自动控制原理考试试题第七章习题及答案
自动控制原理 课后习题答案(2020年7月整理).pdf
第1章控制系统概述【课后自测】1-1 试列举几个日常生活中的开环控制和闭环控制系统，说明它们的工作原理并比较开环控制和闭环控制的优缺点。
解：开环控制——半自动、全自动洗衣机的洗衣过程。
工作原理：被控制量为衣服的干净度。
洗衣人先观察衣服的脏污程度，根据自己的经验，设定洗涤、漂洗时间，洗衣机按照设定程序完成洗涤漂洗任务。
系统输出量（即衣服的干净度）的信息没有通过任何装置反馈到输入端，对系统的控制不起作用，因此为开环控制。
闭环控制——卫生间蓄水箱的蓄水量控制系统和空调、冰箱的温度控制系统。
工作原理：以卫生间蓄水箱蓄水量控制为例，系统的被控制量（输出量）为蓄水箱水位（反应蓄水量）。
水位由浮子测量，并通过杠杆作用于供水阀门（即反馈至输入端），控制供水量，形成闭环控制。
当水位达到蓄水量上限高度时，阀门全关（按要求事先设计好杠杆比例），系统处于平衡状态。
一旦用水，水位降低，浮子随之下沉，通过杠杆打开供水阀门，下沉越深，阀门开度越大，供水量越大，直到水位升至蓄水量上限高度，阀门全关，系统再次处于平衡状态。
开环控制和闭环控制的优缺点如下表1-2 自动控制系统通常有哪些环节组成？各个环节分别的作用是什么？解：自动控制系统包括被控对象、给定元件、检测反馈元件、比较元件、放大元件和执行元件。
各个基本单元的功能如下：（1）被控对象—又称受控对象或对象，指在控制过程中受到操纵控制的机器设备或过程。
（2）给定元件—可以设置系统控制指令的装置，可用于给出与期望输出量相对应的系统输入量。
（3）检测反馈元件—测量被控量的实际值并将其转换为与输入信号同类的物理量，再反馈到系统输入端作比较，一般为各类传感器。
（4）比较元件—把测量元件检测的被控量实际值与给定元件给出的给定值进行比较，分析计算并产生反应两者差值的偏差信号。
常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。
（5）放大元件—当比较元件产生的偏差信号比较微弱不足以驱动执行元件动作时，可通过放大元件将微弱信号作线性放大。
精品文档-自动控制原理(第二版)(薛安克)-第7章
N
{ f [(n 1)T ] f (nT )} f (0) f [( N 1)T ]
第七章 数字控制系统分析基础 7.3.2 Z变换性质
Z变换有一些基本定理, 可以使Z变换的应用变得简单和 方便, 其内容在许多方面与拉氏变换基本定理有相似之处。
1.
设ci为常数, 如果有
n
f (t) ciFi (z) c1F1(z) c2F2 (z) cnFn (z) , 则
i 1
n
F (z) ciFi (z) c1F1(z) c2F2 (z) cnFn (z)
即式(7.18)成立。
第七章 数字控制系统分析基础
4. 初值定理 设lim F(z)存在,则
z
f (0) lim F(z) z
(7.19)
证明 根据Z变换定义有
F (z) f (nT )zn f (0) f (T )z1 f (2T )z2
n0
当z→∞时, 上式右边除第一项外, 其余各项均趋于0, 因此,
上式中e-Ts是s的超越函数, 为便于应用, 令变量
z eTs
将上式代入式(7.10), 则采样信号f*(t)的Z变换定义为
F (z) Z[ f *(t)] Z[ f (t)] f (nT )zn
(7.12)
n0
严格来说, Z变换只适合于离散函数。这就是说, Z变换
式只能表征连续函数在采样时刻的特性, 而不能反映在采样时刻
i 1
(7.15)
第七章 数字控制系统分析基础 2.
实数位移定理又称平移定理。实数位移的含义,是指整个 采样序列在时间轴上左右平移若干个采样周期, 其中向左平移为 超前, 向右平移为滞后。
Z[ f (t kT)] zk F (z)
(优选)自动控制原理第七章非线性系统
1, x 0 signx 1, x 0
0
xa
y k( x asignx) x a
3 滞环特性
滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是
在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3
所示。其数学表达式为：
y
b
y
k(
x asignx) bsignx
y0 y0
-a
0a
x
（优选）自动控制原理第七章 非线性系统
7.1 典型非线性特性
在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静 特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这 些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非 线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些 本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性 特性。 7.1.1 典型非线性特性的种类
描述函数法是非线性系统的一种近似分析方法。首先利用描 述函数将非线性元件线性化，然后利用线性系统的频率法对系统 进行分析。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不 受系统阶次的限制。
分析内容主要是非线性系统的稳定性和自振荡稳态，一 般不给出时域响应的确切信息。 7.2.1 描述函数的定义
1.描述函数的应用条件
2．死区特性
死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输
出为零，其静持性关系如图7-2所示。
y
其数学表达式为
k -a
0a
x
0,| x | a
y
k(x
a),
x
a
k( x a), x a
若引入符号函数
图7-2 死区特性
死区小时，可忽略；大 时，需考虑。工程中，为抗 干扰，有时故意引入。比如 操舵系统。
自动控制原理 课后习题及问题详解
第一章绪论1-1试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点.解答：1开环系统(1)优点:结构简单，成本低，工作稳定。
用于系统输入信号及扰动作用能预先知道时，可得到满意的效果。
(2)缺点：不能自动调节被控量的偏差。
因此系统元器件参数变化，外来未知扰动存在时，控制精度差。
2 闭环系统⑴优点：不管由于干扰或由于系统本身结构参数变化所引起的被控量偏离给定值，都会产生控制作用去清除此偏差，所以控制精度较高。
它是一种按偏差调节的控制系统。
在实际中应用广泛。
⑵缺点：主要缺点是被控量可能出现波动，严重时系统无法工作。
1-2 什么叫反馈？为什么闭环控制系统常采用负反馈？试举例说明之。
解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反馈。
闭环控制系统常采用负反馈。
由1-1中的描述的闭环系统的优点所证明。
例如，一个温度控制系统通过热电阻（或热电偶）检测出当前炉子的温度，再与温度值相比较，去控制加热系统，以达到设定值。
1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属于何种类型（线性，非线性，定常，时变）？（1）22()()()234()56() d y t dy t du ty t u t dt dt dt++=+（2）()2() y t u t=+（3）()()2()4() dy t du tt y t u t dt dt+=+（4）()2()()sin dy ty t u t t dtω+=（5）22()()()2()3() d y t dy ty t y t u t dt dt++=（6）2()()2() dy ty t u t dt+=（7）()()2()35()du ty t u t u t dtdt=++⎰解答：（1）线性定常（2）非线性定常（3）线性时变（4）线性时变（5）非线性定常（6）非线性定常（7）线性定常1-4 如图1-4是水位自动控制系统的示意图，图中Q1，Q2分别为进水流量和出水流量。
控制的目的是保持水位为一定的高度。
自动控制原理(暖通)智慧树知到答案章节测试2023年北京工业大学
第一章测试1.从自动控制原理的观点看，家用电冰箱工作时，房间的室温为（）。
A:干扰量B:给定量（或参考输入量）C:反馈量D:输出量（或被控制量）答案:A2.从自动控制原理的观点看，下列哪一种系统为开环控制系统？（）A:家用空调机温度控制系统B:国内现有的无人操作交通红绿灯自动控制系统C:家用电冰箱温度控制系统D:家用电热水器恒温控制系统答案:B3.试判断下列元件的动态方程中的哪个是线性方程？（）A:B:C:D:答案:C4.自动控制系统的正常工作受到很多条件的影响，保证自动控制系统正常工作的先决条件是（）。
A:调节性B:快速性C:反馈性D:稳定性答案:D5.下列有关自动控制的相关描述正确的是（）。
A:自动化装置包括变送器、传感器、调节器、执行器和被控对象B:反馈控制实质上是被控对象输出要求进行控制的过程C:只要引入反馈控制，就一定可以实现稳定的控制D:稳定的闭环控制系统总是使偏差趋于减小答案:D第二章测试1.以温度为对象的恒温系统数学模型，其中θc为系统的给定，θf为干扰，则（）。
A:T为放大系数，K为调节系数B:T为时间系数，K为放大系数C:T为调节系数，K为放大系数D:T为时间系数，K为调节系数答案:B2.被控对象的时间常数反映对象在阶跃信号激励下被控变量变化的快慢速度，即惯性的大小，时间常数大，则（）。
A:惯性小，被控变量速度慢，控制较困难B:惯性大，被控变量速度慢，控制较平稳C:惯性小，被控变量速度快，控制较平稳D:惯性大，被控变量速度快，控制较困难答案:B3.关于系统的传递函数，正确的描述是（）。
A:取决于系统的固有参数和系统结构，是单位冲激下的系统输出的拉氏变换B:输入量与输出量之间的关系与系统自身结构无关C:系统固有的参数，反映非零初始条件下的动态特征D:输入量的形式和系统结构均是复变量s的函数答案:A4.一阶控制系统在阶跃A作用下，L的变化规律为（）。
A:B:C:D:答案:A5.一阶被控对象的特性参数主要有（）。
自动控制原理胡寿松主编课后习题答案详解
运动模态 e−t / 2 sin
3 2
t
所以： x(t) =
2 3
e
−t
/
2
sin
3 2
t
（3） &x&(t) + 2x&(t) + x(t) = 1(t）。
解：对上式两边去拉氏变换得：
(s 2
+ 2s + 1) X (s) = 1 → X (s) = s
s(s 2
1 + 2s + 1)
=
1 s(s + 1)2
（2）
iC 2
ห้องสมุดไป่ตู้
=
uC1
+ iC1R R
+
iC1
= uC1 R
+ 2iC1
= C2
duC 2 dt
= C2
d (u0 − iC1R) dt
（3）
4
胡寿松自动控制原理习题解答第二章
即：
uC1 R
+
2iC1
=
C2
d (u0
− iC1R) dt
（4）
将（1）（2）代入（4）得：
ui
− u0 R
+ 2C1
d (ui − u0 ) dt
y0
=
12.65
×
1.1y
0.1 0
= 13.915 ×1.1y00.1
2-8 设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为：
ed = Ed0 cosα
式中是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。 解：
设正常工作点为 A，这时 Ed = Ed 0 cosα 0
自动控制原理作业第七章参考答案
7.1 求下列矩阵的若尔当型及其变换矩阵（1）010001341⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦解：矩阵的特征值为：1230.78,0.11 1.95,0.11 1.95i i λλλ=-=-+=--，因此可化为对角线规范型：0.780.11 1.950.11 1.95ii -⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦变换矩阵为：1232221231111110.780.11 1.950.11 1.950.61-3.8 - 0.42i -3.8 + 0.42i P i i λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）540430461⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解：矩阵的特征值为：1231λλλ===，()2rank I A -=，表明1λ=的几何重数为3-()rank I A -=1，即该特征值对应一个若尔当块。
所以该矩阵的若尔当型为：11111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，变换矩阵0410404040P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（3）421043521⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解：矩阵的特征值为：1232, 2.21, 6.79λλλ=-==，因此可化为对角线规范型：2 2.21 6.79-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，变换矩阵为00.40.610.410.370.780.810.350.46P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（4）010001340⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：矩阵的特征值为：1232.3,1, 1.3λλλ==-=-，因此可化为对角线规范型：2.31 1.3⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，变换矩阵为30.1 2.130.25 2.7530.583.58P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦7.2已知系统状态方程，求状态变换阵P ，使系统变为对角线型（假设系统的特征值为123,,λλλ）（1）012010001x x a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦解：123222123111P λλλλλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）123100100a x a x a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解：系统的特征方程为：32123det()00I A a a a λλλλ-=⇒+++= 设变换矩阵123[,,],i i i i P v v v v Av v λ==满足 设123[,,]Ti i i i v v v v =，则有：11212132313(1)(2)(3)i i i i i i i i i i i a v v v a v v v a v v λλλ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 由（1）得211()(4)i i i v a v λ=+由（2）（4）得23121()(5)i i i i v a a v λλ=++ 代入（3）得321123()0i v a a a λλλ+++=所以1i v 是任意常数，取为1，则21i i v a λ=+，2312i i i v a a λλ=++所以112131222111221223132111P a a a a a a a a a λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦7.3证明：对于具有互相不同特征值12,,,n λλλ 的矩阵1211000010000010000n n a a A a a --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦能将其变换为对角矩阵形式的变换矩阵为：11122111212121211111111n n n n n n n n n n n a a P a a a a a a a a λλλλλλλλλλ------⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦证明：系统的特征方程为：111det()00nn n n I A a a a λλλλ---=⇒++++=设变换矩阵12[,,,],n i i i i P v v v v Av v λ== 满足 设12[,,,]Ti i i in v v v v = ，则有：21111212213231211211111111()()()(1)0(2)i i i i i i i i i i i i i i i n n n i in i in in i i n i n i i in i in n i v a v a v v v a v v v v a a v a v v v v a a v a v v v a v λλλλλλλλλλ-----=+⎧-+=⎧⎪⎪-+==++⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+==+++⎪⎪-=⎪⎪+=⎩⎩将（1）代入（2）得11110n n i i n i n i a a a v λλλ--++++= 对比系统特征方程可知11i v =满足。
(完整版)自动控制原理课后习题及答案
第一章绪论1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优弊端.解答： 1 开环系统(1)长处 :构造简单，成本低，工作稳固。
用于系统输入信号及扰动作用能早先知道时，可获得满意的成效。
(2)弊端：不可以自动调理被控量的偏差。
所以系统元器件参数变化，外来未知扰动存在时，控制精度差。
2闭环系统⑴长处：不论因为扰乱或因为系统自己构造参数变化所惹起的被控量偏离给定值，都会产生控制作用去消除此偏差，所以控制精度较高。
它是一种按偏差调理的控制系统。
在实质中应用宽泛。
⑵弊端：主要弊端是被控量可能出现颠簸，严重时系统没法工作。
1-2什么叫反应？为何闭环控制系统常采纳负反应？试举例说明之。
解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反应。
闭环控制系统常采纳负反应。
由1-1 中的描绘的闭环系统的长处所证明。
比如，一个温度控制系统经过热电阻（或热电偶）检测出目前炉子的温度，再与温度值对比较，去控制加热系统，以达到设定值。
1-3试判断以下微分方程所描绘的系统属于何种种类（线性，非线性，定常，时变）？2 d 2 y(t)3 dy(t ) 4y(t ) 5 du (t ) 6u(t )（1）dt 2 dt dt（2） y(t ) 2 u(t)（3）t dy(t) 2 y(t) 4 du(t) u(t ) dt dtdy (t )u(t )sin t2 y(t )（4）dtd 2 y(t)y(t )dy (t ) （5）dt 2 2 y(t ) 3u(t )dt（6）dy (t ) y 2 (t) 2u(t ) dty(t ) 2u(t ) 3du (t )5 u(t) dt（7）dt解答： （1）线性定常（2）非线性定常 （3）线性时变（4）线性时变（5）非线性定常（6）非线性定常（7）线性定常1-4 如图 1-4 是水位自动控制系统的表示图， 图中 Q1，Q2 分别为进水流量和出水流量。
控制的目的是保持水位为必定的高度。
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第七章 非线性控制系统分析练习题及答案7-1 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x+-=& 试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解 令 x =0 得-+=-=-+=x x x x x x x 321110()()()系统平衡状态x e =-+011,,其中：0=e x ：稳定的平衡状态；1,1+-=e x ：不稳定平衡状态。
计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。
可见：当x ()01<时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x ()01>时，系统发散；1)0(-<x 时，x t ()→-∞; 1)0(>x 时，x t ()→∞。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个 ~x x 平面上任意分布。
7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1) x x x ++=0 (2) ⎩⎨⎧+=+=2122112x x xx x x &&解 （1） 系统方程为x -2 -1 -13 0 13 1 2x -6 0 0.385 0 -0.385 0 6 x11 2 0 1 02 11图解7-1 系统相轨迹⎩⎨⎧<=-+I I >=++I )0(0:)0(0:x x x x x x x x &&&&&&令0x x ==&&&，得平衡点：0e x =。
系统特征方程及特征根：21,221,21:10,()2:10, 1.618,0.618()s s s s s s I II ⎧++==-±⎪⎨⎪+-==-+⎩稳定的焦点鞍点(, ) , , x f x x x x dxdxx x xdx dx x x x x x==--=--==--=-+=ααβ111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>--=)0(11:II )0(11:I x x βαβα计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a ）所示。
图解7-2（a ）系统相平面图（2） x x x 112=+ ① 2122x x x +=& ② 由式①： x x x 211=- ③ 式③代入②： ( )( )x x x x x 111112-=+- 即 x x x 11120--= ④ 令 x x 110== 得平衡点： x e =0 由式④得特征方程及特征根为 ⎩⎨⎧-==--414.0414.20122,12λs s （鞍点）画相轨迹，由④式x x dx dx x x x 1111112===+α x x 112=-α 计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b ）所示。
7-3 已知系统运动方程为 sin x x +=0，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
解 求平衡点，令 x x ==0 得sin x =0平衡点 x k k e ==±±π(,,,012☹)。
将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。
设 F x x x () sin =+=0∂∂∂∂F x x Fx x xx ee∆∆+=0∆∆ cos x x x e +⋅=0 ⎩⎨⎧±±±===∆-∆±±===∆+∆),5,3,1(0),4,2,0(0Λ&&Λ&&k k x x x k k x x x e e ππ特征方程及特征根： k 为偶数时 s j 21210+==±λ, （中心点） k 为奇数时 s 212101-==±λ, （鞍点）用等倾斜线法作相平面sin sin sin x dxdx x x x x x+=⋅+==α01 作出系统相平面图如图解7-3所示。
7-4 若非线性系统的微分方程为 (1) ( .) x x x x x +-++=30502 (2) x xx x ++=0试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。
解（1） 由原方程得(, )( .) . x f x x x x x x x x x x ==----=-+--305305222令 x x 110== 得 x x x x +=+=210() 解出奇点 x e =-01,在奇点处线性化处理。
在x e =0处：(, )(, )()( .) . x f x x x x f x x x xx x x x x x x x x x x x x x =⋅+⋅=--⋅+-+⋅=-+========∂∂∂∂0000001260505即 . x x x -+=050 特征方程及特征根s j 1220505420250984,....=±-=± （不稳定的焦点）在x e =-1处x x xx xx x x x x x &&&&&&&5.0)5.06()21(011+=⋅+-+⋅--==-==-= 即 . x x x --=050 特征根 ⎩⎨⎧-=+±=718.0218.1245.05.022,1s （鞍点）概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4（1）所示：（2） 由原方程(, ) x f x x xx x ==--令 x x ==0 得奇点 x e =0,在奇点处线性化( ) x fxx fx xx x x x x x x x x x x x =⋅+⋅=--⋅-⋅========∂∂∂∂0001 得 x x =- 即 x x +=0特征根 s j 12,=±。
奇点x e =0（中心点）处的相轨迹如图解7-4(2)所示。
7-5 非线性系统的结构图如图7-36所示。
系统开始是静止的，输入信号)(14)(t t r ⨯=，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。
解 由结构图，线性部分传递函数为C s M s s()()=12 得 ()()c t m t = ①由非线性环节有⎪⎩⎪⎨⎧III -<+II>-I ≤=22)(22)(20)(e t e e t e e t m ②由综合点得c t r t e t e t ()()()()=-=-4 ③ 将③、②代入①得⎪⎩⎪⎨⎧-<-->-≤=III2)(2II 2)(2I 20)(e t e e t e e t e && 开关线方程为 e t ()=±22:)(0)(:=-+I I ==I e e c e t e &&&&&常数令 e e ==0 得奇点 e 02II=特征方程及特征根 s s j 21210+==±,, （中心点）III ： e e ++=20令 e e ==0 得奇点 e 02III=-特征方程及特征根 s s j 21210+==±,, （中心点）绘出系统相轨迹如图解7-5所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。
7-6 图7-37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位阶跃响应的影响。
解 由系统结构图有⎩⎨⎧<->+±+⋅=0:0:215.015)()(c cs s s E s C && s s C s E s (.)()()05125+±=⎩⎨⎧<=->=+II55.0I 0535.0c e c cc e c c&&&&&&&& ①因为 c r e e =-=-1 ②②代入①式有 ⎩⎨⎧>=+-<=++II0102I 00106e e e ee e e e &&&&&&&&特征方程与特征根⎪⎩⎪⎨⎧±==+-±-==++)(310102:II )(30106:I 2,122,12不稳定的焦点稳定的焦点j s s s j s s s依题意 0)0(,0)0(==c c & 可得)0()0(1)0(1)0(===-=c e c e &&以)0,1(为起点概略作出系统相轨迹。
可见系统阶跃响应过程是振荡收敛的。
7-7 已知具有理想继电器的非线性系统如图7-38所示。
图7-38 具有理想继电器的非线性系统试用相平面法分析：（1）T d =0时系统的运动；（2）T d =05.时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用； （3）T d =2时系统的运动特点。
解 依结构图，线性部分微分方程为c u = ① 非线性部分方程为 ⎩⎨⎧II<+-I >+=0101e T e eT e u d d && ②开关线方程： e T e d=-1 由综合口： c r e e =-=-1 ③ ③、②代入①并整理得⎩⎨⎧II<++I>+-=0101d d eT e eT e e &&&& 在 I 区： e ede de ==-1 解出： ()e e e 220=-> （抛物线）同理在 II 区可得：()e ee 220=< （抛物线）开关线方程分别为T d =0时， e =0; T d =05.时， e e =-2;T d =2 时， .ee =-05. 概略作出相平面图如图解7-7所示。
图习题集P178 T8-10由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡性减小，响应加快。
7-8 具有饱和非线性特性的控制系统如图7-39所示，试用相平面法分析系统的阶跃响应。
解 非线性特性的数学表达式为III-<II >I <⎪⎩⎪⎨⎧-=ae a e a e M Me y || 线性部分的微分方程式为Ky c c T =+&&&考虑到e c r =-，上式又可以写成r r T Ky e e T &&&&&&+=++输入信号为阶跃函数，在0>t 时有，0==r r &&&，因此有0=++Ky e e T &&&根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。
Ⅰ区：系统的微分方程为)(0a e Ke e e T <=++&&&按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点（0，0），奇点的类型为稳定焦点。