=，A()T12,,,mx x x=x().R m<A定理：向量组线性相关12:,,,αααmA().R m=A向量组线性无关12:,,,αααmA元线性方程组只有零解m=0Ax解123102102(,,)124~022157000rααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例：已知，1231021,2,4157ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭试讨论线性相关，12(,)2R αα=，向量组及向量组的线性相关性.123,,ααα12,αα向量组123,,ααα向量组线性无关.12,αα123(,,)2R ααα=，223331,b a a b a a =+=+，证明向量组线性无关.123,,b b b 证一131122233x x x x x x ()()()0a a a +++++=112223331x x x ()()()a a a a a a ⇒++++例：已知向量组线性无关，且123,,a a a 112b a a =+，112233x x x 0，b b b ++=设131223000x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩10111020011=≠线性无关，123,,a a a 所以向量组线性无关.123,,b b b223331,b a a b a a =+=+，证明向量组线性无关.123,,b b b 证二例：已知向量组线性无关，且123,,a a a 112b a a =+，线性无关，123,,a a a 所以向量组线性无关.123,,b b b 把已知的三个向量等式写成矩阵等式123123*********(,,)(,,)b b b a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=.B AK 记作设,=Bx 0()=AK x ⇒0,=Kx ⇒0,20,K =≠=x ⇒0,223331,b a a b a a =+=+，证明向量组线性无关.123,,b b b 证三例：已知向量组线性无关，且123,,a a a 112b a a =+，线性无关，123,,a a a所以向量组线性无关.123,,b b b 把已知的三个向量等式写成矩阵等式123123*********(,,)(,,)b b b a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=.B AK 记作()R =3.A ⇒20K =≠又由知可逆，K 从而()()R R ==3.B A向量组线性相关性的有关结论111111.j j m j j j m j j j jk k k k k k k k ααααα-+-+=-----其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由12m 证明1122m m k k k ααα+++=0.（必要性）设线性相关，()122m m ααα,,,≥则存在一组不全为零的实数,12,,,m k k k 使得0j k ≠不防设，其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由12m 证明（充分性）设()122m m ααα,,,≥线性相关.111111j j j j j m m k k k k ααααα--++=++++，111111j j j j j m m k k k k ααααα--++++-++=0，111,,,1,,,j j m k k k k -+-不全为零，其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中任何一个向量都不能由12m 证明（必要性）设线性无关，()122m m ααα,,,≥若存在一个向量可由其余个向量线性表示,1m -()122m m ααα,,,≥则必线性相关，与已知矛盾.任何一个向量都不能由其余个向量线性表示.1m -其余个向量线性表示.1m -的充分必要条件是其中任何一个向量都不能由定理：向量组线性无关()12:2m A m ααα,,,≥证明（充分性）假设线性相关，()122m m ααα,,,≥必存在一个向量可由其余个向量线性表示,1m -与已知矛盾.所以线性无关.()122m m ααα,,,≥证明定理：向量组线性相关,()12:2m A m ααα,,,≥则向量组也线性相关.12+1:m m B αααα,,,,向量组线性无关，则向量组也线性无关.A B 反之，因为向量组线性相关,12:m A ααα,,,所以存在一组不全为零的实数,12,,,m k k k 1122m m k k k ααα+++=0.使得112210m m m k k k αααα+++++⋅=0.于是所以向量组也线性相关.12+1:m m B αααα,,,,结论：则该向量组线性相关. 一个向量组若有线性相关的部分组，一个向量组若线性无关，一般地，向量组线性相关,()12:2m A m ααα,,,≥则向量组也线性相关.12+1:m m s B ααααα,,,,,,则它的任何部分组也线性无关.定线性相关. 12(,,,)m ααα=，A 证明例如，向量组线性相关.123202110ααα,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭定理：个维向量组成的向量组，当m 时一n n m <特别地，个维向量必线性相关.n 1n +n m ⨯个维向量构成矩阵m n 12m ααα,,,设R n <m ().A ≤n m <当时，有个维向量线性相关.m n 12m ααα,,,证明定理：向量组线性无关,()12:2m A m ααα,,,≥而向量组线性相关，12:m B αααβ,,,,必能由向量组线性表示，且表示式是惟一的.A β则向量记()12=m ααα,,,，A ()12=m αααβ,,,,,B 由于R R ()()，A B ≤有惟一解，从而结论成立.因此方程组βAx =而1R m R m ()()，，A B =<+所以1m R m ()，B ≤<+即.R m ()B =问题转化为讨论方程组是否有惟一解.βAx =证明:证明(2)用反证法. 矛盾.例设向量组线性相关，线性无关，123,,a a a 234,,a a a (1)能由线性表示；1a 23,a a (2)不能由线性表示.123,,a a a 4a 因线性无关，知线性无关，(1)234,,a a a 23,a a 再由线性相关，知能由表示.123,,a a a 1a 23,a a 假设能由线性表示，4a 123,,a a a (1)知能由线性表示；1a 23,a a 又由于是能由线性4a 23,a a 表示，。
3.3 向量组的线性相关性
~ ~ (a1, a2, a3) 111
0 2 5
742
r
100
0 2 5
522
r
100
0 2 0
022
可见r(a1 a2 a3)2< 3 r(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关.
n个 n维向量a1 a2 an线性相关｜a1 a2 an｜＝０； n个 n维向量a1 a2 an线性无关｜a1 a2 an｜≠０.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
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向量组a1 a2 am线性无关r(a1 a2 am)m. n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的.
例3.2 已知
a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性.
不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam)
即a1能由a2 am线性表示.
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二 、线性相关性的判定
定理3.1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.
证 充分性
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例3.3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3
b3a3a1 试讨论向量组b1 b2 b3线性相关性.
证
由于此方程组的系数行
设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30
第二节 向量组的线性相关性
a1,a2线性相关 向量a1,a2共线(平行) a1 ka2
3) A含三个向量时:
a1,a2,a3线性相关 向量a1,a2,a3共面.
2.等价定义
向量组 1 , 2 ,,（当 m 2 时）线性相关 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示． 证明 充分性 设 a1 , a2 , , am 中有一个向量（比如 能由其余向量线性表示. 即有
由R( A) R( B ) m , 知方程组 ( 1 , 2 ,, m ) x b有唯一解，即向量 能由向量 b 组A线性表示，且表示式唯 . 一
例 设 向 量 组 1 , a 2 , a 3线 性 相 关 ， 向 量 组 , a 3 , a 4 a a2 线性无关，证明 : (1) a1能 由a 2 , a 3线 性 表 示 ； ( 2 ) a 4不 能 由 1 , a 2 , a 3 线 性 表 示 a .
am）
am 1 1 2 2 m1 m1
故
1 1 2 2 m1 m1 1am 0
因 1 , 2 , , m 1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 , 2 , , m 线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
第二节
向量组的线性相关性
一、线性相关、线性无关
1.定义4 给定向量组 A : 1 , 2 ,, m , 如果存在不
全为零的数 k1 , k 2 ,, k m 使 k1 1 k 2 2 k m m 0
则称向量组A是么意思?