轴向拉伸和压缩
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《建筑力学》第五章-轴向拉伸和压缩
总结词
随着科技的发展，新型材料不断涌现，对新 型材料的轴向拉伸和压缩性能进行研究，有 助于发现更具有优良力学性能的材料，为工 程应用提供更多选择。
详细描述
近年来，碳纤维复合材料、钛合金等新型材 料在轴向拉伸和压缩方面的性能表现引起了 广泛关注。通过深入研究这些材料的力学特 性，可以进一步挖掘其潜在应用价值，为建 筑、航空航天、汽车等领域提供更轻质、高
2. 弹性模量计算
根据应力-应变曲线的初始直线段，计算材料的弹性模量，用于评估材料的刚度和抵抗弹性变形的能力 。
实验步骤与实验结果分析
3. 泊松比分析
通过测量试样在拉伸和压缩过程中的 横向变形，计算材料的泊松比，了解 材料在受力时横向变形的性质。
4. 强度分析
根据应力-应变曲线中的最大应力值， 评估材料的抗拉和抗压强度，为工程 实践中选择合适的材料提供依据。
供理论支持，确保结构的安全性和稳定性。
智能化技术在轴向拉伸和压缩领域的应用研究
要点一
总结词
要点二
详细描述
随着智能化技术的不断发展，其在轴向拉伸和压缩领域的 应用研究逐渐成为热点，有助于提高测试精度和效率，为 实验研究和工程应用提供有力支持。
例如，利用智能传感器和机器学习技术对轴向拉伸和压缩 实验进行数据采集和分析，可以提高实验的精度和效率。 同时，智能化技术的应用还可以为实验数据的处理、分析 和预测提供新的方法和手段，为实验研究和工程应用提供 更加全面和准确的数据支持。
特性
轴向拉伸和压缩时，物体在垂直 于轴线方向上的尺寸保持不变， 而在轴线方向上的尺寸发生改变 。
轴向拉伸和压缩的分类
按变形程度
可分为弹性变形和塑性变形。弹性变形是指在外力撤销后，物体能够恢复原状的 变形；塑性变形是指外力撤销后，物体不能恢复原状的变形。
轴向拉伸和压缩
第七章轴向拉伸和压缩一、内容提要轴向拉伸与压缩是杆件变形的基本形式之一，是建筑工程中常见的一种变形。
(一)、基本概念1. 内力 由于外力的作用，而在构件相邻两部分之间产生的相互作用力。
这里要注意产生内力的前提条件是构件受到外力的作用。
2. 轴力 轴向拉（压）时，杆件横截面上的内力。
它通过截面形心，与横截面相垂直。
拉力为正，压力为负。
3. 应力 截面上任一点处的分布内力集度称为该点的应力。
与截面相垂直的分量σ称为正应力，与截面相切的分量τ称为切应力。
轴拉（压）杆横截面上只有正应力。
4. 应变 单位尺寸上构件的变形量。
5. 轴向拉（压） 杆件受到与轴线相重合的合外力作用，产生沿着轴线方向的伸长或缩短的变形，称为轴向拉（压）。
6. 极限应力 材料固有的能承受应力的上限，用σ0表示。
7. 许用应力与安全系数 材料正常工作时容许采用的最大应力，称为许用应力。
极限应力与许用应力的比值称为安全系数。
8. 应力集中 由于杆件截面的突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。
(二)、基本计算1. 轴向拉（压）杆的轴力计算求轴力的基本方法是截面法。
用截面法求轴力的三个步骤：截开、代替和平衡。
求出轴力后要能准确地画出杆件的轴力图。
画轴向拉（压）杆的轴力图是本章的重点之一，要特别熟悉这一内容。
2. 轴向拉（压）杆横截面上应力的计算任一截面的应力计算公式 AF N =σ 等直杆的最大应力计算公式 AF max N max =σ 3. 轴向拉（压）杆的变形计算虎克定律 A E l F l N =∆εσE =或 虎克定律的适用范围为弹性范围。
泊松比 εε=μ'4. 轴向拉（压）杆的强度计算强度条件塑性材料：σma x ≤[σ] 脆性材料： σt ma x ≤[σt ]σ c ma x ≤[σc ]强度条件在工程中的三类应用（1）对杆进行强度校核在已知材料、荷载、截面的情况下，判断σma x是否不超过许用值[σ]，杆是否能安全工作。
轴向拉伸与压缩
第五章 轴向拉伸与压缩一、轴向拉伸与压缩承受拉伸或压缩杆件的外力（或外力的合力）作用线与杆轴线重合，杆件沿杆轴线方向伸长或缩短，这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。
这种杆件称为拉压杆。
二、轴力及轴力图杆件在外力作用下将发生变形，同时杆件内部各部分之间产生相互作用力，此相互作用力称为内力。
对于轴向拉压杆，其内力作用线与轴线重合，此内力称为轴力。
轴力拉为正，压为负。
为了表现轴向拉压杆各横截面上轴力的变化情况，工程上常以轴力图表示杆件轴力沿杆长的变化。
三、横截面上的应力根据圣文南原理，在离杆端一定距离之外，横截面上各点的变形是均匀的，各点的应力也应是均匀的，并垂直于横截面，此即为正应力。
设杆的横截面面积为Ａ，则有AF N =σ 工程计算中设定拉应力为正，压应力为负。
四、强度条件工程中为各种材料规定了设计构件时工作应力的最高限度，称为许用应力，用［σ］表示。
轴向拉伸（压缩）强度条件为[]σσ≤=AF N用强度条件可解决工程中三个方面的强度计算问题，即：（1）强度校核；（2）设计截面；（3）确定许可载荷。
五、斜截面上的应力与横截面成θ角的任一斜截面上，通常有正应力和切应力存在，它们与横截面正应力σ的关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=θστθσσθθ2sin 2)2cos 1(2 由上式可知，当θ＝０°时，正应力最大，即横截面上的正应力是所有截面上正应力中的最大值。
当θ＝±４５°时，切应力达到极值。
六、拉压变形与胡克定律等值杆受轴向拉力Ｆ作用，杆的原长为l ，横截面积为Ａ，变形后杆长由l 变为l ＋△l ，则杆的轴向伸长为EAFl l =∆ 用内力表示为EAl F l N =∆ 上式为杆件拉伸（压缩）时的胡克定律。
式中的Ｅ称为材料的拉伸（压缩）弹性摸量，ＥＡ称为抗拉（压）刚度。
用应力与应变表示的胡克定律为σ＝Ｅε在弹性范围内，杆件的横向应变ε‘和轴向应变ε有如下的关系：μεε-='式中的μ称为泊松比。
第八章 轴向拉伸与压缩
练习：阶梯杆AD受三个集中力F作用，F=30kN，AB、BC、 CD段的横截面面积分别为10cm2，20cm2，30cm2，试画出阶梯 杆的轴力图，并计算三段杆的横截面上的应力。
A F F
B
C
D
F
19
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
一、拉伸试验与应力—应变图 实验条件： 常温、静载下（缓慢平稳的加载）试验 标准试件 标距尺寸：l=10d 或 l=5d
解：1、分段计算轴力 AB段 Fx 0
1 F2
FN1 F1 0
FN1 F1 10kN
BC段 Fx 0 FN2 F2 F1 0
F1
FN2 F1 F2 10kN
F4
25
FN(kN) 10 10
CD段 Fx 0 F4 FN3 0 FN3 F4 25kN 2、绘制轴力图
20
三种材料的共同特点： 断裂时均有较大的残余变形，均属塑 性材料
o
0.2%
27
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
铸铁拉伸时的力学性能 对于脆性材料(铸铁)，拉伸时的应 力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和 颈缩现象，试件突然拉断。断后伸长率 约为 0.5%。为典型的脆性材料。
b
o
b—强度极限，是衡量脆性材料(铸铁)
屈服：应力基本不变，而变形显著增长的现象
s —屈服极限或屈服应力，屈服段内最低应力值
F F 滑移线：材料屈服时试件表面出 现的线纹
23
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
III、硬化阶段（恢复抵抗变形的 能力） 应变硬化：经过屈服滑移后， 材料重新呈现抵抗变形的能力 b —强度极限，硬化阶段内 e 最高应力值，也是材料所 能承受的最大应力
A F F
B
C
D
F
19
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
一、拉伸试验与应力—应变图 实验条件： 常温、静载下（缓慢平稳的加载）试验 标准试件 标距尺寸：l=10d 或 l=5d
解：1、分段计算轴力 AB段 Fx 0
1 F2
FN1 F1 0
FN1 F1 10kN
BC段 Fx 0 FN2 F2 F1 0
F1
FN2 F1 F2 10kN
F4
25
FN(kN) 10 10
CD段 Fx 0 F4 FN3 0 FN3 F4 25kN 2、绘制轴力图
20
三种材料的共同特点： 断裂时均有较大的残余变形，均属塑 性材料
o
0.2%
27
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
铸铁拉伸时的力学性能 对于脆性材料(铸铁)，拉伸时的应 力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和 颈缩现象，试件突然拉断。断后伸长率 约为 0.5%。为典型的脆性材料。
b
o
b—强度极限，是衡量脆性材料(铸铁)
屈服：应力基本不变，而变形显著增长的现象
s —屈服极限或屈服应力，屈服段内最低应力值
F F 滑移线：材料屈服时试件表面出 现的线纹
23
§8-4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
III、硬化阶段（恢复抵抗变形的 能力） 应变硬化：经过屈服滑移后， 材料重新呈现抵抗变形的能力 b —强度极限，硬化阶段内 e 最高应力值，也是材料所 能承受的最大应力
建筑力学轴向拉伸和压缩
前面应用截面法，可以求得任意截面上内力的总和，现在进一步分析横截面上的 应力情况，首先研究该截面上的内力分布规律，内力是由于杆受外力后产生变形而引 起的，我们首先通过实验观察杆受力后的变形现象，并根据现象做出假设和推论；然 后进行理论分析，得出截面上的内力分布规律，最后确定应力的大小和方向。
现取一等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线 ab 和 cd（图 5-7）。
N2 3P 2P 0 N2 P （压力） N2 得负号，说明原先假设为拉力是不正确的，应为压力，同时又表明轴力是负的。
同理，取截面 3-3 如图 5-6（d），由平衡方程 x 0 得：
N3 P 3P 2P 0 N3 2P
如果研究截面 3-3 右边一段 [图 5-6（e）]，由平衡方程 x 0 得：
内力是研究构件旳强度、刚度及稳定性问题时 ，首先要计算旳力。因为内力存在于构件内部 ，所以只有把它暴露出来才干做进一步旳分析 。为了显示内力能够采用截面法。
利用截面法求内力，能够归纳为下列 三个环节：
• 第一，假想用一横截面将物体截为两部分，研究其 中一部分，弃去另一部分。
• 第二，用作用于截面上旳内力替代弃去部分对研究 部分旳作用。
其长度 l 称为标距。根据国家金属拉力试验的有关标准，对圆形截面的试样，标距l 与
直径 d 之比，通常规定
l 10d 或 l 5d
而对于横截面积为 A 的矩形截面试样，则规定
l 11.3 A 或 l 5.65 A
(1)低碳钢拉伸时的力学性质 1）拉伸图与应力－应变图 试验时，首先将低碳钢的标准试样安装在材料试验机工作台的上、下夹头内，然 后开动机器，均匀缓慢加载。在试验过程中，随着荷载 F 的增大．试样逐渐被拉长，
由于杆件的横向线应变 ' 与纵向线应变 ε 总是符号相反，所以
现取一等直杆，拉压变形前在其表面上画垂直于杆轴的直线 ab 和 cd（图 5-7）。
N2 3P 2P 0 N2 P （压力） N2 得负号，说明原先假设为拉力是不正确的，应为压力，同时又表明轴力是负的。
同理，取截面 3-3 如图 5-6（d），由平衡方程 x 0 得：
N3 P 3P 2P 0 N3 2P
如果研究截面 3-3 右边一段 [图 5-6（e）]，由平衡方程 x 0 得：
内力是研究构件旳强度、刚度及稳定性问题时 ，首先要计算旳力。因为内力存在于构件内部 ，所以只有把它暴露出来才干做进一步旳分析 。为了显示内力能够采用截面法。
利用截面法求内力，能够归纳为下列 三个环节：
• 第一，假想用一横截面将物体截为两部分，研究其 中一部分，弃去另一部分。
• 第二，用作用于截面上旳内力替代弃去部分对研究 部分旳作用。
其长度 l 称为标距。根据国家金属拉力试验的有关标准，对圆形截面的试样，标距l 与
直径 d 之比，通常规定
l 10d 或 l 5d
而对于横截面积为 A 的矩形截面试样，则规定
l 11.3 A 或 l 5.65 A
(1)低碳钢拉伸时的力学性质 1）拉伸图与应力－应变图 试验时，首先将低碳钢的标准试样安装在材料试验机工作台的上、下夹头内，然 后开动机器，均匀缓慢加载。在试验过程中，随着荷载 F 的增大．试样逐渐被拉长，
由于杆件的横向线应变 ' 与纵向线应变 ε 总是符号相反，所以
材料力学--轴向拉伸和压缩
2、轴力图的作法：以平行于杆轴线的横坐标（称为基
线）表示横截面的位置；以垂直于杆轴线方向的纵坐
标表示相应横截面上的轴力值，绘制各横截面上的轴 FN
力变化曲线。
x
§2-2 轴力、轴力图
三、轴力图
FN
3、轴力图的作图步骤：
x
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；
②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧；
③标注正负号、各控制截面处 、单位及图形名称。
FN
4、作轴力图的注意事项： ①基线一定平行于杆的轴线，轴力图与原图上下截面对齐； ②正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④整个轴力图比例一致。
50kN 50kN 50kN
第二章 轴向拉伸和压缩
第二章
轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§2 — 1 概述
§2 — 2 轴力 轴力图
目
§2 — 3 拉（压）杆截面上的应力
§2 — 4 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比
录
§2 — 5 材料在拉伸与压缩时的力学性质
§2 — 6 拉（压）杆的强度计算
§2 — 7 拉（压）杆超静定问题
FN
作轴力图的注意事项： ①多力作用时要分段求解，一律先假定为正方向，优先考虑直接法； ②基线‖轴线，正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，比例一致，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
§2 — 8 连接件的实用计算
§2-1 概述 §2-1 概述
——轴向拉伸或压缩，简称为拉伸或压缩，是最简单也是做基本的变形。
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
第四章轴向拉伸与压缩
第四章 轴向拉伸和压缩
4.1 轴向拉伸和压缩的概念
当作用在等截面直杆上的外力（或者外力合力）的 作用线和杆轴重合时，杆件的主要变形是轴向拉伸 或者压缩。
经历轴向拉伸（压缩）的等截面直杆称为拉（压） 杆。
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向
O
B
C
4F 3F
D 2F
2A
2A
A
FN 3F
+ A
2F
B
+
+
–
C
D
F
4.3 拉（压）杆的应力
1. 应力的概念：
F
F
（1）问题提出：
F
F
1. 两杆的轴力都为F. 2. 但是经验告诉我们，细杆更容易被拉断。同样材料，
同等内力条件下，横截面积较大的拉杆能承受的 轴向拉力较大。
3. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 4. 根据连续性假设，内力是连续分布于整个横截面上的， 一般而言，截面上不同点处分布的内力大小和方向都不 同。
横截面积 A 成反比。即
l Fl A
引入比例常数E，可有
l Fl F
EA
EA
这一关系称为胡克定律。
E 称为杨氏模量，也叫弹性模量。它是材料本身的性质，表征 材料抵抗变形的能力，需要用实验来测定。单位为Pa。
在拉压杆中，有
F FN
l Fl FN l FN
EA EA
EA
※ “EA”称为杆的拉伸(压缩)刚度。对于长度相等，受力也 相等的拉压杆，拉伸（压缩）刚度越大，变形越小。
d
向缩短。若拉杆为圆截面，原始
直径为d，变形后直径为d1，
4.1 轴向拉伸和压缩的概念
当作用在等截面直杆上的外力（或者外力合力）的 作用线和杆轴重合时，杆件的主要变形是轴向拉伸 或者压缩。
经历轴向拉伸（压缩）的等截面直杆称为拉（压） 杆。
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。
轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向
O
B
C
4F 3F
D 2F
2A
2A
A
FN 3F
+ A
2F
B
+
+
–
C
D
F
4.3 拉（压）杆的应力
1. 应力的概念：
F
F
（1）问题提出：
F
F
1. 两杆的轴力都为F. 2. 但是经验告诉我们，细杆更容易被拉断。同样材料，
同等内力条件下，横截面积较大的拉杆能承受的 轴向拉力较大。
3. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 4. 根据连续性假设，内力是连续分布于整个横截面上的， 一般而言，截面上不同点处分布的内力大小和方向都不 同。
横截面积 A 成反比。即
l Fl A
引入比例常数E，可有
l Fl F
EA
EA
这一关系称为胡克定律。
E 称为杨氏模量，也叫弹性模量。它是材料本身的性质，表征 材料抵抗变形的能力，需要用实验来测定。单位为Pa。
在拉压杆中，有
F FN
l Fl FN l FN
EA EA
EA
※ “EA”称为杆的拉伸(压缩)刚度。对于长度相等，受力也 相等的拉压杆，拉伸（压缩）刚度越大，变形越小。
d
向缩短。若拉杆为圆截面，原始
直径为d，变形后直径为d1，
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max在柱的下段，其值为 1.1MPa，是压应力。
240
例2-6 图示起吊三角架，AB杆由截面积 10.86cm2 的2根角钢组成，求AB杆截面 应力。 已知：F = 130 kN，a = 30°。 解：（1）计算 AB 杆内力 节点 A：
Fy 0
得
FNAB sin 30 F
FNAB 2F 260kN
FN x Argx
2. 轴力图与最大轴力 轴力图为直线
FN 0 0
FN l lArg
FN,max lArg
作业：
习题 2-1
2.3 拉、压杆内的应力 2.3.1 拉压杆横截面上的应力
杆件1 ——轴力 =1N,横截面积 = 0.1mm2 杆件2 ——轴力 =100N,横截面积 =100mm2
FN A
L L
（虎克定律的另一种表达方式） L－伸长为正，缩短为负
EA－抗拉（压）刚度
2、横向变形：
横向线应变：
a a1 a,
b b1 b
b1 b
b a b a
在弹性范围内：
a1
a
横向变形系数（泊松比）
2.4 拉、压杆的变形·胡克定律 2.4.1 轴向拉压杆的变形
两种变形 轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 ΔL= L1 - L ，
L
b1 b
a1
1、轴向变形：
a
（1）轴向线应变：
L L
（2）虎克定律: 在弹性范围内, (当 p时)
E
L1
FN L L EA
负值表示位移向下
(2). B LBC
3Fa EA
(3). AB
LAB LAB
Fa
EA F a EA
例2-9 图示为一变截面圆杆ABCD。已知F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN。l1 = l3 = 300mm，l2 = 400mm。d1= 12mm，d2 =16mm，d3 =24mm。试求： (1) 1—1，11—11，111—111截面的轴力，作轴力图 (2) 杆的最大正应力 max (3) B截面的位移及AD杆的变形
CD段：
lCD
uB lBC lCD 0.3mm ()
F
x F
例2-8 ：已知杆件的 E、A、F、a 。
求：△LAC 、δ B（B 截面位移）和ε （AB 段的线应变）。 解：1)画 FN 图： 2) 计算：
AB
A
a 2F B a C
3F
FN
FN L LAC LAB LBC (1). L EA Fa 3Fa 4 Fa EA EA EA
2
轴向拉伸和压缩
2-1 轴向拉伸与压缩的概念
2-2 内力-轴力·轴力图
2-3 拉、压杆内的应力 2-4 拉、压杆的变形·胡克定律 2-5 材料在拉、压时的力学性能 2-6 拉压杆的强度条件
2-7 应力集中的概念
2.1 轴向拉伸和压缩的概念
2.1.1 轴向拉压的工程实例
2.1.2 轴向拉伸和压缩的概念
解：先作轴力图
50kN
A
1 F B F
FN1 F 50kN
1
FN 1 A1
FN 2 3F 150kN
2 C
150kN
50 10 0.87 106 N / m 2 0.87MPa 0.24 0.24
3
FN 2 2 A2 150 103 1.1106 N / m 2 1.1MPa 0.37 0.37
FD FC FB FA FN1 0
FN1 2F
F 4F 8F 5F FN1 0
O
A FA
B FB FN2 B
C FC C
D FD D
求AB 段内力：
F
x
0
FN2= –3F，
FN 2 FB FC FD 0
FB
FN3
FC
C
FD
D
F
F
F
FN （＋） FN
F
F
FN （－） FN
F
例2-1：求图示各截面内力
6kN
18kN
1
8kN
4kN
6kN
FN1-1
6kN
18kN
FN 2-2 8kN
6kN
18kN
FN3-3 画受力图时，截面轴力一定按正的规定来画。
2.2.2 轴力图
轴力沿轴线变化的图形
用 平行于杆轴线的坐标 表示 横截面的位置，用垂直于杆轴线 的坐标表示横截面上的轴力数值， 从而绘出表示轴力与横截面位置 关系的图线，称为 轴力图 。将正 的轴力画在上侧，负的画在下侧。 意义 ① 直观反映轴力与截面位置变化关系； F FN F
FN4= F
O
A
FA
B
FB 5F
C
FC
D FD
FN
2F
F x 3F
例 2-3 一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。
10kN 40kN B C 55kN 25kN 20kN
A
D
E
1
10kN FN1
2
3
解：求AB段内的轴力 FN1= 10kN 求BC段内的轴力
10kN
40kN
FN2
FN 2 10 40 50 kN
②代替，FN 代替。
③平衡， ∑Fx =0, FN - F = 0, FN = F。 以1－1截面的右段为研究对象： FN F F FN
内力 FN 沿轴线方向，所以称为轴力。
同一截面位置处左、右侧截面上内力必须具有相同的正负号。 轴力的符号规定：
拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
F
a
a
FNa
x
a cos a ,
2
a
2
sin 2a
( 1 ) max :
a 0,
a max
(a 0)
, 横截面上。
(2) max :
a max
2
, 450 斜截面上。
a 45
0
( a
2
)
作业：
习题 2-4
习题 2-5
（2）计算 AB
AB
FNAB 260 103 6 10 =119.7MPa 4 A 10.86 2 10
2.3.2 轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定 F F
(1) 内力确定：
FNa= F (2)应力确定： ①应力分布——均布 ②应力公式—— F
F
a
a
FNa
x
pa
FNa
FN a F F pa cosa cosa A Aa A cosa
FN a F F pa cosa cosa A Aa A cosa F
a
a
a pa cosa cos a a pa sin a sin 2a
FN x d l dx EA x FN x l dx l EA x
例2-7 试分析杆 AC 的轴向变形 l
ห้องสมุดไป่ตู้
分段求解:
FN1 F2 F1 FN2 F2
FN1l1 FN2l2 ( F2 F1 )l1 F2l2 l EA EA EA EA F2 (l1 l2 ) F1l1 l EA EA
求CD段内的轴力
FN3
25kN
20kN
FN 3 5kN
10kN
40kN B C
55kN
25kN
20kN
A
D
E
求DE段内的轴力
FN 4 20kN
作轴力图
20kN
4
FN4 50kN
10kN
+
20kN
+
5kN
FNmax= 50 kN 发生在 BC 段内任一横截面上
例 2-4 等直杆BC , 横截面面积为A , 材料密度为 r , 画杆的轴力图，求 最大轴力。 解：1. 轴力计算
max
max
FN max A
FN A max
变截面直杆：
6、公式的使用条件 (1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处。 （圣维南原理，不超过杆的横向尺寸）
F
例2-5 一横截面为正方形的砖柱分上、下两 段，其受力情况，各段长度及横截面面积如 图所示。已知 F = 50 kN，试求荷载引起的 最大工作应力。
式中，FN 为轴力，A 为杆的横截面面积。 的符号与轴力 FN 的符号相同。 当轴力为正号时（拉伸），正应力也为正号，称为拉应力，记作 t 。 当轴力为负号时（压缩），正应力也为负号，称为压应力，记作 c 。
N = Pa 2 m
N = MPa 2 mm
5、拉压杆内最大的正应力： 等截面直杆：
111 11 F3 C 111 l3 l2 B l1 1 F1 A 1
F2
11
D
FD
F3 D C B
F2 A
F1
解：求支座反力
FD = - 50 kN
(1) 1—1，11—11，111—111 截面的轴力，作轴力图。 FN1= 20kN FN2= -15kN FN3= - 50kN
20
+
50
15 (2) 杆的最大正应力max AB段： BC段： DC段：