成都市2020-2021学年高一上学期期末调研考试数学试题(含答案)

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四川省成都市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析

高2023级高一上学期半期数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}22,a a 中实数a 的取值范围是()A.{0,a a =或2}a =B.{0,a a =且2}a = C.{0,a a ≠或2}a ≠ D.{0,a a ≠且2}a ≠【答案】D 【解析】【分析】根据已知，结合集合元素的互异性，即可求解.【详解】由集合元素的互异性可知，22a a ≠，解得0a ≠且2a ≠，所以实数a 的取值范围为{0,a a ≠且2}a ≠.故选：D.2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A.()f x =()g x = B.()f x =()2g x =C.10()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，，,0()1,0xx x g x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩D.()1f x =，()0g x x=【答案】C 【解析】【分析】根据相等函数满足定义域、对应关系相同，逐一判断即可.【详解】对于A ，函数()f x ={}|1x x ≥，函数()g x =的定义域为{|1x x ≥或}1x ≥-，故两个函数的定义域不一样，所以不是相同函数，故A 错误；对于B ，函数()f x =x ∈R ，函数()2g x =的定义域为{}|0x x ≥，故两个函数的定义域不一样，所以不是相同函数，故B 错误；对于C ，10()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，，,01,0()()1,01,0xx x x g x f x x x ⎧≠≥⎧⎪===⎨⎨-<⎩⎪=⎩，故C 正确；对于D ，函数()1f x =的定义域为x ∈R ，函数()0g x x =的定义域为{}|0x x ≠，故两个函数的定义域不一样，所以不是相同函数，故D 错误.故选：C.3.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”，这句话是来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”一定是“至千里”的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据四种命题的基本关系，利用命题与其逆否命题的真假性可知“积跬步”一定是“至千里”的必要条件；【详解】由已知设“积跬步”为命题p，“至千里”为命题q，“故不积跬步，无以至千里”，即“若p⌝，则q⌝”为真命题，其逆否命题为“若q，则p”为真命题，反之不成立，所以命题p是命题q的必要不充分条件，故“积跬步”一定是“至千里”的必要条件；故选：B.4.杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据火炬的形状：中间细、上下粗来分析剩余燃料的高度h 随时间t 变化的下降速度.【详解】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，燃料在燃烧时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，结合所得的函数图象，A 选项较为合适.故选：A.5.满足{}1A ⊆⫋{}1,2,3,4的集合A 的个数为（）A.7 B.8C.15D.16【答案】A 【解析】【分析】利用元素与集合的关系、集合与集合的关系分析运算即可得解.【详解】∵{}1A ⊆，∴1A ∈，∵A ⫋{}1,2,3,4，∴满足题意的集合A 有：{}{}{}{}{}{}{}1,1,2,1,3,1,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4，共7个.故选：A .6.已知函数321x y x +=-，(],x m n ∈的最小值为8，则实数m 的取值范围是（）A.()0,1 B.()1,2 C.(]1,2 D.[)1,2【答案】D 【解析】【分析】对反比例型函数321x y x +=-分离常数，由(],x m n ∈时的最小值为8得到n ，求出m 范围.【详解】由323(1)553111x x y x x x +-+===+---，因为321x y x +=-在(],x m n ∈上的最小值为8，所以(],x m n ∈时，553851011x x x +≥⇒≥⇒->--，所以1m n ≤<，易知反比例型函数531y x =+-在()1,+∞单调递减.所以531y x =+-在x n =处取到的最小值为8，即53821n n +=⇒=-，所以12m ≤<.故选：D7.定义在R 上函数()y f x =满足以下条件：①函数()1y f x =+是偶函数；②对任意12,(,1]x x ∈-∞，当12x x ≠时都有()()()()12120x x f x f x -->，则()0f ，32f ⎛⎫⎪⎝⎭，()3f -的大小关系为（）A.()()3032f f f ⎛⎫>>-⎪⎝⎭B.()()3302f f f ⎛⎫->>⎪⎝⎭C.()()3302f f f ⎛⎫>->⎪⎝⎭D.()()3302f f f ⎛⎫->>⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据条件判断函数的对称性和单调性，利用单调性比较函数值大小即可.【详解】由函数()1y f x =+是偶函数，所以函数()y f x =图象关于直线1x =对称，又对任意12,(,1]x x ∈-∞，当12x x ≠时都有()()()()12120x x f x f x -->，所以函数()y f x =在(,1]-∞上单调递增，又3122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13012-<<<，所以()()1302f f f ⎛⎫->> ⎪⎝⎭，所以()()3302f f f ⎛⎫->> ⎪⎝⎭.故选：B8.已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，且()0,x ∀∈+∞时，都有2()1f f x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(1)f =（）A.-4或-1B.-4C.-1D.0【答案】C 【解析】【分析】根据题意，采用换元法，求出()f x 的解析式，从而得到(1)f .【详解】由题意得，设2()f x xk +=，k 是一个大于0的常数，因为()2()1f f x f k x ⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以2()f x k x +=，2()f x k x =-，则有2()1kf k k =-=-，因为()0,k ∈+∞，所以1k =，2()1f x x=-，所以()21111f =-=-，故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的是（）A.若15,23a b -<<-<<，则12a b <-<B.若a b >，则22a b >C.若22ac bc >，则a b >D.若0,0a b m >>>，则b m ba m a+>+【答案】CD 【解析】【分析】根据不等式的性质及其利用特例对各项进行判断，从而求解.【详解】对于A 项：因为：15a -<<，23b -<<，所以得：32b -<-<，又因为：15a -<<，所以得：47a b -<-<，故A 项错误；对于B 项：令1a =，2b =-，所以得：a b >，但2214a b =<=，故B 项错误；对于C 项：由22ac bc >，得：20c >，所以得：a b >，故C 项正确；对于D 项：由0a b >>，0m >，得：0a b ->，所以得：()()()0a b mb m b ab am ab bm a m a a a m a a m -++---==>+++，故D 项正确；故选：CD.10.下列说法不正确．．．的是（）A.()A A ∅⊆为任意集合B.定义在R 上的奇函数()f x 在()0+∞，上是增函数，则()f x 在R 上为增函数C.函数()2f x =的最小值为2D.一元二次方程220x mx -+=的两根都在(1,)+∞内的充要条件是m ≥【答案】BCD 【解析】【分析】根据集合包含关系，函数单调性与奇偶性关系，函数值域求法，一元二次方程根的分布，依次判断即可.【详解】对于A ，根据规定空集是任何集合的子集，所以A 正确；对于B ，比如函数1,0()0,0x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩，()f x 在()0+∞，，(),0∞-上分别递增，但()f x 在R 上不单调，所以B 不正确；对于C ，()22f x ==2≥，当且仅当=1=1=不成立，故“=”取不到，所以C 错误；对于D ，一元二次方程220x mx -+=的两根都在(1,)+∞，则22808m m ∆=-≥⇒≥，设2()2f x x mx =-+，则()f x 对称轴122mx m =>⇒>，且(1)1203f m m =-+>⇒<，综上可知3m ≤<，所以D 错误；故选：BCD11.不等式(1)(3)20a x x --+>的解集为12(,)(,)x x -∞+∞ ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（）A.124x x +=B.122x x ->C.1234x x << D.不等式2(32)40a x ax a +-+<解集为2111,x x ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】由题意得方程(1)(3)20a x x --+=的两个根分别为12,x x ，然后利用根与系数的关系，结合0∆>，可得12,,x x a 的关系，再逐个分析判断.【详解】因为不等式(1)(3)20a x x --+>的解集为12(,)(,)x x -∞+∞ ，其中12x x <，所以方程(1)(3)20a x x --+=，即24320ax ax a -++=的两个根分别为12,x x ，且0a >，所以12122432Δ164(32)0x x a x x aa a a a +=⎧⎪+⎪=⎪⎨⎪=-+>⎪>⎪⎩，即12124232x x x x a a +=⎧⎪⎪=+⎨⎪>⎪⎩，对于A ，124x x +=，所以A 正确，对于B，12x x -=因为2a >，所以1102a <<，所以804a <<，所以8044a<-<，所以02<<，所以1202x x <-<，所以B 错误，对于C ，因为2a >，所以1102a <<，所以2334a<+<，所以1234x x <<，所以C 正确，对于D ，因为12124322x x a x x a a +=⎧⎪+⎪=⎨⎪>⎪⎩，所以12121243220,0x x a ax x a x x =+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>>⎩，所以由2(32)40a x ax a +-+<，得21212()0ax x x a x x x a -++<，所以21212()10x x x x x x -++<，得()()x x x x --<12110，因为120x x <<，所以21110x x <<，所以不等式()()x x x x --<12110的解集为2111,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即不等式2(32)40a x ax a +-+<解集为2111,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD12.根据已学函数()0c y x c x =+≠的图象与性质来研究函数()()0bf x ax ab x=+≠的图象与性质，则下列结论中正确的是（）A.若0ab >，()f x在⎫+∞⎪⎪⎭为增函数B.若0ab <，0m ∀>，方程()f x m =一定有4个不同实根C.设函数()()()2322131x x g x f x x +++=++在区间[)(]2,00,2-U 上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=8D.若2,2a b ==-，对任意[)1,x ∞∈+，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是1m <-【答案】BCD 【解析】【分析】由题意，类比()0cy x c x=+≠，通过单调性，奇偶性，恒成立问题逐选项判断即可.【详解】解：()b b a f x ax a x x x ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，当0,0a b <<，则0b a >，易知b a y x x =+在⎫+∞⎪⎪⎭为增函数，则()b a f x a x x ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭在⎫+∞⎪⎪⎭为减函数，故A 错误．设()()F x f x =，又()()0bf x ax ab x=+≠为奇函数，则()()()()()F x f x f x f x F x -=-=-==，即()y f x =是偶函数，当0ab <时，()y f x =的图象如图，所以0m ∀>，方程()f x m =一定有4个不同实根，故B 正确;()()()()()2332322221344444111x x x x x x xg x f x f x f x x x x +++++++=+=+=+++++易知()()3241x xh x f x x +=++在[)(]2,00,2-U 为奇函数，则()()max min 0h x h x +=，又()()max min 44M h x N h x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，所以()()max min 88M N h x h x +=++=．故C 正确．由2,2a b ==-，()()0f mx mf x +<得22220m mx mx mx x-+-<，整理得：112⎛⎫<+ ⎪⎝⎭mx m m x ，即212mx m m<+恒成立．①当0m >时，22121x m<+，因为22y x =在[)1,x ∞∈+上无最大值，因此此时不合题意；②当0m <时，22121x m>+，因为22y x =在[)1,x ∞∈+上的最小值为2，所以2112m +<，即21m >，解得1m <-或1(m >舍去)．综合可得：1m <-．故D 正确．故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13.已知)1fx x x -=-，则()f x ＝________.【答案】21,1x x -≥-【解析】【分析】根据配凑法求解，注意定义域的求解.【详解】因为)211x x x =-，所以)2211x x x -=--，所以))22111f x x x x =-=--11x ≥-.∴()21,1f x x x =-≥-.故答案为：21,1x x -≥-14.函数[]()f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[]3.54-=-，[]2.12=，则函数[]()11y x x x =--<<的值域为____________．【答案】[)0,1【解析】【分析】分()1,0x ∈-、[)0,1x ∈讨论，结合新函数定义可得答案.【详解】当()1,0x ∈-时，[]1x =-，所以()10,1=+∈y x ，当[)0,1x ∈时，[]0x =，所以[)0,1=∈y x ，综上所述，[]()11y x x x =--<<的值域为[)0,1.故答案为：[)0,1.15.树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查．调查结果显示：参加物理培优的有60人，参加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科培优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共有_____________人．【答案】135【解析】【详解】利用文恩图的辅助求解即可.【分析】由文恩图可得；参加培优的人数为()60+80+5022224120--⨯=，又不参加其中任何一科培优的有15人，所以接受调查的高一强基班学生共有12015135+=故答案为：135.16.已知,,a b c 是正实数，且b c +=，则22162ac a bc a +++最小值为___________．【答案】4-【解析】【分析】根据题意，化简得到2216216()22ac a c a bc a b bc a ++=++++，结合题意，利用基本不等式求得22c b bc+≥，再由2161616(22(2)4222c a a a b bc a a a ++≥+=++-+++，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为,,a b c是正实数，且b c +=，可得2216216216()222ac a ac a c a bc a b bc a b bc a ++=++=+++++，又因为()222422233333b c c c c c b b bc b b bc b c ++=++=+≥，当且仅当433c b b c =，即26633b c ==时，等号成立，所以2161616()22(2)444222c a a a b bc a a a ++≥+=++-≥-=+++，当且仅当162(2)2a a +=+时，即2a =-时，等号成立，所以22162ac a bc a +++的最小值为4-.故答案为：4-.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设全集U =R ，集合{}23100A x x x =+-≤，9|14B x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭．（1）求图中阴影部分表示的集合；（2）已知集合{}|1021C x a x a =-<<+，是否存在实数a 使得()U A C ⋂=∅ð，若存在，求a 的取值范围．若不存在，说明理由．【答案】（1）{}|54x x -≤≤-；（2）存在，a 的取值范围为3a ≤.【解析】【分析】（1）解不等式化简集合A ，B ，利用补集、交集的定义结合韦恩图求解即得.（2）利用给定的结果，结合集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】{}{}(5)(2)052A x x x x x =+-≤=-≤≤，5{|0}{|45}4x B x x x x -=≤=-<≤+，则{|4}U B x x =≤-ð，所以图中阴影部分表示的集合为(){|54}U A B x x ⋂=-≤≤-ð.【小问2详解】由（1）知{|52}A x x =-≤≤，由()U A C =∅ ð，得C A ⊆，当C =∅时，1021a a -≥+，解得3a ≤；当C ≠∅时，1021105212a a a a -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，无解，所以存在实数a 使得()U A C =∅ ð，a 的取值范围为3a ≤.18.设函数()()211f x ax a x =+--．（1）命题:R p x ∃∈，使得()3f x x <-成立．若p 为假命题，求实数a 的取值范围；（2）求不等式()()00f x a <<的解集.【答案】（1）08a ≤≤（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得不等式220ax ax -+≥在R 上恒成立，讨论a 是否为0，结合判别式解不等式，即可求得答案；（2）不等式()()00f x a <<等价于()()110ax x +-<，分类讨论a 的取值范围，确定1a-与1的大小关系，即可求得答案.【小问1详解】p 为假命题，:R p x ∴⌝∀∈，()3f x x ≥-恒成立为真命题，即不等式220ax ax -+≥在R 上恒成立，当0a =时，20≥恒成立，则0a =满足题意．当0a ≠时，需满足()2Δ80a a a >⎧⎪⎨=--≤⎪⎩，解得08a <≤，综上，08a ≤≤．【小问2详解】不等式()()00f x a <<等价于()()110ax x +-<．当1a =-时，则11a-=，原不等式即为()210x --<，解得1x ≠；当10a -<<时，则11a ->，解得1x <或1x a >-；当1a <-时，则11a -<，解得1x a<-或1x >；综上所述，当1a <-时，原不等式的解集为1{|1}x x x a<->或；当1a =-时，原不等式的解集为{}1x x ≠；当10a -<<时，原不等式的解集为1{1}x x x a<>-或．19.已知()xf x x a=-．（1）若0a >且()f x 在()1,+∞内单调递减，求a 的取值范围；（2）函数()y g x =的图象关于点(,)P m n 成中心对称图形的充要条件是函数()y g x m n =+-为奇函数．当1a =时，求()()323h x f x x x =+-的对称中心．【答案】（1）(0,1]（2）(1,1)-【解析】【分析】（1）设121x x <<，作差得到()()()()()211212a x x f x f x x a x a --=--，只需()()120x a x a -->，分1a >和01a <≤两种情况，得到答案；（2）利用()()0h x m n h x m n -+-++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦得到等式，对照系数得到方程组，求出11m n =⎧⎨=-⎩，得到对称中心.【小问1详解】设121x x <<，则()()()()()2112121212a x x x xf x f x x a x a x a x a --=-=----．∵0a >，121x x <<，∴()210a x x ->，∴要使()()120f x f x ->，只需()()120x a x a -->恒成立若1a >，则当121x a x <<<时，()()120x a x a --<不合题意；若01a <≤时，()()120x a x a -->恒成立．综上所述，a 的取值范围为(0,1]．【小问2详解】当1a =时，则()3232131131h x x x x x x x x +-=+=+---，要想()y h x m n =+-为奇函数，则要()()0h x m n h x m n -+-++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()()3232111313011x m x m n x m x m n x m x m ++-+--+-++++-+-=-+-+-，即()()()23222662622011m m x m m n x m x m -+-+-+-=-+-+-，所以3222066026220m m m m n -=⎧⎪-=⎨⎪-+-=⎩，解得11m n =⎧⎨=-⎩，即()()323h x f x x x =+-的对称中心为(1,1)-．20.依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其它扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元，税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,3000002016920…………已知小王缴纳的专项扣除：基本养老金、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是36000元，依法确定的其它扣除是4000元．（1）设小王全年应纳税所得额为t （不超过300000元）元，应缴纳个税税额为y 元，求()y f t =；（2）如果小王全年综合所得收入额为150000元，那么他全年应缴纳多少个税？（3）设小王全年综合所得收入额为x (不超过500000)元，全年应缴纳个税税额为y 元，求y 关于x 的函数解析式．【答案】（1）()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩（2）600元（3）[](](](]0,0,1250000.0243000,125000,1700000.0812520,170000,3050000.1636920305000,500000x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩，【解析】【分析】（1）根据税率与速算扣除数表得到函数解析式；（2）首先求出小王全年应纳税所得额，再代入（1）中解析式即可；（3）首先求出小王全年应纳税所得额为0.8100000t x =-，再分四种情况讨论，分别求出所对应的函数解析式.【小问1详解】根据税率与速算扣除数表，可得()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩．【小问2详解】小王全年应纳税所得额为15000060000150000(8%2%1%9%)36000400020000t =--⨯+++--=元．则小王全年应缴纳个税为()200000.0320000600f =⨯=元．【小问3详解】小王全年应纳税所得额为60000(8%2%1%9%)3600040000.8100000t x x x =--+++--=-，当0.81000000t x =-≤，即0125000x ≤≤时0y =；0.8100000(0,36000](125000,170000]t x x =-∈⇒∈当，则0.030.0243000y t x ==-；0.8100000(36000,144000](170000,305000]t x x =-∈⇒∈当，则0.125200.0812520y t x =-=-；0.8100000(144000,300000](305000,500000]t x x =-∈⇒∈当，则0.2169200.1636920y t x =-=-；故y 关于x 的函数解析式为[](](](]0,0,1250000.0243000,125000,1700000.0812520,170000,3050000.1636920305000,500000x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩，.21.定义在{}0x x ≠上的函数()f x ，对任意x ，y ，都有()()()3f xy f x f y =+-，且(2)1f =，当01x <<时，()3f x >．（1）证明：()f x 在()0,∞+上单调递减；（2）解不等式(35)5f x ->-．【答案】（1）证明见解析（2）1173x x ⎧-<<⎨⎩且53x ⎫≠⎬⎭【解析】【分析】（1）令1xy x =，2x x =，设120x x <<，则由已知可得()()11223x f x f x f x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，再结合当01x <<时，()3f x >可证得结论；（2）令1x y ==，可求得()13f =，令1x y ==-，可求得()13f -=，令1y =-，可证得()f x 为偶函数，利用赋值法可得(16)5f =-，则原不等式转化为(35)(16)f x f ->，再利用函数的单调性可求得结果.【小问1详解】证明：令1xy x =，2x x =，设120x x <<，则12x y x =，且01y <<，所以()()11223x f x f x f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，即()()11223x f x f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．又当01x <<时，()3f x >，则123x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()12f x f x >所以()y f x =在()0,∞+上单调递减．【小问2详解】令1x y ==，则()13f =．令1x y ==-，则()13f -=．令1y =-，则()()()()13f x f x f f x -=+--=，所以()f x 为偶函数．令2x y ==，则(4)1f =-；令44x y ==，，则(16)5f =-，由(35)5(16)f x f ->-=，则(35)(16)f x f ->，又()f x 在()0,∞+上单调递减，则03516x <-<，即1173x -<<且53x ≠，所以不等式的解集为1173x x ⎧-<<⎨⎩且53x ⎫≠⎬⎭.22.函数2()2||(R)f x x x a a a =+-+∈，2221()(R)x ax g x a x -+=∈．（1）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值并指出此时函数()f x 的单调区间；（2）若0a <时，[]1211,,2,2,3x x ⎡⎤∀∈--∃∈-⎢⎥⎣⎦都有12()()g x f x =，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0a =，f (x )单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+（2）217a -≤≤-【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性求得参数0a =，再利用二次函数的性质即可得解；（2）先将问题转化为()g x 的值域是()f x 的值域的子集；法一：分类讨论a 的取值范围，结合二次函数的性质即可得解；法二：分类讨论a 的取值范围，结合二次函数的性质与基本不等式即可得解.【小问1详解】因为函数f (x )为偶函数，则()()f x f x -=恒成立，则x a x a x a --=+=-恒成立，由x 的任意性，得0a =，当0a =时，则2()2f x x x =+，易得()f x 是偶函数，当0x >时，2()2f x x x =+，开口向上，对称轴为=1x -，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，结合其奇偶性，可知()f x 在(),0∞-上单调递减，则函数f (x )单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+.【小问2详解】因为[]1211,,2,2,3x x ⎡⎤∀∈--∃∈-⎢⎣⎦都有12()()g x f x =，所以()g x 的值域是()f x 的值域的子集，因为22221211()11,3x ax a g x x x x x -+⎡⎤==-+∈--⎢⎣⎦，令21,()21t h t t at x==-+，则[]min min max max 3,1,()(),()()t g x h t g x h t ∈--==，又2222,()223,x x a x af x x x a a x x a x a⎧+-≥=+-+=⎨-+<⎩，法一：①当10a -≤<时，易知()f x 在[]2,a -上单调递减，在[],2a 上单调递增，且()2f a a a =+，又(2)83f a -=+，()28f a =-，故()()max 28f x f a ==-，()()2min f x f a a a ==+，则()2,8f x a a a ⎡⎤∈+-⎣⎦又[]2()21,3,1h t t at t =-+∈--在为减函数，则()[][](1),(3)22,106h x h h a a ∈--=++，所以210221068a a a a a a-≤<⎧⎪+≤+⎨⎪+≤-⎩，解得217a -≤≤-；②当21a -<<-时，()f x 在[][]2,,,1a a --上单调递减，在[]1,2-上单调递增，又(1)1f a -=--，(2)83f a -=+，()28f a =-，故()()max 28f x f a ==-，()()min 11f x f a =-=--，即()[]1,8f x a a ∈---，又2()21h t t at =-+在[]3,a -为减函数，在[],1a -为增函数，则[]2()(),(3)1,106h x h a h a a ⎡⎤∈-=-++⎣⎦，所以221111068a a a a a -<<-⎧⎪--≤-+⎨⎪+≤-⎩，则a ∈∅；③当32a -<≤-时，()f x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,2-上单调递增，故()()max 28f x f a ==-，()()min 11f x f a =-=--，即()[]1,8f x a a ∈---，又2()21h t t at =-+在[]3,a -为减函数，在[],1a -为增函数，则[]2()(),(1)1,22h x h a h a a ⎡⎤∈-=-++⎣⎦，所以23211228a a a a a -<≤-⎧⎪--≤-+⎨⎪+≤-⎩，则a ∈∅；④当3a ≤-时，()f x 在[]2,1--上单调递减，在[]1,2-上单调递增，故()()max 28f x f a ==-，()()min 11f x f a =-=--，即()[]1,8f x a a ∈---，又2()21h t t at =-+在[]3,1--为增函数，则[][]()(3),(1)106,22h x h h a a ∈--=++，所以31106228a a a a a ≤-⎧⎪--≤+⎨⎪+≤-⎩，则a ∈∅；综上，217a -≤≤-．法二：当10a -≤<时，易知()f x 在[]2,a -上单调递减，在[],2a 上单调递增，且()2f a a a =+，又(2)83f a -=+，()28f a =-，故()()max 28f x f a ==-，()()2min f x f a a a ==+，则()2,8f x a a a ⎡⎤∈+-⎣⎦又[]2()21,3,1h t t at t =-+∈--在为减函数，则()[][](1),(3)22,106h x h h a a ∈--=++，所以210221068a a a a a a-≤<⎧⎪+≤+⎨⎪+≤-⎩，解得217a -≤≤-；当1a <-时，()[]1,8f x a a ∈---，所以对任意[]23,1,1218t a t at a ∈----≤-+≤-恒成立，则22272121t t a t t +-≤≤--恒成立，对于2221t y t +=-，令21m t =-，则[]7,3m ∈--，12m t +=，所以221221991221424442m t m m y t m m m+⎛⎫+ ⎪+-⎛⎫⎝⎭===++=-+ ⎪--⎝⎭112≤-=-，当且仅当944m m -=-，即3m =-时，等号成立，则2max 1221t t ⎛⎫+ ⎪-⎭=-⎝，对于2721t y t -=-，令21m t =-，则[]7,3m ∈--，12m t +=，所以22177127221424m t m y t m m +⎛⎫- ⎪-⎝⎭===+--，易得其[]7,3m ∈--上单调递增，则()2min 7712722142477t t =⎛⎫--+-=- ⎪-⨯-⎝⎭，所以22max min272121217t t a t t ⎛⎫⎛⎫+--=≤≤=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，又1a <-，故此时a ∈∅；综上：217a -≤≤-.。

四川省成都市金堂中学2024-2025学年高一新生上学期入学分班质量检测数学试题

2024-2025学年四川省成都市金堂中学高一新生入学分班质量检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分））A ．16B ．4C ．2D ．-42、（4分）下面是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性很大的是（）A ．朝上的点数为2B ．朝上的点数为7C ．朝上的点数为3的倍数D ．朝上的点数不小于23、（4分）在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，若3AB =，且点E 与点B 不重合，则AE 的长可以是（）A ．3B ．4C ．5D ．64、（4分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF=18cm ，MN=8cm ，则AB 的长等于（）cmA ．10B ．13C ．20D ．265、（4分）下列等式不一定成立的是（）A ．2(5=B =C 3π=-D =6、（4分）如图，点E 为菱形ABCD 边上的一个动点，并沿A →B →C →D 的路径移动，设点E 经过的路径长为x ，ADE 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．7、（4分）用配方法解方程2x 8x 50-+=，则方程可变形为()A ．2(x 4)5-=-B ．2(x 4)21+=C ．2(x 4)11-=D ．2(x 4)8-=8、（4分）已知x ＝－1是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则代数式p －q 的值是（）A ．1B ．－1C ．2D ．－2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的中位数是_____．10、（4分）若矩形的边长分别为2和4，则它的对角线长是__．11、（4分）小华用S 2=110{（x 1-8）2+（x 2-8）2+……+（x 10-8）2计算一组数据的方差，那么x 1+x 2+x 3+…+x 10=____________．12、（4分）当x ＝________时，分式x 3x 5-+的值为零．13、（4分）如图，在ABCD 中，E 为边BC 延长线上一点，且2CE BC =，连结AE 、DE .若ADE 的面积为1，则ABE △的面积为____.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）某八年级计划用360元购买笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，结果买得的笔记本比打折前多10本。

四川省成都市第七中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题(含答案)

2024-2025学年四川省成都市第七中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={1,2}，B ={1,3,4}，则A ∪B =( )A. {1}B. {1,3,4}C. {1,2}D. {1,2,3,4}2.已知0<x <3,0<y <5，则3x−2y 的取值范围是( )A. (−1,0)B. (−10,9)C. (0,4)D. (0,9)3.对于实数x ，“2+x 2−x ≥0”是“|x |≤2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列命题中真命题的个数是( )①命题“∀x ∈R ，|x|+x 2≥0”的否定为“∃x ∈R ，|x|+x 2<0”;②“a 2+(b−1)2=0”是“a(b−1)=0”的充要条件;③集合A ={y|y = x 2+1}，B ={x|y = x 2+1}表示同一集合．A. 0B. 1C. 2D. 35.已知实数x,y 满足4x 2+4xy +y +6=0，则y 的取值范围是( )A. {y|−3≤y ≤2}B. {y|−2≤y ≤3}C. {y|y ≤−2}∪{y|y ≥3}D. {y|y ≤−3}∪{y|y ≥2}6.已知正实数a,b 满足2a +b =1.则5a +b a 2+ab 的最小值为( )A. 3B. 9C. 4D. 87.关于x 的不等式(ax−1)2<x 2恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是( )A. (−32,−1)∪(1,32) B. (−32,−43]∪[43,32)C. (−32,−1]∪[1,32) D. (−32,−43)∪(43,32)8.已知函数f (x )={4x 2−2x +3,x ≤122x +1x ,x >12，设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥|x−a 2|在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A. [−398,478]B. [−4,478]C. [−4,4 3]D. [−398,4 3]二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023-2024学年四川省成都市成都高一上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市成都高一上册期末数学试题第I 卷（选择题，共60分）一.单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1.已知{M xx A =∈∣且}x B ∉，若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则M =（）A.{}2,4 B.{}6,8 C.{}1,3,5 D.{}1,3,6,8【正确答案】C【分析】根据集合M 的定义求解即可【详解】因为集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，{M xx A =∈∣且}x B ∉，所以{}1,3,5M =，故选：C2.已知α为第三象限角，且25sin 5α=-，则cos α=（）A.5B.55-C.5D.【正确答案】B【分析】利用同角三角函数的平方关系22sin cos 1αα+=，计算可得结果【详解】αQ为第三象限角，cos 0α∴<，22sin cos 1αα+= ，cos 5α∴===，故选：B.本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知a 为实数，使“[]3,4,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.4a ≥B.5a ≥ C.3a ≥ D.5a ≤【正确答案】B【分析】根据全称量词命题的真假性求得a 的取值范围，然后确定其充分不必要条件.【详解】依题意，全称量词命题：[]3,4,0x x a ∀∈-≤为真命题，a x ≥在区间[]3,4上恒成立，所以4a ≥，所以使“[]3,4,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是“5a ≥”.故选：B4.当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图像为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的图像，即可容易判断.【详解】∵a >1，∴0<1a<1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选：C.本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.5.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A.x y e -= B.3y x = C.ln y x= D.y x=【正确答案】B【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.【详解】对于A ，1xxy e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是R 上的减函数，不合题意；对于B ，3y x =是定义域是R 且为增函数，符合题意；对于C ，ln y x =，定义域是()0,∞+，不合题意；对于D ，y x =，定义域是R ，但在R 上不是单调函数，不合题，故选B.本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.6.已知函数()21log f x x x=-在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.()01，B.()12，C.()23， D.()34，【正确答案】B【分析】确定函数单调递增，计算()10f <，()20f >，得到答案.【详解】()21log f x x x =-在()0,∞+上单调递增，()110f =-<，()1121022f =-=>，故函数的零点在区间()12，上.故选：B 7.设0.343log 5,lg 0.1,a b c -===，则（）A.c<a<bB.b<c<aC.a b c<< D.c b a<<【正确答案】A【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可判断.【详解】因为3x y =在R 上单调递增，且30x y =>恒成立，所以0.300331-<<=，即01a <<，因为4log y x =在()0,∞+上单调递增，所以44log 541log b =>=，因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以lg 0.1lg10c =<=，综上.c<a<b 故选：A8.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A.若a ＜b ，则11a b> B.若a ＞b ＞0，则11b ba a+<+C.若a ＞b ，则22ac bc > D.若22ac bc >，则a ＞b【正确答案】D【分析】举反例说明选项AC 错误；作差法说明选项B 错误；不等式性质说明选项D 正确.【详解】当0a b <<时，11a b<，选项A 错误；()1011b b a ba a a a +--=>++，所以11b b a a +>+，所以选项B 错误；0c =时，22ac bc =，所以选项C 错误；22ac bc >时，a b >，所以选项D 正确.故选：D二.多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）9.已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A.函数()f x 为增函数B.函数()f x 为偶函数C.当4x ≥时，()2f x ≥D.当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【正确答案】AC【分析】设幂函数()f x 的解析式，代入点(9,3)，求得函数()f x 的解析式，根据幂函数的单调性可判断A 、C 项，根据函数()f x 的定义域可判断B 项，结合函数()f x 的解析式，利用单调递增可判断D 项.【详解】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.10.已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是（）A.5tan tan 66ππαα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.sin cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.2222tan sin tan sin αααα=- D.442sin cos 2sin 1ααα-=-【正确答案】BCD【分析】利用诱导公式分析运算即可判断AB ，根据平方关系和商数关系分析计算即可判断CD.【详解】解：对于A ，55tan tan tan 666πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；对于B ，sin sin cos 3266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；对于C ，22222222sin 1cos tan sin sin sin cos cos αααααααα-==⋅22222221sin 1sin sin tan sin cos cos ααααααα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，()()44222222sincos sin cos sin cos sin cos αααααααα-=+-=-()222sin 1sin 2sin 1ααα=--=-，故D 正确.故选：BCD.11.已知函数()22f x x x a =-+有两个零点1x ，2x ，以下结论正确的是（）A .1a < B.若120x x ≠，则12112x x a+=C.()()13f f -= D.函数有()y fx =四个零点【正确答案】ABC【分析】根据零点和二次函数的相关知识对选项逐一判断即可．【详解】二次函数对应二次方程根的判别式2(2)4440,1a a a ∆=--=-><，故A 正确；韦达定理122x x +=，12x x a =，121212112x x x x x x a++==，故B 正确；对于C 选项，()1123f a a -=++=+，()3963f a a =-+=+，所以()()13f f -=，故C 选项正确；对于D 选项，当0a =时，由()0y f x ==得220x x -=，所以1230,2,2xx x ==-=故有三个零点，则D 选项错误．故选:：ABC12.设,a b 为正实数，4ab =，则下列不等式中对一切满足条件的,a b 恒成立的是（）A.4a b +≥ B.228a b +≤ C.111a b+≥D.+≤【正确答案】AC【分析】根据特殊值以及基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，由基本不等式得4a b +≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，A 选项正确.B 选项，1,4a b ==时，4ab =，但22178a b +=>，B 选项错误.C 选项，由基本不等式得111a b +≥=，，当且仅当11,2a b a b ===时等号成立，C 选项正确.D 选项，1,4a b ==时，4ab =，但3=>D 选项错误.故选：AC第II 卷（选择题，共60分）三.填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数log (3)1a y x =-+（0,1a a >≠）的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为____.【正确答案】()4,1【分析】由log 10a =，令真数为1，即4x =代入求值，可得定点坐标．【详解】∵log 10a =，∴当4x =时，log 111a y =+=，∴函数的图像恒过定点()4,1故()4,114.已知角θ的终边经过点(),1(0)P x x >，且tan x θ=．则sin θ的值为_________【正确答案】2【分析】根据三角函数定义即可求解．【详解】由于角θ的终边经过点(),1(0)P x x >，所以1tan x xθ==，得1x =所以sin 2θ==故215.函数y =的定义域为_________.【正确答案】3{|1}4x x <≤【分析】根据根式、对数的性质有0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩求解集，即为函数的定义域.【详解】由函数解析式知：0.5430log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩，解得314x <≤，故答案为.3{|1}4x x <≤16.对于函数()xf x e =（e 是自然对数的底数），a ，b ∈R ，有同学经过一些思考后提出如下命题：①()()()f a f b f a b =⋅+；②()()()()af a bf b af b bf a +≥+；③3()12f a a ≥+；④()()22a b f a f b f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭.则上述命题中，正确的有______.【正确答案】①②④【分析】根据指数函数的单调性，结合基本不等式，特殊值代入，即可得到答案；【详解】对①，()()()a b a b f a f b e e e f a b +⋅=⋅==+，故①正确；对②，()()()()af a bf b af b bf a +≥+()()()()f a a b f b a b ⇔--，当a b =时，显然成立；当a b >时，()()f a f b >；当a b <时，()()f a f b <，综上可得：()()()()f a a b f b a b --成立，故②正确；对③，取12a =，1724f ⎛⎫= ⎪⎝⎭不成立，故③错误；对④，2()()222a b a be e a bf a f b ef ++++⎛⎫=⇒≤⎪⎝⎭，故④正确；故答案为：①②④本题考查指数函数的性质及基本不等式的应用，求解时还要注意特殊值法的运用.四.解答题：（本题共6小题，共70分17题10分，18-22题每小题12分.）17.（1）求值：()()()5242lg50.250.5lg5lg2lg20-+⨯+⨯+；（2）若tan 2α=，求22sin sin cos 1cos αααα++的值.【正确答案】（1）2.5；(2)1【分析】(1)应用指对数运算律计算即可;(2)根据正切值,弦化切计算可得.【详解】（1）()()()()()()524245lg50.250.5lg5lg2lg200.50.5lg5lg5lg2lg210.5lg5lg210.5112.5--+⨯+⨯+=⨯⨯+++=+++=++=+(2)因为tan 2α=,所以2222222sin sin cos sin sin cos tan tan 611cos sin 2cos tan 26αααααααααααα+++====+++18.已知集合{}2230A x x x =-->，{}40B x x a =-≤.（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）若A B = R ，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）()(]134∞--⋃，，（2）34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）代入1a =，求解集合A ，B ，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合B ，由并集为全集得出集合B 的范围，从而求出a 的范围.【小问1详解】解：由2230x x -->得1x <-或3x >.所以()()13A ∞∞=--⋃+，，.当1a =时，(]4B ∞=-，.所以()(]134A B ∞⋂=--⋃，，.【小问2详解】由题意知(4B a ∞=-，].又()()13A ∞∞=--⋃+，，，因为A B = R ，所以43a ≥.所以34a ≥.所以实数a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，.19.已知函数()332x xf x --=．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用单调性定义证明；（3）若()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立，求x 的取值范围．【正确答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）单调递增，证明见解析；（3）(]1,0-.【分析】（1）根据证明函数的奇偶性步骤解决即可；（2）根据单调性定义法证明即可；（3）根据奇偶性，单调性转化解不等式即可.【小问1详解】()332x xf x --=为奇函数，理由如下易知函数的定义域为(),-∞+∞，关于原点对称，因为33()()2---==-x xf x f x ，所以()f x 为奇函数.【小问2详解】()f x 在()0,∞+上的单调递增，证明如下因为()332x xf x --=，()0,x ∈+∞，设任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以()()()()121211221233333333222----------==-x x x x x x x x f x f x ()()121212121233133331333322⎛⎫-⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==x x x x x x x x x x 因为12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，所以1212330,330-<>x x x x ，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上的单调递增.【小问3详解】由（1）知()f x 为奇函数，由（2）知()f x 在()0,∞+上的单调递增，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，因为()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立，所以(1)(2)(2)->--=-f ax f x f x ，所以12ax x ->-对任意(],2a ∈-∞恒成立，令()()10g a xa x =+->，(],2a ∈-∞则只需0(2)2(1)0x g x x ≤⎧⎨=+->⎩，解得10-<≤x ，所以x 的取值范围为(]1,0-.20.有一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10%衰减（1）求两年后，这种放射性元素的质量；（2）求t 年后，这种放射性元素的质量w （单位为：g ）与时间t 的函数表达式；（3）由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期）．（精确到0.1年，已知：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【正确答案】（1）405g（2）5000.9tw =⨯（3）6.6年.【分析】(1)根据衰减率直接求解即可；(2)根据衰减规律归纳出函数表达式；(3)半衰期即为质量衰减为原来的一半，建立等式，利用换底公式求解.【小问1详解】经过一年后，这种放射性元素的质量为500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，即两年后，这种放射性元素的质量为405g【小问2详解】由于经过一年后，这种放射性元素的质量为1500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，……所以经过t 年后，这种放射性元素的质量5000.9t w =⨯.【小问3详解】由题可知5000.9250t ⨯=，即0.9lg 0.5lg 2log 0.5 6.6lg 0.92lg 31t -===≈-年.21.已知函数()()3312log ,log x x f x g x =-=．（1）求函数()()263y f x g x ⎡⎤=-+⎣⎦的零点；（2）讨论函数()()()2h x g x f x k ⎡⎤=---⎣⎦在[]1,27上的零点个数．【正确答案】（1）9（2）答案见解析．【分析】（1）由题知()2332log 5log 20x x -+=，进而解方程即可得答案；（2）根据题意，将问题转化为函数()2 21F t t t =-+-在[]0,3上的图像与直线y k =的交点个数，进而数形结合求解即可.【小问1详解】解：由()()2 630f x g x ⎡⎤-+=⎣⎦，得()233 12log 6log 30x x --+=，化简为()2332log 5log 20x x -+=，解得3 log 2x =或31 log 2x =，所以，9x =或x =所以，()()2 63y f x g x ⎡⎤=-+⎣⎦的零点为9．【小问2详解】解：由题意得()()233 log 2log 1h x x x k =-+--，令()0h x =，得()233 log 2log 1x x k -+-=，令3log t x =，[]1,27x ∈，则[]2 0,3,21t t t k ∈-+-=，所以()h x 在[]1,27上的零点个数等于函数()221F t t t =-+-在[]0,3上的图像与直线y k =的交点个数．()2 21F t t t =-+-在[]0,3上的图像如图所示．所以，当0k >或4k <-时，()F t 在[]0,3上的图像与直线y k =无交点，所以，()h x 在[]1,27上的零点个数为0；当0k =或41k -≤<-时()F t 在[]0,3上的图像与直线y k =有1个交点，所以，()h x 在[]1,27上的零点个数为1；当10k -≤<时，()F t 在[]0,3上的图像与直线y k =有2个交点，所以，()h x 在[]1,27上的零点个数为2．综上，当0k >或4k <-时，()h x 在[]1,27上的零点个数为0；当0k =或41k -≤<-时，()h x 在[]1,27上的零点个数为1；当10k -≤<时，()h x 在[]1,27上的零点个数为2．22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【正确答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m >，所以1m >且101m<<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，所以m 的取值范围是()1,2.已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。

四川省成都市2023-2024学年高一上学期期中数学试题(含答案)

成都2023-2024学年度上期高2026届半期考试数学试题（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.全称量词命题“5,lg 4x x x ∀∈+≠R ”的否定是（）A.x ∃∈R ，5lg 4x x +=B.x ∀∈R ，5lg 4x x +=C.x ∃∈R ，5lg 4x x +≠D.x ∀∉R ，5lg 4x x +≠【答案】A 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题.【详解】“5,lg 4x x x ∀∈+≠R ”的否定是“x ∃∈R ，5lg 4x x +=”.故选：A .2.下列命题为真命题的是（）A.若33a bc c<，则a b < B.若a b <，则33<ac bc C.若a b <，c d <，则a c b d -<- D.若a c b d -<-，c d <，则a c b d+<+【答案】D 【解析】【分析】举反例可判断选项A 、B 、C ，由不等式的性质可判断选项D.【详解】对于选项A ，当1c =-时，若33a bc c<，则a b >，与a b <矛盾，故选项A 错误；对于选项B ，当0c =时，若a b <，则330ac bc ==，与33<ac bc 矛盾，故选项B 错误；对于选项C ，当56a b ==，，10c d =-=，，满足a b <，c d <，但a c b d -=-，这与a c b d -<-矛盾，故选项C 错误；对于选项D ，因为a c b d -<-，c d <，所以由不等式性质可得：()()a c c b d d -+<-+，即a b <.因为a b <，c d <，由不等式性质可得：a c b d +<+，故选项D 正确.故选：D.3.设函数()ln 26f x x x x =+-，用二分法求方程ln 260x x x +-=在()2,3x ∈内的近似解的过程中，计算得(2)0,(2.5)0,(2.25)0f f f <>>，则下列必有方程的根的区间为（）A.()2.5,3 B.()2.25,2.5 C.()2,2.25 D.不能确定【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在性定理及二分法的相关知识即可判断.【详解】显然函数()ln 26f x x x x =+-在[]2,3x ∈上是连续不断的曲线，由于(2)0,(2.25)0f f <>，所以()()2· 2.250f f <，由零点存在性定理可得：()ln 26f x x x x =+-的零点所在区间为()2,2.25，所以方程ln 260x x x +-=在区间()2,2.25内一定有根.故选：C.4.函数2||3()33x x f x =-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、定义域、正负性，结合指数函数的单调性进行判断即可.【详解】由33011xx x -≠⇒≠⇒≠±，所以该函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，显然关于原点对称，因为()()()22||||333333x x x x f x f x ---===--，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，故排除选项AC ，当1x >时，()33=3300xxf x --<⇒<，排除选项B ，故选：D5.若0a >，0b >，则“221a b +≤”是“a b +≤”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【详解】当0a >，0b >，且221a b +≤时，()()22222222a b a b ab a b +=++≤+≤，当且仅当2a b ==时等号成立，所以a b +≤，充分性成立；1a =，14b =，满足0a >，0b >且a b +≤，此时221a b +>，必要性不成立.则“221a b +≤”是“a b +≤”的充分不必要条件.故选：A6.已知当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量y 与死亡年数x 的关系为573012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．不久前，考古学家在某遗址中提取了数百份不同类型的样品，包括木炭、骨头、陶器等，得到了一系列的碳14测年数据，发现生物组织内碳14的含量是死亡前的34．则可以推断，该遗址距离今天大约多少年（参考数据ln 20.7≈，ln 3 1.1≈）（）A.2355B.2455C.2555D.2655【答案】B 【解析】【分析】设该遗址距离今天大约0x 年，则0573005730132412x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据对数的运算性质及换底公式计算即可.【详解】设该遗址距离今天大约0x 年，则0573005730132412x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，即057301324x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以01222234ln 3 1.1log log log 4log 322573043ln 20.7x ===-=-≈-，所以0115730224557x ⎛⎫≈⨯-= ⎪⎝⎭，即该遗址距离今天大约2455年.故选：B .7.已知函数2295,1()1,1a x ax x f x xx -⎧-+≤=⎨+>⎩，是R 上的减函数，则a 的取值范围是（）A.92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.94,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[]2,4 D.(]9,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意，()f x 在R 上单调递减，所以2291229011511a aa a -⎧≥⎪⎪-<⎨⎪-⨯+≥+⎪⎩，解得24a ≤≤，所以a 的取值范围是[]2,4故选：C8.设358log 2,log 3,log 5a b c ===，则（）A.a c b <<B.a b c<< C.b<c<aD.c<a<b【答案】B 【解析】【分析】利用中间值比较大小得到23<a ，2334b <<，34c >，从而得到答案.【详解】333log 22log 20o 33938l g a --=-=<，故23<a ，555log 27log 2522log 30333b --=-=>，555log 81log 12533log 30444b --=-=<，故2334b <<，888log 5log 33log 5054246124c --=-=>，34c >，故a b c <<故选：B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任何集合都是它自身的真子集B.集合{},,,a b c d 共有16个子集C.集合{}{}42,Z 42,Zx x n n x x n n =+∈==-∈D.集合{}{}22|1,|22,x x a a x x a a a ++=+∈==-+∈N N 【答案】BC 【解析】【分析】根据真子集的性质、子集个数公式，结合集合的描述法逐一判断即可.【详解】A ：根据真子集的定义可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本选项说法不正确；B ：集合{},,,a b c d 中有四个元素，所以它的子集个数为42=16，所以本选项说法正确；C ：因为{}(){}42,Z 412,Z x x n n x x n n =-∈==-+∈，所以{}42,Z x x n n =+∈与{}42,Z x x n n =-∈均表示4的倍数与2的和所组成的集合，所以{}{}42,Z 42,Z x x n n x x n n =+∈==-∈，因此本选项说法正确；D ：对于{}2|22,x x a a a +=-+∈N ，当1a =时，2221x a a =-+=，即{}21|22,x x a a a +∈=-+∈N ，但{}21|1,x x a a +∉=+∈N ，所以两个集合不相等，因此本选项说法不正确.故选：BC.10.已知正实数x ，y 满足1x y +=，则下列不等式成立的有（）A.22x y +≥ B.14≤xy C.124x x y+≥ D.1174xy xy +≥【答案】ABD【解析】【分析】选项A 用基本不等式性质判断即可；选项B 用基本不等式的推论即可；选项C 将1x y +=带入，再用基本不等式判断；D 利用对勾函数的单调性判断.【详解】对A ：因为x ，y为正实数22x y +≥==，当且仅当12x y ==时取等号，所以A 正确；对B ：因为2211224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时取等号，所以B 正确；对C：因为1222111x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+=+2y x x y =时取等号，所以C 错误；对D ：由B 选项可知14≤xy ，令xy t =，则104t <≤，11xy t xy t +=+()1104f t t t t ⎛⎫=+<≤ ⎪⎝⎭因为对勾函数在104t <≤上是减函数，所以()11744f t f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以D 正确；故选：ABD 11.已知()1121xa f x +=+-是奇函数，则（）A.1a = B.()f x 在()(),00,x ∈-∞⋃+∞上单调递减C.()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞ D.()()3log 2f x f >的解集为()0,9x ∈【答案】AC 【解析】【分析】由奇函数的定义可判定A 项，利用指数函数的性质可判定B 项，进而可求值域判定C 项，可结合对数函数的性质解不等式判定D 项.【详解】因为函数()1121xa f x +=+-是奇函数，易知2100x x -≠⇒≠，则有()()()()()11211112210212121x x x xa a a f x f x a -+-++-+=+++=+=-+=---，解之得1a =，故A 正确；则()2121xf x =+-，易知当0210x x y >⇒=->且有21xy =-单调递增，故此时()2121x f x =+-单调递减，又由奇函数的性质可知0x <时()f x 也是单调递减，故()f x 在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故B 错误；由上可知0x >时，222100112121xx x ->⇒>⇒+>--，即此时()1f x >，由奇函数的性质可知0x <时，()1f x <-，则函数()f x 的值域为()(),11,-∞-⋃+∞，故C 正确；由上可知()()()33log 20log 21,9f x f x x >⇒<<⇒∈，故D 错误.故选：AC12.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 在区间()0,6上满足()()6f x f x -=，当(]0,3x ∈时，()13log f x x =；当[)6,x ∈+∞时，()21448f x x x =-+-．若直线y m =与函数()f x 的图象有6个不同的交点，各交点的横坐标为()1,2,3,4,5,6i x i =，且123456x x x x x x <<<<<，则下列结论正确的是（）A.122x x +>B.()5648,49x x ∈C.()()34661x x --> D.()()()()1122660,26x f x x f x x f x +++∈⎡⎤⎣⎦ 【答案】ABD 【解析】【分析】先利用函数的对称性和解析式作出函数图象，分别求出直线y m =与函数()f x 的图象的交点的横坐标的范围，运用基本不等式和二次函数的值域依次检验选项即得.【详解】如图，依题意可得13132log ,03()log (6),361448,6x x f x x x x x x ⎧<≤⎪⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+-≥⎪⎪⎩，作出函数()y f x =在(0,)+∞上的图象，设直线1y =与()y f x =的图象分别交于,,,A B C D 四点，显然有1(,1),(3,1),(7,1)3A B D ，由()()6f x f x -=知函数()f x 在区间()0,6上关于直线3x =对称，故可得：17(,1)3C .对于A 选项，由12()()f x f x =可得121133x x <<<<，111233log log x x =-，化简得121=x x ，由基本不等式得：122x x +>=，故A 项正确；对于B 选项，当[)6,x ∈+∞时，由()21448f x x x =-+-可知其对称轴为直线7x =，故562714,x x +=⨯=又因56678x x <<<<，故()25655551414x x x x x x =-=-+25(7)+49x =--在区间()6,7上为增函数，则有564849x x <<，故B 项正确；对于C 选项，由34()()f x f x =可得34356x x <<<<，131433log (6)log (6)x x -=--，化简得1343log [(6)(6)]0x x --=，故有()()34661x x --=，即C 项错误；对于D 选项，依题意，1236()()()(),f x f x f x f x m ===== 且01m <<，故()()()112266126()x f x x f x x f x x x x m +++=+++ ，又因函数()f x 在区间()0,6上关于直线3x =对称，故1423236,x x x x +=+=⨯=又由B 项分析知5614,x x +=于是126661426,x x x +++=++= 故得：()()()()1122660,26x f x x f x x f x +++∈⎡⎤⎣⎦ ，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数与直线y m =的交点横坐标的范围界定，关键在于充分利用绝对值函数与对称函数的图象特征进行作图，运用数形结合的思想进行结论检验.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若定义在[]4,4-上的奇函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调增区间为______．【答案】[]2,4和[]4,2--【解析】【分析】直接根据图象结合奇函数性质得到答案.【详解】根据图象，0x >时函数在[]2,4上单调递增，函数为奇函数，故函数在[]4,2--上也单调递增.故答案为：[]2,4和[]4,2--.14.若()()2log ,0215,0xx x f x f x x >⎧=⎨++≤⎩，则(1)(7)f f --=______．【答案】32【解析】【分析】直接计算得到答案.【详解】()()2log ,0215,0x x x f x f x x >⎧=⎨++≤⎩，则()()2221113(1)(7)147log 14log 7log 22222f f f f --=+-=+-=+=.故答案为：32.15.石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业．为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查．若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x 元）在1025x <≤时，本次活动售出的件数()42105P x =-，若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为______元．【答案】15【解析】【分析】结合已知条件，求出利润()f x 的解析式，然后结合换元法和基本不等式即可求解.【详解】由题意可知，利润4210(10)()(5)x f x x -=-，1025x <≤，不妨令10(0,15]t x =-∈，则利润44421010()50025(5)10t f x y t t t ===≤+++，当且仅当25t t=时，即5t =时，即15x =时，不等式取等号，故销售价格每件应定为15元.故答案为：15.16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．那么，函数()323f x x x x =--图象的对称中心是______．【答案】()1,3-【解析】【分析】计算出()()b f x a b f x a +-++--()232662622a x a a a b =-+---，得到3266026220a a a a b -=⎧⎨---=⎩，求出13a b =⎧⎨=-⎩，得到对称中心.【详解】()()bf x a b f x a +-++--()()()()()()3232332x a x a x a x a x a x a b =+-+-++-+--+--+-32232232233336333x ax a x a x ax a x a x ax a x a =+++------+-+223632x ax a x a b-+-+--()232662622a x a a a b =-+---，要想函数()y f x a b =+-为奇函数，只需()2326626220a x a a a b -+---=恒成立，即3266026220a a a a b -=⎧⎨---=⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩，故()323f x x x x =--图象的对称中心为()1,3-故答案为：()1,3-四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算2173ln 383log 210e 22lg 527log 10-⎛⎫-⨯--⎪⎝⎭；（2）已知11224x x-+=，求3322x x -+的值．【答案】（1）0（2）52【解析】【分析】（1）结合指数运算及对数运算性质，换底公式即可求解；（2）考察两式间的内在联系，结合立方和公式即可求解.【详解】（1）21723ln 3833log 2101727e22lg 52()(lg 5lg 2)27log 10864-⎛⎫-⨯--=--+ ⎪⎝⎭1791088--==；（2）由11224x x-+=，则112122()216x x x x --+=++=，则114x x -+=，则3322x x-+()11122141352x x x x --⎛⎫=+-+=⨯= ⎪⎝⎭.18.已知全集R U =，集合5|1,{|16}2A x B x x x ⎧⎫=>=<≤⎨⎬-⎩⎭，{1C x x a =≤-∣或21}x a ≥+．（1）求()U A B ∩ð；（2）若()A B C ⊆ ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{31}xx -<≤∣（2）(],2[7,)-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）解出分式不等式，求出集合A ，再利用交集和补集的含义即可得到答案；（2）分R C =和R C ≠讨论即可.【小问1详解】{}5310(3)(2)0{32}22x A x x x x x x x x x +⎧⎫⎧⎫=>=>=+->=-<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭∣∣∣∣{16}B x x =<≤∣，{1U B x x ∴=≤∣ð或6}x >，(){31}U A B x x ∴=-<≤ ∣ð.【小问2详解】{36}A B x x =-<≤ ∣，且()A B C ⊆ ，①R C =，1212a a a -≥+⇒≤-，此时满足()A B C ⊆ ，②R C ≠，2a >-，此时213a +>-，则167-≥⇒≥a a ，此时满足()A B C ⊆ ，综上所述，实数a 的取值范围为(],2[7,)-∞-+∞ .19.在“①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 是奇函数．”这两个条件中选择一个补充在下列的横线上，并作答问题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-，且______．（1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 在()0,e 上的单调性，并根据单调性定义证明你的结论．【答案】（1）选择①时，()ln(e )ln(e )f x x x =++-；选择②时，()ln(e )ln(e )f x x x =+--（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义求解参数k ，即可得()f x 的解析式；（2）根据函数单调性的定义证明即可得结论.【小问1详解】选择①：函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-的定义域满足e 0e 0x x +>⎧⎨->⎩，解得e e x -<<，故定义域为()e,e -，若函数()f x 是偶函数，所以()()()()ln e ln e f x x k x f x -=-++=，则()()()()ln e ln e ln e ln e x k x x k x -++=++-，则1k =所以()ln(e )ln(e )f x x x =++-；选择②：函数()ln(e )ln(e )f x x k x =++-的定义域满足e 0e 0x x +>⎧⎨->⎩，解得e e x -<<，故定义域为()e,e -，若函数()f x 是奇函数，所以()()()()ln e ln e f x x k x f x -=-++=-，则()()()()ln e ln e ln e ln e x k x x k x -++=-+--，则1k =-所以()ln(e )ln(e )f x x x =+--；【小问2详解】选择①：函数22()ln(e )ln(e )ln(e )f x x x x =++-=-在()0,e 上单调递减．证明：1x ∀,()20,e x ∈，且12x x <，有，有22222221121212(e )(e )()()x x x x x x x x ---=-=+-，由120e x x <<<，得120x x +>，120x x -<，所以1212()()0x x x x +-<，于是222212e e 0x x ->->，所以222221e 01e x x -<<-，所以22222222121221e ()()ln(e )ln(e )ln ln10e xf x f x x x x --=---=<=-，即12()()f x f x >，所以函数22()ln(e )f x x =-在()0,e 上单调递减．选择②：函数e ()ln(e )ln(e )ln e xf x x x x+=+--=-在()0,e 上单调递增．证明：1x ∀,()20,e x ∈，且12x x <，则21211221212121e e (e )(e )(e )(e )2()e e (e )(e )(e )(e )x x x x x x x x x x x x x x +++--+---==------由120e x x <<<，得210x x ->，2e 0x ->，1e 0x ->，所以21212()0(e )(e )x x x x ->--，即2121e e 0e e x x x x ++>>--，于是2211e e 1e e x x x x +->+-，所以2212211211e e e e ()()lnln ln ln10e e e e x x x x f x f x x x x x +++--=-=>=+---，即12()()f x f x <，所以函数e ()lne xf x x+=-在()0,e 上单调递增．20.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的含量变化规律的“散点图"”如图，该函数近似模型如下：()20.43()49.18,02256.26e14.73,2x a x x f x x -⎧-+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩，又已知酒后1小时测得酒精含量值为46.18毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：（1）当02x ≤<时，确定()f x 的表达式；（2）喝1瓶啤酒后多长时间后才可以驾车？（时间以整分钟计算）（附参考数据：ln527 6.27,ln56268.63,ln14737.29===）【答案】（1）23()12()49.182f x x =--+（2）314分钟后【解析】【分析】（1）根据题中条件，建立方程(1)46.18f =，解出即可；（2）根据题意建立不等式，解出即可.【小问1详解】根据题意知，当02x ≤<时，23()()49.182f x a x =-+，所以23(1)(149.1846.182f a =-+=，解得12a =-，所以当02x ≤<，23()12()49.182f x x =--+.【小问2详解】由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精含量小于20mg /百毫升时可以驾车，当02x ≤<时，()20f x >，此时2x ≥，由0.456.26e 14.7320x -⋅+<，得0.4 5.27527e56.265626x-<=，两边取自然对数可得，0.4ln 527ln 5626 6.278.36 2.09x -<-=-=-，所以 2.095.2250.4x >=，又5.225小时=313.5分钟，故喝1瓶啤酒314分钟后才可以驾车.21.已知函数12x y a -=-（0a >，且1a ≠）过定点A ，且点A 在函数()()ln 1f x x m =+-，(R)m ∈的图象上．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若定义在[]1,2上的函数()()ln 2y f x k x =+-恰有一个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()ln 1f x x =-（2）e 2e,42⎛⎤++ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）把定点A 代入函数()f x 的解析式求出m 的值即可；（2）问题等价于()22e g x x kx =-+在[]1,2上恰有一个零点，根据函数零点的定义，结合二次函数的性质进行求解即可；【小问1详解】函数12x y a -=-（0a >，且1a ≠）过定点()1,1A -，函数()()ln 1f x x m =+-(R)m ∈的图象过点()1,1A -，即()ln 111m +-=-，解得0m =，函数()f x 的解析式为()ln 1f x x =-.【小问2详解】函数()()()ln 2ln 1ln 2y f x k x x k x +--==+-定义在[]1,2上，20k x ->在[]1,2上恒成立，可得4k >，令()()2ln 1ln 2ln 210y x k x kx x =-+--=-=，得22e 0xkx -+=，设()22e g x x kx =-+，函数()()ln 2y f x k x =+-在[]1,2上恰有一个零点，等价于()g x 在[]1,2上恰有一个零点，函数()22e g x x kx =-+图像抛物线开口向上，对称轴14kx =>，若()()12e 0282e 0g k g k ⎧=-+=⎪⎨=-+<⎪⎩，无解，不成立；若()()()()122e 82e 0g g k k ⋅=-+-+<，解得e2e 42k +<<+，满足题意；若()24282e 0k g k ⎧≥⎪⎨⎪=-+=⎩，无解，不成立；若()()12e 0124282e 0g k kg k ⎧=-+<⎪⎪<<⎨⎪=-+=⎪⎩，解得e 42k =+，满足题意.所以实数k 的取值范围为e 2e,42⎛⎤++ ⎥⎝⎦.22.若函数()f x 与()g x 满足：对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x f x m=成立，则称()f x 是区间D 上的“m 阶自伴函数”．（1）判断()22111f x x x =+++是否为区间[]0,4上的“2阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数()32πx f x -=区间1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“1阶自伴函数”，求b 的值；（3）若()2214f x x ax a =-+-是()4log (167)g x x =--在区间[0,2]上的“2阶伴随函数”，求实数a 的取值范围．【答案】（1）不是，理由见解析（2）1b =（3）314a ≤≤【解析】【分析】（1）根据给定的定义，取12x =，判断2()1f x =在[]0,4是否有实数解即可；（2）根据给定的定义，当11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，用1x 表示2x 并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即可；（3）根据()g x 的单调性求解其在区间[0,2]上的值域，进而将问题转化为()f x 在区间[0，2]上的值域是[]4,1--的子集，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解．【小问1详解】假定函数()22111f x x x =+++是区间[]0,4上的“2阶自伴函数”，则对任意的[]10,4x ∈，总存在唯一的[]20,4x ∈，使()()122f x f x =成立，取10x =，1()2f x =，由12()()2f x f x =，得2()1f x =，则()222221111f x x x =++=+，则()()222221110x x +-++=，进而可得()222131024x ⎡⎤+-+=⎢⎣⎦显然此方程无实数解，所以函数()22111f x x x =+++不是区间[]0,4上的“2阶自伴函数”，【小问2详解】函数()32πx f x -=为区间1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“1阶自伴函数”，则对任意11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的21,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12()()1f x f x =，即123232ππ1x x --=，进而1243x x +=，得2143x x =-，显然函数2143x x =-在11,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，且当113x =时，21x =，当1x b =时，243x b =-，因此对1,3b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的每一个1x ，在4[,1]3b -内有唯一2x 值与之对应，而21,3x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以41[,1][,]33b b -⊆，所以14133b b ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得11b b ≥⎧⎨≤⎩，即1b =，所以b 的值是1．【小问3详解】由于41log 67,t x y t =-=分别为定义域内单调递增和单调递减函数，所以函数()4log (167)g x x =--在[0,2]上单调递增，且()()102,22g g =-=-得函数()g x 的值域为12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，由函数()2214f x x ax a =-+-是()4log (167)g x x =--在区间[0,2]上的“2阶伴随函数”可知，对任意的1[0x ∈,2]，总存在唯一的2[0x ∈,2]时，使得12()()2f x g x =成立，于是[]122()4,1()f xg x =∈--，则()2214f x x ax a =-+-在区间上[0,2]的值域是区间[]4,1--的子集，而函数()2214f x x ax a =-+-图象开口向上，对称轴为x a =，显然(0)14f a =-，()258f a =-，()241f a a a =--+，当0a ≤时，()f x 在[0,2]上单调递增，则min max ()(0)4()(2)1f x f f x f =≥-⎧⎨=≤-⎩，即0144581a a a ≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤-⎩，无解；当2a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减，则min max ()(2)4()(0)1f x f f x f =≥-⎧⎨=≤-⎩，即2584141a a a ≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤-⎩，无解；当02a <<时，()f x 在[0,]a 上单调递减，在[a ,2]上单调递增，则()()4(2)101f a f f ≥-⎧⎪≤-⎨⎪≤-⎩，即202581141144a a a a a <<⎧⎪-≤-⎪⎨-≤-⎪⎪-+-≥-⎩，解得314a ≤≤；综上，a 的取值范围是314a ≤≤．。

四川省成都市高一上学期期末测试数学试题

2022年秋季高2022级上期期末测试数学（学科）试题满分：150分时间：120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须用2B 铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，将答案写在答题卡规定的位置上。

写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，只将答题卡交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（） 2{|340}A x x x =--≤{}|0B x x =>A B = A ． B ．C ．D ．[1,0)(0,)-+∞ [1,0)(0,4]- (,1](0,)-∞-⋃+∞(](],10,4-∞- 2．下列选项中，表示的不是同一个函数的是（）A ．与B ．与y =y =e ,R x y x =∈e ,R t s t =∈C ．与D ．与{}2,0,1y x x =∈{},0,1y x x =∈1y =0y x =3．点在平面直角坐标系中位于（） ()cos2023,tan8A ︒A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．“”是“关于的不等式恒成立”的（） 10k -<<x 22(2)0kx kx k +-+<A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，如函数的图像大致是（） ()ln e ex xx xf x -=-A ． B ． C ． D ．6．已知，则cos()=（） cos(6πα-=6παπ∈（,）+3παA ．B ．C ．D 13-137．若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（）,x y 40x y xy +-=26xy m m ≥-mA ．B ．C ．D ．[]2,8-(]2,8-[]2,6-()2,6-8．已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，若，R ()f x (1)(1)f x f x -=+[1,)+∞232a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则（）()3log 2b f =21log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ． B ． C ． D ．c a b >>c b a >>a b c >>b a c >>二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省成都市锦江区2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题含答案

成都市锦江区2024-2025学年新高一数学入学测试（答案在最后）测试时间：120分钟满分：150分一，单项选择题.（每题5分，共40分）1.在平面直角坐标系中，两条直线（）时候垂直？A.斜率之积为-1时B.两条直线有1个公共点的时候C.两条直线分别与坐标轴垂直的时候D.以上答案均不正确【答案】A【解析】【分析】由两直线垂直的定义逐个判断即可.【详解】对于A ：斜率之积为-1时，两直线垂直，正确对于B ：两条直线有1个公共点的时候，可能相交但不垂直，错误对于C ：两条直线分别与坐标轴垂直的时候，如果是同一坐标轴，那么平行，错误对于D ：错误故选：A2.关于数的分类，以下说法正确的是（）A.无理数相加不可能是有理数B.π是无限不循环小数C.0不属于自然数集D.若抛物线2y ax bx c =++的系数,a b 均不是整数，那它的对称轴x t =，t 也不是整数【答案】B【解析】【分析】由0=，可判断A ；π是无限不循环小数可判断B ；0属于自然数集可判断C ；由11,42a b =-=，求得对称轴判断D.【详解】对于A ：由0=，故两个无理数的和可能是有理数，故A 错误；对于B ：π是无限不循环小数，故B 正确；对于C ：0属于自然数集，故C 错误；对于D ：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a =-，当11,42a b =-=时，对称轴为1x =，故D 错误.故选：B.3.下面说法正确的是（）A.两个不同的点确定一条直线，三个不同的点确定一条曲线B.如果只知道抛物线的一个点，那么在某些情况也是可以确定它的解析式的C.函数2y ax bx c =++的对称轴只有一条D.反比例函数上的三个不同的点可能在某些情况是共线的【答案】B【解析】【分析】举例说明三个不同的点不能确定一条曲线，判断A ，举例说明在特殊条件下，已知抛物线上的一个点，可以求其解析式，判断B ，取0,1a b ==，函数y x c =+没有对称轴，判断C ；设反比例函数上存在三个点共线，联立反比例函数的解析式与直线方程，化简推出矛盾，判断D.【详解】因为点()()()2,2,1,4,2,2--都在抛物线24y x x =-++上，点()()()2,2,1,4,2,2--也都在反比例函数4y x=的图象上，所以三个不同的点不能确定一条曲线，A 错误；若抛物线的解析式为2y ax =，且抛物线过点()1,1，则1a =，此时抛物线的解析式为2y x =，故如果只知道抛物线的一个点，那么在某些情况也是可以确定它的解析式的，B 正确；当0,1a b ==，函数2y ax bx c =++的解析式可化为y x c =+，该函数的图象没有对称轴，C 错误；设反比例函数的解析式为k y x=，设函数k y x=的图象上存在三个不同的点共线，则该直线方程不可能为x t =，设其解析式为y mx n =+，联立y mx n k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，化简可得200mx nx k x ⎧+-=⎨≠⎩，因为方程20mx nx k +-=至多只有2个解，所以方程组至多只有2组解，矛盾，D 错误.故选：B.4.下面说法正确的是（）A.借助两点间距离公式，可以知道甲地到乙地的路程B.两点间距离公式是通过勾股定理推导出来的C.满足()()222x a y b t -+-=这样轨迹方程的一定是圆，因为圆的有一个定义是，点(),x y 到定点距离(),a b 为定值t 的轨迹，再根据两点间距离公式，将这个转换为数学语言，就是()()222x a y b t -+-=D.以上选项均不正确【答案】D【解析】【分析】根据两点间的距离公式、圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，两点间的距离是两点间的直线距离，甲乙两地的道路不一定是直线，所以A 选项错误.B 选项，两点间距离公式可以通过勾股定理来推导，也可以通过向量法、解析几何法、坐标变换法、微积分等方法来进行推导，所以B 选项错误.C 选项，当0t =时，满足()()2220x a y b t -+-==的点(),x y ，即点(),a b ，所以C 选项错误.故选：D5.老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（）A .任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果B.不努力学习也可能有好结果C.努力学习一定有好结果D.如果没有取得好结果，那么一定没有努力【答案】A【解析】【分析】根据给定的语句的正确性，逐一分析各个选项即可.【详解】对于A ，由给定的语句知，努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果，A 正确.对于B ，由给定的语句知，不努力学习一定没有好结果，B 错误；对于C ，由给定的语句知，努力学习不一定有好结果，C 错误；对于D ，命题“如果没有取得好结果，那么一定没有努力”，等价于：如果努力，就能取得好结果，D 错误.故选：A6.抛物线与圆相交形成的交点（）A.横坐标相加之和为0B.可能有3个C.将交点连接后，其形状可能是等腰梯形或一条直线D.以上说法均不正确【答案】B【解析】【分析】由抛物线2(1)y x =-与圆22(1)(1)1x y -+-=有三个交点可判断每个选项的正确性.【详解】若抛物线方程为2(1)y x =-，圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=，联立方程组解得0y =或1y =，当0y =时，1x =，当1y =时，0x =或2x =，故此时抛物线与圆有三个交点(1,0),(0,1),(2,1)，故B 正确；故横坐标之和不为0，故A 错误；连接交点可得一个三角形，故C 错误.故选：B.7.请结合计算和画图，判断22sin cos αα+=（）A.1B.2C.3D.无法确定【答案】A【解析】【分析】作出直角三角形，利用锐角三角函数的定义计算判断即可.【详解】在Rt ABC △中，令锐角α的对边为a ，邻边为b ，斜边为c ，则222c a b =+，sin ,cos a b c c αα==，所以2222222sin cos ()()1a b a b c c c αα++=+==.故选：A8.已知2b a c =+，则直线0ax by c ++=恒过定点（）A.(1,2)- B.(1,2)C.(1,2)- D.(1,2)--【答案】A【解析】【分析】由题意可得(1)(2)0a x b y -++=，可得定点坐标.【详解】因为2b a c =+，所以2c b a =-，由0ax by c ++=，可得(2)0ax by b a ++-=，所以(1)(2)0a x b y -++=，当1,2x y ==-时，所以(11)(22)0a b -+-+=对,a b 为任意实数均成立,故直线过定点(1,2)-.故选：A.二.不定项选择题.（每题6分，共18分）9.当二次函数自变量有范围限制的时候，会出现（）情况A.若限制范围包含顶点，那么最小值或最大值是不变的B.若限制范围不包含顶点，那么一定存在最小值或者最大值C.若限制范围不包含顶点，那么一定存在最小值和最大值D.若限制范围为确定的值，而不是一个区间，那么它的最小值和最大值相等【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，结合二次函数图象性质逐项判断即得.【详解】对于A ，限制范围包含顶点，若二次函数图象开口向上，则顶点的纵坐标值为二次函数最小值；若二次函数图象开口向下，则顶点的纵坐标值为二次函数最大值，因此最小值或最大值不变，A 正确；对于BC ，限制范围不包含顶点，当限制范围的端点值不能被取到时，该函数可能没有最小值和最大值，BC 错误；对于D，限制范围为确定的值，而不是一个区间，该函数只有一个函数值，其最小值和最大值相等，D正确.故选：AD10.下面图形是矩形的是（）A.长方形B.正方形C.菱形D.直角梯形【答案】AB【解析】【分析】由矩形的定义可得结论.【详解】由矩形的定义可得是矩形的有长方形，正方形.故选：AB.11.一个直角三角形，直角边分别是1,aa，那么下面说法正确的是（）A.B.斜边长度最小值是2C.将其绕其直角顶点旋转一周，那么其斜边上任何一个点（包含端点）的运动轨迹都是圆D.这个直角三角形可能是等腰直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件，结合直角三角形的性质逐项判断即可.【详解】对于A A正确；对于B=≥1aa=，即1a=取等号，B错误；对于C，直角三角形斜边上一点与直角顶点为端点的线段，绕直角顶点旋转一周，另一端点的轨迹是圆，C 正确；对于D，当1a=时，该直角三角形是等腰直角三角形，D正确.故选：ACD三.填空题：（每题5分，共15分）12.若集合A有3个元素，集合B有4个元素，那么集合A和集合B的交集可能有_________个元素.【答案】0或1或2或3【解析】【分析】利用集合,A B 公共元素个数即可得解.【详解】集合A 有3个元素，集合B 有4个元素，则集合,A B 的公共元素个数最多为3个，所以集合A 和集合B 的交集可能有0或1或2或3.故答案为：0或1或2或313.已知一元二次方程23440x x -+=的两根分别为,a b ，那么a b +=_________.【答案】43-【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】因为一元二次方程23440+-=x x 的两根分别为,a b ，所以43a b +=-.故答案为：43-.14.函数()223y ax a x a =+-+（a 为确定的实数）的因变量取值范围是__________.【答案】当0a =时，因变量的取值范围是R ；当0a >时，因变量的取值范围是21144,4a a a ⎡⎫+-+∞⎪⎢⎣⎭；当0a <时，因变量的取值范围是21144,4a a a ⎛⎤+--∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】对a 进行分类讨论，根据一次函数、二次函数的知识求得正确答案.【详解】当0a =时，2y x =，则y ∈R ；当0a ≠时，二次函数()223y ax a x a =+-+，则顶点的纵坐标为()22432114444a a a a a a a⋅--+-=，所以，当0a >时，因变量的取值范围是21144,4a a a ∞⎡⎫+-+⎪⎢⎣⎭；当0a <时，因变量的取值范围是21144,4a a a ∞⎛⎤+-- ⎥⎝⎦.故答案为：当0a =时，因变量的取值范围是；当0a >时，因变量的取值范围是21144,4a a a ∞⎡⎫+-+⎪⎢⎣⎭；当0a <时，因变量的取值范围是21144,4a a a ∞⎛⎤+-- ⎥⎝⎦.四．解答题：（15题13分，16题～17题每题15分，18～19题每题17分，共77分）15.已知2()34f x x x =-，请作出(||)f x ，|()|f x ，(1)f x -的图象，并说说你是怎么作出的.【答案】作图见解析.【解析】【分析】利用函数()f x 利用变换法作出图象，并叙述作图过程.【详解】当0x ≥时，(||)()f x f x =，此时(||)f x 的图象为函数()f x 图象在y 轴及右侧图象，当0x <时，)(||)(f x f x =-，此时(||)f x 的图象为函数()f x 在y 轴右侧图象关于y 轴对称而得，函数(||)f x 的图象，如图，当()0f x ≥时，|()|()f x f x =，此时|()|f x 的图象为函数()f x 图象在x 轴及上方图象，当()0f x <时，|()|()f x f x =-，此时|()|f x 的图象为函数()f x 在x 轴下方图象关于x 对称而得，函数|()|f x 的图象，如图：函数(1)f x -的图象是将函数()f x 图象向右平移1个单位而得，如图.16.请利用3种方法证明勾股定理.并说出一例勾股定理在生活中的运用.【答案】证明见解析，举例见解析.【解析】【分析】方法一：过C 作CD AB ⊥，垂足为D ，证明ACB CDB ∽，由此可得2BC AB BD =⋅，同理可得2AC AB AD =⋅，由此证明结论；方法二：以AB 为边作正方形ABEF ，过点E 作EN BC ⊥垂足为N ，过点F 作FM EN ⊥，垂足为M ，延长AC ，交FM 于点G ，证明ABC BEN EFM FAG ≅≅≅ ，再证明四边形CNMG 为正方形，结合面积关系证明结论；方法三：以点A 为圆心，AC 为半径作圆，分别交AB 和BA 的延长线于点,Q P ，证明BC 为圆A 的切线，结合切割线定理证明结论.再举例说明勾股定理在生活中的应用.【详解】如图，在直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，求证：222AC BC AB +=.方法一：过C 作CD AB ⊥，垂足为D ，则90A ACD ︒∠+∠=，90BCD ACD ︒∠+∠=，故A BCD ∠=∠，又ACB CDB ∠=∠，所以ACB CDB ∽，所以BC BD AB BC=，即2BC AB BD =⋅，同理：2AC AB AD =⋅，所以()222AC BC AB AD AB BD AB AD BD AB +=⋅+⋅=+=，所以222AC BC AB +=.方法二：如图，以AB 为边作正方形ABEF ，过点E 作EN BC ⊥垂足为N ，过点F 作FM EN ⊥，垂足为M ，延长AC ，交FM 于点G ，由已知，90GCN MNC GMN ∠=∠=∠= ，所以90MGC ∠= ，故90AGF ∠= ，因为90ABC EBN ∠+∠= ，90BEN EBN ∠+∠= ,所以ABC BEN ∠=∠，又ACB BNE ∠=∠，AB BE =，所以ABC BEN ≅ ,同理可证BEN EFM ≅ ，EFM FAG ≅ ，所以AB EN FM AG ===，AC BN EM FG ===，所以CN NM MG GC BC AC ====-，又90GCN MNC GMN ∠=∠=∠= ，所以四边形CNMG 为正方形，设正方形ABEF 的面积为S ，正方形CNMG 的面积为1S ，ABC V 的面积为2S ，则124S S S +=，所以()22142BC AC BC AC AB -+⨯⋅=，所以222BC AC AB +=.方法三：以点A 为圆心，AC 为半径作圆，分别交AB 和BA 的延长线于点,Q P ，则AC AQ AP ==，因为90ACB ∠= ，点C 在圆A 上，所以BC 为圆A 的切线，所以()()()()222BC BQ BP BA AQ BA AP A B AC AB AC AB AC =⋅=-+=-+=-，所以222BC AC AB +=.家装时，工人为了判断一个墙角是否标准直角，可以分别在墙角向两个墙面量出30cm 40cm ，并标记在一个点，然后量这两点间距离是否是50cm ，如果超出一定误差，则说明墙角不是直角.17.请讨论方程()2223430a a x ax --+-=解的个数.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据a 的不同取值分类讨论，结合一元二次方程性质判断解的个数，即可得到答案.【详解】当()()223310a a a a --=-+=，即3a =或1a =-时，方程()222343y a a x ax =--+-为一元一次方程，有一个解；当()()223310a a a a --=-+≠，即3a ≠且1a ≠-时，方程()222343y a a x ax =--+-为一元二次方程，()()()222Δ44233282436a a a a a =----=--，令22824360y a a =--=，即27690a a --=，解得37a ±==，所以当37a ±=时，0∆=，方程()2223430a a x ax --+-=有一个解，当3377a -+<<时，0∆<，方程()2223430a a x ax --+-=无解，当3627a -<且1a ≠-或3627a +>且3a ≠时，0∆>，方程()2223430a a x ax --+-=有两个解，综上，当3a =或1a =-或37a ±=时，方程有1个解，当3377a -+<<时，方程无解，当当3627a -<且1a ≠-或3627a +>且3a ≠时，方程有两个解.18.已知抛物线C 的顶点在原点，开口向上，且经过点(,)m n .（1）求它向左平移3个单位，向上平移1个单位后的解析式；（2）当m ，n 是方程28150x x -+=的两根的时候，求抛物线C 的解析式；（3）求经过(,)m n 的切线方程，并说明这样的切线有几条.【答案】（1）22(3)1n y x m =++；（2）259y x =或2325y x =；（3）2n y x n m =-，1条.【解析】【分析】（1）求出抛物线C 的解析式，利用平移变换求出解析式.（2）求出,m n ，再分类求出解析式.（3）求出过点(,)m n 的切线方程，再与抛物线方程联立即可求解即得.【小问1详解】依题意，设抛物线C 的解析式为2,0y ax a =>，则2n am =，解得2n a m=，因此抛物线的解析式为22,0n y x n m =>，将抛物线C 向左平移3个单位，向上平移1个单位后的解析式为22(3)1n y x m=++.【小问2详解】解方程28150x x -+=，得123,5x x ==，当3,5m n ==时，抛物线C 对应的解析式为259y x =，当5,3m n ==时，抛物线C 对应的解析式为2325y x =，所以抛物线C 的解析式为259y x =或2325y x =.设过点(,)m n 的切线方程为y kx b =+，则n km b =+，解得b n km =-，即切线方程为y kx n km =+-，由22n y x m y kx n km⎧=⎪⎨⎪=+-⎩消去y 得220n x kx n km m --+=，22224()(0n n k km n k m m ∆=-⋅-=-=，解得2n k m =，所以经过(,)m n 的抛物线切线方程为2n y x n m =-，这样的切线方程只有一条.19.在初中的时候，我们知道三角形是有稳定性的，那为什么它有稳定性，而平行四边形没有稳定性呢？GGbond 数学研究小组对这个问题进行了探究，上网查阅了资料，了解了一个公式，已知三角形三边长度为a ，b ，c ，三个角为A ，B ，C ，那么222cos 2b a c B ac-++=，请你结合这个公式，来思考这个问题，并回答：（1）请利用这个公式说明边长为3，3，7的三角形是不存在的；（2）证明这个公式；（3）若一个平行四边形四边长为1，1，2，2，请说明这样的平行四边形有几个，请直接写出你的答案；（4）请利用这个公式，阐述为什么三角形有稳定性，而平行四边形没有稳定性.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）无数个；（4）见解析.【解析】【分析】（1）由题意求出49cos 142B =>，即可判断；（2）以B 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，由两点间的距离公式即可证明.（3）如图，设2,1AD AB ==，由题意可得254cos BD A =-，当BD 长度变化时，cos A 也会变化，所以说明这样的平行四边形有无数个.（4）三角形的三边长是固定的，由题意可知三个角的余弦值也是固定的，所以三角形有稳定性，当一个平行四边形四边长固定，由题意可知平行四边形的角不固定.【小问1详解】设3,3,7a b c ===，所以222994949cos 1223742b ac B ac -++-++===>⨯⨯，所以边长为3，3，7的三角形是不存在的.如图，以B 为坐标原点，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则()()()0,0,,0,cos ,sin B A c C a B a B ，所以b AC ===，所以b =，所以2222cos b a c ac B =+-，所以222cos 2b a c B ac-++=.【小问3详解】无数个.如图，设2,1AD AB ==，则2222125cos 2124BD BD A +--==⨯⨯，所以254cos BD A =-，当BD 长度变化时，cos A 也会变化，所以若一个平行四边形四边长为1，1，2，2，这样的平行四边形有无数个.【小问4详解】三角形的三边长是固定的，由222cos 2b a c B ac-++=可知，三个角的余弦值也是固定的，所以三角形有稳定性，当一个平行四边形四边长固定，但是平行四边形的四个角不固定，所以平行四边形没有稳定性.。

四川省成都市2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题含解析

成都2023-2024学年度上期高2026届10月月考数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,3,5,7A =，{}225|0B x x x =--≤，则A B = （）A.{}1,3B.{}1,5 C.（{}5,7 D.{}1,7【答案】A 【解析】【分析】要计算A B ⋂，则所得的集合的元素必是两集合所共有的，然后验证即可.【详解】将1x =代入2250x x --≤，得60-≤，所以1A ∈；将3x =代入2250x x --≤，得20-≤，所以3A ∈；将5x =代入2250x x --≤，得100≤，所以5A ∉；将7x =代入2250x x --≤，得300≤，所以7A ∉，所以{}1,3A B = .故选：A2.下列各组函数中f （x ）和()g x 表示相同函数的是（）A.()f x x =，()2x g x x=B.()f x =，()g x =C.()f x x =，()g x =D.()f x x =，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩【答案】D 【解析】【分析】根据函数相等：对应关系相同，定义域相同，逐项分析判断.【详解】对A ：()f x x =的定义域为R ，()2x g x x x==的定义域为{}|0x x ≠，则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，A 错误；对B ：∵210x -≥，解得1x ≥或1x ≤-，则()f x =的定义域为(][),11,-∞-⋃+∞，又∵1010x x -≥⎧⎨+≥⎩，解得1x ≥，则()g x ==的定义域为[)1,+∞，则两个函数的对应关系相同，定义域不相同，B 错误；对C ：()f x x =的定义域为R ，()g x x ==的定义域为R ，则两个函数的对应关系不相同，定义域相同，C 错误；对D ：(),0,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩的定义域为R ，(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ，则两个函数的对应关系相同，定义域相同，D 正确；故选：D.3.函数()2021y x =++的定义域为（）A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.111,,222⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.111,,222⎛⎫⎛⎤-∞-⋃- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】要使函数()221y x =++有意义，则有120210x x ->⎧⎨+=⎩，解出即可.【详解】要使函数()2021y x =++有意义，则有120210x x ->⎧⎨+=⎩，解得12x <且12x ≠-所以其定义域为111,,222⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B4.下列函数中，值域为()0,∞+的是（）A.()f x =B.()1(0)f x x x x =+>C.()f x =D.()11(1)f x x x=->【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.【详解】由已知()f x =值域为[)0,∞+，故A 错误；()1021x f x x x x >∴=+≥== ，，时，等号成立，所以()1(0)f x x x x =+>的值域是[)2,+∞，B 错误；()f x =因为定义域为()1,x ∞∈-+0>，函数值域为(0,)+∞，故C 正确；1()1(1)f x x x =->，()10,1x∈，()11,0x -∈-，所以()()0,1f x ∈，故D 错误.故选：C.5.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过312m 的部分3元/3m 超过312m 但不超过318m 的部分6元/3m 超过318m 的部分9元/3m 若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（）A.36mB.39m C.315m D.318m 【答案】C 【解析】【分析】利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得.【详解】设此户居民本月用水量为x 3m ,缴纳的水费为y 元,则当[0,12]x ∈时,336y x =≤元,不符合题意;当(12,18]x ∈时,123(12)6636y x x =⨯+-⨯=-,令63654x -=,解得15x =,符合题意；当(18,)x ∈+∞时,12366(18)999072y x x =⨯+⨯+-⨯=->,不符合题意.综上所述:此户居民本月用水量为153m .故选：C.6.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ､b ､c ，则三角形的面积S 可由公式S =求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足3a =，5b c +=，则此三角形面积的最大值为（）A.32B.3C.D.【答案】B 【解析】【分析】由公式列出面积的表达式，代入已知3a =，然后由基本不等式求得最大值．【详解】由题意()13542p =+=S =()83b c ==≤-+=，当且仅当44-=-b c ，即b c =时等号成立﹐∴此三角形面积的最大值为3.故选：B ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方7.已知0x y >>，且221x y -=，则22234x y xy +-的最小值为（）A.34B.1C.1716 D.98【答案】B 【解析】【分析】利用换元法表示出,x y 代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值.【详解】因为221x y -=，所以()()1x y x y -+=，令,m x y n x y =-=+，则1mn =且22n m x n m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入22234x y xy +-中得：22222342342222n m n m n m n m x y xy +-+-⎛⎫⎛⎫+-=+-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222229292914442m n mn m n m n +-+-+===-13131114222mn -⨯-≥-===当229=m n即33m n ==时取“=”,所以最小值为1.故选：B8.对于函数()f x ，若对任意的1x ，2x ，3R x ∈，1()f x ，2()f x ，3()f x 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构成三角形的函数”，已知22()1x tf x x +=+是可构成三角形的函数，则实数t 的取值范围是（）A.[0,1]B.1[,2]2C.[1,2]D.(0,)+∞【答案】B 【解析】【分析】先判断()f x 的奇偶性，然后对t 进行分类讨论，结合()f x 的单调性、最值求得t 的取值范围.【详解】2222211()11111x t x t t f x x x x +++--===++++，()0f t =，当1t =时，()1f x =，()f x 的定义域为R ，()()221x tf x f x x +-==+，所以()f x 是偶函数，()f x 为偶函数，∴只需考虑()f x 在[0,)+∞上的范围，当1t >时，()f x 在[0,)+∞单调递减，()(1,].f x t ∈对1x ∀，2x ，3R x ∈，123()()()f x f x f x +>恒成立，需min max 2()()f x f x >，2t ∴≤，12t ∴<≤.当1t <，()f x 在[0,)+∞上单调递增，()[,1)f x t ∈，对1x ∀，2x ，3R x ∈，123()()()f x f x f x +>恒成立，max min ()2()f x f x ∴<，12t ≤，112t ∴≤<，综上：1[,2].2t ∈故选：B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合{}220,A xax x a a R =++=∈∣，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值有（）A.-2B.-1C.0D.1【答案】BCD 【解析】【分析】根据条件可知集合A 中仅有一个元素，由此分析方程220ax x a ++=为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出a 的值.【详解】因为集合A 仅有2个子集，所以集合A 中仅有一个元素，当0a =时，20x =，所以0x =，所以{}0A =，满足要求；当0a ≠时，因为集合A 中仅有一个元素，所以2440a ∆=-=，所以1a =±，此时{}1A =或{}1A =-，满足要求，故选：BCD.10.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.11-=-，[]1.91=，定义函数()[]f x x x =-，x ∈R ，则下列说法正确的是（）A.()0.50.5f -=B.()f x 是奇函数C.()f x 的值域为[)0,1D.函数()f x 在[)2,1--上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】先证明()f x 是1T =的周期函数；对于选项A ：根据()[]f x x x =-直接计算；对于选项B ：举例说明()()f x f x -=-不成立；对于选项C ：由周期函数知只需求当[0,1)x ∈时的值域即可；对于选项D ：由周期函数知()f x 在[)2,1--上单调与[)0,1上单调性相同，只需判断()f x 在[)0,1上单调性即可.【详解】()[][][]11111()f x x x x x x x f x +=+-+=+--=-=所以()f x 是1T =的周期函数，对于选项A ：()[]0.50.50.50.5(1)0.5f -=---=---=，故A 正确；对于选项B ：()0.50.5f -=，()0.50.5f =，()()f x f x -=-不恒成立，故()f x 不是奇函数，所以B 错误；对于选项C ：()f x 是1T =的周期函数，当[0,1)x ∈时，()[]0[0,1)f x x x x x =-=-=∈，所以()f x 在R 上的值域为[)0,1，故C 正确；对于选项D ：由周期函数知()f x 在[)2,1--上单调与[)0,1上单调性相同，当[0,1)x ∈时，()[]f x x x x =-=单调递增，故D 正确.故选：ACD11.已知1m n >>，则下列不等式正确的是（）A.22n nm m +<+ B.11m n m n+>+C.3322+>m n m n D.11+>+m n n m【答案】BD 【解析】【分析】通过对选项利用不等式性质进行拆解，在通过已知条件反证一一推导即可.【详解】对于选项A ：1m n >>Q ，22m n ∴>，22mn m mn n ∴+>+，()()22m n n m ∴+>+，,m n 都大于零22n nm m+∴>+，故选项A 错误；对于选项B ：1m n >>Q ，1mn >∴，且1m n ->，()mn m n m n ∴->-，22m n mn m n ∴->-，22m n n mn m ∴+>+，11m n m n+>+∴，故选项B 正确；对于选项C ：当3m =，2n =时，33227835236m n m n +=+=<=，故选项C 错误；对于选项D ：1m n >>Q ，110n m∴>>，11m n n m+>+∴，故选项D 正确.故选：BD12.若,(0,),1a b a b ∈+∞+=，则下列说法正确的是（）A.ab 的最大值为14B.11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是4C.144a b -的最大值为2 D.12a b+的最小值为3+【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式对每个选项进行判断即可【详解】对于A ，因为1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，取等号，所以ab 的最大值为14，故正确；对于B ，因为,(0,),a b ∈+∞1a b +=，所以1,1,a b ≠≠所以12a a+>，（当且仅当1a a =即1a =时取等号，故等号不取）12b b +>，（当且仅当1b b=即1b =时取等号，故等号不取），所以114a b a b ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故错误；对于C ，因为1a b +=，所以1a b =-，所以144a b -=1144444244b b b b ⎛⎫--=-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当144b b =即14b =时，取等号，故正确；对于D ，()1221233b a a b a a b b ⎛⎫++=+++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b aa b=即1,2a b =-=-时，取等号，故正确故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知命题p ：2R,230x ax ax ∀∈++>都成立，命题q ：2,220x R x ax a ∃∈+++=，若命题,p q 都是真命题，则实数a 的取值范围是__________.（用区间表示）【答案】[)2,3【解析】【分析】利用命题的真假、一元二次不等式的解法、一元二次方程判别式运算即可得解.【详解】解：∵命题p 是真命题，∴2R,230x ax ax ∀∈++>都成立，当0a =时，30>恒成立；当0a ≠时，由2Δ4120a a a >⎧⎨=-<⎩，解得：0<<3a .∴由命题p 是真命题知03a ≤<.∵命题q 是真命题，∴2,220x R x ax a ∃∈+++=，∴()24420a a ∆=-+≥，即220a a --≥，解得：1a ≤-或2a ≥.∴由命题q 是真命题知1a ≤-或2a ≥.∵命题,p q 都是真命题，∴23a ≤<.∴实数a 的取值范围是[)2,3.故答案为：[)2,3.14.已知函数()8f x x =-，2()3g x x x =-，x ∈R ，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()min{(),()}m x f x g x =，则函数()m x 的最大值为______．【答案】－4【解析】【分析】画出函数图像，找较低图像的最高点.【详解】画出两函数图像可得，函数()8f x x =-与2()3g x x x =-的交点为()()4,42,10---，所以{}(][)()23,,24,()min (),()8,2,4x x x m x f x g x x x ∞∞⎧-∈--⋃+⎪==⎨-∈-⎪⎩，所以()()max 44m x m ==-，故答案为：4-15.已知()()234,13,1a x a x f x ax x x ⎧--<=⎨-≥⎩是R 上的严格增函数，那么实数a 的取值范围是_____________．【答案】3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数与二次函数的单调性得到关于a 的不等式，解之即可.【详解】因为()()234,13,1a x a x f x ax x x ⎧--<=⎨-≥⎩是R 上的严格增函数，当1x <时，()()34f x a x a =--在(),1-∞上单调递增，所以30a ->，则3a <；当1x ≥时，()23f x ax x =-，当0a =时，()3f x x =-，显然()f x 在[)1,+∞上单调递减，不满足题意；当a<0时，()23f x ax x =-开口向下，在[)1,+∞上必有一段区间单调递减，不满足题意；当0a >时，()23f x ax x =-开口向上，对称轴为32x a =，因为()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以312a ≤，则32a ≥；同时，当1x =时，因为()f x 在R 上单调递增，所以()2131314a a a ⨯-⨯≥-⨯-，得1a ≥；综上：332a ≤<，即3,32a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16.已知正实数,,x y z ，则22223x y z xy yz+++的最小值为__________.【答案】5【解析】【分析】利用不等式进行求解即可.【详解】222222295523335y y x z x y z xy yz xy yz xy yz ⎛⎛⎫⎛⎫ +++ ⎪ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝⎭==+++ ，当且仅当225y x =且2295y z =时，取等号，即当且仅当3y y ==时，等号成立，四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.全集R U =，集合()(){}410A x x x =-+<，集合{}22210B x x ax a =-+-<，其中R a ∈．（1）当4a =时，求A B ⋃；（2）若U x A ∈ð是U x B ∈ð的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}15x x -<<（2）[]0,3【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A 、B ，结合并集的概念和运算即可求解；（2）根据一元二次不等式的解法求出集合B ，结合补集的定义和运算与充分条件、必要条件的概念即可求解.【小问1详解】()(){}{}41014A x x x x x =-+<=-<<，当4a =时，{}()(){}{}2815035035B x x x x x x x x =-+<=--<=<<所以{}15A B x x ⋃=-<<；【小问2详解】由22210x ax a -+-<，得()()110x a x a ---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以集合{}11B x a x a =-<<+，因为U x A ∈ð是U x B ∈ð的充分不必要条件，所以x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，所以B 是A 的真子集，所以1114a a -≥-⎧⎨+≤⎩且等号不同时成立，解得03a ≤≤．即实数a 的取值范围是[]0,3．18.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+．（1）已知函数()f x 的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数()f x 的单调递增区间；（2）写出函数()f x 的解析式；（3）若关于x 的方程()f x t =有4个不相等的实数根，求实数t 的取值范围.（只需写出结论）【答案】（1）图象见解析，函数()f x 的单调递增区间为(1,0),(1,)-+∞（2）()222020x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，（3）()1,0t ∈-【解析】【分析】（1）利用偶函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；（2）利用函数是偶函数，求函数的解析式；（3）利用数形结合，转化为()y f x =与y t =有4个交点，求的取值.【小问1详解】单调递增区间为(1,0),(1,)-+∞.【小问2详解】设0x >，则0x -<，所以2()2f x x x -=-，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，所以当0x >时，()()f x f x -=.故()f x 的解析式为()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩【小问3详解】因为()f x t =有4个不相等的实数根，等价于()f x 与y t =的图象有4个交点，结合（1）中()f x 的图象可知，当()1,0t ∈-时，()f x 与y t =的图象有4个交点，所以()1,0t ∈-.19.已知函数()a f x x x=-，(1)2f =.（1）判断该函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并证明.【答案】（1）函数()f x 为奇函数，理由见解析（2）()f x 在()1,+∞上是增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可求()f x 的解析式及定义域，利用奇偶函数的定义判断即可.（2）利用函数单调性，按照取值、作差、变形、判号、下结论的步骤即可证明.【小问1详解】由(1)2f =可得1a =-，所以1()f x x x=+易知定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称，且满足11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭所以1()f x x x=+为奇函数；【小问2详解】函数()f x 在()1,+∞上是增函数，理由如下取12,(1,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则()()()()21121212121211x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=-+-+-=- ⎪⎝⎭()()1212121x x x x x x --=由12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，所以120x x -<，121x x >因此可得()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，即()f x 在()1,+∞上是增函数.20.已知2()1ax b f x x +=+是定义在[2,2]-上的奇函数，且14().25f =（1）求()f x 的解析式；（2）记()f x 的值域为集合A ，集合[1,2]B m m =-，若A B ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）()22()221x f x x x =-≤≤+（2）[)2,+∞【解析】【分析】（1）由()1400,25f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭求得,a b ，进而求得()f x .（2）根据函数值域的求法求得A ，根据A B ⊆列不等式，从而求得a 的取值范围.【小问1详解】由于()f x 是奇函数，且[]02,2∈-，所以()00114212514f b a b f⎧==⎪⎪+⎨⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭+⎪⎩，解得2,0a b ==，经检验成立，所以()22()221x f x x x =-≤≤+.【小问2详解】由（1）得()22()221x f x x x =-≤≤+，()00f =，当02x <≤时，2()1f x x x=+，12x x +≥=，当且仅当1,1x x x ==时等号成立，所以(]2()0,11f x x x =∈+.当20x -≤<时，112x x x x ⎛⎫+=--+≤-=- ⎪⎝⎭，当且仅当1,1x x x -==--时等号成立，所以[)2()1,01f x x x =∈-+，综上所述，()f x 的值域[]1,1A =-又A B ⊆，所以112112m m m m -≤-⎧⎪≥⎨⎪-<⎩，解得2m ≥，所以m 的取值范围是[)2,+∞.21.某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．（1）设AD 长为x 米，总造价为S 元，试建立S 关于x 的函数关系式；（2）问：当x 为何值时S 最小，并求出这个S 最小值.【答案】（1）(224000004000380000S x x x =++<<（2）x =，118000元【解析】【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；（2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果.【小问1详解】由题意可得，22004x AM x-=，且0AM >，则0x <<则()222220042002102008024x S x x x ⎛⎫-=+⨯-+⨯⨯ ⎪⎝⎭4222240000010400042004200210x x x x x +-=+-+(224000004000380000x x x =++<<【小问2详解】由（1）可知，2240000040003800038000118000S x x =++≥=当且仅当224000004000x x =时，即x =时，等号成立，所以，当x =米时，min 118000S =元.22.已知0a >，函数()2f x ax bx =-．（1）当0b >时，若对任意x ∈R 都有()1f x ≤，证明：a ≤（2）当1b >时，证明：对任意[]()0,1,||1x f x ∈≤的充要条件是1b a -≤≤；（3）当01b <≤时，讨论：对任意[]()0,1,||1x f x ∈≤的充要条件．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）1a b ≤+【解析】【分析】（1）由题意()2max 122a a f x f b b ⎛⎫==≤ ⎪⎝⎭，即可得证；（2）分别证必要性与充分性，即必要性：任意[]()0,1,||1x f x ∈≤⇒1b a -≤≤；充分性：1b a -≤≤⇒()||1f x ≤（3）01b <≤时，证()1f x ≥-，由()1f x ≤，可得1a b ≤+，再证1a b ≤+可得()1f x ≤，即可求解【小问1详解】根据题意，对任意x ∈R 都有()1f x ≤，又()22222a a f x ax bx b x b b ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，所以2122a a f b b ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，因为0,0a b >>，所以a ≤【小问2详解】必要性：任意[]()0,1,||1x f x ∈≤⇒()1f x ≥-，据此可推出()11f ≥-，即1a b -≥-，所以1a b ³-；任意[]()0,1,||1x f x ∈≤⇒()1f x ≤，因为1b >，可得01<<，可推出1f≤，即11a ≤，所以a ≤所以1b a -≤≤充分性：因为1b >，1a b ³-，对任意[]0,1x ∈，可推出()221ax bx b x x x x -≥--≥-≥-，即21ax bx -≥-，因为1b >，a ≤[]0,1x ∈，可推出22211ax bx bx b x⎛-≤-≤-+≤ ⎝，即21ax bx -≤，所以()11f x -≤≤，即()||1f x ≤；综上可知：当1b >时，对任意[]()0,1,||1x f x ∈≤的充要条件是1b a -≤≤；【小问3详解】因为0a >，01b <≤，对任意[]0,1x ∈，可推出()21f x ax bx b =-≥-≥-，即()1f x ≥-；()()1111f x f a b ≤⇒≤⇒-≤，即1a b ≤+，又()()2111a b f x b x bx ≤+⇒≤+-≤，即()1f x ≤；所以当0a >，01b <≤时，对任意[]()0,1,||1x f x ∈≤的充要条件是1a b ≤+。

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成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,3,4M =，{}3,4N =，则()UM N ⋃=（）A ．{}2,3,4B ．{}1,2,5C ．{}3,4D ．{}1,52．下列函数中，与函数y x =相等的是（） A．y =B．3y =C．4y =D ．2x y x=3．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且45cox α=-．若角α的终边上有一点(),3P x ，则x 的值为（） A ．4-B ．4C ．3-D ．34．设函数()()222,3,log 1, 3.x e x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩则()()0f f 的值为（） A ．2 B ．3C ．31e -D ．21e -5．已知扇形的圆心角为30°，面积为3π，则扇形的半径为（） A．B ．3C．D ．66．函数()ln 29f x x x =+-的零点所在区间是（） A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,57．已知函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则函数()f x 的递减区间是（） A ．()7,Z 1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．()5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．(),Z 63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()5,Z 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦8．函数()233x x f x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()2sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，先将函数()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移3π个单位长度，最后得到函数()y g x =的图象，则6g π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．1B C ．0D ．10．已知函数()2112x ax f x +-=在[]1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．[]2,4B ．[)2,-+∞C ．[]4,2--D ．(],4-∞-11．若126a -=，3log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<12．设函数()21lg 111x x f x x x -=-++-，()()1212g x f x f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．若()g x 的值不小于0，则x 的取值范围是（） A ．3,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．3111,,4224⎡⎫⎛⎫--⋃-⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1130,,224⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪⎥⎝⎭⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13．计算tan330︒的值为______． 14．已知函数211x y a-=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点()00,P x y ，则0x 的值为______．15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-．若实数t 满()()213f t f t +≤-，则t 的取值范围是______．16．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，且将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度后与原来的图象重合．当()0,4x π∈时，使得不等式()12f x ≤成立的x 的最大值为______．三、解答题：17．计算下列各式的值：（Ⅰ）()23232021 1.538-⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）2log 31lg2ln 100+- 18．已知tan 2θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭．（Ⅰ）求sin θ，cos θ的值；（Ⅱ）求()()2sin sin 2cos 2cos 2ππθθππθθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值．19．已知函数()2121xf x =-+．（Ⅰ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数；（Ⅱ）当[]x 1,3∈时，求函数()()3log g x f x =的最值．20．1986年4月26日，一场地震造成乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸并引起大火．这一事故导致约8吨的强辐射物严重泄露，事故所在地被严重污染．主要辐射物是锶90，它每年的衰减率为2.47%，经专家模拟估计，辐射物中锶90的剩余量低于原有的8.46%时，事故所在地才能再次成为人类居住的安全区；要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年．设辐射物中原有的锶90有()08a a <<吨．（Ⅰ）设经过()*N t t ∈年后辐射物中锶90的剩余量为()P t 吨，试求()P t 的表达式，并计算经过800年后辐射物中锶90的剩余量；（Ⅱ）事故所在地至少经过多少年才能再次成为人类居住的安全区？（结果保留为整数）参考数据：ln0.0846 2.47=-，ln0.97530.03=-． 21．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最小值为2-，其图象经过点()0,1-，且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若关于x 的方程()0f x k -=在11,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个实数根1x ，2x ，求实数k 的取值范围，并求出12x x +的值．22．已知函数()f x =R ，其中a 为实数．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =时，是否存在实数m 满足对任意[]11,1x ∈-，都存在2R x ∈，使得()()1111299331x x x x m f x --++--≥成立？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．D ；2．B ；3．A ；4．B ；5．D ；6．C ；7．A ；8．C ；9．А；10．В；11．A ；12．D 二、填空题 13．-14．12； 15．24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 16．113π．三、解答题17．解：（Ⅰ）原式()()2233274912122894πππ-⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=+-+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）原式21log 32211lg102ln 2322e -=+-=-+-=．18．解：（Ⅰ）由tan 2θ=-，得sin 2cos θθ=-． ∵22sin cos 1θθ+=，∴21cos 5θ=． ∵,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴sin 0θ>，cos 0θ<． ∴cos 5θ=-，sin 5θ=．（Ⅱ）原式2sin cos 2tan 1cos sin 1tan θθθθθθ++==-- ∵tan 2θ=-，∴原式41112-+==-+．19．解：（Ⅰ）任取1x ，2R x ∈，且12x x <．则()()121222112121x x f x f x ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭()()()1221212222221212121x x x x xx -=-=++++． ∵12x x <，∴1222x x<，即12220x x -<．又∵()()2121210xx++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <． ∴函数()f x 在R 上单调递增．（Ⅱ）令()t f x =，函数()()3log g x f x =化为()3log h t t =．由（Ⅰ）知当[]1,3x ∈时，函数()f x 单调递增． ∴当1x =时，函数()f x 有最小值()113f =；当3x =时，函数()f x 有最大值()739f =．∴17,39t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．又函数()3log h t t =在17,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴当13t =，即1x =时，函数()h t 有最小值1-，即()g x 有最小值1-；当79t =，即3x =时，函数()h t 有最大值32log 7-+，即()g x 有最大值32log 7-+． 20．解：（Ⅰ）由题意，得()()1 2.47%tP t a =-，*N t ∈．化简，得()0.9753t P t a =，*N t ∈．∴()8008000.9753P a =．∴经过800年后辐射物中锶90的剩余量为8000.9753a 吨．（Ⅱ）由（Ⅰ），知()0.9753tP t a =，*N t ∈．由题意，得0.97530.0846ta a <，不等式两边同时取对数，得ln 0.9753ln 0.0846t<．化简，得ln0.9753ln0.0846t <．由参考数据，得0.03 2.47t -<-．∴2473t >．又∵24782.33≈，∴事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区． 21．解：（Ⅰ）由题意，得2A =，122T π=．∴T π=，22Tπω==．∴()()2sin 2f x x ϕ=+．又函数()f x 的图象经过点()0,1-，则2sin 1ϕ=-．由2πϕ<，得6πϕ=-．∴()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．（Ⅱ）由题意，关于x 的方程()0f x k -=在11,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个实数根1x ，2x ，即函数()y f x =与y k =的图象在11,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点．由（Ⅰ）知()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．令26t x π=-，则2sin y t =．∵11,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则[]2,2y ∈-．其函数图象如图所示．由图可知，实数k 的取值范围为([)2,1,2-⋃．①当[)1,2k ∈时，1t ，2t ，关于2t π=对称，则12122266t t x x πππ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得1223x x π+=．②当(2,k ∈-时，1t ，2t 关于32t π=对称，则121222366t t x x πππ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得1253x x π+=．综上，实数k 的取值范围为([)2,1,2-⋃，12x x +的值为23π或53π．22．解：（Ⅰ）由题意，函数()f x =的定义域为R ，则不等式2210ax ax -+≥对任意R x ∈都成立． ①当0a =时，10≥显然成立；②当0a ≠时，欲使不等式2210ax ax -+≥对任意R x ∈都成立，则20440a a a >⎧⎨-≤⎩，解得01a <≤．综上，实数a 的取值范围为[]0,1．（Ⅱ）当1a =时，()f x =∴当R x ∈时，()min 0f x =．令13333xxxxt -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．显然在[]1,1x ∈-上递增，则88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．∴()2993311x x x x m t mt --++--=++．令()21h t t mt =++，88,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．若存在实数m 满足对任意[]11,1x ∈-，都存在2R x ∈，使得()()1111299331xx x x m f x --++--≥成立，则只需()min 0h t ≥． ①当823m -≤-即163m ≥时，函数()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．则()min 864810393h t h m ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭．解得7324m ≤，与163m ≥矛盾； ②当88323m -<-<即161633m -<<时，函数()h t 在8,32m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,23m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．则()22min 10242m m m h t h ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭．解得22m -≤≤；③当823m -≥即163m ≤-时，函数()h t 在88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减．则()min 864810393h t h m ⎛⎫==++≥ ⎪⎝⎭．解得7324m ≥-，与163m ≤-矛盾．综上，存在实数m 满足条件，其取值范围为[]2,2-．。