二次函数知识点梳理
二次函数de 基础
一、考点、热点回顾
二次函数知识点
一、二次函数概念:
1.二次函数de 概念:一般地,形如2
y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)de 函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数de 定义域是全体实数.
2. 二次函数2
y ax bx c =++de 结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x de 二次式,x de 最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数de 基本形式
1. 二次函数基本形式:2
y ax =de 性质: a de 绝对值越大,抛物线de 开口越小。
2. 2
y ax c =+de 性质:上加下减。
3. ()2
y a x h =-de 性质:左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+de 性质:
三、二次函数图象de 平移
在原有函数de 基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴
c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成
m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)
⑵
c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成
c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)
四、二次函数()2
y a x h k =-+与2
y ax bx c =++de 比较
从解析式上看,()2
y a x h k =-+与2
y ax bx c =++是两种不同de 表达形式,后者通过配方可以
得到前者,即2
2424b ac b y a x a a -??=++
??
?,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2
y ax bx c =++图象de 画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数2
y ax bx c =++化为顶点式2
()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取de 五点为:顶点、
与y 轴de 交点()0c ,
、以及()0c ,关于对称轴对称de 点()2h c ,、与x 轴de 交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称de 点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴de 交点,与y 轴de 交点.
六、二次函数2
y ax bx c =++de 性质
1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b
x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
,. 当2b x a <-
时,y 随x de 增大而减小;当2b x a >-时,y 随x de 增大而增大;当2b
x a
=-时,y
有最小值2
44ac b a
-.
2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
,.当2b
x a <-时,y 随x de 增大而增大;当2b x a >-时,y 随x de 增大而减小;当2b
x a
=-时,y 有最大值
244ac b a -. 七、二次函数解析式de 表示方法
1. 一般式:2
y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2. 顶点式:2
()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);
3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点de 横坐标).
注意:任何二次函数de 解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有de 二次函数都可以写成交点式,
只有抛物线与x 轴有交点,即2
40b ac -≥时,抛物线de 解析式才可以用交点式表示.二次函数解
析式de 这三种形式可以互化.
八、二次函数de 图象与各项系数之间de 关系 1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.
⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a de 值越大,开口越小,反之a de 值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a de 值越小,开口越小,反之a de 值越大,开口越大.
总结起来,a 决定了抛物线开口de 大小和方向,a de 正负决定开口方向,a de 大小决定开口de 大小.
2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定de 前提下,b 决定了抛物线de 对称轴. ⑴ 在0a >de 前提下,
当0b >时,02b
a
-<,即抛物线de 对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b
a
-=,即抛物线de 对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
-
>,即抛物线对称轴在y 轴de 右侧. ⑵ 在0a
a
->,即抛物线de 对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02b
a
-=,即抛物线de 对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
-
<,即抛物线对称轴在y 轴de 左侧. 总结起来,在a 确定de 前提下,b 决定了抛物线对称轴de 位置.
ab de 符号de 判定:对称轴a
b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴de 右侧则0 ⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴de 交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点de 纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴de 交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点de 纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴de 交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点de 纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点de 位置. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定de . 二次函数解析式de 确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数de 解析式必须根据题目de 特点,选择适当de 形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点de 坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x 轴de 两个交点de 横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同de 两点,常选用顶点式. 九、二次函数图象de 对称 二次函数图象de 对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到de 解析式是2 y ax bx c =---; ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到de 解析式是()2 y a x h k =---; 2. 关于y 轴对称 2 y ax bx c =++关于 y 轴对称后,得到de 解析式是2y ax bx c =-+; ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到de 解析式是()2 y a x h k =++; 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后,得到de 解析式是2 y ax bx c =-+-; ()2 y a x h k =-+关于原点对称后,得到de 解析式是()2 y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°) 2 y ax bx c =++关于顶点对称后,得到de 解析式是22 2b y ax bx c a =--+-; ()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到de 解析式是()2 y a x h k =--+. 5. 关于点()m n , 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n , 对称后,得到de 解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称de 性质,显然无论作何种对称变换,抛物线de 形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线de 对称抛物线de 表达式时,可以依据题意或方便运算de 原则,选择合适de 形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知de 抛物线)de 顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线de 顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线de 表达式. 十、二次函数与一元二次方程: 1. 二次函数与一元二次方程de 关系(二次函数与x 轴交点情况): 一元二次方程2 0ax bx c ++=是二次函数2 y ax bx c =++当函数值0y =时de 特殊情况. 图象与x 轴de 交点个数: ① 当2 40b ac ?=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x , ,,12()x x ≠,其中de 12x x ,是一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠de 两根.这两点间de 距离21AB x x =-= ② 当0?=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0?<时,图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时,图象落在x 轴de 上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2' 当0a <时,图象落在x 轴de 下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 2. 抛物线2 y ax bx c =++de 图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ; 3. 二次函数常用解题方法总结: ⑴ 求二次函数de 图象与x 轴de 交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数de 最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶ 根据图象de 位置判断二次函数2 y ax bx c =++中a ,b ,c de 符号,或由二次函数中a ,b ,c de 符号判断图象de 位置,要数形结合; ⑷ 二次函数de 图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称de 点坐标,或已知与x 轴de 一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关de 还有二次三项式,二次三项式2 (0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x de 二次函数;下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间de 内在联系: 十一、函数de 应用 二次函数应用?? ???刹车距离 何时获得最大利润最大面积是多少 二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项 系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的性质: y ax c 结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性质: y a x h 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 =-+的性质: y a x h k 总结: 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法 如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当0a 时,开口向上;当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧; ③0c ,与y 轴交于正半轴;③0 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0初三.二次函数知识点总结
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