二次函数的交点式
二次函数公式顶点式交点式两根式
二次函数公式顶点式交点式两根式二次函数是中学数学中的一个重要概念，也是数学基本的一种函数类型。
在解题中，对于二次函数的不同公式形式的掌握以及它们的应用是非常重要的。
本文将详细介绍二次函数的三种常用公式形式：顶点式、交点式和两根式。
一、顶点式：顶点式也叫标准式，它是二次函数最常用的一种表示形式。
顶点式的一般形式为：y=a(x-h)²+k，其中a表示抛物线开口的方向和大小，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；(h,k)表示抛物线的顶点坐标。
顶点式提供了抛物线的顶点坐标，因此很容易确定抛物线的最值。
当a>0时，抛物线的最小值为k，当a<0时，抛物线的最大值为k。
此外，顶点式也可以很方便地求出对称轴的方程，对称轴的方程为x=h。
顶点式的一个重要应用是求解二次函数的最值问题。
通过求解顶点的坐标，可以得到二次函数的最值点，进而解决各种最值问题，如求抛物线经过的点中的最大或最小值等。
二、交点式：交点式是通过已知抛物线上两个点求解二次函数的一种表示形式。
交点式的一般形式为：y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)表示抛物线上两个已知点的坐标。
交点式提供了抛物线上的两个点，通过已知两点可以直接写出二次函数的全式形式。
交点式也可以通过展开得到全式形式，展开后，得到二次函数的一般形式y=ax²+bx+c，其中a、b、c的数值可以通过已知的两个点求解。
交点式的一个重要应用是求解二次函数的方程，通过已知的两个点，可以将二次函数的方程写成交点式的形式，从而可以直接解出二次方程，求出解的个数以及具体的解。
三、两根式：两根式也是二次函数的一种常见表示形式，它主要用于求解二次方程的两个根（零点）。
两根式的一般形式为：y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)表示抛物线与x轴相交的两个点的坐标。
两根式主要通过已知抛物线与x轴相交的两个点来求解二次方程的两个根。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式
y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
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二次函数交点式公式
二次函数交点式公式
“二次函数交点式公式”是一种求解两个二次函数的交点（即抛物线交点）的方法。
它通过把两个二次函数分解成两个一次函数，再将两个一次函数的参数代入一般式，最后求得交点的坐标。
二次函数，也就是一元二次多项式函数，是一种常见的函数，它的模型形式如下：
y = ax^2 + bx + c
其中，a、b、c都是常量。
由此可见，一元二次多项式函数主要由三个参数组成，其中a是最高阶系数，b、c 是低阶系数，而y则是函数值。
现在，我们来看看二次函数交点式公式，它的思路是：当两个二次函数的参数都已知时，将两个二次函数分别对x求导，得到两个一次函数，然后将两个一次函数的参数代入一般式，最后求得交点的坐标。
我们知道，一般式的形式如下：
f(x) = 0
这里的f(x)就是上面所说的一次函数，即将二次函数对x求导之后得到的一次函数。
下面，我们就来看看二次函数交点式公式的具体求解过程：
（1）首先，假设有两个二次函数f(x)和g(x)，表达式分别为：
A）f(x) = ax^2 + bx + c
B）g(x) = dx^2 + ex + f
（2）将f(x)和g(x)分别对x求导，得到两个一次函数f_1(x)和g_1(x)，表达式分别为：
A）f_1(x) = 2ax + b
B）g_1(x) = 2dx + e
（3）将f_1(x)和g_1(x)的参数代入一般式，即可得到交点的坐标：
A）x = -\frac{b-e}{2a-2d}
B）y = f(x) = ax^2 + bx + c
以上就是二次函数交点式公式的求解过程，它的优点在于只需要知道两个二次函数的参数，就可以求得两个二次函数的交点坐标。
求二次函数的解析式(交点式)
利用抛物线与x轴的交点坐标，可以求出抛物线的顶点坐标 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 02
交点式求解方法
已知两个点的坐标
总结词
当已知二次函数的两个点坐标时，可以通过这两个点的坐标 来求解二次函数的解析式。
详细描述
首先，设二次函数为$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是已知的两个点的坐标。然后，将这两个 点的坐标代入上述方程中，解出$a$的值，即可得到二次函数的 解析式。
已知的四个点的坐标。然后，将这四个点的 坐标代入上述方程中，解出$a$的值，即可得
到二次函数的解析式。
03
交点式应用场景
求解二次函数与x轴的交点
交点式
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$和$x_2$是二次函数与x轴的 交点横坐标。
求解方法
将交点的横坐标代入交点式，解 出$a$的值。
求解二次函数的最值
最值点
二次函数的最值点是其顶点，顶点的横坐标为对称轴，纵坐标为最值。
求解方法
利用对称轴公式$x = -frac{b}{2a}$求出对称轴，再代入交点式求出最值。
求解二次函数的对称轴
对称轴公式
$x = -frac{b}{2a}$。
求解方法
将对称轴公式代入交点式，解出$a$的值，再代回公式求出对称轴的方程。
求二次函数的解析式(交点式)
$number {01}
目 录
• 交点式定义 • 交点式求解方法 • 交点式应用场景 • 交点式与其他形式的比较 • 交点式的注意事项
01
交点式定义
交点式的形式
交点式定义
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的
分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，
a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或
y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
二次函数交点式公式
二次函数交点式公式交点式：y=a(X-x1)(X-x2) ,仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问题时,使用交点式较为方便.y=a(x-x1)(x-x2) 找到函数图象与X轴的两个交点,分别记为x1和x2,代入公式,再有一个经过抛物线的点的坐标,即可求出a的值. 将a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2),即可得到一个解析式,这是y=ax²;+bx+c因式分解得到的,将括号打开,即为一般式.X1,X2是关于ax²+bx+c=0的两个根.如果(x1,0),(x2,0)是二次函数y=ax^2+bx+c的两个交点,那么x1,x2必是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根, 从而ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).我们把y=a(x-x1)(x-x2)称为二次函数的交点式.一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y 轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k ＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).。
二次函数顶点式与交点式推导
二次函数顶点式与交点式推导二次函数可以用顶点式和交点式两种形式来表示。
首先我们来看顶点式的推导。
顶点式是指二次函数的标准形式为y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)表示顶点的坐标，a表示抛物线的开口方向和开口大小。
我们可以通过完全平方公式将一般式的二次函数转换为顶点式。
首先，我们将一般式的二次函数表示为y = ax^2 + bx + c。
然后，利用配方法将x^2项与常数项相结合，得到y = a(x^2 + (b/a)x) + c。
接下来，我们需要加上一个适当的常数使得括号内成为一个完全平方的形式。
这个常数是(b/2a)^2，所以我们加上并减去(b/2a)^2，得到y = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 (b/2a)^2) + c。
然后，我们将完全平方的三项式进行因式分解，得到y = a((x + b/2a)^2(b/2a)^2) + c。
最后，化简得到y = a(x + b/2a)^2 a(b/2a)^2 + c，化简得到y = a(x + b/2a)^2 (b^2-4ac)/4a。
这样我们就得到了二次函数的顶点式表示形式。
接下来我们来看交点式的推导。
二次函数的交点式表示为y = a(x-p)(x-q)，其中p和q分别是函数与x轴交点的横坐标。
我们可以通过将顶点式展开来得到交点式。
首先，将顶点式y = a(x-h)^2 + k展开得到y = a(x^2 2hx + h^2) + k。
然后，将这个式子进行展开得到y = ax^2 2ahx +ah^2 + k。
接下来，我们可以将这个式子进行因式分解，得到y = a(x^2 2hx + h^2) + k，再进行因式分解得到y = a(x-h)^2 + (k-ah^2)。
这样，我们就得到了二次函数的交点式表示形式。
总结来说，通过完全平方公式和因式分解，我们可以推导出二次函数的顶点式和交点式表示形式。
这两种形式可以相互转换，方便我们在不同的情况下使用。
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二次函数之交点式
【课前自习】
2.用十字相乘法分解因式：
①322
--x x ②342
++x x ③6822
++x x
3.若一元二次方程02
=++c bx ax 有两实数根21x x 、，则抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴
交点坐标是 .
【课堂学习】
一、探索归纳：
1.根据《课前自习》第3题的结果，改写下列二次函数：
①322
--=x x y ②342
++=x x y ③6822
++=x x y = = = 2.求出上述抛物线与x 轴的交点坐标：
①322
--=x x y ②342
++=x x y ③6822
++=x x y
坐标： 3.你发现什么？ 4.归纳：
⑴若二次函数c bx ax y ++=2
与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以
表示为 的形式；
⑵反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与x 轴的交点坐标是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式. ⑶二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也 是 式存在的前提条件.
练习.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标.
⑴232
+-=x x y ⑵232
-+-=x x y ⑶4622
+-=x x y
与x 轴的交点坐标是：
与y 轴的交点坐标是：
二、典型例题：
例1.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3.
⑴求对称轴和顶点坐标.
⑶求出该二次函数的关系式.
⑷若二次函数的图象与x ，则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴是 ； 若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 .
归纳：若抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴的交点坐标是（01，x ）、（02，
x ）则，对称轴是 ，顶点 坐标是【拓展提升】
已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（⑴求对称轴和顶点坐标.
⑶求出该二次函数的关系式.
归纳：已知A 、B 是抛物线c bx ax y ++=2
上一对对称点，且A 点坐标是（y x A ，）、B
点坐标是（y x B ，）则，对称轴是 ，顶点 坐标是 .
【课堂检测】
1.已知一条抛物线的开口大小、方向与2
x y -=均相同，且与x 轴的交点坐标是（2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 .
2.已知一条抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（-1,0）、对称轴是直线1=x ，则另一个交点坐标是 .
3.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为4，其中一个交点坐标是（0,0）、则另 一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 .
4.二次函数()()43-+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，对称轴是 .
5.请写出一个二次函数，它与x 轴的交点坐标是（-6,0）、（-3,0）： .
6.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是3.求出该二 次函数的关系式.（用2种方法）
解法1： 解法2：
【课外作业】
1.已知一条抛物线的开口大小、方向与2
x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是（-2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 .
2.已知一条抛物线的形状与2
2x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是（1,0）、 （4,0），则该抛物线的关系式是 .
3.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是（1,0）、则另 一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 .
4.二次函数()()43---=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，对称轴是 .
5.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是-3.则该抛
物线开口向，当x时，y随的增大而增大.
6.请写出一个开口向下、与x轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式：
.
7.已知二次函数的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（0,0），对称轴是直线x，且函数的最值是4.
2
⑴求另一个交点的坐标.
⑵求出该二次函数的关系式.。